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行列の対数

索引 行列の対数

数学において、行列の対数（ぎょうれつのたいすう、Logarithm of a matrix）とは、行列の指数関数を施したとき与えられた行列と一致するようなもう一つの行列をいう。つまり行列の対数函数は、スカラー変数スカラー値の対数函数の一般化であり、また行列の指数関数のある意味での逆関数を与えるものとなる。必ずしも全ての行列がその対数を持つわけではなく、また対数を持つ場合であっても複数の行列を対数として持ち得る。対数を持つ行列は何らかのリー群に属し、かつ、その対数はそのリー群に付随するリー代数の元に対応するため、行列の対数函数の研究はにつながる。

目次

  1. 40 関係: 単連結空間、同値、実二次正方行列、対角化、対数、交代行列、二元数、作用素 (関数解析学)、メルカトル級数、ヤコビの公式、ユークリッド空間、リー代数、リー群、リー環の指数写像、ロドリゲスの回転公式、テイラー展開、分解型複素数、クラインの四元群、ジョルダン標準形、スペクトル (関数解析学)、冪零行列、円周群、固有値と固有ベクトル、級数、環 (数学)、直交行列、違いを除いて、行列の定値性、行列の平方根、行列式、行列ノルム、行列値関数、行列指数関数、自然対数、逆写像、Well-defined、正則行列、正則関数、有界作用素、数学。

  2. 対数
  3. 行列論
  4. 逆写像

単連結空間

連結であるが、穴のまわりを1周するループを考えればわかるように単連結ではない。穴を全てふさげば単連結となる。 位相幾何学における単連結空間（たんれんけつくうかん、simply connected space）とは、任意のループを連続的に1点に収縮できるような弧状連結空間のことである。

見る 行列の対数と単連結空間

同値

同値（どうち）または等価（とうか）とは、2つの命題が共に真または共に偽のときに真となる論理演算である。 英語ではequivalence (EQ)。「if and only if（～のとき、かつそのときに限る）」を略して、iff ともいう。否定排他的論理和 (XNOR) に等しい。 演算子記号は ⇔、↔、≡、。

見る 行列の対数と同値

実二次正方行列

実二次正方行列（じつ2じせいほうぎょうれつ、2 real matrix; 二行二列実行列）とは、数学の線型代数学において、成分が実数である 次正方行列のことである。 行列の演算をもつ。すなわち、が定義される。さらに、正方行列の演算をもつ。すなわち、行列の積が定義される。したがって、実二次正方行列全体は行列環をなし、記号で と表す。 実二次正方行列 a &b c &d end に対して対合 d &-b -c &a end が定義され、 が成り立つ（ここで は 次単位行列、 は の行列式である）。従って ならば は正則行列で、その逆行列が で与えられる。 正則行列全体の成す集合は一般線型群 である。

見る 行列の対数と実二次正方行列

対角化

対角化（たいかくか、diagonalization）とは、正方行列を適当な線形変換によりもとの行列と相似な対角行列に変形することを言う。あるいは、ベクトル空間の線形写像に対し、空間の基底を取り替え、その作用が常にある方向（固有空間）へのスカラー倍（固有値）として現れるようにすること。対角化により変換において本質的には無駄な計算を省くことで計算量を大幅に減らすことができる100行100列のような大きな正規行列を対角化するにあたっては、そのまま対角化のアルゴリズムを適用するよりは、いったんブロック対角化された行列にする、すなわち複数の100行100列よりは小さな正規行列の直和に変換することで、並列的かつ以前の計算資産を再利用する形で対角化をすることができるようになる。

見る 行列の対数と対角化

対数

対数（たいすう、logarithm）とは、ある数 を数 の冪乗 として表した場合の冪指数 である。この は「底を とする の対数（x to base; base logarithm of ）」と呼ばれ、通常は と書き表される。また、対数 に対する は真数（しんすう、antilogarithm）と呼ばれる。数 に対応する対数を与える関数を考えることができ、そのような関数を対数関数と呼ぶ。対数関数は通常 と表される。 通常の対数 は真数, 底 を実数として定義されるが、実数の対数からの類推により、複素数や行列などの様々な数に対してその対数が定義されている。 実数の対数 は、底 が でない正数であり、真数 が正数である場合この条件は真数条件と呼ばれる。

見る 行列の対数と対数

交代行列

線型代数学において、交代行列（こうたいぎょうれつ、alternating matrix）、歪対称行列（わいたいしょうぎょうれつ、skew-symmetric matrix）または反対称行列（はんたいしょうぎょうれつ、antisymmetric matrix, antimetric matrix; 反称行列）は、正方行列 であってその転置 が自身の 倍となるものをいう。すなわち、転置に対して反対称性を持つ行列は交代行列である。交代行列とは逆に、転置に対して対称な行列は対称行列と呼ばれる本項において（何も言わなければ）、係数体の標数 は でない と仮定する。標数が のとき、任意のスカラーは自身を反数として持つので、任意の歪対称行列は対称行列の概念に一致する。歪対称行列に付随する双線型形式は歪対称形式であり、標数 のときは対称形式になる。一方、付随する双線型形式が交代形式であるような行列を「交代行列」と呼べば、標数 のとき「交代行列」は歪対称（。

見る 行列の対数と交代行列

二元数

数学における二元数（にげんすう、binarion）とは、2次元の多元数、すなわち実数体上2次元の単位的結合多元環の元のことである。各二元数 は適当な基底 の実数係数の線型結合 の形に表される。 多元環における積は双線型であるから、2つの二元数 に対して これが再び二元数となる（つまり乗法について閉じている）ためには、 の平方が再び の線型結合に書けることが必要かつ十分である。 以下の3つは実二次元の単位的多元環である：。

見る 行列の対数と二元数

作用素 (関数解析学)

数学における作用素（さようそ、operator）は、しばしば写像、函数、変換などの一般化として用いられる。函数解析学においては主にヒルベルト空間やバナッハ空間上の（必ずしも写像でない部分写像の意味での）線型変換を単に作用素と呼ぶ。そのような空間として特に函数空間と呼ばれる函数の成す無限次元線型空間は典型的であり（同じものを物理学の分野、特に量子力学などでは演算子（えんざんし）と呼ぶ）、このとき、作用素を関数を別の関数にうつす写像として理解することができる。定義されているベクトル空間の係数体に値をとる作用素は汎函数（はんかんすう、functional）と呼ばれる。 また、群や環が空間に作用しているとき、群や環の各元が定める空間上の変換、あるいはその変換が引き起こす関数空間上の変換のことを作用素ということがある。

見る 行列の対数と作用素 (関数解析学)

メルカトル級数

数学において、メルカトル級数（Mercator series）あるいはニュートン＝メルカトル級数（Newton-Mercator series）とは、自然対数に対するテイラー級数であり、以下の式で表される。 総和記法を用いると、 となる。 この級数は。

見る 行列の対数とメルカトル級数

ヤコビの公式

において、ヤコビの公式（Jacobi's formula）は行列 の導函数および余因子を用いて行列式の導函数を表す方法である。 を実数から 行列への微分可能な写像とすると、 を行列 の跡として。

見る 行列の対数とヤコビの公式

ユークリッド空間

ユークリッド空間（ユークリッドくうかん、Euclidean space）とは、数学における概念の1つで、エウクレイデス（ユークリッド）が研究したような幾何学（ユークリッド幾何学）の場となる平面や空間、およびその高次元への一般化である。エウクレイデスが研究した平面や空間はそれぞれ、2次元ユークリッド空間、3次元ユークリッド空間に当たり、これらは通常、ユークリッド平面、ユークリッド空間などとも呼ばれる。「ユークリッド的」という修飾辞は、これらの空間が非ユークリッド幾何やアインシュタインの相対性理論に出てくるような曲がった空間ではないことを示唆している。 古典的なギリシャ数学では、ユークリッド平面や（三次元）ユークリッド空間は所定の公準によって定義され、そこからほかの性質が定理として演繹されるものであった。現代数学では、デカルト座標と解析幾何学の考え方にしたがってユークリッド空間を定義するほうが普通である。そうすれば、幾何学の問題に代数学や解析学の道具を持ち込んで調べることができるようになるし、三次元以上のユークリッド空間への一般化も容易になるといった利点が生まれる。

見る 行列の対数とユークリッド空間

リー代数

数学において、リー代数 (リーだいすう、)、もしくはリー環（リーかん）日本語ではしばしば Lie algebra のことをリー環と呼ぶが、後述の Lie ring はより一般的な概念である。本項ではこの2つの用語を区別して用いる。は、「リー括弧積」（リーブラケット、Lie bracket）と呼ばれる非結合的な乗法 を備えたベクトル空間である。 の概念を研究するために導入された。"Lie algebra" という言葉は、ソフス・リーに因んで、1930年代にヘルマン・ワイルにより導入された。古い文献では、無限小群 (infinitesimal group) という言葉も使われている。 リー代数はリー群と密接な関係にある。リー群とは群でも滑らかな多様体でもあるようなもので、積と逆元を取る群演算が滑らかであるようなものである。任意のリー群からリー代数が生じる。逆に、実数あるいは複素数上の任意の有限次元リー代数に対し、対応する連結リー群がによる違いを除いて一意的に存在する（）。このによってリー群をリー代数によって研究することができる。

見る 行列の対数とリー代数

リー群

リー群（リーぐん、Lie group）は、群構造を持つ可微分多様体で、その群構造と可微分構造とが両立するもののことである。ソフス・リーの無限小変換と連続群の研究に端を発するためこの名がある。

見る 行列の対数とリー群

リー環の指数写像

リー群論において、指数写像（しすうしゃぞう、exponential map）は、リー群のリー環から局所的な群構造を取り出せるような、リー環からリー群への写像である。指数写像の存在はリー環のレベルでリー群を研究することの主要な正当性の1つである。 解析学の通常の指数関数は G が正の実数の乗法群（そのリー環は実数全体のなす加法群）のときの指数写像という特別な場合である。リー群の指数写像は通常の指数関数の性質と類似の多くの性質を満たすが、しかしながら、多くの重要な面において異なりもする。

見る 行列の対数とリー環の指数写像

ロドリゲスの回転公式

三次元回転におけるロドリゲスの回転公式（Rodrigues' rotation formula）とは、ベクトル空間において、与えられた回転軸に対して回転を行うための効率的なアルゴリズムを指す。またこの公式は、任意の3つの基底ベクトルに対する、 群上の回転行列を用いた変換の軸角度表現を与えている。つまり、この式は （ のリー代数）から への指数写像を、行列の指数関数を計算せずに与えるアルゴリズムとなっている。

見る 行列の対数とロドリゲスの回転公式

テイラー展開

数学においてテイラー級数（テイラーきゅうすう、Taylor series）は、関数のある一点での導関数の値から計算される項の無限和として関数を表したものである。そのような級数を得ることをテイラー展開（テイラーてんかい）という。 テイラー級数の概念はスコットランドの数学者ジェームズ・グレゴリーにより定式化され、フォーマルにはイギリスの数学者ブルック・テイラーによって1715年に導入された。0 を中心としたテイラー級数は、マクローリン級数 (Maclaurin series) とも呼ばれる。これはスコットランドの数学者コリン・マクローリンにちなんでおり、彼は18世紀にテイラー級数のこの特別な場合を積極的に活用した。

見る 行列の対数とテイラー展開

分解型複素数

分解型複素数（ぶんかいがたふくそすう、split-complex number; 分裂複素数）とは、数学において、2つの実数 と を満たす実数でない量を用いて と表せる数のことである。 分解型複素数と通常の複素数の最も大きな幾何学的な違いは、通常の複素数の乗法が における通常の自乗ユークリッドノルム に従う一方、分解型複素数の乗法が自乗ミンコフスキーノルム に従うことである。 代数的には、分解型複素数は（通常の複素数には無い）非自明な（つまり、 でも でもない）冪等元を含むという興味深い性質を持つ。また、全ての分解型複素数が成す集合は体にはならないが、その代わりに環を成す。 分解型複素数には他の呼び名がたくさんある（#別称を参照）。「分解型」(split) というのは、-型の（計量二次形式の）符号数が「分解型符号数」(split signature) と呼ばれることからきている。つまり、分解型複素数は分解型符号数 を持つ複素数の類似である。

見る 行列の対数と分解型複素数

クラインの四元群

数学の一分野である群論におけるクラインの四元群とは、巡回群でない位数が最小の群であり、またはと表記される。 この群は単位元および3つの位数2の元から構成され、以下の演算表に従う可換な群演算を持つアーベル群である。 また、クラインの四元群は、位数2の巡回群の直積 や二面体群 のほか、交代群 の正規部分群 と同型である。

見る 行列の対数とクラインの四元群

ジョルダン標準形

ジョルダン標準形（ジョルダンひょうじゅんけい、Jordan normal form）とは、代数的閉体（例えば複素数体）上の正方行列に対する標準形のことである。任意の正方行列は本質的にただ一つのジョルダン標準形と相似である。名前はカミーユ・ジョルダンに因む。

見る 行列の対数とジョルダン標準形

スペクトル (関数解析学)

関数解析学において、有界作用素のスペクトルは、行列における固有値の概念の一般化である。特に、 が可逆でなければ、 を有界線形作用素 のスペクトルという。ただし は恒等関数とする。スペクトル及びスペクトルに関連する研究は、スペクトル理論と呼ばれ多くの応用先を持つ。最も良く知られているのが、量子力学の数学的な枠組みについてである。 有限次元ベクトル空間上の作用素のスペクトルは厳密に、固有値の集合となる。しかしながら、無限次元空間上の作用素は、固有値を持たないことがある。例えば、ヒルベルト空間 ℓ2 上では、右シフト作用素 は固有値を持たない。 固有値をもつ、つまり を満たすような 0 でない が存在するとすると、x_1。

見る 行列の対数とスペクトル (関数解析学)

冪零行列

冪零行列（べきれいぎょうれつ、べきぜろぎょうれつ、nilpotent matrix）とは、冪乗して零（零行列）となる正方行列のこと。すなわち、ある自然数 m に対して、 が成り立つ行列 M をいう。冪零行列は基底の与えられたベクトル空間に対して冪零変換を定める。

見る 行列の対数と冪零行列

円周群

数学における円周群（えんしゅうぐん、circle group; 円群）とは、絶対値 の複素数（単位複素数）全体（つまり複素数平面上の単位円） のなす乗法群のことである。記号で と表し、 はアーベル群 の部分群である。 円周群は複素 次ユニタリ行列全体のなす群 と見ることもできて、これは複素数平面上で原点中心の回転として作用する。 円周群は角 による媒介変数表示が可能で、写像 は円周群に対する指数写像となる。 円周群はポントリャーギン双対性において中心的な役割を果たし、あるいはリー群論においても重要である。 円周群 の回転群としての解釈は、標準位相に関して円周群が一次元トーラスに位相群として同型であるという事実に発する。より一般に、 の 重直積群 は幾何学的に 次元トーラスである。

見る 行列の対数と円周群

固有値と固有ベクトル

モナ・リザの画像（左図）を平行四辺形に線形変換した画像（右図）。この線形変換において、画像の中にある右向きの矢印（青色）は変化していないのに対し、上を向いた矢印（赤色）は方向が変化している。この青い矢印がこの変換における'''固有ベクトル'''であり、赤い矢印は固有ベクトルではない。ここで青い矢印は伸張も収縮もしていないので、この'''固有値'''は 1 である。このベクトルと平行なすべてのベクトルは固有ベクトルである。零ベクトルも含めて、これらのベクトルはこの固有値に対する'''固有空間'''を形成する。 数学の線型代数学において、線型変換の固有値（こゆうち、eigenvalue）とは、零ベクトルでないベクトルを線型変換によって写したときに、写された後のベクトルが写される前のベクトルのスカラー倍になっている場合の、そのスカラー量（拡大率）のことである。この零ベクトルでないベクトルを固有ベクトル（こゆうベクトル、eigenvector）という。この2つの用語を合わせて、固有対 (eigenpair) という。

見る 行列の対数と固有値と固有ベクトル

級数

数学における級数 (きゅうすう、series) とは、ひと口に言えば数や関数など互いに足すことのできる数学的対象の列について考えられる無限項の和のことである。ただし「無限の項の総和」が何を表しているのかということはしばしば解析学の言葉を用いて様々な場合に意味を与える（#級数の収束性の節を参照）ことができるが、そのようなことができない「発散する級数」もあれば、級数自体を新たな形式的対象としてとらえることもある。小さくなっていく実数を項とする級数の収束性については様々な判定条件が与えられている。 級数を表す記法として、和記号textstyle sumを用いた表現textstylesum a_nや三点リーダ を用いた表現 などがある。

見る 行列の対数と級数

環 (数学)

数学における環（かん、ring）とは、台集合に「加法」（和）および「乗法」（積）と呼ばれる二種類の二項演算を備えた代数系のことである。 最もよく知られた環の例は、整数全体の成す集合に自然な加法と乗法を考えたものである（これは乗法が可換だから可換環の例でもある）。ただし、それが環と呼ばれるためには、環の公理として、加法は可換で、加法と乗法はともに結合的であって、乗法は加法の上に分配的で、各元は加法逆元をもち、加法単位元が存在すること、が全て要求される。したがって、台集合は加法の下「加法群」と呼ばれるアーベル群を成し、乗法の下「乗法半群」と呼ばれる半群であって、乗法は加法に対して分配的であり、またしばしば乗法単位元を持つ乗法に関しては半群となることのみを課す（乗法単位元の存在を要求しない）こともある。

見る 行列の対数と環 (数学)

直交行列

直交行列（ちょっこうぎょうれつ, ）とは、転置行列と逆行列が等しくなる正方行列のこと。つまり × の行列 の転置行列を と表すときに、 を満たすような のこと。ただし、 は 次の単位行列であり、 自身も直交行列である。 有限次元実計量ベクトル空間の直交変換は、ある正規直交基底に関して実直交行列（成分が全て実数の直交行列）によって定まる線形変換である。ただし、直交変換とは（必ずしも有限次元でない）実計量ベクトル空間 において内積を変えない（等長性をもつ）線形変換 のことである。すなわち、 を の任意のベクトルとするときに、 が成り立つ。ただし、 は内積を表す。

見る 行列の対数と直交行列

違いを除いて

数学の文脈における「—（の違い）を除いて…」 (のちがいをのぞいて、… "up to" &mdash) という語句は、「— に関する差異を無視する」ことを意味する専門用語である。この言い回しの意味するところは、「適当な目的のもとでは、あるひとつの同値類に属する元全体を、何か単一の実体を表すものとみなせる」ということである。"—" の部分には、何らかの性質や、同じ同値類に属する元(つまり一方は他方に同値となるような元)の間の変換の過程を記述する内容が入る。 たとえば不定積分を計算するとき、その結果は「定数項の違いを除いて」 であるというように言うことができる。その意味は、 以外に不定積分 があったとしても (は定数)と書くことができ、その後の論理展開において のかわりに を用いても影響がないことを示唆している。また例えば群論で、群 が集合 に作用するとき、 のふたつの元が同じ軌道に属するならば、それらは「群作用の違いを除いて」同値であると言い表すことができる。

見る 行列の対数と違いを除いて

行列の定値性

線型代数学における行列の定値性（ていちせい、definiteness）は、その行列に付随する二次形式が一定の符号を持つか否か (二次形式の定値性) と密接な関係を持つ概念だが、付随する二次形式を経ることなくその行列自身の持つ性質によって特徴づけることもできる。 この概念は対称行列およびエルミート行列に対して定義するのが通例であるが、そうではない行列を含むように「定値性」の概念を一般化して適用する文献もある。

見る 行列の対数と行列の定値性

行列の平方根

数学のおもに線型代数学および函数解析学における行列の平方根（ぎょうれつのへいほうこん、square root of a matrix）は、数に対する通常の平方根の概念を行列に対して拡張するものである。すなわち、行列 が行列 の平方根であるとは、行列の積に関して が に等しいときに言う。 「実数の平方根は必ずしも実数にならないが、複素数は必ず複素数の範囲で平方根を持つ」ことに対応する事実として、実行列の平方根は（存在しても）必ずしも実行列にならないが、複素行列が平方根を持てばそれは必ず複素行列の範囲で取れる。 平方根を持たない行列も存在する。 また一般に、ひとつの行列が複数の平方根を持ち得る。実際、 単位行列は次のように無数の平方根を持つ。

見る 行列の対数と行列の平方根

行列式

3 次正方行列の行列式の絶対値に一致する。 数学における行列式（ぎょうれつしき、）とは、正方行列に対して定義される量で、歴史的には行列が表す一次方程式の可解性を判定する指標として導入された。幾何的には線型空間またはより一般の有限生成自由加群上の自己準同型に対して定義され、線型変換に対して線形空間の拡大率ということができる。行列の可逆性を判定する指標として線型代数学における最も重要な指標の一つと見なされている。

見る 行列の対数と行列式

行列ノルム

線型代数学における行列ノルム（ぎょうれつノルム、matrix norm）は、ベクトルのノルムを行列に対し自然に一般化したものである。

見る 行列の対数と行列ノルム

行列値関数

行列値関数（ぎょうれつちかんすう、matrix-valued functions）とは行列を変数に持つ特殊関数の総称であるHigham, N. J. (2008). Functions of matrices: theory and computation. SIAM.千葉克裕; 行列の関数とジョルダン標準形, 2010. サイエンティスト社。

見る 行列の対数と行列値関数

行列指数関数

線型代数学における行列の指数関数（ぎょうれつのしすうかんすう、matrix exponential; 行列乗）は、正方行列に対して定義される行列値関数で、通常の（実または複素変数の）指数関数に対応するものである。より抽象的には、行列リー群とその行列リー代数の間の対応関係（指数写像）を行列の指数函数が記述する。 次 実または複素正方行列 の指数関数 または は、冪級数 で定義される 次正方行列である。この級数は任意の に対して収束するから、行列 の指数関数は well-defined である。 が 次正方行列のとき、乗 は 次正方行列であり、その唯一の成分は の唯一の成分に対する通常の指数関数に一致する。これらはしばしば同一視される。この意味において行列の指数函数は、通常の指数函数の一般化である。

見る 行列の対数と行列指数関数

自然対数

実解析において実数の自然対数（しぜんたいすう、natural logarithm）は、超越数であるネイピア数 を底とする対数を言う。 の自然対数を や、より一般に あるいは単に（底を省略して） などと書く。 通常の函数の記法に則って引数を指示する丸括弧を明示的に付けて、 や などのように書いてもよい。 定義により、 の自然対数とは 冪 が 自身に一致するような冪指数 のことに他ならない。例えば、 となることは、 となることを理由とする。特に の自然対数は であり、 の自然対数は である。 自然対数は、任意の正数 に対して 逆数函数 の から までの間のグラフの下にある面積（ と の成立を意味する。 他の任意の対数がそうであるように、自然対数は なる意味で乗法を加法へ写す。これにより自然対数函数は正の実数の乗法群 から実数の加法群 への写像 として 群の準同型になる。 以外にも、任意の正数 に対して、それを底とする対数を定義することができるが、そのような対数は自然対数の定数倍として得ることができる（例えば二進対数は自然対数の 倍である）し、通常はそうして自然対数から定義される。対数は未知の量がほかの適当な量の冪と見なされる問題を解く際に有用で、例えば指数函数的減衰問題におけるとしての半減期を求めるときなどに利用できる。このように対数は、数学や自然科学の多くの分野において重要であり、また金融経済において複利を含む問題にも利用できる。 リンデマン–ヴァイアシュトラスの定理により、 でない任意の（正の）代数的数に対してその自然対数は超越数となる。

見る 行列の対数と自然対数

逆写像

数学における逆写像（ぎゃくしゃぞう、inverse mapping）は一口に言えば写像の与える元の対応関係を「反対」にして得られる写像である。すなわち、写像 が を に写すならば、 の逆写像は を に写し戻す。 函数と呼ばれる種類の写像の逆写像は、逆函数 (inverse function) と呼ばれる。

見る 行列の対数と逆写像

Well-defined

数学における （ウェル・ディファインド）は、「定義によって一意の解釈または値が割り当てられる」ことを言う。

見る 行列の対数とWell-defined

正則行列

正則行列（せいそくぎょうれつ、regular matrix）、非特異行列（ひとくいぎょうれつ、non-singular matrix）あるいは可逆行列（かぎゃくぎょうれつ、invertible matrix）とは、行列の通常の積に関する逆元を持つ正方行列のことである。この逆元を、元の正方行列の逆行列という。例えば、複素数体上の二次正方行列 a & b c & d end が正則行列であるのは が成立するとき、かつ、そのときに限る。このとき逆行列は で与えられる。 ある体上の同じサイズの正則行列の全体は一般線型群と呼ばれる群を成す。多項式の根として定められる部分群は線形代数群あるいは行列群と呼ばれる代数群の一種で、その表現論が代数的整数論などに広い応用を持つ幾何学的対象である。

見る 行列の対数と正則行列

正則関数

複素解析における正則関数（せいそくかんすう、regular analytic function）あるいは整型函数（せいけいかんすう、holomorphic function）とは、ガウス平面上あるいはリーマン面上のある領域について、常に微分可能な複素変数、を指す杉浦光夫、解析入門II、東京大学出版会。藤本坦孝、複素解析、岩波書店。複素関数論、岸正倫・藤本坦孝 共著、学術図書出版社。。

見る 行列の対数と正則関数

有界作用素

関数解析学において有界（線形）作用素（ゆうかいさようそ、）とは、二つのノルム空間 X および Y の間の線型作用素 L であって、X に含まれるゼロでないすべてのベクトル v に対して L(v) のノルムと v のノルムの比が、v に依存しない1つの数によって上から評価されるようなもののことを言う。言い換えると、次を満たす線型作用素 L のことを、有界作用素と言う: ここで |cdot|_X は X が備えるノルムである（ |cdot|_Y も同様）．上記の正定数 M の下限は L の作用素ノルムと呼ばれ、|L|_ , と記述される。 X から Y への有界作用素全体の集合を mathcal(X,Y)として，L in mathcal(X,Y)に対して |L|_によって作用素ノルムを表すこともある． 一般的に、有界作用素は有界関数ではない。後者は、すべての v に対し L(v) のノルムが上から評価されている必要があるが、これは L が零作用素でないと起こり得ない。有界作用素はである。

見る 行列の対数と有界作用素

数学

数学（すうがく）とは、数・量・図形などに関する学問であり、理学の一種。「算術・代数学・幾何学・解析学・微分法・積分法などの総称」とされる。 数学は自然科学の一種にも、自然科学ではない「形式科学」の一種にも分類され得る。

見る 行列の対数と数学

参考情報

対数

行列論

逆写像

行列の対数函数、行列対数関数 別名。