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53 関係: 収束半径、可換体、双曲線、多変数微分積分学、多項式、多重指数、大域体、実数、局所体、上極限と下極限、一様収束、形式的冪級数、微分、微分可能、ローラン級数、テイラー展開、アーベルの連続性定理、コンパクト一様収束、コンパクト空間、タプル、内部 (位相空間論)、確率変数、積分法、等比数列、級数、線型近似、総乗、総和、絶対収束、組合せ数学、畳み込み、複素解析、複素数、解析学、解析関数、解析接続、近傍 (位相空間論)、部分集合、関数 (数学)、開集合、自然数、連結空間、逆写像、P進数、Wolframデモンストレーションプロジェクト、Z変換、抽象代数学、正則関数、母関数、有理数、...、数学、数論、0の0乗。 インデックスを展開 (3 もっと) »
収束半径
収束半径(しゅうそくはんけい、radius of convergence) とは、冪級数が収束する定義域を与える非負量（実数あるいは∞）である。 次の冪級数を考える。 ただし、中心 a や係数 cn は複素数（特に実数）とする。次の条件が成立するとき、r をこの級数の収束半径という。 であるとき、級数は収束し、 であるとき、級数は発散する。 もし、級数が全ての複素数 z に関して収束するならば、収束半径は ∞ となる。.
可換体
抽象代数学において、可換体（かかんたい、corps commutatif）あるいは単に体（たい、field）本記事において単に体と言った場合「可換」体を意味するものとする。とは、零でない可換可除環、あるいは同じことだが、非零元全体が乗法の下で可換群をなすような環のことである。そのようなものとして体は、適当なアーベル群の公理と分配則を満たすような加法、減法、乗法、除法の概念を備えた代数的構造である。最もよく使われる体は、実数体、複素数体、有理数体であるが、他にも有限体、関数の体、代数体、''p'' 進数体、などがある。 任意の体は、線型代数の標準的かつ一般的な対象であるベクトル空間のスカラーとして使うことができる。（ガロワ理論を含む）体拡大の理論は、ある体に係数を持つ多項式の根に関係する。他の結果として、この理論により、古典的な問題である定規とコンパスを用いたや円積問題が不可能であることの証明や五次方程式が代数的に解けないというアーベル・ルフィニの定理の証明が得られる。現代数学において、体論は数論や代数幾何において必要不可欠な役割を果たしている。 代数的構造として、すべての体は環であるが、すべての環が体であるわけではない。最も重要な違いは、体は（ゼロ除算を除いて）除算ができるが、環は乗法逆元がなくてもよいということである。例えば、整数の全体は環をなすが、2x.
双曲線
双曲線（そうきょくせん、hyperbola）とは、2次元ユークリッド空間 R2 上で定義され、ある2点 P, Q からの距離の差が一定であるような曲線の総称である。この P, Q は焦点と呼ばれる。双曲線は、次の陰関数曲線の直交変換によって決定することができる。 この場合、焦点の座標は と書ける。このとき、2焦点から曲線への距離の差は 2a となる。また、双曲線には2つの漸近線が存在しており、 である。漸近線が直交している、すなわち a.
多変数微分積分学
多変数（基礎）解析学または多変数微分積分学（multivariable calculus, multivariate calculus）とは、1変数の微分積分学を多変数へ拡張したもの、すなわち多変数関数における微分法および積分法を扱う解析学の一分野である。.
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多項式
数学における多項式（たこうしき、poly­nomial）は、多数を意味するpoly- と部分を意味する -nomen あるいは nomós を併せた語で、定数および不定元（略式ではしばしば変数と呼ぶ）の和と積のみからなり、代数学の重要な対象となる数学的対象である。歴史的にも現代代数学の成立に大きな役割を果たした。 不定元がひとつの多項式は、一元多項式あるいは一変数多項式 と呼ばれ、不定元を とすれば のような形をしている。各部分 "", "", "", "" のことを項（こう、）と呼ぶ。一つの項だけからできている式を単項式 (monomial)、同様に二項式 (binomial)、三項式 (trinomial) などが、-nomial にラテン配分数詞を付けて呼ばれる。すなわち、多項式とは「多数」の「項」を持つものである。単項式の語が頻出であることに比べれば、二項式の語の使用はやや稀、三項式あるいはそれ以上の項数に対する語の使用はごく稀で一口に多項式として扱う傾向があり、それゆえ単項式のみ多項式から排他的に分類するものもある。また多項式のことを整式 (integral expression) と呼ぶ流儀もある。 多項式同士の等式として与えられる方程式は多項式方程式と呼ばれ、特に有理数係数の場合において代数方程式という。多項式方程式は多項式函数の零点を記述するものである。 不定元がふたつならば二元 (bivariate), 三つならば三元 (trivariate) というように異なるアリティを持つ多元多項式が同様に定義できる。算術あるいは初等代数学において、数の計算の抽象化として実数（あるいは必要に応じてより狭く有理数、整数、自然数）を代表する記号としての「文字」変数を伴う「」およびその計算を扱うが、それは大抵の場合多変数の多項式である。 本項では主として一元多項式を扱い、多元の場合にも多少触れるが、詳細は多元多項式の項へ譲る。.
多重指数
数学において多重指数記法（たじゅうしすうきほう、multi-index notation; 多重添字記法）は、添字記法を順序組を用いて多重化（多変数に一般化）する表記法であり、多変数微分積分学、偏微分方程式論、シュヴァルツ超関数論などの分野において、主に整数冪の冪指数などの添字を多重化した多重指数、多重添字を用いて様々な式の表記を簡潔にする。.
大域体
数学において、大域体（たいいきたい、global field）とは、次のいずれかの体のことを言う。.
実数
数学における実数（じっすう、 nombre réel, reelle Zahl, real number）は、様々な量の連続的な変化を表す数の体系である。実数全体の空間は、途切れのなさにあたる完備性とよばれる位相的な性質を持ち、代数的には加減乗除ができるという体の構造を持っている。幾何学や解析学ではこれらのよい性質を利用して様々な対象が定義され、研究されている。一方でその構成方法に自明でない手続きが含まれるため、実数の空間は数学基礎論の観点からも興味深い性質を持っている。また、自然科学における連続的なものの計測値を表すのに十分な数の体系だとも考えられている。 実数の概念は、その形式的な定義が19世紀に達成される前から数の体系として使われていた。「実数」という名前は複素数の概念が導入された後に「普通の数」を表現する言葉として導入されたものである。.
局所体
局所体(きょくしょたい、local field)とは、離散付値に対して完備であり、剰余体が有限体である付値体のことである。 局所体の定義としては、上に挙げたもの以外にもいくつかあり、そのうちの代表的なものを挙げる。これらは互いに同値な定義である。.
上極限と下極限
数列x_nが青色の点で表されているとき、赤色の点が近付く先がx_nの上極限と下極限である。 数学において、数列 の上極限（じょうきょくげん、limit superior）および下極限（かきょくげん、limit inferior）とは、を無限に大きくしていったときの数列の挙動から決まる実数であり、この数列の極限に（ある意味で）なりうる値を上と下からおさえるために使われる。 数列 の上極限を表す記号には の二種類がある。同様に下極限は と書く。.
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一様収束
数学の分野である解析学において、一様収束（いちようしゅうそく、uniform convergence）は、各点収束よりも強いの概念である。関数列 が極限関数 f に一様収束する (converge uniformly) とは、fn(x) の f(x) への収束のはやさが x に依らないということである。 関数 fn の連続性やリーマン可積分性といったいくつかの性質は、収束が一様であれば極限 f に引き継がれるが、収束が一様でない場合はそうとは限らないから、一様収束の概念は重要である。 与えられた区間上の関数への一様収束は一様ノルムのことばによって定義できる。 The term uniform convergence was probably first used by Christoph Gudermann, in an 1838 paper on elliptic functions, where he employed the phrase "convergence in a uniform way" when the "mode of convergence" of a series \textstyle is independent of the variables \phi and \psi.
形式的冪級数
数学において、形式的冪級数（けいしきてきべききゅうすう、formal power series）とは、（形式的）多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。例えば、（ を不定元として） は（多項式ではない）冪級数である。.
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微分
数学におけるの微分（びぶん）、微分係数、微分商または導函数（どうかんすう、derivative）は、別の量（独立変数）に依存して決まるある量（函数の値あるいは従属変数）の変化の感度を測るものである。微分は微分積分学の基本的な道具である。例えば、動く物体の位置の時間に関する導函数はその物体の速度であり、これは時間が進んだときその物体の位置がどれほど早く変わるかを測る。 一変数函数の適当に選んだ入力値における微分係数は、その点における函数のグラフの接線の傾きである。これは導函数がその入力値の近くでその函数の最適線型近似を記述するものであることを意味する。そのような理由で、微分係数はしばしば「瞬間の変化率」として記述される。瞬間の変化率は独立変数に依存する従属変数である。 微分はにも拡張できる。この一般化において、導函数はそのグラフが（適当な変換の後）もとの函数のグラフを最適線型近似する線型変換と解釈しなおされる。ヤコビ行列はこの線型変換を独立および従属変数を選ぶことで与えられる基底に関して表現する行列であり、独立変数に関する偏微分を用いて計算することができる。多変数実数値函数に対して、ヤコビ行列は勾配に簡約される。 導函数を求める過程を微分あるいは微分法、微分演算 (differentiation) と言い、その逆の過程（原始函数を求めること）をという。微分積分学の基本定理は反微分が積分と同じであることを主張する。一変数の微分積分学において微分と積分は基本的な操作の二本柱である。.
微分可能
微分可能（びぶんかのう）.
ローラン級数
ーラン級数（ローランきゅうすう、Laurent series）とは負冪の項も含む形での冪級数としての関数の表示のことである。テイラー級数展開できない複素関数を表示する場合に利用される。ローラン級数の名は、最初の発表が1843年にピエール・アルフォンス・ローランによってなされたことに由来する。ローラン級数の概念自体はそれより先の1841年にカール・ワイエルシュトラスによって発見されていたが公表されなかった。 特定の点 ''c'' および閉曲線 γ に関して定義されたローラン級数。 積分路である γ は赤で塗ったアニュラスの内側に載っており、アニュラスの内側で ''f''(''z'') は正則である.
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テイラー展開
数学において、テイラー級数 (Taylor series) は関数のある一点での導関数たちの値から計算される項の無限和として関数を表したものである。そのような級数を得ることをテイラー展開という。 テイラー級数の概念はスコットランドの数学者ジェームズ・グレゴリーにより定式化され、フォーマルにはイギリスの数学者ブルック・テイラーによって1715年に導入された。0 を中心としたテイラー級数は、マクローリン級数 (Maclaurin series) とも呼ばれる。これはスコットランドの数学者コリン・マクローリンにちなんでおり、彼は18世紀にテイラー級数のこの特別な場合を積極的に活用した。 関数はそのテイラー級数の有限個の項を用いて近似することができる。テイラーの定理はそのような近似による誤差の定量的な評価を与える。テイラー級数の最初のいくつかの項として得られる多項式はと呼ばれる。関数のテイラー級数は、その関数のテイラー多項式で次数を増やした極限が存在すればその極限である。関数はそのテイラー級数がすべての点で収束するときでさえもテイラー級数に等しいとは限らない。開区間（あるいは複素平面の開円板）でテイラー級数に等しい関数はその区間上の解析関数と呼ばれる。.
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アーベルの連続性定理
アーベルの連続性定理とは、収束半径が1の冪級数が収束円周上の点において連続であるための十分条件を与える定理である。冪級数は収束円板の内部で広義一様に絶対収束するが、収束円上の一般の点での挙動はわからない。この定理はそこでの連続性を保証している。数学者ニールス・アーベルにちなんで名付けられた。.
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コンパクト一様収束
数学においてコンパクト一様収束あるいはコンパクト収束、あるいは広義一様収束 (compact convergence, uniform convergence on compact sets) とは、一様収束の概念を一般化したのタイプである。コンパクト開位相と関係する。.
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コンパクト空間
数学において、コンパクト（compact）は位相空間の性質である。詳細は後述するがコンパクト性の定義それ自身は直観性に乏しいものであり、証明を容易にする為のいわば操作的なものである。しかし距離空間であればより直観的な言葉でいいかえる事ができ、特に有限次元のユークリッド空間においては有界閉集合であることとコンパクト集合であることとは同値になる。したがってコンパクトの概念はユークリッド空間における有界閉集合の概念を一般の位相空間に拡張したものとしてとらえる事ができる。 なお無限次元では有界閉集合はコンパクトとは限らず、例えばヒルベルト空間内の（縁を含んだ）単位球体は有界かつ閉集合であるがコンパクトではない（距離位相を入れた場合）。 ブルバキでは、ここでいう定義を満たす位相空間を準コンパクト（quasi-compact）と呼び、さらにハウスドルフの分離公理を満たすものをコンパクトであると呼んでいる。距離空間など多くの空間ではハウスドルフの分離公理が満たされるので両者の概念は一致するが、一般には注意が必要である。.
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タプル
タプルまたはチュープル（tuple）とは、複数の構成要素からなる組を総称する一般概念。 数学や計算機科学などでは通常、順序付けられた対象の並びを表すために用いられる。個別的には、n 個でできた組を英語で「n-tuple」と書き、日本語に訳す場合は通常「n 組」としている。タプルの概念そのものも組と呼ばれる場合がある。なお、 n-tuple は数学のタプルを意味するほか、同様に double、triple などの拡張として倍数詞の表現にも利用される（詳細は「倍#西洋数学における n 倍を表す表現」を参照）。.
内部 (位相空間論)
数学において集合 S の内部（ないぶ、interior）あるいは開核（かいかく、open kernel）は、直観的には S の「縁にある点を除く」 S の点全てからなる。S の内部に属する点は S の内点（ないてん、interior point）であるという。 また、集合の外部（がいぶ、exterior）は、その集合の補集合の内部をいい、その集合にもその集合の境界にも含まれない点の全体からなる。 集合の内部という概念は位相的概念であって、任意の集合に対して定義されるものではないが、その集合がある位相空間の部分集合となっているならば定義される。内部はさまざまな意味で閉包の概念の双対概念であり、とくに圏論的な意味での双対になっている。.
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確率変数
率変数（かくりつへんすう、random variable, aleatory variable, stochastic variable）とは、確率論ならびに統計学において、ランダムな実験により得られ得る全ての結果を指す変数である。 数学で言う変数は関数により一義的に決まるのに対し、確率変数は確率に従って定義域内の様々な値を取ることができる。.
積分法
積分法（せきぶんほう、integral calculus）は、微分法と共に微分積分学で対を成す主要な分野である。 実数直線上の区間 [a, b] 上で定義される実変数 x の関数 f の定積分 (独: bestimmte Integral, 英: definite integral, 仏: intégrale définie) は、略式的に言えば f のグラフと x-軸、および x.
等比数列
等比数列（とうひすうれつ、または幾何数列（きかすうれつ）、geometric progression, geometric sequence）は、数列で、隣り合う二項の比が項番号によらず一定であるようなものである。その比のことを公比（こうひ、common ratio）という。例えば 4,12,36,108,… という数列 (an) は初項が 4 であり公比が 3 の等比数列である。公比 r は r.
級数
数学における級数 (きゅうすう、series) とは、ひと口に言えば数や関数など互いに足すことのできる数学的対象の列について考えられる無限項の和のことである。ただし「無限の項の総和」が何を表しているのかということはしばしば解析学の言葉を用いて様々な場合に意味を与える（#級数の収束性の節を参照）ことができるが、そのようなことができない「発散する級数」もあれば、級数自体を新たな形式的対象としてとらえることもある。小さくなっていく実数を項とする級数の収束性については様々な判定条件が与えられている。 級数を表す記法として、和記号 を用いた表現 や三点リーダ を用いた表現 などがある。 有限個の項以外は とすることで有限個の対象の和を表すこともでき、無限項の和であることを特に強調する場合には無限級数とも言う。無限の項の和の形に表された級数が何を表しているかということは一見必ずしも明らかではないため、何らかの意味付けを与えなければならない。最もよく採用される理解の方法は、有限個の項の和が収束する先を無限級数の値とすることである。例えば、 より となる。このほかに、解析接続などの手法により、みかけ上発散している級数に対して のような等式が意味付けされることもある。.
線型近似
数学における線型近似（せんけいきんじ、linear approximation）とは、一般の関数を一次関数を用いて（より正確に言えばアフィン写像を用いて）近似することである。 例えば、2回微分可能な一変数関数 f は、テイラーの定理の n.
総乗
総乗（そうじょう）とは、積の定義される集合における多項演算の一つで、元の列の全ての積のことである。.
総和
数学において、総和（そうわ、summation）とは与えられた数を総じて加えることである。.
絶対収束
数学において、級数が絶対収束（ぜったいしゅうそく、converge absolutely）するとは、その各項の絶対値を取って得られる級数の和が有限の値になるときにいう。きちんと述べれば、実または複素数の級数 は となるとき、絶対収束すると言う。 絶対収束が無限級数の研究において重要であるのは、それが有限和の場合に成立する（が必ずしも全ての収束級数が持つわけではない）性質を持つようにするためにきわめて強力な条件であるとともに、それ自身が一般的な内容を議論するのに（その強い制約条件にもかかわらず）十分広範な級数のクラスを定めるからである。.
組合せ数学
組合せ数学（くみあわせすうがく、combinatorics）や組合せ論（くみあわせろん）とは、特定の条件を満たす（普通は有限の）対象からなる集まりを研究する数学の分野。特に問題とされることとして、集合に入っている対象を数えたり（数え上げ的組合せ論）、いつ条件が満たされるのかを判定し、その条件を満たしている対象を構成したり解析したり（組合せデザインやマトロイド理論）、「最大」「最小」「最適」な対象をみつけたり（極値組合せ論や組合せ最適化）、それらの対象が持ちうる代数的構造をみつけたり（代数的組合せ論）することが挙げられる。.
畳み込み
畳み込み（たたみこみ、convolution）とは関数 を平行移動しながら関数 に重ね足し合わせる二項演算である。畳み込み積分、合成積、重畳積分、あるいは英語に倣いコンボリューションとも呼ばれる。.
複素解析
数学の分科である複素解析（ふくそかいせき、complex analysis）は、複素数の関数に関わる微分法、積分法、変分法、微分方程式論、積分方程式論、複素函数論などの総称である。初等教育で扱う実解析に対比して複素解析というが、現代数学の基礎が複素数であることから、単に解析といえば複素解析を意味することが多い。複素解析の手法は、応用数学を含む数学、理論物理学、工学などの多くの分野で用いられている。.
複素数
数学における複素数（ふくそすう、complex number）は、実数の対 と と線型独立な（実数ではない）要素 の線型結合 の形に表される数（二元数: 実数体上の二次拡大環の元）で、基底元 はその平方が になるという特別な性質を持ち虚数単位と呼ばれる。 複素数全体の成す集合を太字の あるいは黒板太字で と表す。 は、実数全体の成す集合 と同様に、可換体の構造を持ち、とくに を含む代数閉体を成す。複素数体はケイリー–ディクソン代数（四元数、八元数、十六元数など）の基点となる体系であり、またさまざまな超複素数系の中で最もよく知られた例である。 複素数の概念は、一次元の実数直線を二次元の複素数平面に拡張する。複素数は自然に二次元平面上に存在すると考えることができるから、複素数全体の成す集合上に自然な大小関係（つまり全順序）をいれることはできない。すなわち は順序体でない。 ある数学的な主題や概念あるいは構成において、それが複素数体を基本の体構造として考えられているとき、そのことはしばしばそれら概念等の名称に（おおくは接頭辞「複素-」を付けることで）反映される。例えば、複素解析、複素行列、複素（係数）多項式、複素リー代数など。.
解析学
解析学（かいせきがく、英語：analysis, mathematical analysis）とは、極限や収束といった概念を扱う数学の分野である 日本数学会編、『岩波数学辞典 第4版』、岩波書店、2007年、項目「解析学」より。ISBN978-4-00-080309-0 C3541 。代数学、幾何学と合わせ数学の三大分野をなす。 数学用語としての解析学は要素還元主義とは異なっており、初等的には微積分や級数などを用いて関数の変化量などの性質を調べる分野と言われることが多い。これは解析学がもともとテイラー級数やフーリエ級数などを用いて関数の性質を研究していたことに由来する。 例えばある関数の変数を少しだけずらした場合、その関数の値がどのようにどのぐらい変化するかを調べる問題は解析学として扱われる。 解析学の最も基本的な部分は、微分積分学、または微積分学と呼ばれる。また微分積分学を学ぶために必要な数学はprecalculus(calculusは微積分の意、接頭辞preにより直訳すれば微積分の前といった意味になる)と呼ばれ、現代日本の高校1、2年程度の内容に相当する。また解析学は応用分野において微分方程式を用いた理論やモデルを解くためにも発達し、物理学や工学といった数学を用いる学問ではよく用いられる数学の分野の一つである。 解析学は微積分をもとに、微分方程式や関数論など多岐に渡って発達しており、現代では確率論をも含む。 現代日本においては解析学の基本的分野は概ね高校2年から大学2年程度で習い、進度の差はあれ世界中の高校や大学等で教えられている。.
解析関数
複素変数 z の複素数値関数 f(z) が1点 z.
解析接続
解析学において、解析接続 (かいせきせつぞく、analytic continuation, analytic prolongation) とはリーマン球面 C 上の領域で定義された有理型関数に対して定義域の拡張を行う手法の一つ、あるいは、その拡張によって得られた関数の事である。.
近傍 (位相空間論)
平面上の集合 ''V'' が点 ''p'' の近傍であるのは、''p'' を中心とする小さな円板が ''V'' に含まれるときである。 矩形の頂点に対して、その矩形は近傍でない。 数学の位相空間論周辺分野でいう近傍（きんぼう、neighbourhood, neighborhood）は位相空間の基本概念の一つで、直観的に言えば与えられた点を含む集合で、その点を少しくらい動かしてもその集合から外に出ないようなものをいう。 近傍の概念は開集合と内部の概念と密接な関連がある。.
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部分集合
集合 A が集合 B の部分集合（ぶぶんしゅうごう、subset; 下位集合）であるとは、A が B の一部（あるいは全部）の要素だけからなることである。A が B の一部分であるという意味で部分集合という。二つの集合の一方が他方の部分集合であるとき、この二つの集合の間に包含関係があるという。.
関数 (数学)
数学における関数（かんすう、、、、、函数とも）とは、かつては、ある変数に依存して決まる値あるいはその対応を表す式の事であった。この言葉はライプニッツによって導入された。その後定義が一般化されて行き、現代的には数の集合に値をとる写像の一種であると理解される。.
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開集合
開集合（かいしゅうごう、open set）は、実数直線の開区間の考えを一般化した抽象的な概念である。最も簡単な例は距離空間におけるものであり、開集合をその任意の点に対しそれを（元として）含む開球を（部分集合として）含むような集合（あるいは同じことだが境界点を全く含まないような集合）として定義できる。例えば、数直線上で不等式 2 < x < 5 によって定まる開区間は開集合である。この場合の境界とは数直線上の点 2 と 5 であって、不等式を 2 ≤ x ≤ 5 としたものや 2 ≤ x < 5 としたものは、境界を含んでいるので開集合ではない。また、 2 < x < 5 によって定まる開区間内のどの点に対しても、その点の開近傍として十分小さなものを選べば、それがもとの開区間に含まれるようにできる。 しかしながら、開集合は一般にはとても抽象的になりうる（詳しくは位相空間の項を参照されたい）。開集合とは全体集合を形成する基本要素達のようなものであり、位相の特殊な定義の仕方によっては、例えば実数において（普通の意味での）境界上を含む集合が“開集合”と呼ばれることになる場合もある。極端な例では、すべての部分集合を開集合としたり（離散位相）、開集合は空集合と空間全体だけとしたり（密着位相）することもできる。.
自然数
自然数（しぜんすう、natural number）とは、個数、もしくは順番を表す一群の数のことである。集合論においては、自然数は物の個数を数える基数のうちで有限のものであると考えることもできるし、物の並べ方を示す順序数のうちで有限のものであると考えることもできる。 自然数を 1, 2, 3, … とする流儀と、0, 1, 2, 3, … とする流儀があり、前者は数論などでよく使われ、後者は集合論、論理学などでよく使われる（詳しくは自然数の歴史と零の地位の節を参照）。いずれにしても、0 を自然数に含めるかどうかが問題になるときは、その旨を明記する必要がある。自然数の代わりに非負整数または正整数と言い換えることによりこの問題を避けることもある。 数学の基礎付けにおいては、自然数の間の加法についての形式的な逆元を考えることによって整数を定義する。正の整数ないしは負でない整数を自然数と同一視し、自然数を整数の一部として取扱うことができる。自然数と同様に整数の全体も可算無限集合である。 なお、文脈によっては、その一群に属する個々の数（例えば 3 や 18）を指して自然数ということもある。.
連結空間
位相幾何学や関連する数学の分野において、連結空間（れんけつくうかん、connected space）とは、2つ以上の互いに素な空でない開部分集合の和集合として表すことのできない位相空間のことである。空間の連結性は主要なの1つであり、位相空間の区別をつけることに利用できる。より強い意味での連結性として、弧状連結 (path-connected) という概念があり、これは任意の2点が道によって結べることをいう。 位相空間 X の部分集合が連結であるとは、X の相対位相によってそれ自身を位相空間と見たときに連結であることをいう。 連結でない空間の例は、平面から直線を取り除いたものがある。非連結空間（すなわち連結でない空間）の他の例には、平面からアニュラスを取り除いたものや、2つの交わりを持たない閉円板の和集合がある。ただし、これら3つの例はいずれも、2次元ユークリッド空間から誘導される相対位相を考えている。.
逆写像
数学における逆写像（ぎゃくしゃぞう、inverse mapping）は一口に言えば写像の与える元の対応関係を「反対」にして得られる写像である。すなわち、写像 が を に写すならば、 の逆写像は を に写し戻す。 函数と呼ばれる種類の写像の逆写像は、逆函数 (inverse function) と呼ばれる。.
P進数
p 進数（ピーしんすう、p-adic number）とは、1897年にクルト・ヘンゼルによって導入された、数の体系の一つである。文脈によっては、その体系の個々の数を指して p 進数と呼ぶこともある。有理数の体系を実数や複素数の体系に拡張するのとは別の方法で、各素数 p に対して p 進数の体系が構成される。それらは有理数のつくる空間の局所的な姿を記述していると考えられ、数学の中でも特に数論において重要な役割を果たす。数学のみならず、素粒子物理学の理論などで使われることもある（例えば ''p'' 進量子力学を参照）。 「p 進数」とは「2進数」や「3進数」の総称に過ぎないので、文字 p がすでに他の場所で用いられている場合、q 進数や l 進数などと表現されることもある。 なお、自然数や実数を 0 と 1 で表現する方法（2進法）やその結果得られる記号列（2進列）も「2進数」と呼ぶ場合があるが、本項の意味での「2進数」とは異なる。.
Wolframデモンストレーションプロジェクト
Wolframデモンストレーションプロジェクト（Wolfram Demonstrations Project）は、計算を使った探求をできるだけ多くの人々に体験してもえるようにすることを目標とした、ウルフラム・リサーチが主催するプロジェクトのウェブサイトである。このサイトでは、デモンストレーションと呼ばれるオープンソースの小さなインタラクティブプログラムが集められ、系統的に掲載されている。このデモンストレーションは、さまざまな分野のアイディアを視覚的かつインタラクティブに表現することを意図して作られている。このサイトの公開当初、デモンストレーションの数は1300件であったが、その後1万件以上にまで増加した。このサイトは2008年にParents' Choice Awardを受賞している。.
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Z変換
関数解析学において、Z変換（ゼッドへんかん、Z-transform）とは、離散群上で定義される、ローラン展開をベースにした関数空間の間の線形作用素。関数変換。 Z変換は離散群上でのラプラス変換とも説明される。なお、Z変換という呼び方は、ラプラス変換のことを「S変換」と呼んでいるようなものであり、定義式中の遅延要素であるzに由来する名前である。.
抽象代数学
抽象代数学 (ちゅうしょうだいすうがく、abstract algebra) とは、群、環、体、加群、ベクトル空間や線型環のように公理的に定義される代数的構造に関する数学の研究の総称である。.
正則関数
複素解析において、正則関数（せいそくかんすう、regular analytic function）あるいは整型函数（せいけいかんすう、holomorphic function）とは、ガウス平面あるいはリーマン面上のある領域の全ての点で微分可能であるような複素変数のことである。.
母関数
数学において、母関数（ぼかんすう、generating function; 生成関数）は、（自然数で添字付けられた）数列 に関する情報を内包した係数を持つ、形式的冪級数である。母関数は、一般線型回帰問題の解決のためにド・モアブルによって1730年に初めて用いられた。複数の自然数で添字付けられる数の配列（多重数列）の情報を取り込んだ多変数冪級数を同様に考えることもできる。 母関数には、通常型母関数、指数型母関数、ランベルト級数、ベル級数、ディリクレ級数 など様々なものがある。これらについては定義と例を後述する。原理的にはあらゆる列についてそれぞれの種類の母関数が存在する（ただし、ランベルト級数とディリクレ型は添字を 1 から始めることが必要）が、扱い易さについてはそれぞれの種類で相当異なるかもしれない。どの母関数が最も有効かは、その列の性質と解くべき問題の詳細に依存する。 母関数を、形式的冪級数に対する演算・操作を用いるなどして（級数の形ではなく）の式で表すこともよく行われる。このような母関数の表示は、母関数の不定元を x とすれば、四則演算、母関数のx に関する微分、他の母関数へ代入すること、などを行った結果として得られる。これらの操作は関数に対しても定義されるものであるし、結果として得られる式もやはり x の関数であるかのように見える。実際、母関数を x の（十分小さい）具体的な値で評価することのできる関数として解釈することができる場合も少なくない（このとき、母関数の冪級数表示は、母関数の閉じた形の式のテイラー級数と解釈される）のであり、それがこの式が「母関数」と呼ばれる所以でもある。しかし、形式的冪級数は x に何らかの数値を代入したときに収束するかどうかは問題にしないのであって、母関数についてそのような関数としての解釈が可能であるということは必ずしも要求されるものではないし、同様に x の関数として意味を持つ式がいずれも形式的冪級数に対して意味を持つわけではない。 慣例的に母「関数」と呼ばれてはいるが、始域から終域への写像という関数の厳密な意味に照らして言えば母関数は関数ではなく、今日的には生成級数（母級数）と呼ぶこともしばしばである。.
有理数
有理数（ゆうりすう、rational number) とは、二つの整数 a, b （ただし b は 0 でない）をもちいて a/b という分数で表せる数のことをいう。b.
数学
数学（すうがく、μαθηματικά, mathematica, math）は、量（数）、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.
数論
数論（すうろん、number theory）とは数、特に整数およびそれから派生する数の体系（代数体、局所体など）の性質について研究する数学の一分野である。整数論とも言う。ふつうは代数学の一分野とみなされることが多い。おおむね次の四つに分けられる。;初等整数論;代数的整数論;解析的整数論;数論幾何学 フェルマーの最終定理のように、数論のいくつかの問題については、他の数学の分野に比して問題そのものを理解するのは簡単である。しかし、使われる手法は多岐に渡り、また非常に高度であることが多い。 ガウスは次のような言葉を残している。.
0の0乗
の 乗（ぜろのぜろじょう、zero to the power of zero, 0 to the 0th power）は、累乗あるいは指数関数において、底を 、指数を としたものである。通常、指数関数 は実数 と に対して定義されているため、 はこの意味では定義されていない。その値は、指数の が「非負整数の 」であるような場合には と定義しておくと便利であることが多い一方で、0 と定義するのが便利である場合もある。少なくとも「実数あるいは複素数としての 0」であるような場合には、例えば二変数関数 を考えれば分かるように、原点 において自然な（二変数関数として連続となる）定義は存在しないから、連続性や解析性による延長はこの議論において有効でない。.
