目次
39 関係: 収束級数、反例、外挿、平均、チェザロ和、ハーン–バナッハの定理、バナッハ環、ボレル総和、パデ近似、ツォルンの補題、テイラー展開、ディリクレ級数、フーリエ変換、ニコル・オレーム、アーベルの連続性定理、アーベル総和法、グランディ級数、全単射、等比数列、算術平均、級数、繰り込み、物理学、選択公理、解析学、解析接続、調和級数、部分写像、量子力学、汎函数、摂動、数学、数列、数列の極限、1+1+1+1+…、1+2+3+4+…、1+2+4+8+…、1−2+3−4+…、1−2+4−8+…。
- 漸近解析
- 級数
収束級数
数学において、収束級数（しゅうそくきゅうすう、）とは、その部分和の成す数列が収束するような級数である。 ここで、級数とは数列の項の総和のことであり、与えられた数列 の第 -部分和とは最初の -項の有限和 のことを指す。 ある級数が収束級数であることは、「（有限な）和を持つ」とか「和が有限確定である」などと言い表される。
見る 発散級数と収束級数
反例
反例（はんれい、counterexample）とは、ある主張について、それが成立しない例のことである。したがって、成立しない主張を指すものではない。つまり、論理式 ∀x P(x) が成り立たないことを証明するために導入される、¬P(a) を満たすような a のことである。 反例が存在する場合、∃x ¬P(x) が成立し、これが元の論理式の否定になるため、∀x P(x) は成り立たない。
見る 発散級数と反例
外挿
外挿（がいそう、）や補外（ほがい）とは、ある既知の数値データを基にして、そのデータの範囲の外側で予想される数値を求めること。またその手法を外挿法（extrapolation method）や補外法という。対義語は内挿や補間。 なお、外挿補間という呼び方も広まっているが、本来、補間とは、既知のデータを基にしてそのデータの範囲の内側の数値を予測することであり、内挿の同意語であるから、外挿補間という呼び方は誤りである。
見る 発散級数と外挿
平均
平均（へいきん、mean, average, Mittelwert, moyenne）または平均値（へいきんち、mean value, average value）とは、数学・統計学において、数の集合やデータの中間的な値を指す。欧米語の原意の中間（値）などと和訳することは少ない。 狭い意味での中間値にとどまらず、算術平均（相加平均）・幾何平均（相乗平均）・調和平均・対数平均など様々な種類で用いられる。一般的には特に算術平均を指し、集合の要素の総和を要素数で割ったものである。
見る 発散級数と平均
チェザロ和
解析学におけるチェザロ総和法（チェザロそうわほう、Cesàro summation）とは無限級数に「和」と呼ばれる値を結びつける総和法の一種である。無限級数が通常の意味で収束して値 A を持つならば、その級数はチェザロの意味でも総和可能であり、同じ A をチェザロ和として持つ。チェザロ和の重要性は、収束しない級数のなかにもチェザロ和が矛盾なく定義できるものがありうるという点にある。ただし、たとえば無限大に収束する正項級数などはいかなる場合も有限の値の和を持つことはない。 名称は19世紀のイタリアの数学者エルネスト・チェザロに因む。
見る 発散級数とチェザロ和
ハーン–バナッハの定理
数学におけるハーン–バナッハの定理（ハーン–バナッハのていり、）は、関数解析学の分野における中心的な道具で、ベクトル空間の部分空間上で定義される有界線形汎関数が全空間へ拡張できることについて述べたものである。これにより、どのようなノルム線形空間においても、その上で定義される連続線形汎関数が、双対空間の研究を「面白い」ものにするに「十分」なほどたくさんあることがわかる。ハーン-バナッハの定理の別形態のものとして、ハーン–バナッハの分離定理あるいは分離超平面定理と呼ばれるものがあり、の分野で多く用いられている。 定理の名前の由来は、1920年代後半にそれぞれ独立にこの定理を証明したハンス・ハーンとステファン・バナッハである。定理の特別な場合については、より早い段階（1912年）でエードゥアルト・ヘリーによって証明されており、またこの定理が導出されるようなある一般の拡張定理が、1923年にマルツェル・リースによって証明されていた。
バナッハ環
数学の、特に関数解析学の分野におけるバナッハ環（バナッハかん、; バナッハ代数、バナッハ多元環、バナッハ線型環）は、完備ノルム体（ふつうは実数体 または 複素数体 ）上の結合多元環 であって、バナッハ空間（ノルムが存在し、に関して完備）ともなる。バナッハ代数におけるノルムは乗法に関して を満たすことが要求され、それにより乗法の連続性は保証される。名称はステファン・バナッハに由来する。 上述の定義において、バナッハ空間をノルム空間に緩める（つまり完備性を要請しない）場合、同様の構造はノルム環（ノルム線型環）と呼ばれる。 バナッハ環は、乗法単位元を持つとき、単位的（unital）であると言う。また乗法が可換であるとき、可換と言う。単位元を持つ持たないにかかわらず、任意のバナッハ環 は適当な単位的バナッハ環（つまり の「単位化」） にこの閉イデアルとなるように等長的に埋め込める。しばしば、扱っている環は単位的であるということがアプリオリに仮定される。すなわち、 を考えることで多くの理論を展開でき、その結果を元の環に応用するという方法が取られることがある。しかしこの方法は常に有効という訳ではない。例えば、単位元を持たないバナッハ環においては、すべての三角関数を定義することが出来ない。
見る 発散級数とバナッハ環
ボレル総和
数学、特に解析学において、ボレル総和（ボレルそうわ、Borel summation）とはエミール・ボレルによって1899年に導入された、発散級数に対する総和法のひとつである。これは発散するような漸近級数に対して有用で、級数に対してある意味で最適な「和」と呼ばれる値を与える。同じ「ボレル総和」という語で呼ばれる数種類の手法があり、さらにその一般化にミッタク＝レフラー総和法がある。
見る 発散級数とボレル総和
パデ近似
アンリ・パデ 数学においてパデ近似（パデきんじ、Padé approximant）とは、関数を近似する「最良」の有理関数のこと。たとえば x/(1 + x) は log(1 + x) のパデ近似のひとつである： パデ近似のテイラー級数は関数のテイラー級数と与えられた次数まで一致する。この近似法は1890年頃にが発展させたが、冪級数の有理関数による近似という考えを始め、その特徴を研究したのはゲオルク・フロベニウスにまで遡る。 多くの場合、パデ近似は、 テイラー級数を有限項で切り捨てるより良い近似を与えるが、テイラー級数が収束しない場合でも機能する。 これらの理由から、パデ近似はコンピューター計算で広く使用されている。
見る 発散級数とパデ近似
ツォルンの補題
集合論においてツォルンの補題（ツォルンのほだい、Zorn's lemma）またはクラトフスキ・ツォルンの補題（クラトフスキ・ツォルンのほだい）とは次の定理をいう。; 命題 (Zorn の補題) この定理は数学者マックス・ツォルンとカジミェシュ・クラトフスキに因む。選択公理と同値な命題の一つ。
見る 発散級数とツォルンの補題
テイラー展開
数学においてテイラー級数（テイラーきゅうすう、Taylor series）は、関数のある一点での導関数の値から計算される項の無限和として関数を表したものである。そのような級数を得ることをテイラー展開（テイラーてんかい）という。 テイラー級数の概念はスコットランドの数学者ジェームズ・グレゴリーにより定式化され、フォーマルにはイギリスの数学者ブルック・テイラーによって1715年に導入された。0 を中心としたテイラー級数は、マクローリン級数 (Maclaurin series) とも呼ばれる。これはスコットランドの数学者コリン・マクローリンにちなんでおり、彼は18世紀にテイラー級数のこの特別な場合を積極的に活用した。
見る 発散級数とテイラー展開
ディリクレ級数
ディリクレ級数（ディリクレきゅうすう、Dirichlet series）とは、複素数列 scriptstyle_ および複素数 s に対して、 で表される級数のことをいう。一般ディリクレ級数と区別するため、通常ディリクレ級数 (ordinary Dirichlet series)ともいう。 1839年、ディリクレが算術級数定理を証明する際に考察されたことに因み、彼の名が付けられている。 リーマンゼータ関数やディリクレのL関数はディリクレ級数のなかで、よく知られているものの１つである。 s を変数とみなし、ディリクレ級数の収束性を問わないとき、形式的ディリクレ級数 (formal Dirichlet series)という。
見る 発散級数とディリクレ級数
フーリエ変換
数学においてフーリエ変換（フーリエへんかん、Fourier transform、FT）は、実変数の複素または実数値関数fを、別の同種の関数に写す変換である。 工学においては、変換後の関数はもとの関数fに含まれる周波数を記述していると考え、しばしばもとの関数fの周波数領域表現 と呼ばれる。言い換えれば、フーリエ変換は関数fを正弦波・余弦波に分解するとも言える。 フーリエ変換 (FT) は他の多くの数学的な演算と同様にフーリエ解析の主題を成す。特別の場合として、もとの関数とその周波領域表現が連続かつ非有界である場合を考えることができる。「フーリエ変換」という言葉は関数の周波数領域表現のことを指すこともあるし、関数を周波数領域表現へ写す変換の過程・公式を言うこともある。なおこの呼称は、19世紀フランスの数学者・物理学者で次元解析の創始者とされるジョゼフ・フーリエに由来する。
見る 発散級数とフーリエ変換
ニコル・オレーム
オレームを描いた細密画（フランス国立図書館） ニコル・オレーム（Nicole Oresme または Nicolas d'Oresme、1323年頃 - 1382年7月11日）は、14世紀フランスの最も優れた哲学者のひとりであり、その活動範囲は広くあらゆる分野に及んだ。 貨幣に関する著書、数学、天文学に関する多くの著書がある。アリストテレスの著書をフランス語に訳したことでも知られる。天文学の分野では『天体・地体論』の中で、アリストテレスらの、地動説へのさまざまな反論に対して反証をあげて、地動説を否定することができないことを示した。それにもかかわらず地動説も天動説も明証的ではないので、自らは天動説を信じるという立場をとった。
アーベルの連続性定理
アーベルの連続性定理（アーベルのれんぞくせいていり）とは、収束半径が1の冪級数が収束円周上の点において連続であるための十分条件を与える定理である。冪級数は収束円板の内部で広義一様に絶対収束するが、収束円上の一般の点での挙動はわからない。この定理はそこでの連続性を保証している。数学者ニールス・アーベルにちなんで名付けられた。
アーベル総和法
解析学において、アーベル総和法（アーベルそうわほう、Abel's summability method）とは、級数に対し、有限値を対応させる総和法の一つ石黒 (1977)、第2章江沢（1995）、第4章。ベキ級数におけるアーベルの定理に因む。
見る 発散級数とアーベル総和法
グランディ級数
無限級数 は次のように書き表すことができる。 この級数はグランディ級数（グランディきゅうすう、Grandi's series）と呼ばれることがある。グランディ級数という名前は、1703年にこの級数に関する議論において重要な貢献をした、イタリアの数学者であり哲学者である神父のに因む。グランディ級数は発散級数であり、通常の意味では和を持たない。その一方で、グランディ級数のチェザロ和は となる。
見る 発散級数とグランディ級数
全単射
数学において、全単射（ぜんたんしゃ）あるいは双射（そうしゃ）(bijective function, bijection) とは、写像であって、その写像の終域となる集合の任意の元に対し、その元を写像の像とする元が、写像の定義域となる集合に常にただ一つだけ存在するようなもの、すなわち単射かつ全射であるような写像のことを言う。例としては、群論で扱われる置換が挙げられる。 全単射であることを1対1上への写像 (one-to-one onto mapping)あるいは1対1対応 (one-to-one correspondence) ともいうが、紛らわしいのでここでは使用しない。 写像 f が全単射のとき、f は可逆であるともいう。
見る 発散級数と全単射
等比数列
等比数列（とうひすうれつ）または幾何数列（きかすうれつ、geometric progression, geometric sequence）は、隣り合う2つの項の比が項番号によらず等しい数列をいう。各項に共通するその一定の比のことを公比（こうひ、common ratio）という。 例えば初項が, 公比が の等比数列の最初の数項を列挙すると となる。ある数列について、隣り合う項の比（この場合、）が常に等しいならその数列は等比数列である。 等比数列 について、（定義より公比は でないため）公比 は任意の 番目の項とその次の項の比 から得られる（特に の場合は公差が の等差数列でもある）。等比数列の各項は初項 と公比 を用いて具体的に以下のように表せる。
見る 発散級数と等比数列
算術平均
算術平均（さんじゅつへいきん、arithmetic mean）または相加平均（そうかへいきん）とは、広義の平均の中で最も代表的な値のことで、数の集合やデータ、確率分布に対して、個数と合計を保ったまま均一に1つの値に代表させた（つまり均した）値のことである。統計学においてだけでなく、数学のその他の分野、物理学、経済学、社会学、歴史学などあらゆる学問分野で算術平均が使われている。 例えば、国内総生産を人口で割った算術平均からその国民の平均収入を推定することができる。 数学などでは、幾何平均や調和平均などの他の広義の平均と区別するため、区別が必要な場合は算術平均または相加平均と呼ばれる。特に統計学では、データ（母集団、標本）の代表値の一つであり、他の広義平均との区別が明らかであれば平均値と呼ばれる。
見る 発散級数と算術平均
級数
数学における級数 (きゅうすう、series) とは、ひと口に言えば数や関数など互いに足すことのできる数学的対象の列について考えられる無限項の和のことである。ただし「無限の項の総和」が何を表しているのかということはしばしば解析学の言葉を用いて様々な場合に意味を与える（#級数の収束性の節を参照）ことができるが、そのようなことができない「発散する級数」もあれば、級数自体を新たな形式的対象としてとらえることもある。小さくなっていく実数を項とする級数の収束性については様々な判定条件が与えられている。 級数を表す記法として、和記号textstyle sumを用いた表現textstylesum a_nや三点リーダ を用いた表現 などがある。
見る 発散級数と級数
繰り込み
繰り込み（くりこみ、アメリカ英語：Renormalization イギリス等英語及びフランス語：Renormalisation ）とは、場の量子論で使われる、計算結果が無限大に発散してしまうのを防ぐ数学的な技法であり、同時に場の量子論が満たすべき最重要な原理のひとつでもある。 くりこみにより、場の量子論を電磁相互作用に適用した量子電磁力学が完成した。場の量子論にくりこみを用いる方法は、以後の量子色力学およびワインバーグ・サラム理論を構築する際の規範となる。
見る 発散級数と繰り込み
物理学
は、自然物や自然現象を観測することにより、それらの仕組み、性質、法則性などを明らかにしようとする学問である。物理学は、自然科学の一分野であり、古典的な研究分野は、物体の力学、光と色、音、電気と磁性、熱、波動、天体の諸現象（物理現象）である。
見る 発散級数と物理学
選択公理
選択公理（せんたくこうり、、選出公理ともいう）とは公理的集合論における公理のひとつで、どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。1904年にエルンスト・ツェルメロによって初めて正確な形で述べられた。
見る 発散級数と選択公理
解析学
解析学（かいせきがく、英語：analysis, mathematical analysis）とは、極限や収束といった概念を扱う数学の分野である日本数学会編、『岩波数学辞典 第4版』、岩波書店、2007年、項目「解析学」より。ISBN 978-4-00-080309-0 C3541。代数学、幾何学と合わせ数学の三大分野をなす。 数学用語としての解析学は還元主義とは異なっており、初等的には微積や級数などを用いて関数の変化量などの性質を調べる分野と言われることが多い。これは解析学がもともとテイラー展開やフーリエ級数などを用いて関数の性質を研究していたことに由来する。 例えばある関数の変数を少しだけずらした場合、その関数の値がどのようにどのぐらい変化するかを調べる問題は解析学として扱われる。
見る 発散級数と解析学
解析接続
解析学において、解析接続 (かいせきせつぞく、analytic continuation) とはリーマン球面 C 上の領域で定義された有理型関数に対して定義域の拡張を行う手法の一つ、あるいは、その拡張によって得られた関数のことである。
見る 発散級数と解析接続
調和級数
数学における調和級数（ちょうわきゅうすう、harmonic series）とは発散無限級数 のことをいう。名称の「調和」(harmonics) というのは音楽や和声学における倍音の概念に由来するもので、振動する弦の倍音の波長がその弦の基本波長の 1/2, 1/3, 1/4,...
見る 発散級数と調和級数
部分写像
単射な部分写像の例 単射でない全域写像の例 数学において部分写像（ぶぶんしゃぞう、partial mapping）あるいは部分函数（partial function）は適当な部分集合上で定義された写像である。即ち、集合 から への部分写像 は の任意の元に の元を割り当てることが求められる写像 の概念を一般化して、 の適当な部分集合 の元に対してのみそれを要求する。 となる場合には は全域写像 (total function) と呼ばれ、これは写像と同じ概念を意味する。部分写像を考えるときには、その定義域 がはっきりとは分かっていないという場合もよくある。
見る 発散級数と部分写像
量子力学
は、一般相対性理論と共に現代物理学の根幹を成す理論・分野である。主として、分子や原子あるいはそれを構成する電子などを対象とし、その微視的な物理現象を記述する力学である。 量子力学自身は前述のミクロな系における力学を記述する理論だが、取り扱う系をミクロな系の無数の集まりとして解析することによって、巨視的な系を扱うこともできる。従来のニュートン力学などの古典論では説明が困難であった巨視的現象について、量子力学は明快な理解を与えるなどの成果を示してきた。例えば、量子統計力学は、そのような応用例の一つである。生物や宇宙のようなあらゆる自然現象も、その記述の対象となり得る。 代表的な量子力学の理論として、次の二つの形式が挙げられる。ひとつは、エルヴィン・シュレーディンガーによって創始されたシュレーディンガー方程式を基礎に置く波動力学である。もうひとつはヴェルナー・ハイゼンベルク、マックス・ボルン、パスクアル・ヨルダンらによって構成された、ハイゼンベルクの運動方程式を基礎に置く行列力学である。これらの二つの形式は、異なる表式を採用しているが、数学的には等価であり、どちらも自然に対する正しい理解を与える（考察する対象にとって利便なものが適宜使い分けられる）。
見る 発散級数と量子力学
汎函数
数学の特に函数解析や変分法における汎函数（はんかんすう、functional）は、ベクトル空間からその係数体あるいは実数値函数の空間への写像のことを指して言う。言い換えると、ベクトルを入力引数とし、スカラーを返す函数である。よくある状況として、考えるベクトル空間が函数の空間のときには函数を入力の引数としてとるので、汎函数のことを「函数の函数」と考えることもある。変分法において汎函数の使用は、ある種の汎函数を最小化する函数を求めることから始まった。物理学への特別に重要な応用として、を最小とする系の状態を探すことがある。
見る 発散級数と汎函数
摂動
摂動（せつどう、 perturbation）とは、一般に力学系において、主要な力の寄与（主要項）による運動が、他の副次的な力の寄与（摂動項）によって乱される現象である。摂動という語は元来、古典力学において、ある天体の運動が他の天体から受ける引力によって乱れることを指していたが、その類推から量子力学において、粒子の運動が複数粒子の間に相互作用が働くことによって乱れることも指すようになった。なお、転じて摂動現象をもたらす副次的な力のことを摂動と呼ぶ場合がある。
見る 発散級数と摂動
数学
数学（すうがく）とは、数・量・図形などに関する学問であり、理学の一種。「算術・代数学・幾何学・解析学・微分法・積分法などの総称」とされる。 数学は自然科学の一種にも、自然科学ではない「形式科学」の一種にも分類され得る。
見る 発散級数と数学
数列
数学において数列（すうれつ、numerical sequence）とは、数が列になったもの (sequence of numbers) を言う。 例えば正の奇数を小さい順に並べた のような数の“並び”が数列である。並べる数に制限を加えて、たとえば自然数のみを並べるならば、これを自然数列と略称する。整数、有理数、実数などのほかの数体系を用いる場合も同様の略称を用いる。各々の数の“置かれるべき場所”は数列の項 (こう、term) と呼ばれる。数の並びが数列と呼ばれるためには、数列の各項を“順番に並べる”こと、つまりそれぞれの数が何番目の項に配置されているのかを一意に示すように番号付けができなければならない。したがって、 “最も簡単”な数列は自然数を小さい順に並べた数列 ということになる（これは自然数が順序数であることによる）。
見る 発散級数と数列
数列の極限
2''πr'' を持つ。内接する多角形に対応する数列も同じ極限を持つ。 正整数 が大きくなるにつれて、値 は にいくらでも近くなる。「数列 の極限は である」という。 数学において、数列や点列の極限（limit of a sequence）は数列や点列の項が「近づく」値であるCourant (1961), p.29.。そのような極限が存在すれば、その列は収束する (convergent) と言われる。収束しない列は発散する (divergent) と言われる。点列の極限は解析学のすべての基本である。 極限は任意の距離空間や位相空間で定義できるが、普通まず実数の場合に出会う。
見る 発散級数と数列の極限
1+1+1+1+…
数学において1 + 1 + 1 + 1 + · · · は発散する級数のひとつである。 つまり、その部分和の列がいかなる実数にも収束しない。 sum_^ n^0 や sum_^ 1^n 、あるいは単に sum_^ 1 とも書かれる。これは公比が 1 の幾何級数と考えることもできる。 他の（−1 を除く）有理数の公比をもった幾何級数とは違って、実数においてもp-進数においても収束しない。拡大実数で考えれば、 である、なぜならばその部分和の列は上限なしに単調に増加するからである。 の和が物理的応用において現れるとき、それはときどきゼータ関数の正規化によって解釈されるかもしれない。それはリーマンのゼータ関数 の における値である。しかしながら上記2つの式は 0 において有効でないので、リーマンのゼータ関数の解析接続を用いなければならない。
1+2+3+4+…
自然数すべての総和 は、その -次の部分和 が三角数によって与えられる無限級数。これは を無限大に飛ばすとき際限なく増加するため、この級数は（正の無限大に）発散し、通常の意味での「和」を持たない。 一見するとこの級数が意味のある値を持つことは全くないように思われるが、これに数学的に意味のある値を結びつける方法があり、そうして得られた値は複素解析や、物理学における場の量子論、特に弦理論などの分野において応用がある。様々な総和法を用いることで、上記のごとき発散級数にさえ有限な数値を割り当てることができ、特にゼータ関数正規化やラマヌジャン総和法では件の級数に を値として割り当てる。この事実をよく知られた公式 として式に表す。
1+2+4+8+…
1 + 2 + 4 + 8 + …は無限級数の一つで、数学において、その項は連続する2の冪である。初項1、公比2の等比数列として特徴付けられる。実数の級数で、無限大に発散する級数として、普通には実数の和を持たないとされる。より広く解釈すると、この級数は ∞ の他の値、即ち −1 に関連付けられる。
1−2+3−4+…
1−2+3−4+… の部分和が発散する様子の模式図 1−2+3−4+… は、無限級数の一つで、項番号と同じ自然数が各項に現れる交項級数として以下の式で表される。 その部分和は 1, −1, 2, −2, 3, −3, … と一定の値に近づくことはないので、この級数は発散するというのが一般的な解釈である。しかし計算方法によってはこの級数が収束すると考えることもでき、その場合の収束値は 1/4 である。これは18世紀にレオンハルト・オイラーによって発見された。その後エミール・ボレルらによって厳密な研究が行われ、その他の部分和が収束しない級数（1−1+1−1+… など）の収束値についても考察がなされた。
1−2+4−8+…
数学において、1 − 2 + 4 − 8 +...は項が連続する2の冪で符号が交互に繰りかえす無限級数である。等比数列としては、初項 1 と公比 -2 で特徴付けられる。 これは実数の級数として発散するので、普通の意味では和を持たない。もっと広く解釈すると、この級数は一般化された和 1/3 をもつ。
参考情報
漸近解析
級数
- 1−2+3−4+…
- Lp空間
- Small set (組み合わせ論)
- アイゼンシュタイン級数
- アーベルの連続性定理
- コルモゴロフの三級数定理
- コーシー–アダマールの定理
- ゴールドバッハ・オイラーの定理
- シルベスター数列
- ディリクレ級数
- ノイマン級数
- ヒルベルト–ポワンカレ級数
- ボレル総和
- マーダヴァ
- メルカトル級数
- メルテンスの定理
- ライプニッツの公式
- レヴィ＝チヴィタ体
- 一様収束
- 一般ディリクレ級数
- 一般化された超幾何関数
- 不定元
- 二項級数
- 交項級数
- 円周率
- 冪級数
- 収束級数
- 形式的冪級数
- 条件収束
- 漸近展開
- 無条件収束
- 畳み込み級数
- 発散級数
- 等差×等比数列
- 等比数列
- 級数
- 絶対収束
- 調和数列
- 超幾何関数
アーベル和、総和法 別名。