目次
20 関係: 基底 (線型代数学)、単位的多元環、可換体、双線型写像、多元体、多元数、実数、平方完成、二重数、ローレンツ変換、分解型複素数、冪等元、結合多元環、特殊相対性理論、違いを除いて、複素数、複比、閉性、零因子、数学。
基底 (線型代数学)
線型代数学における基底（きてい、basis）は線型空間の線型独立な生成系である"ベクトルの集合... が V の基底であることは... V を生成... 一次独立... の二つの条件を満たしていることと同値である。多くの本が、こちらを定義に採用している。" 松本.
単位的多元環
数学における多元環（必ずしも結合的でない）が単位的（たんいてき、unitary）または単型 (unital) であるとは、それが内部乗法 に対する単位元 （すなわちその多元環の任意の に対して を満たす元）を持つときに言う。この単位元は右単位元および左単位元として一意である。 さらに多元環が結合的ならば、単位的であることはその多元環の元全体が乗法に関してモノイドを成すことと言っても同じである。
見る 二元数と単位的多元環
可換体
抽象代数学において可換体（かかんたい、corps commutatif）あるいは単に体（たい、field）本記事において単に体と言った場合「可換」体を意味するものとする。とは、零でない可換可除環、あるいは同じことだが非零元全体が乗法の下で可換群をなすような環のことである。そのようなものとして体は、適当なアーベル群の公理と分配則を満たすような加法、減法、乗法、除法の概念を備えた代数的構造である。最もよく使われる体は、実数体、複素数体、有理数体であるが、他にも有限体、関数の体、代数体、''p'' 進数体などがある。 任意の体は、線型代数の標準的かつ一般的な対象であるベクトル空間のスカラーとして使うことができる。（ガロア理論を含む）体拡大の理論は、ある体に係数を持つ多項式の根に関係する。他の結果として、この理論により、古典的な問題である定規とコンパスを用いたや円積問題が不可能であることの証明や五次方程式が代数的に解けないというアーベル-ルフィニの定理の証明が得られる。現代数学において、体論は数論や代数幾何において必要不可欠な役割を果たしている。
見る 二元数と可換体
双線型写像
数学において双線型写像（そうせんけいしゃぞう、）とは、二つのベクトル空間それぞれの元の対に対しての第三のベクトル空間の元を割り当てる写像であって、各引数に関して線型となるようなものを言う。その一つの例が、行列の積である。
見る 二元数と双線型写像
多元体
数学の抽象代数学において、体上の斜体、多元体（たげんたい）または可除多元環（かじょたげんかん、division algebra）は、大まかには、体上の多元環で除法が自由にできるものをいう。
見る 二元数と多元体
多元数
数学における多元数（たげんすう、hyper­complex number; 超複素数）は、実数体上の単位的多元環の元を表す歴史的な用語である。多元数の研究は19世紀後半に現代的な群の表現論の基盤となった。
見る 二元数と多元数
実数
数学における実数（じっすう、nombre réel, reelle Zahl, real number）とは、連続な量を表すために有理数を拡張した数の体系である。 実数全体の空間は、途切れのなさにあたる完備性とよばれる位相的な性質を持ち、代数的には加減乗除ができるという体の構造を持っている。幾何学や解析学ではこれらのよい性質を利用して様々な対象が定義され、研究されている。一方でその構成方法に自明でない手続きが含まれるため、実数の空間は数学基礎論の観点からも興味深い性質を持っている。また、自然科学における連続的なものの計測値を表すのに十分な数の体系だとも考えられている。 実数の概念は、その形式的な定義が19世紀に達成される前から数の体系として使われていた。「実数」という名前は複素数の概念が導入された後に「普通の数」を表現する言葉として導入されたものである。
見る 二元数と実数
平方完成
animated GIF version) 平方完成（へいほうかんせい、completing the square）とは、二次式（二次関数）を式変形して a(x-h)^2 の形を作り、一次の項を見かけ上なくすことである。この式変形は全ての二次式に可能で、一意に決まる。 x-h の h を除けば、つまり x-h。
見る 二元数と平方完成
二重数
数学における二重数（にじゅうすう、dual numbers）または双対数（そうついすう）とは、実数 と （複零性）を満たす実数でない を用いて と表すことのできる数のことである。 二重数全体は、実数全体に を満たす新しい元 を添加して得られる。二重数全体からなる集合は、実数体上の二次元の可換かつ単位的な結合多元環（二元数）の一種になる。二重数全体の成す平面は、交代的複素数平面 と呼ばれ、通常の複素数平面 と分解型複素数平面とに対して相補的な関係にある。
見る 二元数と二重数
ローレンツ変換
ローレンツ変換（ローレンツへんかん、Lorentz transformation）は、2 つの慣性系の間の座標（時間座標と空間座標）を結びつける線形変換で、電磁気学と古典力学間の矛盾を回避するために、アイルランドのジョセフ・ラーモア（1897年）とオランダのヘンドリック・ローレンツ（1899年、1904年）により提案された。 アルベルト・アインシュタインが特殊相対性理論（1905年）を構築したときには、慣性系間に許される変換公式として、理論の基礎を形成した。特殊相対性理論では全ての慣性系は同等なので、物理法則はローレンツ変換に対して不変な形、すなわち同じ変換性をもつ量の間のテンソル方程式として与えられなければならない。このことをローレンツ不変性（共変性）をもつという。
見る 二元数とローレンツ変換
分解型複素数
分解型複素数（ぶんかいがたふくそすう、split-complex number; 分裂複素数）とは、数学において、2つの実数 と を満たす実数でない量を用いて と表せる数のことである。 分解型複素数と通常の複素数の最も大きな幾何学的な違いは、通常の複素数の乗法が における通常の自乗ユークリッドノルム に従う一方、分解型複素数の乗法が自乗ミンコフスキーノルム に従うことである。 代数的には、分解型複素数は（通常の複素数には無い）非自明な（つまり、 でも でもない）冪等元を含むという興味深い性質を持つ。また、全ての分解型複素数が成す集合は体にはならないが、その代わりに環を成す。 分解型複素数には他の呼び名がたくさんある（#別称を参照）。「分解型」(split) というのは、-型の（計量二次形式の）符号数が「分解型符号数」(split signature) と呼ばれることからきている。つまり、分解型複素数は分解型符号数 を持つ複素数の類似である。
見る 二元数と分解型複素数
冪等元
抽象代数学において、二項演算 ∗ をもった集合の元 は であるときに冪等元（べきとうげん、idempotent element）あるいは単に冪等（idempotent）と呼ばれる。これはその特定の元における二項演算の冪等性を反映している。 環論において（積に関する）冪等元は特に重要である。一般の環に対して、冪等元は加群の分解や環のホモロジー的性質と深く関わっている。この概念は によって導入された。 本記事は環論的な意味の冪等元を扱う。
見る 二元数と冪等元
結合多元環
数学における（結合）線型環あるいは結合的代数または結合多元環（けつごうたげんかん、associative algebra）は、結合的な環であって、かつそれと両立するような、何らかの体上の線型空間（若しくはもっと一般の可換環上の加群）の構造を備えたものである。即ち、線型環 A は（結合律や分配律を含む）幾つかの公理を満足する二項演算（内部演算）としての加法と乗法を備え、同時に乗法と両立するスカラー（体 K や環 R の元）による乗法（外部演算）を備える。 分野によっては、線型環が乗法単位元 1 を持つと仮定することが典型的である場合もある。このような余分の仮定を満たすことを明らかにする場合には、そのような線型環を単型線型環（単位的（結合）多元環）と呼ぶ。
見る 二元数と結合多元環
特殊相対性理論
特殊相対性理論（とくしゅそうたいせいりろん、Spezielle Relativitätstheorie、Special relativity）は、あらゆる慣性系間の等価性を公理とした物理学の理論である。特殊相対論（とくしゅそうたいろん）とも訳される。特殊相対性理論は一般相対性理論に包含される理論であるが、一般相対論と特殊相対論を特に区別せずに、相対性理論と呼称されることもある。光速に近い速度で相対移動する観測者対について古典力学 (ニュートン力学)は一般に実験事実と整合しないが、特殊相対性理論においては、観測者に固有の（あるいは観測者間の互いの）時間と空間の測量について定式化することで、これらの関係・法則を捉える。
見る 二元数と特殊相対性理論
違いを除いて
数学の文脈における「—（の違い）を除いて…」 (のちがいをのぞいて、… "up to" &mdash) という語句は、「— に関する差異を無視する」ことを意味する専門用語である。この言い回しの意味するところは、「適当な目的のもとでは、あるひとつの同値類に属する元全体を、何か単一の実体を表すものとみなせる」ということである。"—" の部分には、何らかの性質や、同じ同値類に属する元(つまり一方は他方に同値となるような元)の間の変換の過程を記述する内容が入る。 たとえば不定積分を計算するとき、その結果は「定数項の違いを除いて」 であるというように言うことができる。その意味は、 以外に不定積分 があったとしても (は定数)と書くことができ、その後の論理展開において のかわりに を用いても影響がないことを示唆している。また例えば群論で、群 が集合 に作用するとき、 のふたつの元が同じ軌道に属するならば、それらは「群作用の違いを除いて」同値であると言い表すことができる。
見る 二元数と違いを除いて
複素数
2。
見る 二元数と複素数
複比
点''A,'' ''B,'' ''C,'' ''D''および''A''', ''B','' ''C','' ''D''' は射影変換によって関連付けられているため、それらの複比(A, B; C, D)および(A', B'; C', D')は等しい。 複比（ふくひ、英: double ratio）は、幾何学における概念の1つで、交差比（こうさひ、英: cross-ratio）および非調和比（ひちょうわひ、英: anharmonic ratio）とも呼ばれ、4つの共線上の点、特に射影直線上の点の集合に関連付けられた数値である。直線上の4つの点 A, B, C, D が与えられると、それらの複比は次のように定義される。
見る 二元数と複比
閉性
数学において、与えられた集合がある演算あるいは特定の性質を満たす関係について閉じている (closed) あるいはその演算がその集合上で閉性（へいせい、closure property; 包性）を持つとは、その集合の元に対して演算を施した結果がふたたびもとの集合に属することを言う。複数の演算からなる集まりが与えられた場合も、それら演算の族に関して閉じているとは、それが個々の演算すべてに関して閉じていることを言う。
見る 二元数と閉性
零因子
抽象代数学において、環の零因子（れいいんし、zero divisor。）とは、環の乗法において、 ような元のことである。 これは環の乗法における因子の特別な場合である。
見る 二元数と零因子
数学
数学（すうがく）とは、数・量・図形などに関する学問であり、理学の一種。「算術・代数学・幾何学・解析学・微分法・積分法などの総称」とされる。 数学は自然科学の一種にも、自然科学ではない「形式科学」の一種にも分類され得る。
見る 二元数と数学