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ベート数

索引 ベート数

数学において、無限基数はヘブライ文字 aleph（）の右下に順序数の添え字をつけて表される（アレフ数参照）。2番目のヘブライ文字 ב（）は関連した方法で使われるが、aleph によって表されるすべての数を表しているとは限らない。

目次

  1. 37 関係: 基数、可算集合、実数、実数直線、帰納的集合、代数的数、ユークリッド空間、ヘブライ文字、フォン・ノイマン宇宙、ドーヴァー出版、アレフ数、オックスフォード大学出版局、カントールの定理、冪集合、全順序、無理数、選択公理、順序集合、順序数、複素数、計算可能数、超越数、超限帰納法、部分集合、関数 (数学)、自然数、集合、連続体仮説、連続体濃度、連続写像、極限順序数、有理数、有限集合、数学、数列、整数、ב。

  2. 基数
  3. 無限

基数

数学において基数（きすう、cardinal number または cardinal）とは、集合の濃度（cardinality、大きさ、サイズ）を測るために定義された自然数の一般化である。有限集合の濃度つまり有限集合の要素の個数は自然数で表される。無限集合の濃度が一つではないことはゲオルク・カントールによって示された。 基数は、集合論で活発に研究されている。また、組合せ論や抽象代数学、解析学を含めた数学の各分野の道具としても使われる。圏論では、基数は集合の圏の を形成する。

見る ベート数と基数

可算集合

可算集合（かさんしゅうごう、countable set または denumerable set）または可付番集合とは、おおまかには、自然数全体と同じ程度多くの元を持つ集合のことである。各々の元に 1, 2, 3, … と番号を付けることのできる、すなわち元を全て数え上げることのできる無限集合と表現してもよい。 有限集合も、数え上げることができる集合という意味で、可算集合の一種とみなすことがある。そのため、はっきりと区別を付ける必要がある場合には、冒頭の意味での集合を可算無限集合 (countably infinite set) と呼び、可算無限集合と有限集合を合わせて高々可算 (at most countable) の集合と呼ぶ。可算でない無限集合を非可算集合 (uncountable set) という。非可算集合は可算集合よりも「多く」の元を持ち、全ての元に番号を付けることができない。そのような集合の存在は、カントールによって初めて示された。

見る ベート数と可算集合

実数

数学における実数（じっすう、nombre réel, reelle Zahl, real number）とは、連続な量を表すために有理数を拡張した数の体系である。 実数全体の空間は、途切れのなさにあたる完備性とよばれる位相的な性質を持ち、代数的には加減乗除ができるという体の構造を持っている。幾何学や解析学ではこれらのよい性質を利用して様々な対象が定義され、研究されている。一方でその構成方法に自明でない手続きが含まれるため、実数の空間は数学基礎論の観点からも興味深い性質を持っている。また、自然科学における連続的なものの計測値を表すのに十分な数の体系だとも考えられている。 実数の概念は、その形式的な定義が19世紀に達成される前から数の体系として使われていた。「実数」という名前は複素数の概念が導入された後に「普通の数」を表現する言葉として導入されたものである。

見る ベート数と実数

実数直線

数学における実数直線（じっすうちょくせん、real line, real number line）は、その上の各点が実数であるような直線である。 つまり、実数直線とは、すべての実数からなる集合 を、幾何学的な空間（具体的には一次元のユークリッド空間）とみなしたものということである。 この空間はベクトル空間（またはアフィン空間）や距離空間、位相空間、測度空間あるいは線型連続体としてみることもできる。 単に実数全体の成す集合としての実数直線は記号 (あるいは黒板太字の &#x211d) で表されるのがふつうだが、それが一次元のユークリッド空間であることを強調する意味で と書かれることもある。

見る ベート数と実数直線

帰納的集合

指示関数が帰納的関数となるような集合を帰納的集合（きのうてきしゅうごう）という。 端的に言えば、決定可能な集合であり、チャーチのテーゼを認めるならば、計算可能な集合である。 たとえば、素数の集合は、帰納的集合である。一方で停止性問題（実行すると停止するプログラムと入力の組の集合）は帰納的でない。

見る ベート数と帰納的集合

代数的数

代数的数（だいすうてきすう、algebraic number）とは、複素数であって、有理数係数（あるいは同じことだが、分母を払って、整数係数）の 0 でない一変数多項式の根（すなわち多項式の値が 0 になる値）となるものをいう。全ての有理数と、その整数冪根は代数的数である。実数や複素数には代数的数でないものも存在し、そのような数は超越数と呼ばれる。例えば π や e は超越数である。ほとんどすべての複素数は超越数である（#集合論的性質）。

見る ベート数と代数的数

ユークリッド空間

ユークリッド空間（ユークリッドくうかん、Euclidean space）とは、数学における概念の1つで、エウクレイデス（ユークリッド）が研究したような幾何学（ユークリッド幾何学）の場となる平面や空間、およびその高次元への一般化である。エウクレイデスが研究した平面や空間はそれぞれ、2次元ユークリッド空間、3次元ユークリッド空間に当たり、これらは通常、ユークリッド平面、ユークリッド空間などとも呼ばれる。「ユークリッド的」という修飾辞は、これらの空間が非ユークリッド幾何やアインシュタインの相対性理論に出てくるような曲がった空間ではないことを示唆している。 古典的なギリシャ数学では、ユークリッド平面や（三次元）ユークリッド空間は所定の公準によって定義され、そこからほかの性質が定理として演繹されるものであった。現代数学では、デカルト座標と解析幾何学の考え方にしたがってユークリッド空間を定義するほうが普通である。そうすれば、幾何学の問題に代数学や解析学の道具を持ち込んで調べることができるようになるし、三次元以上のユークリッド空間への一般化も容易になるといった利点が生まれる。

見る ベート数とユークリッド空間

ヘブライ文字

ヘブライ文字（ヘブライもじ、אלפבית עברי 、ヘブル文字とも）とは、主にヘブライ語を表記するための文字である。ほかにイディッシュ語などの表記にも用いられる。 現代のヘブライ文字は、アラム文字より派生したアブジャドの一種で、右書き（右から左に）で書く。ヘブライ語の話者はヘブライ文字をアレフベートと呼ぶ。22文字の子音文字からなる表音文字で、うち k、m、n、p、 の5つの文字に非語末形と語末形（ソフィート）の区別があるため、27文字になっている。

見る ベート数とヘブライ文字

フォン・ノイマン宇宙

数学の集合論とその周辺分野において、フォン・ノイマン宇宙 とは、整礎集合全体のクラスである。この集まりは、ZFCによって定義され、ZFCの公理に解釈や動機を与えるためにしばしば用いられる。 整礎集合の階数(rank)はその集合の全ての要素の階数より大きい最小の順序数として帰納的に定義される。特に、空集合の階数はで、順序数はそれ自身と等しい階数をもつ。内の集合はその階数に基づいて超限個の階層に分けられ、その階層は累積的階層と呼ばれる。

見る ベート数とフォン・ノイマン宇宙

ドーヴァー出版

ドーヴァー出版（英:Dover Publications）は、アメリカの出版社。本社はニューヨーク市にある。1941年設立。 元の出版元で絶版になった本の再出版で有名である。再出版する書籍にはパブリックドメインのものも多い。歴史的に意義深く質の高い本を丈夫な製本と安い値段で提供する方針のもとに、現在までに9,000タイトル以上の書籍を出版している。 古典文学、クラシック音楽の楽譜、18-19世紀の図版の再出版が特に有名である。また、学生から一般読者向けの数学・科学関連書籍や、軍事史、アメリカ史、奇術、チェスなど特定の分野の本の出版もしている。 著作権使用料無料（royalty-free）のデザイン・イラスト集を多く出版しており、画集的なものから、そのままコピーして使う素材集まで存在する。題材は19世紀以前のイラスト、アールヌーボーの意匠、伝統的な民族文様など多様である。CD-ROM付きのシリーズもある。コンピューター関連メディア企業オライリー社の初期の書籍表紙の動物の絵は、ドーヴァー出版の19世紀の版画図版から採用されたものである。

見る ベート数とドーヴァー出版

アレフ数

数学を基礎付ける集合論において、アレフ数（アレフすう、aleph number）は無限集合の濃度（あるいは大きさ）を表現するために使われる順序数のクラスである。 名称はそれらを表記するのに使われる文字、ヘブライ文字の第一文字アレフ (א&rlm) に由来する。 自然数全体の集合の濃度はアレフ・ノート （; アレフ・ヌル (aleph-null) あるいはアレフ・ゼロ (aleph-zero) とも）であり、それより一段階大きい濃度がアレフ・ワン, 次はアレフ・ツー と以下同様に続く。このように続けて、すべての順序数 に対して以下に述べられるように一般のアレフ数となる濃度 を定義することができる。

見る ベート数とアレフ数

オックスフォード大学出版局

Walton Streetのオックスフォード大学出版局 オックスフォード大学出版局（オックスフォードだいがくしゅっぱんきょく、英語：Oxford University Press、略称OUP）は、イングランドのオックスフォード大学の出版局を兼ねる出版社である。OUPは世界最大の大学出版局であり、アメリカの全ての大学出版局とケンブリッジ大学出版局の合計以上の規模を誇る。OUPはケンブリッジ大学出版局とともに、イギリスの特権出版社 (Privileged presses イギリスで祈祷書・欽定訳聖書の出版権を持つ出版社) の一つである。インド・パキスタン・カナダ・オーストラリア・ニュージーランド・マレーシア・シンガポール・ナイジェリア・南アフリカ共和国など、世界中に支部を持っている。OUP USAは1896年ごろに設立され、1987年に法人化された非公開有限 (Private limited company) の子会社で、OUP初の国際ベンチャーである。1905年設立のカナダ支部は2番目。OUP全体は選挙によって選ばれた、出版局代表団 (Delegates of the Press) と呼ばれる代表者たちによって運営される。出版局代表団はすべてオックスフォード大学のメンバーである。現在、OUPが用いる出版社名は二つある。第一に参考書・教育書・学術書などの大部分はOxford University Press (オックスフォード大学出版局) 名義、「名声のある (prestige)」学術書はClarendon Press (クラレンドンプレス) 名義である。主要な支部のほとんどは、OUP本部の書籍の発行・販売だけでなく、その地域の出版社として機能している。

見る ベート数とオックスフォード大学出版局

カントールの定理

カントールの定理（カントールのていり、Cantor's theorem）は、集合論における基本的な定理の一つで、冪集合の濃度について述べたものである。最初にこれを証明したドイツ人数学者ゲオルク・カントールにちなむ。

見る ベート数とカントールの定理

冪集合

冪集合（べきしゅうごう、power set）とは、数学において、与えられた集合から、その部分集合の全体として新たに作り出される集合のことである。べきは冪乗の冪（べき）と同じもので、冪集合と書くのが正確だが、一部分をとった略字として巾集合とも書かれる。 集合と呼ぶべき対象を公理的にかつ構成的に与える公理的集合論では、新たに作られた原体の冪集合もしくはそれに準ずる複数の冪集合が、それぞれの連続性に関わらず集合と呼ばれるべきもののうちにあることを公理の一つ（冪集合公理）としてしばしば提示する。

見る ベート数と冪集合

全順序

数学における全順序（ぜんじゅんじょ、total order）とは、集合での二項関係で、推移律、反対称律かつ完全律の全てを満たすもののことである。 単純順序（たんじゅんじゅんじょ、simple order）、線型順序（せんけいじゅんじょ、linear order）とも呼ばれる。 集合と全順序を組にしたものは、全順序集合 (totally ordered set), 線型順序集合 (linearly ordered set), 単純順序集合 (simply ordered set) あるいは鎖 (chain) と呼ばれる。 即ち、集合 上の関係 が全順序であるとは、が、 の任意の元 に対して、次の4条件を満たすことである：。

見る ベート数と全順序

無理数

無理数（むりすう、 irrational number）とは、有理数ではない実数、つまり整数の比（ratio）（分数）で表すことのできない実数のことである。実数は非可算個で有理数は可算個であるから、無理数は非可算個あり、ほとんど全ての実数は無理数である。 無理数という語は、何かが「無理である数」という意味に受け取れるため、語義的に「無比数」と訳すべきだったという意見もある（有理数#用語の由来も参照）。 2 は無理数である。

見る ベート数と無理数

選択公理

選択公理（せんたくこうり、、選出公理ともいう）とは公理的集合論における公理のひとつで、どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。1904年にエルンスト・ツェルメロによって初めて正確な形で述べられた。

見る ベート数と選択公理

順序集合

順序集合（じゅんじょしゅうごう、）は集合の要素の間に順序が定義された集合。順序とは二項関係であって後述する反射律・推移律などを満たすものであり、数の大小関係などを一般化したものである。 全ての2要素が比較可能（順序が定義されている）ものを特に全順序集合（）という。例えば実数における大小関係は全順序集合である。 また、全順序ではない順序集合の例としては、正の整数全体の集合に整除関係で順序を定めたものや、（2つ以上元を含む）集合の冪集合において、包含関係を順序と見なしたものがある。 後述するように、順序が満たすべき公理の種類により、前順序集合、半順序集合（）、全順序集合がある。多く場合、半順序集合を指して「順序集合」と呼ぶことが多いが、分野によっては前順序集合や全順序集合を指す場合がある。

見る ベート数と順序集合

順序数

数学の特に集合論において、順序数（じゅんじょすう、ordinal number）とは、整列集合同士の“長さ”を比較するために、自然数を拡張させた概念である。

見る ベート数と順序数

複素数

2。

見る ベート数と複素数

計算可能数

数学において、計算可能数（けいさんかのうすう）は実数であって、有限かつ停止するアルゴリズムによって望んだいかなる精度でも計算可能なもののことである。再帰的な数、実効的な数、計算可能実数、再帰的実数などとしても知られる。 同値な定義はμ再帰関数、チューリングマシン、ラムダ計算などを用いたアルゴリズムの形式的表現によっても得られる。計算可能数は実閉体をなし、全てではないが多くの数学的な目的において実数の代わりに用いることができる。

見る ベート数と計算可能数

超越数

円と等面積の正方形を作図することは不可能である。 超越数（ちょうえつすう、transcendental number）とは、代数的数でない複素数、すなわちどの有理係数の代数方程式 のにもならない複素数のことである。有理数は一次方程式の解であるから、超越的な実数はすべて無理数であるが、例えば無理数 2 は二次方程式 の解であるから、その逆は成り立たない。超越数論は、超越数について研究する数学の分野で、与えられた数の超越性の判定などが主な問題である。 よく知られた超越数にネイピア数 （自然対数の底）や円周率 があり、またほとんど全ての複素数が超越数であることが分かっている。ただし超越性が示されている複素数のクラスはほんの僅かであり、与えられた数が超越数であるかどうかを調べるのは難しい問題だとされている。例えば、ネイピア数と円周率はともに超越数であるにもかかわらず、それをただ足しただけの すら超越数かどうか分かっていない。

見る ベート数と超越数

超限帰納法

超限帰納法（ちょうげんきのうほう、Transfinite induction）は、数学的帰納法の整列集合上への拡張である、例えば順序数や基数の集合の上で行う。この手法の正当性はZFCの定理である。

見る ベート数と超限帰納法

部分集合

部分集合（ぶぶんしゅうごう、subset）とは数学における概念の一つ。集合Aが集合Bの部分集合であるとは、AがBの一部の要素だけからなることである。AがBの一部分であるという意味で部分集合という。二つの集合の一方が他方の部分集合であるとき、この二つの集合の間に包含関係があるという。

見る ベート数と部分集合

関数 (数学)

数学における関数（かんすう、、、、 蘭: functie、、函数とも書かれる）とは、かつてはある変数に依存して決まる値あるいはその対応を表す式のことであった。この言葉はゴットフリート・ライプニッツによって導入された。その後定義が一般化され、現代では数の集合に値をとる写像の一種であると理解されるものとなった。

見る ベート数と関数 (数学)

自然数

自然数（しぜんすう、natural number）とは、個数もしくは順番を表す一群の数のことである。集合論においては、自然数は物の個数を数える基数のうちで有限のものであると考えることもできるし、物の並べ方を示す順序数のうちで有限のものであると考えることもできる。 自然数を 1, 2, 3, … とする流儀と、0, 1, 2, 3, … とする流儀があり、前者は数論などでよく使われ、後者は集合論、論理学などでよく使われる（詳しくは#自然数の歴史と零の地位の節を参照）。日本では高校教育課程においては0を入れないが、大学以降では0を含めることも多い（より正確には、代数学では0を含め、解析学では除外することが多い）。いずれにしても、0 を自然数に含めるかどうかが問題になるときは、その旨を明記する必要がある。自然数の代わりに前者を正整数、後者を非負整数と言い換えることによりこの問題を避けることもある。

見る ベート数と自然数

集合

集合（しゅうごう、set, ensemble, Menge）とは数学における概念の1つで、大雑把に言えばいくつかの「もの」からなる「集まり」である。集合を構成する個々の「もの」のことを元 (げん、; 要素) という。 集合は、集合論のみならず現代数学全体における最も基本的な概念の一つであり、現代数学のほとんどが集合と写像の言葉で書かれていると言ってよい。 慣例的に、ある種の集合が系 (けい、) や族 (ぞく、) などと呼ばれることもある。実際には、これらの呼び名に本質的な違いはないが細かなニュアンスの違いを含むと考えられている。たとえば、方程式系（「相互に連立する」方程式の集合）、集合族（「一定の規則に基づく」集合の集合）、加法族（「加法的な性質を持つ」集合族）など。

見る ベート数と集合

連続体仮説

連続体仮説（れんぞくたいかせつ、Continuum hypothesis, CH）とは、可算濃度と連続体濃度の間には他の濃度が存在しないとする仮説。19世紀にゲオルク・カントールによって提唱された。現在の数学で用いられる標準的な枠組みのもとでは「連続体仮説は証明も反証もできない命題である」ということが明確に証明されている。

見る ベート数と連続体仮説

連続体濃度

集合論における連続体濃度（れんぞくたいのうど、cardinality of the continuum）とは、実数全体の成す集合 R の濃度（あるいは基数、集合の「大きさ」の尺度）のことである。連続体濃度を持った集合を連続体 (continuum) と呼ぶこともある。これは無限濃度のひとつであり、|R|, 2ℵ0（ℵはヘブライ文字のアレフ）, beth_1 または mathfrak c（ドイツ文字小文字の c）などの記号で表される。

見る ベート数と連続体濃度

連続写像

数学において、関数または写像 が、定義域のある点 において連続（れんぞく、continuous）であるとは、 が において極限を保つこと、平たく言えば、 の入力 を に「限りなく近づける」ことで、その近づけ方によらず、出力 をも に「限りなく近づける」ことができるということである。特に定義域の全ての点において連続であるとき、 は連続関数（れんぞくかんすう、continuous function）または連続写像（れんぞくしゃぞう）という。連続でないことは不連続（ふれんぞく、discontinuous）という。 連続性は多項式関数や指数関数といった多くの初等関数が備える性質であり、実数値関数では連結集合の上で中間値の定理、コンパクト集合の上で最大値最小値定理が成り立つほか、微分可能であるための必要条件や積分可能であるための十分条件でもあるなど、解析学的に重要な性質を伴う。

見る ベート数と連続写像

極限順序数

集合論およびにおける極限順序数（きょくげんじゅんじょすう、limit ordinal）は でも後続順序数でもない順序数を言う。あるいは、順序数 が極限順序数であるための必要十分条件は「 より小さい順序数が存在して、順序数 が より小さい限り別の順序数 が存在して。

見る ベート数と極限順序数

有理数

有理数（ゆうりすう、rational number）とは、整数の比（ratio）として表すことができる実数のことである。分母・分子ともに整数の分数として表すことができる実数との説明もされる。整数は、分母が 1 の分数と考えることにより、有理数の特別な場合となる。

見る ベート数と有理数

有限集合

数学において、集合が有限（ゆうげん、finite）であるとは、自然数 n を用いて という形にあらわされる集合との間に全単射が存在することをいう（ただしここでは、n。

見る ベート数と有限集合

数学

数学（すうがく）とは、数・量・図形などに関する学問であり、理学の一種。「算術・代数学・幾何学・解析学・微分法・積分法などの総称」とされる。 数学は自然科学の一種にも、自然科学ではない「形式科学」の一種にも分類され得る。

見る ベート数と数学

数列

数学において数列（すうれつ、numerical sequence）とは、数が列になったもの (sequence of numbers) を言う。 例えば正の奇数を小さい順に並べた のような数の“並び”が数列である。並べる数に制限を加えて、たとえば自然数のみを並べるならば、これを自然数列と略称する。整数、有理数、実数などのほかの数体系を用いる場合も同様の略称を用いる。各々の数の“置かれるべき場所”は数列の項 (こう、term) と呼ばれる。数の並びが数列と呼ばれるためには、数列の各項を“順番に並べる”こと、つまりそれぞれの数が何番目の項に配置されているのかを一意に示すように番号付けができなければならない。したがって、 “最も簡単”な数列は自然数を小さい順に並べた数列 ということになる（これは自然数が順序数であることによる）。

見る ベート数と数列

整数

整数（mathbb Z）は有理数（mathbb Q ）の一部であり、自然数（mathbb N）を含む。 数学における整数（せいすう、integer; whole number、Ganze Zahl、nombre entier、número entero）は、1 とそれに 1 ずつ加えて得られる自然数 (1, 2, 3, 4, …) 、これらに−1を乗じて得られる負数 (−1, −2, −3, −4, …) 、および 0 の総称である。 整数は数直線上の格子点として視覚化される 整数の全体からなる集合は、一般に太字の mathbf Z または黒板太字の mathbb Z で表す。これはドイツ語"Zahlen"（ツァーレン。「数」の意・複数形）に由来する。

見る ベート数と整数

ב

ב（ベート、、bet）はヘブライ文字の2番目の文字。ヘブライ数字の数価は2。 との2つの発音があり、後者の場合、文字名称はヴェートとも呼ばれる。 アラビア文字のب、ギリシャ文字のΒ、キリル文字のБあるいはВ、ラテン文字のBに対応する。

見る ベート数とב

参考情報

基数

無限

ベート2、ベート・ツー、ベート・オメガ、ベート関数 別名。