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106 関係: くし型関数、偏微分方程式、偶関数と奇関数、可測関数、双対、多項式、変換 (数学)、変数、実数、局所コンパクト空間、三角関数、三角波 (波形)、位置、位相、位相同型、微分作用素、微分方程式、ノーバート・ウィーナー、チャールズ・フェファーマン、チェビシェフ多項式、ハール測度、ハウスドルフ空間、ハウスドルフ＝ヤングの不等式、ポントリャーギン双対、ポアソン和公式、モーメント (数学)、ユニタリ作用素、ラプラス変換、リーマン・ルベーグの補題、リーマン積分、ルベーグ積分、ローパスフィルタ、ヴェルナー・ハイゼンベルク、ヘヴィサイドの階段関数、プランク定数、プランシュレルの定理、パーセバルの定理、ディラックのデルタ関数、フーリエ変換、フーリエ級数、フーリエ級数の収束、ドット積、ベッセル関数、分数次フーリエ変換、周波数、周波数特性、周波数領域、アナログ信号処理、アーベル群、インパルス応答、...、エルミート多項式、オイラーの公式、ガウス関数、コンパクト、コーシーの主値、シュワルツ空間、シュワルツ超函数、ジョゼフ・フーリエ、固有値、固有関数、矩形波、短時間フーリエ変換、稠密集合、積分変換、符号関数、線型性、無次元量、畳み込み、物理量、運動量、複素共役、複素数、角周波数、調和関数、高速フーリエ変換、関数 (数学)、量の次元、量子力学、自乗可積分函数、自然数、長さ、離散フーリエ変換、離散時間フーリエ変換、連続 (数学)、逆数、LTIシステム理論、Sinc関数、極座標系、概周期函数、次元解析、正弦・余弦変換、正弦波、正規直交系、波動関数、波数、準周期函数、振幅、振動、指示関数、指標群、有界函数、斉次多項式、擬微分作用素、数学、数ベクトル空間、時間。 インデックスを展開 (56 もっと) »
くし型関数
周期Tのくし型関数。 くし型関数（くしがたかんすう、comb function）は、デルタ関数を一定の間隔で並べた超関数。英語からコム関数とも。概形をキリル文字の「Ш」にたとえてシャー関数（しゃーかんすう、）とも呼ばれる。またわかりやすく周期的デルタ関数とも呼ばれる。 連続関数との積を取ることにより、一定間隔で離散化（サンプリング）した数値列を得ることができる。このため理想的なサンプラーのモデルとしても扱われる。.
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偏微分方程式
偏微分方程式（へんびぶんほうていしき、partial differential equation, PDE）は、未知関数の偏微分を含む微分方程式である。.
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偶関数と奇関数
数学において、偶関数（ぐうかんすう、even function）および奇関数（きかんすう、odd function）は、変数の符号を反転させる変換に関してそれぞれ、特定の対称性を満足する関数である。これらは解析学の多くの分野、殊に冪級数やフーリエ級数に関する理論において重要である。名称は、この性質を満足する冪函数の冪指数の（整数としての）偶奇に由来する（すなわち、函数 は が偶数のとき偶函数であり、 が奇数のとき奇函数である）。 この、函数の偶奇性 (parity of function) の概念は、始域および終域がともに加法逆元（マイナス元）を持つような場合であれば常に意味を成す。加法逆元を持つような代数系には、例えば任意のアーベル群、（必ずしも可換でない）環や体、あるいはベクトル空間などが挙げられるから、従って例えば実変数実数値の函数やベクトル変数複素数値の函数といったようなものに対して、その偶奇性を定めることができる。 以下では特に断らない限り、それら函数のグラフの対称性を詳らかにするために、実変数実数値函数に関して述べる。 y 軸対称 奇関数の例：正弦関数は原点対称 正弦関数と余弦関数 偶関数の例：絶対値関数 偶関数の例：双曲線余弦関数 奇関数の例：双曲線正弦関数 1.
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可測関数
数学の、特に測度論の分野における可測関数（かそくかんすう、）とは、（積分論を展開する文脈として自然なものである）可測空間の間の、構造を保つ写像である。具体的に言えば、可測空間の間の関数が可測であるとは、各可測集合に対するその原像が可測であることを言う（これは位相空間の間の連続関数の定義の仕方と似ている）。 この定義は単純なようにも見えるが、σ-代数も併せて考えているということに特別な注意が払われなければならない。特に、関数 f: R → R がルベーグ可測であるといったとき、これは実際には f\colon (\mathbb, \mathcal) \to (\mathbb, \mathcal) が可測関数であることを意味する。すなわち、その定義域と値域は、同じ台集合上で異なる σ-代数を持つものを表している（ここで \mathcal はルベーグ可測集合全体の成す σ-代数であり、\mathcal は R 上のボレル集合族である）。結果として、ルベーグ可測関数の合成は必ずしもルベーグ可測とはならない。 慣例では、特に断りの無い限り、位相空間にはその開部分集合全体により生成されるボレル代数が与えられるものと仮定される。最もよくある場合だと、この空間として実数全体あるいは複素数全体からなる空間をとる。例えば、実数値可測関数とは、各ボレル集合の原像が可測となるような関数を言う。複素数値可測関数も同様に定義される。実用においては、ボレル集合族に関する実数値可測関数のみを指して可測関数という語を使用するものもある。関数の値が R や C の代わりに無限次元ベクトル空間に取られるのであれば、弱可測性やボホナー可測性などの、可測性に関する他の定義が用いられることが普通である。 確率論の分野において、σ-代数はしばしば、利用可能な情報すべてからなる集合を表し、ある関数（この文脈では確率変数）が可測であるとは、それが利用可能な情報に基づいて知ることの出来る結果（outcome）を表すことを意味する。対照的に、少なくとも解析学の分野においては、ルベーグ可測でない関数は一般に病的であると見なされる。.
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双対
双対（そうつい、dual, duality）とは、互いに対になっている2つの対象の間の関係である。2つの対象がある意味で互いに「裏返し」の関係にあるというようなニュアンスがある（双対の双対はある意味で "元に戻る"）。また、2つのものが互いに双対の関係にあることを「双対性がある」などとよぶ。双対は数学や物理学をはじめとする多くの分野に表れる。 なお読みについて、双対を「そうたい」と読む流儀もあり「相対 (relative)」と紛らわしい。並行して相対を「そうつい」と読む流儀もある。一般には「双対」を「そうつい」、「相対」を「そうたい」と呼び分ける場合が多いようである。 双対の具体的な定義は、双対関係の成立している対象の種類によって様々に与えられる。.
多項式
数学における多項式（たこうしき、poly­nomial）は、多数を意味するpoly- と部分を意味する -nomen あるいは nomós を併せた語で、定数および不定元（略式ではしばしば変数と呼ぶ）の和と積のみからなり、代数学の重要な対象となる数学的対象である。歴史的にも現代代数学の成立に大きな役割を果たした。 不定元がひとつの多項式は、一元多項式あるいは一変数多項式 と呼ばれ、不定元を とすれば のような形をしている。各部分 "", "", "", "" のことを項（こう、）と呼ぶ。一つの項だけからできている式を単項式 (monomial)、同様に二項式 (binomial)、三項式 (trinomial) などが、-nomial にラテン配分数詞を付けて呼ばれる。すなわち、多項式とは「多数」の「項」を持つものである。単項式の語が頻出であることに比べれば、二項式の語の使用はやや稀、三項式あるいはそれ以上の項数に対する語の使用はごく稀で一口に多項式として扱う傾向があり、それゆえ単項式のみ多項式から排他的に分類するものもある。また多項式のことを整式 (integral expression) と呼ぶ流儀もある。 多項式同士の等式として与えられる方程式は多項式方程式と呼ばれ、特に有理数係数の場合において代数方程式という。多項式方程式は多項式函数の零点を記述するものである。 不定元がふたつならば二元 (bivariate), 三つならば三元 (trivariate) というように異なるアリティを持つ多元多項式が同様に定義できる。算術あるいは初等代数学において、数の計算の抽象化として実数（あるいは必要に応じてより狭く有理数、整数、自然数）を代表する記号としての「文字」変数を伴う「」およびその計算を扱うが、それは大抵の場合多変数の多項式である。 本項では主として一元多項式を扱い、多元の場合にも多少触れるが、詳細は多元多項式の項へ譲る。.
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変換 (数学)
数学的意味での変換（へんかん、transformation）とは、点を他の点に移したり、式を他の式に変えたり、座標を取り替えたりすること。.
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変数
変数（variable）.
実数
数学における実数（じっすう、 nombre réel, reelle Zahl, real number）は、様々な量の連続的な変化を表す数の体系である。実数全体の空間は、途切れのなさにあたる完備性とよばれる位相的な性質を持ち、代数的には加減乗除ができるという体の構造を持っている。幾何学や解析学ではこれらのよい性質を利用して様々な対象が定義され、研究されている。一方でその構成方法に自明でない手続きが含まれるため、実数の空間は数学基礎論の観点からも興味深い性質を持っている。また、自然科学における連続的なものの計測値を表すのに十分な数の体系だとも考えられている。 実数の概念は、その形式的な定義が19世紀に達成される前から数の体系として使われていた。「実数」という名前は複素数の概念が導入された後に「普通の数」を表現する言葉として導入されたものである。.
局所コンパクト空間
数学において、位相空間 が局所コンパクト（きょくしょコンパクト、）というのは、雑に言って、 の各点の近傍ではコンパクトであるという性質をもつことである。位相空間がコンパクトであるための条件は非常に厳しく、コンパクトな空間が数学において特殊な位置を占めているのに対して、数学で扱う重要な位相空間の多くが局所コンパクトである。特に局所コンパクトなハウスドルフ空間は数学の中で重要な位置を占める。.
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三角関数
三角関数（さんかくかんすう、trigonometric function）とは、平面三角法における、角の大きさと線分の長さの関係を記述する関数の族および、それらを拡張して得られる関数の総称である。三角関数という呼び名は三角法に由来するもので、後述する単位円を用いた定義に由来する呼び名として、円関数（えんかんすう、circular function）と呼ばれることがある。 三角関数には以下の6つがある。.
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三角波 (波形)
帯域制限のある三角波を時間領域（上）と周波数領域（下）で表したもの。基本周波数は220Hz（A2） 倍音を徐々に追加して三角波を形成するアニメーション 三角波（さんかくは、英語：triangle wave）とは、非正弦波的で、基本的な波形の一種で、波形の見た目が三角形になっているそれ（波形）のことである。 矩形波と同様、三角波は奇数倍音のみを含む。しかし、矩形波に比べて高い倍音成分は急速に小さくなる（倍音の次数の逆数の自乗に比例する）。そのため、矩形波よりも聴きやすく正弦波により近い。回路で生成した三角波をローパスフィルタに通すことで正弦波を得るシンセサイザーもあった。 基本周波数に奇数倍音を合成していくことで三角波の近似を得ることができる。4n−1番目の倍音に−1をかけるか (2m±1) または (2n±1) によって位相をずらし、基本周波数からの相対周波数の自乗の逆数で振幅を小さくすればよい。 三角波に収束する無限フーリエ級数を以下に示す。.
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位置
位置（いち、position）とは、物体が空間の中のどこにあるかを表す量である。 原点 O から物体の位置 P へのベクトル（位置ベクトル (position vector)）で表される。通常は x, r, s で表され、O から P までの各軸に沿った直線距離に対応する。 「位置ベクトル」という用語は、主に微分幾何学、力学、時にはベクトル解析の分野で使用される。 2次元または3次元空間で使用されることが多いが、任意の次元数のユークリッド空間に容易に一般化することができるKeller, F. J, Gettys, W. E. et al.
位相
位相（いそう、）は、波動などの周期的な現象において、ひとつの周期中の位置を示す無次元量で、通常は角度（単位は「度」または「ラジアン」）で表される。 たとえば、時間領域における正弦波を とすると、(ωt + &alpha) のことを位相と言う。特に t.
位相同型
位相同型 （いそうどうけい、homeomorphic）、あるいは同相（どうそう）とは、2つの位相空間が位相空間として等しいことを表す概念である。 例えば、球の表面と湯飲みの表面とはある「連続」な双方向の移し方で互いに移し合うことができるので同相であり、また穴が1つ開いたドーナツの表面 (トーラス) と持ち手がひとつあるマグカップの表面も同じく同相である。よって球の表面と湯のみの表面は位相幾何学的に全く同一の性質を持ち、ドーナツの表面とマグカップの表面も同一の性質を持つ。しかし、球面とトーラスとはこのような写し方が存在しないので同相とはならない。（直観的には、連続的な変形によって穴の個数が変化することはないということである。） ここで連続な写し方とは、直観的には近いところを近いところに写すような写し方を意味する。.
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微分作用素
数学における微分作用素(differential operator)は、微分演算 の函数として定義された作用素である。ひとまずは表記法の問題として、微分演算を（計算機科学における高階函数と同じ仕方で）入力函数を別の函数を返す抽象的な演算と考えるのが有効である。 本項では、最もよく扱われる種類である線型作用素を主に扱う。しかし、のような非線型微分作用素も存在する。.
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微分方程式
微分方程式（びぶんほうていしき、differential equation）とは未知関数とその導関数の関係式として書かれている関数方程式である長倉三郎ほか編、『 』、岩波書店、1998年、項目「微分方程式」より。ISBN 4-00-080090-6。 物理法則を記述する基礎方程式は多くが時間微分、空間微分を含む微分方程式であり、物理学からの要請もあり微分方程式の解法には多くの関心が注がれてきた。微分方程式論は解析学の中心的な分野で、フーリエ変換、ラプラス変換等はもともと微分方程式を解くために開発された手法である。また物理学における微分方程式の主要な問題は境界値問題、固有値問題である。 線型微分方程式の研究は歴史が長く。それに比して、非線型微分方程式の研究は歴史が浅く比較的簡単な方程式しか解析できていない。例えばナビエ-ストークス方程式は、流体の支配方程式として重要であるが、その解の存在性は未解決問題でありミレニアム懸賞問題にも選ばれている。 その他有名な微分方程式については:Category:微分方程式を参照。.
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ノーバート・ウィーナー
ノーバート・ウィーナー（Norbert Wiener, 1894年11月26日 - 1964年3月18日）はアメリカ合衆国の数学者。ミズーリ州コロンビア生まれ。サイバネティックスの提唱者として知られている。 父親はイディッシュ語研究などで知られるビャウィストク出身のポーランド系ユダヤ人言語学者レオ・ウィーナー（ヴィーネル、 Leo Wiener）。.
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チャールズ・フェファーマン
チャールズ・ルイス・フェファーマン（Charles Louis Fefferman, 1949年4月18日 - ）は、アメリカの数学者。プリンストン大学に在職。 ワシントンD.C.生まれ。15歳の時、最初の論文をドイツ語で発表し、17歳でメリーランド大学を卒業。20歳でプリンストン大学でPh.D.を取得。 会社員を経て、22歳でシカゴ大学で正教授（米国史上最年少）に就き、24歳からプリンストン大学に在職。1978年、29歳でフィールズ賞を受賞。 主な業績は多変数複素解析における研究。.
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チェビシェフ多項式
一種チェビシェフ多項式（Chebyshev polynomials of the first kind）は以下の方程式で定義される: これは三角多項式（）の一例である。 これはcos(kt)をコサインの加法定理を用いてcos(t)の多項式で表したものと見ることができる。 \begin \cos(1t)&.
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ハール測度
解析学におけるハール測度（ハールそくど、Haar measure）は、局所コンパクト位相群上で定義される正則不変測度である。ハンガリーの数学者にその名を因む。.
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ハウスドルフ空間
数学におけるハウスドルフ空間（ハウスドルフくうかん、Hausdorff space）とは、異なる点がそれらの近傍によって分離できるような位相空間のことである。これは分離空間(separated space)またはT2 空間とも呼ばれる。位相空間についてのさまざまな分離公理の中で、このハウスドルフ空間に関する条件はもっともよく仮定されるものの一つである。ハウスドルフ空間においては点列（あるいはより一般に、フィルターやネット）の極限の一意性が成り立つ。位相空間の理論の創始者の一人であるフェリックス・ハウスドルフにちなんでこの名前がついている。ハウスドルフによって与えられた位相空間の公理系にはこのハウスドルフ空間の公理も含まれていた。.
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ハウスドルフ＝ヤングの不等式
数学におけるハウスドルフ＝ヤングの不等式（ハウスドルフ＝ヤングのふとうしき、）は、周期函数のフーリエ係数の''L''''q''-ノルム（q ≥ 2）評価を与える不等式である。はじめに は、特別な値の q に対してこの不等式を証明し、その後 は一般の場合について証明した。より一般に、この不等式は Rn のような局所コンパクト群上の函数のフーリエ変換に対しても適用され、この場合については と がより強い評価を与えるを発見している。 ここでフーリエ作用素を考える。すなわち単位円上の函数 f に対して、そのフーリエ係数の列 を返す作用素 T を考える。パーセバルの定理によれば、T は L^2 から \ell^2 への有界作用素で、そのノルムは 1 である。一方、明らかに であるため、T は L^1 から \ell^\infty へのノルム 1 の有界作用素でもある。したがってリース＝ソリンの定理により、任意の 1 L^p から \ell^q への作用素として T はノルム 1 で有界である。ここで である。すなわち次が得られる。 \left(\frac\int_0^|f(t)|^p\,dt\right)^.
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ポントリャーギン双対
数学、殊に調和解析および位相群の理論においてポントリャーギン双対性（ポントリャーギンそうついせい、Pontryagin duality）はフーリエ変換の一般的な性質を説明する。ポントリャーギン双対は実数直線あるいは有限アーベル群上の函数の、たとえば.
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ポアソン和公式
数学においてポアソン和公式(ポアソンわこうしき、英語：Poisson summation formula)とはある関数列の無限和とその関数列をフーリエ変換したものの無限和が等しいことを主張する公式である。シメオン・ドニ・ポアソン(Siméon Denis Poisson)によって発見された。.
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モーメント (数学)
数学の確率論および関係した諸分野におけるモーメント（moment）または積率（せきりつ）とは、物理学におけるモーメントを抽象化した概念である。 実変数xに関する関数 f(x)\, の n 次モーメント \mu^_n は、 で表される。妥当な仮定の下で高次モーメントすべての情報から関数f(x)は一意に決定される。\mu.
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ユニタリ作用素
数学の一分野、函数解析学におけるユニタリ作用素（ユニタリさようそ、unitary operator）は、ヒルベルト空間上の自己同型写像、すなわち構造（今の場合は、作用する対象となる空間の線型空間の構造、内積構造およびそこから定まる位相構造）を保つ全単射である。与えられたヒルベルト空間 からそれ自身へのユニタリ作用素全体の成す集合は群を成し、 のヒルベルト群 と呼ばれることもある。.
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ラプラス変換
関数解析学において、ラプラス変換（ラプラスへんかん、Laplace transform）とは、積分で定義される関数空間の間の写像（線型作用素）の一種。関数変換。 ラプラス変換の名はピエール＝シモン・ラプラスにちなむ。 ラプラス変換によりある種の微分・積分は積などの代数的な演算に置き換わるため、制御工学などにおいて時間領域の（とくに超越的な）関数を別の領域の（おもに代数的な）関数に変換することにより、計算方法の見通しを良くするための数学的な道具として用いられる。 フーリエ変換を発展させて、より実用本位で作られた計算手法である。1899年に電気技師であったオリヴァー・ヘヴィサイドが回路方程式を解くための実用的な演算子を経験則として考案して発表し、後に数学者がその演算子に対し厳密に理論的な裏付けを行った経緯がある。理論的な根拠が曖昧なままで発表されたため、この計算手法に対する懐疑的な声も多かった。この「ヘヴィサイドの演算子」の発表の後に、多くの数学者達により数学的な基盤は1780年の数学者ピエール＝シモン・ラプラスの著作にある事が指摘された(この著作においてラプラス変換の公式が頻繁に現れていた)。 従って、数学の中ではかなり応用寄りの分野である。ラプラス変換の理論は微分積分、線形代数、ベクトル解析、フーリエ解析、複素解析を基盤としているため、理解するためにはそれらの分野を習得するべきである。 これと類似の解法として、より数学的な側面から作られた演算子法がある。こちらは演算子の記号を多項式に見立て、代数的に変形し、公式に基づいて特解を求める方法である。.
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リーマン・ルベーグの補題
数学において，リーマン・ルベーグの補題（Riemann–Lebesgue lemma）は，調和解析とにおいて重要な定理である．ベルンハルト・リーマンとアンリ・ルベーグにちなんで名づけられた． 補題は 1 関数のフーリエ変換あるいはラプラス変換が無限遠において消えることを述べている．.
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リーマン積分
数学の実解析の分野において、リーマン積分（リーマンせきぶん、Riemann integral）とは、区間上の関数の積分の最初の厳密な定式化であり、ベルンハルト・リーマンによって創始された。多くの関数や実際的な応用に対しては、リーマン積分は微分積分学の基本定理による計算や数値積分による近似計算が可能である。 リーマン積分は の有界集合上の関数に対して定義されるが、積分範囲にある種の極限を考えることにより、広義リーマン積分が定義される。広義リーマン積分との対比で、通常のリーマン積分を狭義リーマン積分とも呼ぶ。 リーマン積分は積分の多くの性質を示すのに有効であるが、積分と極限との交換に関係する性質を示すには理論的困難を伴うなど、いくつかの技術的欠点がある。この為こうした欠点を補うべくリーマン–スティルチェス積分やルベーグ積分など積分概念の別の定式化方法も提案されている。.
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ルベーグ積分
数学において、一変数の非負値関数の積分は、最も単純な場合には、その関数のグラフと 軸の間の面積と見なすことができる。ルベーグ積分（ルベーグせきぶん、Lebesgue integral）は、より多くの関数を積分できるように拡張したものである。ルベーグ積分においては、被積分関数は連続である必要はなく、至るところ不連続でもよいし、関数値として無限大をとることがあってもよい。さらに、関数の定義域も拡張され、測度空間と呼ばれる空間で定義された関数を被積分関数とすることもできる。 数学者は長い間、十分滑らかなグラフを持つ非負値関数、例えば有界閉区間上の連続関数、に対しては、「曲線の下部の面積」を積分と定義できると理解しており、多角形によって領域を近似する手法によってそれを計算した。しかしながら、より不規則な関数を考える必要が、例えば解析学や確率論において極限を考えるときに生じたため、より注意深い近似の手法が適切な積分を定義するために必要なことが明らかとなった。また、局所コンパクト群のような、実数直線よりも一般の空間上で積分をしたいことがある。ルベーグ積分はこの重要な仕事をするために必要な正しい抽象化を与える。例えば、フーリエ級数などの関数列の極限として表される関数に対して、積分と極限操作が可換となるかどうかをリーマン積分で考えると非常に繊細な議論が必要だが、ルベーグ積分では、積分と極限操作の交換が可能であるための簡単な十分条件が分かっている。 ルベーグ積分は実解析と呼ばれる数学の分野に属する確率論や、他の多くの数理科学分野において、重要な役割を果たす。ルベーグ積分という名前は、その積分を導入した数学者アンリ・ルベーグ (Henri Lebesgue, 1875–1941) に由来している。それはまたの中枢部でもある。 ルベーグ積分 (Lebesgue integration) という用語は、カラテオドリに始まる一般の測度に関する関数の積分の一般論を意味することもあるし、ルベーグ測度に関して実数直線の部分集合上定義された関数を積分するという特定の場合を意味することもある。.
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ローパスフィルタ
想的なフィルタ回路の周波数特性（実際にはこのような周波数特性は取れない） ローパスフィルタ（、低域通過濾波器）とは、フィルタの一種で、なんらかの信号のうち、遮断周波数より低い周波数の成分はほとんど減衰させず、遮断周波数より高い周波数の成分を逓減させるフィルタである。ハイカットフィルタ等と呼ぶ場合もある。電気回路・電子回路では、フィルタ回路の一種である。 ローパスフィルタはハイパスフィルタと対称の関係にある。こういったフィルタには他にバンドパスフィルタとバンドストップフィルタがある。.
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ヴェルナー・ハイゼンベルク
ヴェルナー・カール・ハイゼンベルク（Werner Karl Heisenberg, 1901年12月5日 - 1976年2月1日）は、ドイツの理論物理学者。行列力学と不確定性原理によって量子力学に絶大な貢献をした。.
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ヘヴィサイドの階段関数
ヘヴィサイドの階段関数（ヘヴィサイドのかいだんかんすう、Heaviside step function）は、正負の引数に対しそれぞれ 1, 0 を返す階段関数 である。名称はオリヴァー・ヘヴィサイドにちなむ。ヘヴィサイド関数と呼ばれることもある。通常、H(x) や Y(x) などで表されることが多い。 単位ステップ関数と似ているが、こちらは と x.
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プランク定数
プランク定数（プランクていすう、プランクじょうすう、）は、光子のもつエネルギーと振動数の比例関係をあらわす比例定数のことで、量子論を特徴付ける物理定数である。量子力学の創始者の一人であるマックス・プランクにちなんで命名された。作用の次元を持ち、作用量子とも呼ばれている。SIにおける単位はジュール秒（記号: J s）である。.
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プランシュレルの定理
数学におけるプランシュレルの定理（プランシュレルのていり、Plancherel theorem）は、1910年にの得た調和解析における結果で、函数の平方絶対値 (squared modulus) の積分は、その周波数スペクトルの平方絶対値の積分に等しいことを述べるものである。 より明確に定式化すると、函数が ''L''1('''R''') にも L2(R) にも属するならば、そのフーリエ変換は L2(R) に属し、フーリエ変換写像は L2-ノルムに関して等距変換になる。このことから、フーリエ変換写像を L1(R) ∩ L2(R) に制限したものは、線型等距変換写像 L2(R) → L2(R) に一意的に拡張できることがわかる。この等距変換は実際にはユニタリ作用素になる。実質的に、これは自乗可積分函数のフーリエ変換について考えることを可能にするものである。 プランシュレルの定理は n-次元ユークリッド空間 Rn 上の主張としてもやはり有効である。またより一般に局所コンパクト可換群に対してもこの定理は成立する。非可換な局所コンパクト群についても適当な技術的仮定を満足するものについては、プランシュレルの定理の一種で意味を持つようなものが存在するが、これは非可換調和解析に属する主題である。 フーリエ変換のユニタリ性は、自然科学や工学の分野でしばしばパーシヴァルの定理 と呼ばれる。これは旧来の（より一般性の少ない）フーリエ級数のユニタリ性を示した結果の名称の流用である。.
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パーセバルの定理
パーセバルの定理（Parseval's theorem）とは、フーリエ変換がユニタリであるという結果を一般に指す。大まかに言えば、関数の平方の総和（あるいは積分）が、そのフーリエ変換の平方の総和（あるいは積分）と等しいということである。フランスの数学者の1799年の級数に関する定理が起源であり、この定理は後にフーリエ級数に応用されるようになった。レイリー卿ジョン・ウィリアム・ストラットに因んで、レイリーのエネルギー定理（）とも呼ばれる。 また、特に物理学や工学分野では、任意のフーリエ変換のユニタリ性を指してパーセバルの定理と呼ぶことが多いが、この性質の最も一般的な形は正確にはプランシュレルの定理と呼ばれる。.
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ディラックのデルタ関数
right 数学におけるディラックのデルタ関数（デルタかんすう、delta function）、制御工学におけるインパルス関数 (インパルスかんすう、impulse function) とは、任意の実連続関数 に対し、 を満たす実数値シュワルツ超関数 のことである。これはクロネッカーのデルタ の自然な拡張になっている。 ディラックのデルタ関数は、デルタ超関数 (delta distribution) あるいは単にディラックデルタ (Dirac's delta) とも呼ばれる。これを最初に定義して量子力学の定式化に用いた物理学者ポール・ディラックに因み、この名称が付いている。デルタ関数は古典的な意味での関数ではないシュワルツ超関数 の最初の例になっている。 ディラックのデルタの「関数」としての性質は、形式的に次のように述べることができる。まず、 として実直線上常に一定の値 をとる関数をとり、デルタ関数をデルタ関数自身と との積であると見ることにより である。一方、積分値が の での値にしかよらないことから でなければならないが、その上で積分値が でない有限の値をとるためには が満たされなければならない。.
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フーリエ変換
数学においてフーリエ変換（フーリエへんかん、Fourier transform; FT）は、実変数の複素または実数値函数を別の同種の函数に写す変換である。変換後の函数はもとの函数に含まれる周波数を記述し、しばしばもとの函数の周波数領域表現 と呼ばれる。これは、演奏中の音楽を聴いてそれをコードに書き出すというようなことと同様な思想である。実質的に、フーリエ変換は函数を振動函数に分解する。 フーリエ変換 (FT) は他の多くの数学的な演算と同様にフーリエ解析の主題を成す。特別の場合として、もとの函数とその周波領域表現が連続かつ非有界である場合を考えることができる。「フーリエ変換」という術語は函数の周波数領域表現のことを指すこともあるし、函数を周波数領域表現へ写す変換の過程・公式を言うこともある。なおこの呼称は、19世紀フランスの数学者・物理学者で次元解析の創始者とされるジョゼフ・フーリエに由来する。.
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フーリエ級数
フーリエ級数（フーリエきゅうすう、Fourier series）とは、複雑な周期関数や周期信号を、単純な形の周期性をもつ関数の（無限の）和によって表したものである。フーリエ級数は、フランスの数学者ジョゼフ・フーリエによって金属板の中での熱伝導に関する研究の中で導入された。 熱伝導方程式は、偏微分方程式として表される。フーリエの研究の前までには、一般的な形での熱伝導方程式の解法は知られておらず、熱源が単純な形である場合、例えば正弦波などの場合の特別な解しかえられていなかった。この特別な解は現在では固有解と呼ばれる。フーリエの発想は、複雑な形をした熱源をサイン波、コサイン波の和として考え、解を固有解の和として表すものであった。 この重ね合わせがフーリエ級数と呼ばれる。 最初の動機は熱伝導方程式を解くことであったが、数学や物理の他の問題にも同様のテクニックが使えることが分かり様々な分野に応用されている。 フーリエ級数は、電気工学、振動の解析、音響学、光学、信号処理、量子力学および経済学などの分野で用いられている。.
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フーリエ級数の収束
フーリエ級数の収束は純粋数学における調和解析の分野で研究される問題である。フーリエ級数は一般には収束するとは限らず、収束するための条件が存在する。 収束性の判断には各点収束、一様収束、絶対収束、L p 空間、総和法、チェザロ和の知識を要する。.
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ドット積
数学あるいは物理学においてドット積（ドットせき、dot product）あるいは点乗積（てんじょうせき）とは、ベクトル演算の一種で、2つの同じ長さの数列から一つの数値を返す演算。代数的および幾何的に定義されている。幾何的定義では、（デカルト座標の入った）ユークリッド空間 において標準的に定義される内積のことである。.
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ベッセル関数
ベッセル関数（ベッセルかんすう、Bessel function）とは、最初にスイスの数学者ダニエル・ベルヌーイによって定義され、フリードリヒ・ヴィルヘルム・ベッセルにちなんで名づけられた関数。円筒関数と呼ばれることもある。以下に示す、ベッセルの微分方程式におけるy(x)の特殊解の1つである。 上の式において、\alphaは、任意の実数である（次数と呼ばれる）。\alphaが整数nに等しい場合がとくに重要である。 \alpha及び-\alphaはともに同一の微分方程式を与えるが、慣例としてこれら2つの異なる次数に対して異なるベッセル関数が定義される(例えば、\alphaの関数としてなるべく滑らかになるようにベッセル関数を定義する、など）。 そもそもベッセル関数は、惑星軌道の時間変化に関するケプラー方程式を、ベッセルが解析的に解いた際に導入された。.
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分数次フーリエ変換
数学の調和解析の分野において、分数次フーリエ変換（分数階フーリエ変換とも、, FRFT）とは、フーリエ変換を一般化した一群の線形変換をいい、フーリエ変換の次数が整数でなくなったものと考えることができる。従って、関数を時間領域と周波数領域の「中間」領域に変換することができる。FRFTは、や信号解析、やパターン認識などに応用される。 FRFTは、分数次の畳み込み、相関関数、その他の操作の定義に使うことができ、さらにへと一般化できる。 FRFTの初期の定義はにより導入された。この定義は位相空間における回転のグリーン関数を解くことによるものだった。また、ナミアスによる、 ウィーナーのエルミート多項式についての仕事を一般化することによる定義もある。 しかし、信号処理の分野において広く認知されるようになったのは、1993年前後にいくつかのグループにより独立に再導入されてからであった。その時から、分数次フーリエ領域に帯域制限された信号にシャノンの標本化定理を拡張するという興味が巻き起こった。 全く異なる「分数次フーリエ変換」の意味がベイリーとシュヴァルツトラウバーにより、本質的にはz変換の別名として、特に離散フーリエ変換を周波数空間で分数量だけシフトして（入力に線形チャープを乗じて）一部の周波数点（スペクトルの一部分だけ）において評価したものに相当する場合のために導入された。（このような変換はにより効率的に評価することができる。）しかし、この用語はほとんどの技術的文献では使われなくなり、FRFTに取ってかわられた。以降ではFRFTについて説明する。.
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周波数
周波数（しゅうはすう 英：frequency）とは、工学、特に電気工学・電波工学や音響工学などにおいて、電気振動（電磁波や振動電流）などの現象が、単位時間（ヘルツの場合は1秒）当たりに繰り返される回数のことである。.
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周波数特性
周波数特性（しゅうはすうとくせい）とは、周波数と何らかの物理量との関係を表したものである。英語で"frequency response"となることからf特、f特性と呼ばれることもある。.
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周波数領域
周波数領域（しゅうはすうりょういき、Frequency domain）とは、関数や信号を周波数に関して解析することを意味する用語。 大まかに言えば、時間領域のグラフは信号が時間と共にどう変化するかを表すが、周波数領域のグラフは、その信号にどれだけの周波数成分が含まれているかを示す。また、周波数領域には、各周波数成分の位相情報も含まれ、それによって各周波数の正弦波を合成することで元の信号が得られる。 周波数領域の解析では、フーリエ変換やフーリエ級数を使って関数を周波数成分に分解する。これは、任意の波形が正弦波の合成によって得られるというフーリエ級数の概念に基づいている。 実際の信号を周波数領域で視覚化するツールとしてスペクトラムアナライザがある。.
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アナログ信号処理
アナログ信号処理（アナログしんごうしょり、英: Analog signal processing）とは、アナログ信号についてアナログ的手段で行う信号処理。「アナログ」とは、ここでは数学的に表された連続値の集合を意味する。一方「デジタル」は、信号を表すのに一連の離散的な量を使う。アナログ量は一般に電子機器の部品にかかる電圧、電流、電荷で表される。そのような物理量の誤差やノイズは、それら物理量で表されている信号の誤差を結果として生じる。 アナログ信号処理の例として、スピーカーのクロスオーバーフィルタによる音高の分解、ステレオでの音量調節、テレビでの色調調節がある。典型的なアナログ信号処理部品として、コンデンサ、抵抗器、コイル、トランジスタなどがある。.
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アーベル群
数学、とくに抽象代数学におけるアーベル群（アーベルぐん、abelian group）または可換群（かかんぐん、commutative group）は、群演算が可換な群、すなわちどの二つの元の積も掛ける順番に依らず定まる群を言う。名称は、ノルウェーの数学者ニールス・アーベルに因む。 アーベル群は環や体、環上の加群やベクトル空間といった抽象代数学の概念において、その基礎となる加法に関する群（加法群）としてしばしば生じる。任意の抽象アーベル群についても、しばしば加法的な記法（例えば群演算は "+" を用いて表され、逆元は負符号を元の前に付けることで表す）が用いられ、その場合に用語の濫用で「加法群」と呼ばれることがある。また任意のアーベル群は整数全体の成す環 上の加群とみることができ、その意味でやはり用語の濫用だがアーベル群のことを「加群」と呼ぶこともある。 一般に可換群はに比べて著しく容易であり、とくに有限アーベル群の構造は具さに知られているが、それでも無限アーベル群論はいまなお活発な研究領域である。.
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インパルス応答
単純な音響システムのインパルス応答の例。上から、元のインパルス、高周波をブーストした場合、低周波をブーストした場合 インパルス応答（）とは、インパルスと呼ばれる非常に短い信号を入力したときのシステムの出力である。インパルス反応とも。インパルスとは、時間的幅が無限小で高さが無限大のパルスである。実際のシステムではこのような信号は生成できないが、理想化としては有益な概念である。 LTIシステム（線形時不変系）と呼ばれるシステムは、そのインパルス応答によって完全に特徴付けられる。.
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エルミート多項式
ルミート多項式（-たこうしき、Hermite polynomial）は、常微分方程式 を満たす多項式H_n(x)のことを言う。 またこの微分方程式はスツルム＝リウヴィル型微分方程式の一つである。 エルミート多項式は重み関数をe^として、次の直交性を持つ。 ロドリゲスの公式を用いれば、 と表記できる。 これにより、エルミート多項式は以下の漸化式を満たすことがわかる。 H_(x) &.
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オイラーの公式
数学、特に複素解析におけるオイラーの公式（オイラーのこうしき、Euler's formula）は、指数関数と三角関数の間に成り立つ以下の関係をいう。 ここで は指数関数、 は虚数単位、 はそれぞれ余弦関数および正弦関数である指数関数 は累乗を拡張したもので、複素数 について という関係が成り立つ。 は自然対数の底あるいはネイピア数と呼ばれる。虚数単位 は を満たす複素数である。余弦関数 および正弦関数 は三角関数の一種である。正弦関数 は、直角三角形の斜辺とその三角形の変数 に対応する角度を持つ鋭角の対辺（正弦）の長さの比を表す。余弦関数 はもう一方の鋭角（余角）の対辺と斜辺の長さの比を表す。単位円（半径の長さを 1 とする円）の中心を原点とする直交座標系をとったとき、単位円上の点を表す 座標はそれぞれ に等しい（ は円の中心と円周上の点を結ぶ直線と、 軸のなす角の大きさに対応する）。文献によっては、指数関数は、（指数）から3字取って と表される。また虚数単位には でなく を用いることがある。。任意の複素数 に対して成り立つ等式であるが、特に が実数である場合が重要でありよく使われる。 が実数のとき、 は複素数 がなす複素平面上の偏角（角度 の単位はラジアン）に対応する。 公式の名前は18世紀の数学者レオンハルト・オイラー (Leonhard Euler) に因むが、最初の発見者はロジャー・コーツ (Roger Cotes) とされる。コーツは1714年に を発見したが、三角関数の周期性による対数関数の多価性を見逃した。 1740年頃オイラーはこの対数関数の形での公式から現在オイラーの公式の名で呼ばれる指数関数での形に注意を向けた。指数関数と三角関数の級数展開を比較することによる証明が得られ出版されたのは1748年のことだった。 この公式は複素解析をはじめとする純粋数学の様々な分野や、電気工学・物理学などで現れる微分方程式の解析において重要な役割を演じる。物理学者のリチャード・ファインマンはこの公式を評して「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」 だと述べている。 オイラーの公式は、変数 が実数である場合には、右辺は実空間上で定義される通常の三角関数で表され、虚数の指数関数の実部と虚部がそれぞれ角度 に対応する余弦関数 と正弦関数 に等しいことを表す。このとき、偏角 をパラメータとする曲線 は、複素平面上の単位円をなす。 特に、 のとき（すなわち偏角が 180 度のとき）、 となる。この関係はオイラーの等式 と呼ばれる三角関数の周期性（従って複素指数関数の周期性）により、オイラーの等式が成り立つのは に限らない。すなわち、任意の整数 について は を満たす。。 が純虚数である場合には、左辺は実空間上で定義される通常の指数関数であり、右辺は純虚数に対する三角関数となる。 オイラーの公式は、三角関数 が双曲線関数 に対応することを導く。また応用上は、オイラーの公式を経由して三角関数を複素指数関数に置き換えることで、微分方程式やフーリエ級数などの扱いを簡単にすることなどに利用される。.
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ガウス関数
ウス関数（ガウスかんすう、Gaussian function）は、 の形の初等関数である。なお、2c2 のかわりに c2 とするなど、表し方にはいくつかの変種がある。 ガウシアン関数、あるいは単にガウシアンとも呼ばれる。 図のような釣鐘型の関数である。.
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コンパクト
ンパクト.
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コーシーの主値
数学において、コーシーの主値（Cauchy principal value）とは、ある種の広義積分に対して定められる値のことである。.
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シュワルツ空間
数学においてシュワルツ空間（シュワルツくうかん、）とは、導函数がすべて「急激に減少する」ような函数全体からなる函数空間である。この空間上フーリエ変換は自己同型であるという重要な性質がある。この性質から、双対性によって、S の双対空間の元、すなわち緩増加超函数に対するフーリエ変換を定義できる。シュワルツ空間の名は、ローラン・シュヴァルツに敬意を表して、アレクサンドル・グロタンディークによって付けられた。シュワルツ空間内の函数はしばしば、シュワルツ函数 (Schwartz function) と呼ばれる。.
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シュワルツ超函数
解析学におけるシュワルツ超函数（シュワルツちょうかんすう、distribution; 分布）あるいは超函数（generalized function; 広義の函数）は、函数の一般化となる数学的対象である。シュワルツ超函数の概念は、古典的な意味での導函数を持たない函数に対しても微分を可能とする。特に、任意の局所可積分函数は超函数の意味で微分可能である。シュワルツ超函数は偏微分方程式の弱解（広義の解）の定式化に広く用いられる。古典的な意味での解（真の解）が存在しないか構成が非常に困難であるような場合でも、その微分方程式の超函数解はしばしばより容易に求まる。シュワルツ超函数の概念は、多くの問題が自然に解や初期条件がディラック・デルタのような超函数となるような偏微分方程式として定式化される物理学や工学においても重要である。 広義の函数としての超函数 (generalized function) は1935年セルゲイ・ソボレフによって導入されたが、その後1940年代になって一貫した超函数論を展開するローラン・シュヴァルツによって再導入される。 超函数(distribution)の拡張の一つとして、佐藤超函数があるとみなすことができる。.
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ジョゼフ・フーリエ
ャン・バティスト・ジョゼフ・フーリエ男爵（Jean Baptiste Joseph Fourier, Baron de、1768年3月21日 - 1830年5月16日）は、フランスの数学者・物理学者。 固体内での熱伝導に関する研究から熱伝導方程式（フーリエの方程式）を導き、これを解くためにフーリエ解析と呼ばれる理論を展開した。フーリエ解析は複雑な周期関数をより簡単に記述することができるため、音や光といった波動の研究に広く用いられ、現在調和解析という数学の一分野を形成している。 このほか、方程式論や方程式の数値解法の研究があるほか、次元解析の創始者と見なされることもある。また統計局に勤務した経験から、確率論や誤差論の研究も行った。.
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固有値
線型代数学において、線型変換の特徴を表す指標として固有値 (eigenvalue) や固有ベクトル (eigenvector) がある。この2つの用語を合わせて、固有対 (eigenpair) という。与えられた線型変換の固有値および固有ベクトルを求める問題のことを固有値問題 (eigenvalue problem) という。ヒルベルト空間論において線型作用素 あるいは線型演算子と呼ばれるものは線型変換であり、やはりその固有値や固有ベクトルを考えることができる。固有値という言葉は無限次元ヒルベルト空間論や作用素代数におけるスペクトルの意味でもしばしば使われる。.
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固有関数
波動関数\left.
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矩形波
三角波、のこぎり波の波形 矩形波（くけいは、Square wave）とは非正弦波形の基本的な一種であり、電子工学や信号処理の分野で広く使われている。理想的な矩形波は2レベルの間を規則的かつ瞬間的に変化するが、その2レベルにはゼロが含まれることも含まれないこともある。方形波とも呼ばれる。.
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短時間フーリエ変換
短時間フーリエ変換（たんじかんフーリエへんかん、short-time Fourier transform、short-term Fourier transform、STFT）とは、関数に窓関数をずらしながら掛けて、それにフーリエ変換すること。音声など時間変化する信号の周波数と位相（の変化）を解析するためによく使われる。 理論上フーリエ係数を求めるには無限の区間に渡って積分を行わなければならないが、実験値等からフーリエ係数を求めるには範囲を区切らなければならない。そのために、ある範囲の実験値のフーリエ係数を求めるには、このある範囲の実験値が周期的に無限に繰り返されていると仮定して計算するのが一般的である。だがここで問題なのは、ある範囲の最初の値と最後の値を無理やりつなげることによって発生する不連続な要素である。これを解決するため、中央が 1 付近の値でその範囲外で 0 に収束する関数を掛けて、不連続な要素を極力排除することが行われる。これが短時間フーリエ変換である。このとき、この掛け合わせる関数を窓関数と言う。 STFTは以下のように数式表現できる（iは虚数単位）： ここでw(t)\,は窓関数であり、普通t.
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稠密集合
数学の位相空間論周辺分野において、位相空間 X の部分集合 A が X において稠密（ちゅうみつ、dense）であるとは、X の各点 x が、A の元であるか、さもなくば A の集積点であるときにいう。イメージで言えば、X の各点が A の中かさもなくば A の元の「どれほどでも近く」にあるということを表している。例えば、任意の実数は、有理数であるか、さもなくばどれほどでも近い有理数をとることができる（ディオファントス近似も参照）。.
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積分変換
数学の分野における積分変換（せきぶんへんかん、）とは、次の形をとるような変換 T のことである： この積分変換の入力は関数 f であり、出力は関数 Tf である。積分変換は作用素の一種である。 多くの便利な積分変換が存在する。個々の積分変換は、その変換の核関数 (kernel function) あるいは核 (kernel, nucleus) と呼ばれる二変数関数 K を定めれば決まる。 いくつかの核関数には逆 K−1(u, t) が存在し、それは（大まかに言えば）次のような逆変換を満たす: このような公式は反転公式と呼ばれる。二変数の順番が変わっても変化しないような核は対称核と呼ばれる。.
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符号関数
号関数 (ふごうかんすう、sign function, signum function) は、実数に対しその符号に応じて1、−1、0のいずれかを返す関数 およびそれを拡張した複素関数。 記号は のほかに、 なども使われる。 英語から「サイン関数」とも呼ぶが、この名は正弦関数 と非常に紛らわしい。区別するために sign のラテン語形の signum（シグヌム、英語読みはシグナム）から「シグナム関数」(signum function) と呼ぶことがある。英語以外でもドイツ語などいくつかの言語で signum 系の名前で呼ばれる。.
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線型性
線型性（せんけいせい、英語: linearity）あるいは線型、線形、線状、リニア（せんけい、英語: linear、ラテン語: linearis）とは、直線そのもの、または直線のようにまっすぐな図形やそれに似た性質をもつ対象および、そのような性質を保つ変換などを指して用いられている術語である。対義語は非線型性（英語：Non-Linearity）である。 英語の数学用語のlinear にあてる日本語訳としては、線型が本来の表記であると指摘されることもあるが、他にも線形、線状などといった表記もしばしば用いられている。また一次という表記・表現もしばしば用いられている。というのはlinearは、（多変数の）斉一次函数を指していると考えて間違っていない場合も多いためである。.
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無次元量
無次元量（むじげんりょう、dimensionless quantity）とは、全ての次元指数がゼロの量である。慣習により無次元量と呼ばれるが無次元量は次元を有しており、指数法則により無次元量の次元は1である。 無次元数（むじげんすう、）、無名数（むめいすう、）とも呼ばれる。 無次元量の数値は単位の選択に依らないので、一般的な現象を特徴付けるパラメータとして数学、物理学、工学、経済など多くの分野で広く用いられる。このようなパラメータは現実には物質ごとに決まるなど必ずしも操作可能な量ではないが、理論や数値実験においては操作的な変数として取り扱うこともある。.
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畳み込み
畳み込み（たたみこみ、convolution）とは関数 を平行移動しながら関数 に重ね足し合わせる二項演算である。畳み込み積分、合成積、重畳積分、あるいは英語に倣いコンボリューションとも呼ばれる。.
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物理量
物理量（ぶつりりょう、physical quantity）とは、.
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運動量
運動量（うんどうりょう、）とは、初等的には物体の運動の状態を表す物理量で、質量と速度の積として定義される。この意味の運動量は後述する一般化された運動量と区別して、運動学的運動量（あるいは動的運動量、kinetic momentum, dynamical momentum）と呼ばれる。また、角運動量 という運動量とは異なる量と対比する上で、線型運動量 などと呼ばれることもある。 日常生活において、物体の持つ運動量は、動いている物体の止めにくさとして体感される。つまり、重くて速い物体ほど運動量が大きく、静止させるのに大きな力積が必要になる。 アイザック・ニュートンは運動量の時間的変化と力の関係を運動の第2法則として提示した。 解析力学では、上述の定義から離れ、運動量は一般化座標とオイラー＝ラグランジュ方程式を通じて与えられる。この運動量は一般化座標系における一般化速度の対応物として、一般化運動量 と呼ばれる。 特にハミルトン形式の解析力学においては、正準方程式を通じて与えられる正準変数の一方を座標と呼び他方を運動量と呼ぶ。この意味の運動量は、他と区別して、正準運動量 と呼ばれる。また、正準運動量は、正準方程式において座標の対となるという意味で、共役運動量 と呼ばれる。運動量は、ハミルトン形式の力学では、速度よりも基本的な量であり、ハミルトン形式で記述される通常の量子力学においても重要な役割を果たす。 共役運動量と通常の運動学的運動量の違いが際立つ例として、磁場中を運動する電子の運動の例が挙げられる（#解析力学における運動量も参照）。電磁場中を運動する電子に対してはローレンツ力が働くが、このローレンツ力に対応する一般化されたポテンシャルエネルギーには電子の速度の項があるために、共役運動量はラグランジアンのポテンシャル項に依存した形になる。このとき共役運動量と運動学的運動量は一致しない。また、電磁場中の電子の運動を記述する古典的ハミルトニアンでは、共役運動量の部分がすべて共役運動量からベクトルポテンシャルの寄与を引いたものに置き換わる。.
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複素共役
数学において、複素数の複素共役、複素共軛（ふくそきょうやく、complex conjugate）は、複素数に対し、その虚部の符号をいれかえたものである。つまり、i を虚数単位として、複素数 z を a, b を実数として と表したとき、 が z の複素共役である。複素共役を表すのには上線がよく使われる。上付きのアスタリスク (z*) なども使われるが、行列での随伴行列などとの混乱を避けるためにあまり使われない。.
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複素数
数学における複素数（ふくそすう、complex number）は、実数の対 と と線型独立な（実数ではない）要素 の線型結合 の形に表される数（二元数: 実数体上の二次拡大環の元）で、基底元 はその平方が になるという特別な性質を持ち虚数単位と呼ばれる。 複素数全体の成す集合を太字の あるいは黒板太字で と表す。 は、実数全体の成す集合 と同様に、可換体の構造を持ち、とくに を含む代数閉体を成す。複素数体はケイリー–ディクソン代数（四元数、八元数、十六元数など）の基点となる体系であり、またさまざまな超複素数系の中で最もよく知られた例である。 複素数の概念は、一次元の実数直線を二次元の複素数平面に拡張する。複素数は自然に二次元平面上に存在すると考えることができるから、複素数全体の成す集合上に自然な大小関係（つまり全順序）をいれることはできない。すなわち は順序体でない。 ある数学的な主題や概念あるいは構成において、それが複素数体を基本の体構造として考えられているとき、そのことはしばしばそれら概念等の名称に（おおくは接頭辞「複素-」を付けることで）反映される。例えば、複素解析、複素行列、複素（係数）多項式、複素リー代数など。.
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角周波数
角周波数（かくしゅうはすう、角振動数、円振動数とも）は物理学（特に力学や電気工学）において、回転速度を表すスカラー量。角周波数は、ベクトル量である角速度の大きさにあたる（\omega.
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調和関数
帯上で定義された調和関数 数学における調和関数（ちょうわかんすう、harmonic function）は、ラプラス方程式を満足する二回連続的微分可能な関数のことをいう。 調和関数に関する重要な問題はディリクレ問題である。ディリクレ問題の解決方法にはいくつかあるが、その中でも重要な一般的方法はディリクレの原理である。 20世紀には、、、小平邦彦らが調和積分論の発展の中心的な役割を果たした。.
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高速フーリエ変換
速フーリエ変換（こうそくフーリエへんかん、fast Fourier transform, FFT）は、離散フーリエ変換（discrete Fourier transform, DFT）を計算機上で高速に計算するアルゴリズムである。高速フーリエ変換の逆変換を逆高速フーリエ変換（inverse fast Fourier transform, IFFT）と呼ぶ。.
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関数 (数学)
数学における関数（かんすう、、、、、函数とも）とは、かつては、ある変数に依存して決まる値あるいはその対応を表す式の事であった。この言葉はライプニッツによって導入された。その後定義が一般化されて行き、現代的には数の集合に値をとる写像の一種であると理解される。.
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量の次元
量の次元（りょうのじげん、）とは、ある量体系に含まれる量とその量体系の基本量との関係を、基本量と対応する因数の冪乗の積として示す表現である。 ISOやJISなどの規格では量 の次元を で表記することが規定されているが、しばしば角括弧で括って で表記されるISOやJISなどにおいては、角括弧を用いた は単位を表す記号として用いられている。なお、次元は単位と混同が多い概念であるが、単位の選び方に依らない概念である。。 次元は量の間の関係を表す方法であり、量方程式の乗法を保つ。ある量 が二つの量 によって量方程式 で表されているとき、それぞれの量の次元の間の関係は量方程式の形を反映して となる。基本量 と対応する因子を で表したとき、量 の次元は の形で一意に表される。このとき冪指数 は次元指数と呼ばれる。全ての次元指数がゼロとなる量の次元は指数法則により1である。次元1の量は無次元量（）とも呼ばれる。.
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量子力学
量子力学（りょうしりきがく、quantum mechanics）は、一般相対性理論と同じく現代物理学の根幹を成す理論として知られ、主として分子や原子、あるいはそれを構成する電子など、微視的な物理現象を記述する力学である。 量子力学自身は前述のミクロな系における力学を記述する理論だが、取り扱う系をそうしたミクロな系の集まりとして解析することによって、ニュートン力学に代表される古典論では説明が困難であった巨視的な現象についても記述することができる。たとえば量子統計力学はそのような応用例の一つである。従って、生物や宇宙のようなあらゆる自然現象もその記述の対象となり得る。 代表的な量子力学の理論として、エルヴィン・シュレーディンガーによって創始された、シュレーディンガー方程式を基礎に置く波動力学と、ヴェルナー・ハイゼンベルク、マックス・ボルン、パスクアル・ヨルダンらによって構成された、ハイゼンベルクの運動方程式を基礎に置く行列力学がある。ただしこの二つは数学的に等価である。 基礎科学として重要で、現代の様々な科学や技術に必須な分野である。 たとえば科学分野について、太陽表面の黒点が磁石になっている現象は、量子力学によって初めて解明された。 技術分野について、半導体を利用する電子機器の設計など、微細な領域に関するテクノロジーのほとんどは量子力学を基礎として成り立っている。そのため量子力学の適用範囲の広さと現代生活への影響の大きさは非常に大きなものとなっている。一例として、パソコンや携帯電話、レーザーの発振器などは量子力学の応用で開発されている。工学において、電子工学や超伝導は量子力学を基礎として展開している。.
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自乗可積分函数
自乗可積分函数（じじょうかせきぶんかんすう、square-integrable function）とは、実数値または複素数値可測函数で絶対値の自乗の積分が有限であるものである。すなわち ならば、f は実数直線 (−∞, +&infin) 上で自乗可積分である。場合によっては積分区間が のように有界区間のこともある。.
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自然数
自然数（しぜんすう、natural number）とは、個数、もしくは順番を表す一群の数のことである。集合論においては、自然数は物の個数を数える基数のうちで有限のものであると考えることもできるし、物の並べ方を示す順序数のうちで有限のものであると考えることもできる。 自然数を 1, 2, 3, … とする流儀と、0, 1, 2, 3, … とする流儀があり、前者は数論などでよく使われ、後者は集合論、論理学などでよく使われる（詳しくは自然数の歴史と零の地位の節を参照）。いずれにしても、0 を自然数に含めるかどうかが問題になるときは、その旨を明記する必要がある。自然数の代わりに非負整数または正整数と言い換えることによりこの問題を避けることもある。 数学の基礎付けにおいては、自然数の間の加法についての形式的な逆元を考えることによって整数を定義する。正の整数ないしは負でない整数を自然数と同一視し、自然数を整数の一部として取扱うことができる。自然数と同様に整数の全体も可算無限集合である。 なお、文脈によっては、その一群に属する個々の数（例えば 3 や 18）を指して自然数ということもある。.
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長さ
長さ（ながさ、length）とは、.
離散フーリエ変換
離散フーリエ変換（りさんフーリエへんかん、discrete Fourier transform、DFT）とは離散化されたフーリエ変換であり、信号処理などで離散化されたデジタル信号の周波数解析などによく使われる。また偏微分方程式や畳み込み積分を効率的に計算するためにも使われる。離散フーリエ変換は（計算機上で）高速フーリエ変換(FFT)を使って高速に計算することができる。 離散フーリエ変換とは、複素関数 f(x)を複素関数F(t)に写す写像であって、次の式で定義されるものを言う。 ここで、Nは任意の自然数、 e はネイピア数、i は虚数単位 (i^2.
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離散時間フーリエ変換
離散時間フーリエ変換（英: Discrete-time Fourier transform、DTFT）はフーリエ変換の一種。したがって、通常時間領域の関数を周波数領域に変換する。ただし、DTFTでは元の関数は離散的でなければならない。そのような入力は連続関数の標本化によって生成される。 DTFTの周波数領域の表現は常に周期的関数である。したがって1つの周期に必要な情報が全て含まれるため、DTFTを「有限な」周波数領域への変換であるということもある。.
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連続 (数学)
数学において、連続（れんぞく、continuous）および連続性（れんぞくせい、continuity）とは、いくら拡大しても近くにあって差が無いことを示す極限概念である。位相空間のあいだの写像について、開集合や極限といった位相的な概念を一定の方法でたもつという条件によって連続性の概念が定められる。これは異なる位相空間のあいだの関係を表す最も基本的な枠組みである。日常語としては「連続」が「切れずに繋がっている」という意味で使われることがあるが、位相空間の性質として「切れずに繋がっている」ということを表す概念は「連結性」である。事実として「連結領域の連続像は必ず連結」であり、従って連結な定義域を持つ連続函数のグラフは文字通り「切れずに繋がっている」ことになるが、それは連続性の本質ではない。.
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逆数
逆数（ぎゃくすう、reciprocal）とは、ある数に掛け算した結果が となる数である。すなわち、数 の逆数 とは次のような関係を満たす。 通常、 の逆数は分数の記法を用いて のように表されるか、冪の記法を用いて のように表される。 を乗法に関する単位元と見れば、逆数とは乗法逆元（じょうほうぎゃくげん、multiplicative inverse）の一種であり、乗法逆元とは一般化された逆数である。 上述の式から明らかなように、 と の役割を入れ替えれば、 は の逆数であると言える。従って、 の逆数が であるとき の逆数は である。 が である場合、任意の数との積は になるため、（0 ≠ 1 であれば） に対する逆数は存在しない。 また、任意の について必ずしもその逆数が存在するとは限らない。たとえば、自然数の範囲では上述の関係を満たす数は 以外には存在しない。 を除く任意の数 について逆数が常に存在するようなものには、有理数や実数、複素数がある。これらのように四則演算が自由にできる集合を体と呼ぶ。 逆数は乗法における逆元であるが、加法における逆元として反数がある。 1つの二項演算を持つ集合であって左右の逆元が常に存在するもの（代数的構造）はと呼ばれる。.
LTIシステム理論
LTIシステム理論（LTI system theory）は、電気工学、特に電気回路、信号処理、制御理論といった分野で、線型時不変系（linear time-invariant system）に任意の入力信号を与えたときの応答を求める理論である。通常、独立変数は時間だが、空間（画像処理や場の古典論など）やその他の座標にも容易に適用可能である。そのため、線型並進不変（linear translation-invariant）という用語も使われる。離散時間（標本化）系では対応する概念として線型シフト不変（linear shift-invariant）がある。.
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Sinc関数
正規化sinc(青) と非正規化sinc(赤)。−6π ≤ ''x'' ≤ 6π sinc 関数（ジンクかんすう、シンクかんすう）は、正弦関数をその変数で割って得られる初等関数である。sinc(x), Sinc(x), sinc x などで表される。.
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極座標系
極座標系（きょくざひょうけい、polar coordinates system）とは、n 次元ユークリッド空間 R 上で定義され、1 個の動径 r と n − 1 個の偏角 θ, …, θ からなる座標系のことである。点 S(0, 0, x, …,x) を除く直交座標は、局所的に一意的な極座標に座標変換できるが、S においてはヤコビアン が 0 となってしまうから、一意的な極座標表現は不可能である。それは、S に於ける偏角が定義できないことからも明らかである。.
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概周期函数
数学における概周期函数（がいしゅうきかんすう、）とは、大雑把に言うと、適切に長く well-distributed な「概周期」が与えられた際、任意の正確さのもとで周期的であるような実数函数のことを言う。この概念はハラルト・ボーアによって初めて研究され、、ヘルマン・ワイル、やその他の研究者によって一般化された。局所コンパクトアーベル群上の概周期函数の概念は、ジョン・フォン・ノイマンによって初めて研究された。 概周期性（almost periodicity）は、位相空間に沿った力学系の経路を（正確ではないが）逆に辿る際に現れる性質である。一例として、尽数関係にない周期で動く軌道上の惑星（すなわち、整数ベクトルに比例しない周期ベクトル）を伴う惑星系が挙げられる。ディオファントス近似に現れるクロネッカーの定理によると、一度現れた任意の特定の形状は、任意の特定の精度のもとで再び現れる。すなわち、十分長く待てば、すべての惑星は 1 秒 (角度)の間にかつて元いた位置に戻ることが分かる。.
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次元解析
次元解析（じげんかいせき、dimensional analysis）とは、物理量における、長さ、質量、時間、電荷などの次元から、複数の物理量の間の関係を予測することである。 物理的な関係を表す数式においては、両辺の次元が一致しなくてはならない。この規則を逆に利用すると、既知の量を組み合わせ、求めたい未知の物理量の次元に一致するように式を立てれば、それは正しい関係式になっている可能性が高い。 次元解析を用いると、一般解を得ることが困難な（ときには不可能な）現象に対して、物理量間の関係を推測することができる。.
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正弦・余弦変換
数学におけるフーリエ正弦・余弦変換（せいげんよげんへんかん、）とは、連続フーリエ変換の特別なもので、それぞれ奇関数と偶関数の変換を行う際に自然に生じるものである。 一般的なフーリエ変換は F(\omega).
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正弦波
正弦波（赤色）と余弦波（青色）の関数グラフ 正弦波（せいげんは、sine wave、sinusoidal wave）は、正弦関数として観測可能な周期的変化を示す波動のことである。その波形は正弦曲線（せいげんきょくせん、sine curve）もしくはシヌソイド (Sinusoid) と呼ばれ、数学、信号処理、電気工学およびその他の分野において重要な働きをする。.
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正規直交系
数学、特に線型代数学並びに関数解析学において正規直交系（せいきちょっこうけい、orthonormal system）とは、互いに直交して（内積が 0 であり）、かつその大きさが規格化されて 1 であるベクトルの集まりである。ONSとも表される。特に、正規直交系が完全系（任意のベクトルが正規直交系によって展開可能）である場合には、完全正規直交系（complete orthonormal system）または正規直交基底と呼ばれ、CONSと表される。ヒルベルト空間論の基礎的な概念であるとともに、正規直交系に基づく展開原理は物理学、工学への応用において重要となる。.
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波動関数
波動関数（はどうかんすう、wave function）は、もともとは波動現象一般を表す関数のことだが、現在では量子状態（より正確には純粋状態）を表す複素数値関数のことを指すことがほとんどである。.
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波数
波数（はすう、wavenumber, wave-number）とは、波の個数のことで、物理化学および分光学の分野では が、波動力学では が記号として用いられる。 国際単位系における単位は毎メートルであるが、電磁波の波数の場合はCGS単位系の毎センチメートルを使う場合があり、カイザーという固有名称もある。.
準周期函数
数学における準周期函数（じゅんしゅうきかんすう、）は、周期函数と似ているが、厳密な定義は異なる函数である。より正確に言うと、函数 f が準周期 \omega に対して準周期的であるとは、f よりも「単純」なある函数 g に対して f(z + \omega).
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振幅
振幅（しんぷく、英語：amplitude）とは、波動の振動の大きさを表す非負のスカラー量である。波の1周期間での媒質内における最大変位量の絶対値で表される。 時としてこの距離は「最大振幅」と呼ばれ、他の振幅の概念とは区別される。特に電気工学で使用される二乗平均平方根 (RMS) 振幅がそれにあたる。最大振幅は、正弦波、矩形波、三角波といった相対的、周期的なはっきりした波動に使用される。1方向への周期的なパルスといった非相対的な波動では、最大振幅は曖昧になる。 非対称な波（一方向への周期的パルスなど）の場合には最大振幅は多義的となる。なぜなら、最大値と平均値との差をとるか、平均値と最小値との差をとるか、最大値と最小値との差の半分をとるか、によって得られる値が変わるためである。 複雑な波、特にノイズのように繰り返しのない信号の場合には、RMS振幅が一般に用いられる。一意に求まり、物理的意味を持つ量だからである。例えば、音や電磁波や電気信号として伝えられる仕事率の平均は、RMS振幅の2乗に比例する（最大振幅の平方根には一般的には比例しない）。 振幅を形式化するいくつかの方法が存在する。 簡単な波動方程式の場合 この場合、Aが波動の振幅である。 振幅の構成単位は波動の種類によって異なる。 弦の振動 (en:vibrating string) による波や、水などの媒質を伝わる波の場合、振幅とは変位である。 音波や音響信号では、振幅は便宜上音圧を指す。ただし粒子の移動（空気やスピーカーの振動板の動き）の振幅を指すこともある。振幅の常用対数を取ったものはデシベル (dB) と呼ばれ、振幅0の場合には -∞ dB となる。:en:Loudnessは振幅に関連があり、通常の音はindependently of amplitudeとして認識されるものの強度は音に関する最も分かり易い量である。 電磁放射では、振幅は波動の電場と対応する。振幅の2乗は波動の強度に比例する。 振幅は、連続波 (en:continuous wave) の場合は一定であり、一般には時刻と位置によって変化する。振幅の変化の形はエンベロープ (en:Envelope (waves)) と呼ばれる。.
振動
振動（しんどう、oscillation、vibration）とは、状態が一意に定まらず揺れ動く事象をいう。英語では、重力などによる周期が長い振動と、弾性や分子間力などによる周期の短い振動は別の語が充てられるが、日本語では周期によらず「振動」という語で呼ばれる。周期性のある振動において、単位時間あたりの振動の数を振動数（または周波数）、振動のふれ幅を振幅、振動の一単位にかかる時間を周期という。 振動は、同じ場所での物質の周期的な運動であるが、物理学においてさまざまな現象の中に現れ、基本的な概念の一つとして扱われる。物理的にもっとも単純な振動は単振動である。また、振動する系はそれぞれ固有振動（数）をもつ。振動の振幅を減少させる要因がある場合には、振動が次第に弱まる減衰振動となる。外部から一定の間隔で力を与えることなどにより振動を引き起こすことを強制振動とよぶ。強制振動の振動数がその系の固有振動数に近い場合、共振（または共鳴とも）を引き起こす。古典物理学だけでなく、電磁気学では電気回路や電場・磁場の振動を扱い、またミクロな現象を扱う現代物理学などにおいても、振動は基本的な性質である。 波動現象は、振動が時間的変化にとどまらず空間的に伝わっていく現象であり、自然現象の理解になくてはならない基礎概念へと関連している。.
指示関数
数学において指示関数（しじかんすう、indicator function）、集合の定義関数、特性関数（とくせいかんすう、characteristic function）は、集合の元がその集合の特定の部分集合に属するかどうかを指定することによって定義される関数である。.
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指標群
数学において、指標群 (character group) は複素数値関数による群の表現の群である。これらの関数は一次元行列表現と考えることができ、したがって関連した文脈である指標理論において生じる群指標の特別な場合である。群が行列によって表現されるときにはいつでも、行列のトレースによって定義される関数は指標 (character) と呼ばれる。しかしながら、これらのトレースは一般には群をなさない。これらの 1 次元指標のいくつかの重要な性質は一般の指標に適用する：.
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有界函数
数学の分野において、ある集合 X 上で定義される実数あるいは複素数値の函数 f が有界函数（ゆうかいかんすう、）であるとは、その値からなる集合が有界集合であることを言う。言い換えると、X 内のすべての x に対して が成り立つような、x に依らない実数 M が存在することを言う。 しばしば、X 内のすべての x に対して f(x)\le A が成立するとき、その函数は上界 A によって上から抑えられる（）と言い、そのような A が存在するときその函数は上に有界であるという。それと対照的に、X 内のすべての x に対して f(x)\ge B が成立するとき、その函数は下界 B によって下から抑えられる（）と言い、そのような B が存在するときその函数は下に有界であるという。 （しばしば、函数・写像・作用素などが同意語として扱われることもあるけれども）この概念は、有界作用素のそれと混同しないように注意するべきである。 有界函数の概念の重要で特別な場合として、X を自然数全体の集合 N と取って有界数列（）が考えられる。すなわち、ある数列 (a0, a1, a2,...) が有界であるとは、ある実数 M が存在して、すべての自然数 n に対して が成立することを言う。有界数列すべてからなる集合（にベクトル空間の構造を入れたもの）は数列空間を成す。 この定義は、距離空間 Y に値を取る函数へと拡張することが出来る。ある集合 X 上で定義される函数 f が有界であるとは、Y 内のある a に対して適当な実数 M を取れば、距離函数 d で測った a と f(x) との距離が M 以下にできること、すなわち が X 内のすべての x に対して成立することを言う。この場合、a を他の任意の点に取り換えても、三角不等式により、同様な性質を持つ M を取ることができる。.
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斉次多項式
数学において、斉次多項式（せいじたこうしき、homogeneous polynomial）あるいは同次多項式（どうじたこうしき）、あるいは略して斉次式、同次式とは、非零項がすべて同じ次数であるような多項式のことである。例えば、x^5 + 2 x^3 y^2 + 9 x y^4 は2変数の5次の斉次多項式である。各項の指数の和は常に5だからである。多項式 x^3 + 3 x^2 y + z^7 は斉次ではない。項によって指数の和が異なるからである。多項式が斉次であることと斉次関数を定義することは同値である。（代数的）形式 ((algebraic) form) とは、斉次多項式によって定まる関数のことである。binary form とは二変数の形式である。形式はベクトル空間上定義される、任意の基底上座標の斉次関数として表せる関数でもある。 0次多項式は常に斉次である。これは単に係数の体や環の元であり、通常定数やスカラーと呼ばれる。1次の形式は線型形式である。2次の形式は二次形式である。幾何学において、ユークリッド距離は二次形式の平方根である。 斉次多項式は数学や物理学のいたるところであらわれる。斉次多項式は代数幾何学において基本的な役割を果たす。射影代数多様体は斉次多項式のある集合の共通零点全体の集合として定義されるからである。.
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擬微分作用素
解析学における擬微分作用素（ぎびぶんさようそ、pseudo-differential operator）は、微分作用素を一般化するものである。1965 年以降、ラース・ヘルマンダー等により急速に研究されて来た。偏微分方程式論の代表的なテーマの一つであるが、マルコフ過程・・ポテンシャル理論との関わりも深い。物理学では量子力学や量子統計力学と関係がある。.
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数学
数学（すうがく、μαθηματικά, mathematica, math）は、量（数）、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.
数ベクトル空間
数ベクトル空間（すうべくとるくうかん、space of numerical vectors, numerical vector space）とは、「“数”の組からなる空間」（数空間数空間のことを座標空間と呼ぶこともあるが、「座標系を備えた空間」という意味で座標空間と呼ぶこともあるので紛らわしい（の項も参照）。）を自然にベクトル空間と見たものである。.
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時間
人類にとって、もともとは太陽や月の動きが時間そのものであった。 アイ・ハヌム（紀元前4世紀～紀元前1世紀の古代都市）で使われていた日時計。人々は日時計の時間で生きていた。 砂時計で砂の流れを利用して時間を計ることも行われるようになった。また砂時計は、現在というものが未来と過去の間にあることを象徴している。くびれた部分（現在）を見つめる。すると時間というのは上（未来）から流れてきて下（過去）へと流れてゆく流れ、と感じられることになる。 時間（じかん）は、出来事や変化を認識するための基礎的な概念である。芸術、哲学、自然科学、心理学などの重要なテーマとなっている。それぞれの分野で異なった定義がなされる。.
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