37 関係: 半群、単位元、単体 (数学)、単集合、対称差、差集合、上限、交換法則、代数的構造、モノイド、ブール代数、ド・モルガンの法則、分配法則、和集合、カントールの対角線論法、冪乗、写像、全単射、公理的集合論、共通部分 (数学)、空集合、群 (数学)、結合法則、環 (数学)、順序集合、部分集合、配置集合、集合、連続体仮説、連続体濃度、束 (束論)、濃度 (数学)、指示関数、有限集合、族 (数学)、数学、2の冪。
半群
数学における半群(はんぐん、semigroup)は集合 S とその上の結合的二項演算とをあわせて考えた代数的構造である。言い換えれば、半群とは演算が結合的なマグマのことをいう。半群の名は、既存の群の概念に由来するものである。半群は、各元が必ずしも逆元を持たないこと(さらに、単位元すら持たないかもしれないこと)が、群と異なる。 半群の演算はほとんど乗法的に書かれる(順序対 (x, y) に対して演算を施した結果を x • y などで、あるいは単に xy で表す)。 半群についてきちんとした形での研究が行われるようになるのは20世紀の初めごろからである。半群は、「無記憶」系 ("memoryless" system) すなわち各反復時点でゼロから開始される時間依存系 (time-dependent system) の抽象代数的な定式化の基盤であるので、数学の各種分野において重要な概念である。応用数学においては、半群はの基本モデルである。また偏微分方程式論では、半群は空間発展的かつ時間非依存な任意の方程式に対応している。有限半群論は1950年代以降、有限半群と有限オートマトンとの間の自然な関連性から、理論計算機科学の分野で特に重要となった。確率論では半群はマルコフ過程に関連付けられている 。.
単位元
数学、とくに抽象代数学において、単位元(たんいげん, )あるいは中立元(ちゅうりつげん, )は、二項演算を備えた集合の特別な元で、ほかのどの元もその二項演算による単位元との結合の影響を受けない。.
単体 (数学)
数学、とくに位相幾何学において、n 次元の単体(たんたい、simplex)とは、「r ≤ n ならばどの r + 1 個の点も r − 1 次元の超平面に同時に含まれることのない」ような n + 1 個の点からなる集合の凸包のことで、点・線分・三角形・四面体といった基本的な図形の n 次元への一般化である。 単体は、頂点の位置さえ決めればそれのみによって一意的に決定される。さらに単体は単体的複体や鎖複体などの概念を与えるが、これらはさらに抽象化されて、幾何学を組合せ論的あるいは代数的に扱う道具となる。また逆に、抽象化された複体の概念から単体が定義される。.
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単集合
数学における単集合(たんしゅうごう、singleton; 単元集合、単項集合、一元集合)あるいは単位集合()は、唯一の元からなる集合である。一つ組 (1-tuple) や単項列 (a sequence with one element) と言うこともできる。 例えば、 という集合は単集合である。.
対称差
数学において、2 つの集合 と との対称差(たいしょうさ、symmetric difference)とは、“ に属し、 に属さないもの” と “ に属し、 に属さないもの” とを全部集めて得られる集合である。一般に、集合 と との対称差を、記号 などで表す。例えば、 と との対称差は に等しい: 。 任意の集合に対して、その集合の冪集合は、対称差 を算法としてアーベル群となる。空集合 はその群の単位元であり、その群の任意の元はその元自身の逆元である。また、任意の集合に対して、その集合の冪集合は、対称差 を加法とし共通部分 を乗法とするとき、となる。.
差集合
差集合(さしゅうごう、set difference)とは、ある集合の中から別の集合に属する要素を取り去って得られる集合のことである。特に、全体集合 を固定して、 からその部分集合 の要素を取り去って得られる集合を の補集合という。.
上限
上限(じょうげん).
交換法則
交換法則(こうかんほうそく、Commutative property) は数学における法則の一つ。可換則(かかんそく)や交換律(こうかんりつ)ともいう。.
代数的構造
数学において代数的構造(だいすうてきこうぞう、algebraic structure)とは、集合に定まっている算法(演算ともいう)や作用によって決まる構造のことである。代数的構造の概念は、数学全体を少数の概念のみを用いて見通しよく記述するためにブルバキによって導入された。 また、代数的構造を持つ集合は代数系(だいすうけい、algebraic system)であるといわれる。すなわち、代数系というのは、集合 A とそこでの算法(演算の規則)の族 R の組 (A, R) のことを指す。逆に、具体的なさまざまな代数系から、それらが共通してもつ原理的な性質を抽出して抽象化・公理化したものが、代数的構造と呼ばれるのである。 なお、分野(あるいは人)によっては代数系そのもの、あるいは代数系のもつ算法族のことを代数的構造とよぶこともあるようである。 後者は、代数系の代数構造とも呼ばれる。 現代では、代数学とは代数系を研究する学問のことであると捉えられている。.
モノイド
数学、とくに抽象代数学における単系(たんけい、monoid; モノイド)はひとつの二項演算と単位元をもつ代数的構造である。モノイドは単位元をもつ半群(単位的半群)であるので、半群論の研究対象の範疇に属する。 モノイドの概念は数学のさまざまな分野に現れる。たとえば、モノイドはそれ自身が「ただひとつの対象をもつ圏」と見ることができ、したがって「集合上の写像とその合成」といった概念を捉えたものと考えることもできる。モノイドの概念は計算機科学の分野でも、その基礎付けや実用プログラミングの両面で広く用いられる。 モノイドの歴史や、モノイドに一般的な性質を付加した議論などは半群の項に譲る。.
ブール代数
ブール代数(ブールだいすう、boolean algebra)またはブール束(ブールそく、boolean lattice)とは、ジョージ・ブールが19世紀中頃に考案した代数系の一つである。ブール代数の研究は束の理論が築かれるひとつの契機ともなった。ブール論理の演算はブール代数の一例であり、現実の応用例としては、組み合わせ回路(論理回路#組み合わせ回路)はブール代数の式で表現できる。.
ド・モルガンの法則
ド・モルガンの法則(ド・モルガンのほうそく、De Morgan の法則)は、ブール論理や集合の代数学において、論理和と論理積と否定(集合のことばでは、共通部分と合併と補集合)の間に成り立つ規則性である。名前は数学者オーガスタス・ド・モルガン(1806–1871)にちなむ。 この関係性は(論理のことばで言うと)「真と偽を入替え、論理和を論理積を入替えた論理体系」は、元の論理体系と同一視できる、ということであるので、ド・モルガンの双対性(英: De Morgan's duality)と呼ばれることもある。.
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分配法則
集合 S に対して、積 × と和 + が定義されている時に、.
和集合
数学において、集合族の和集合(わしゅうごう)、あるいは合併集合(がっぺいしゅうごう)、合併(がっぺい、)、あるいは演算的に集合の和(わ、sum)、もしくは'''結び'''(むすび、)とは、集合の集まり(集合族)に対して、それらの集合のいずれか少なくとも一つに含まれているような要素を全て集めることにより得られる集合のことである。.
カントールの対角線論法
ントールの対角線論法(カントールのたいかくせんろんぽう)は、数学における証明テクニック(背理法)の一つ。1891年にゲオルク・カントールによって非可算濃度を持つ集合の存在を示した論文の中で用いられたのが最初だとされている。 その後対角線論法は、数学基礎論や計算機科学において写像やアルゴリズム等が存在しない事を示す為の代表的な手法の一つとなり、例えばゲーデルの不完全性定理、停止性問題の決定不能性、時間階層定理といった重要な定理の証明で使われている。.
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冪乗
冪演算(べきえんざん、英: 独: 仏: Exponentiation)は、底 (base) および冪指数 (exponent) と呼ばれる二つの数に対して定まる数学的算法である。通常は、冪指数を底の右肩につく上付き文字によって示す。自然数 を冪指数とする冪演算は累乗(るいじょう、repeated multiplication) に一致する。 具体的に、 および冪指数 を持つ冪 (power) は、 が自然数(正整数)のとき、底の累乗 で与えられる。このとき は の -乗とか、-次の -冪などと呼ばれる。 よく用いられる冪指数に対しては、固有の名前が与えられているものがある。例えば冪指数 に対して二次の冪(二乗) は の平方 (square of) あるいは -自乗 (-squared) と呼ばれ、冪指数 に対する三次の冪 は の立方 (cube of, -cubed) と呼ばれる。また冪指数 に対して冪 は であり の逆数(あるいは乗法逆元)と呼ばれる。一般に負の整数 に対して底 が零でないとき、冪 はふつう なる性質を保つように と定義される。 冪演算は任意の実数あるいは複素数を冪指数とするように定義を拡張することができる。底および冪指数が実数であるような冪において、底を固定して冪指数を変数と見なせば指数函数が、冪指数を固定して底を変数と見れば冪函数がそれぞれ生じる。整数乗冪に限れば、行列などを含めた非常に多種多様な代数的対象に対してもそれを底とする冪を定義することができるが、冪指数まで同種の対象に拡張するならばその上で定義された自然指数函数と自然対数函数を持つ完備ノルム環(例えば実数全体 や複素数全体 などはそう)を想定するのが自然である。.
写像
写像(しゃぞう、mapping, map)とは、二つの集合が与えられたときに、一方の集合の各元に対し、他方の集合のただひとつの元を指定して結びつける対応のことである。函数(関数)、変換、作用素、射などが写像の同義語として用いられることもある。 ブルバキに見られるように、写像は集合とともに現代数学の基礎となる道具の一つである。現代的な立場では、「写像」と(一価の)「函数」は論理的におなじ概念を表すものと理解されているが、歴史的には「函数」の語は解析学に出自を持つものであり、一部には必ずしも写像でないものも函数の名の下におなじ範疇に扱われる(多価函数参照)。文献によっては「数の集合(大抵の場合実数体 または複素数体 の部分集合)を終域に持つ写像」をして特に「函数」と呼び、「写像」はより一般の場合に用いる。函数、二項関係、対応の各項も参照のこと。.
全単射
数学において、全単射(ぜんたんしゃ)あるいは双射(そうしゃ)(bijective function, bijection) とは、写像であって、その写像の終域となる集合の任意の元に対し、その元を写像の像とする元が、写像の定義域となる集合に常にただ一つだけ存在するようなもの、すなわち単射かつ全射であるような写像のことを言う。例としては、群論で扱われる置換が全単射の良い例である。 全単射であることを一対一上への写像 (one-to-one onto mapping)あるいは一対一対応 (one-to-one correspondence) ともいうが、紛らわしいのでここでは使用しない。 写像 f が全単射のとき、fは可逆であるともいう。.
公理的集合論
公理的集合論(こうりてきしゅうごうろん、axiomatic set theory)とは、公理化された集合論のことである。.
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共通部分 (数学)
数学において、集合族の共通部分(きょうつうぶぶん、intersection)とは、与えられた集合の集まり(族)全てに共通に含まれる元を全て含み、それ以外の元は含まない集合のことである。共通集合(きょうつうしゅうごう)、交叉(こうさ、交差)、交わり(まじわり、)、積集合(せきしゅうごう)、積(せき)、などとも呼ばれる。ただし、積集合は直積集合の意味で用いられることが多い。.
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空集合
集合(くうしゅうごう、empty set)は、要素を一切持たない集合の事である。公理的集合論において、空集合は公理として存在を仮定される場合と、他の公理から存在が導かれる場合がある。空集合を表す記号として、∅ または \emptyset、 がある。記号 ∅ はノルウェー語等で用いられるアルファベット Ø に由来しており、形の似ているギリシャ文字φ, Φ(ファイ)とは全く関係がない。.
群 (数学)
数学における群(ぐん、group)とは最も基本的と見なされる代数的構造の一つである。群はそれ自体興味深い考察対象であり、群論における主要な研究対象となっているが、数学や物理学全般にわたってさまざまな構成に対する基礎的な枠組みを与えている。.
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結合法則
数学、殊に代数学における結合法則(けつごうほうそく、associative law) 、結合則、結合律あるいは演算の結合性(けつごうせい、associativity)は二項演算に対して考えられる性質の一つ。ひとつの数式にその演算の演算子が2個以上並んでいる時、その演算子について、左右どちらの側が優先されるかに関わらず結果が同じになるような演算は結合的 (associative) である。.
環 (数学)
数学における環(かん、ring)は、台集合に「加法」(和)および「乗法」(積)と呼ばれる二種類の二項演算を備えた代数系になっており、最もよく知られた環の例は、整数全体の成す集合に自然な加法と乗法を考えたものである(これは乗法が可換だから可換環の例でもある)。ただし、それが環と呼ばれるためには、環の公理として、加法は可換で、加法と乗法はともに結合的であって、乗法は加法の上に分配的で、各元は加法逆元をもち、加法単位元が存在すること、が全て要求される。従って、台集合は加法のもと「加法群」と呼ばれるアーベル群を成し、乗法のもと「乗法半群」と呼ばれる半群であって、乗法は加法に対して分配的であり、またしばしば乗法単位元を持つ乗法に関しては半群となることのみを課す(乗法単位元の存在を要求しない)こともある。定義に関する注意節を参照。なお、よく用いられる環の定義としていくつか流儀の異なるものが存在するが、それについては後述する。 環について研究する数学の分野は環論として知られる。環論学者が研究するのは(整数環や多項式環などの)よく知られた数学的構造やもっと他の環論の公理を満足する多くの未だよく知られていない数学的構造のいずれにも共通する性質についてである。環という構造のもつ遍在性は、数学の様々な分野において同時多発的に行われた「代数化」の動きの中心原理として働くことになった。 また、環論は基本的な物理法則(の根底にある特殊相対性)や物質化学における対称現象の理解にも寄与する。 環の概念は、1880年代のデデキントに始まる、フェルマーの最終定理に対する証明の試みの中で形成されていった。他分野(主に数論)からの寄与もあって、環の概念は一般化されていき、1920年代のうちにエミー・ネーター、ヴォルフガング・クルルらによって確立される。活発に研究が行われている数学の分野としての現代的な環論では、独特の方法論で環を研究している。すなわち、環を調べるために様々な概念を導入して、環をより小さなよく分かっている断片に分解する(イデアルをつかって剰余環を作り、単純環に帰着するなど)。こういった抽象的な性質に加えて、環論では可換環と非可換環を様々な点で分けて考える(前者は代数的数論や代数幾何学の範疇に属する)。特に豊かな理論が展開された特別な種類の可換環として、可換体があり、独自に体論と呼ばれる分野が形成されている。これに対応する非可換環の理論として、非可換可除環(斜体)が盛んに研究されている。なお、1980年代にアラン・コンヌによって非可換環と幾何学の間の奇妙な関連性が指摘されて以来、非可換幾何学が環論の分野として活発になってきている。.
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順序集合
数学において順序集合(じゅんじょしゅうごう、ordered set)とは「順序」の概念が定義された集合の事で、「順序」とは大小、高低、長短等の序列に関わる概念を抽象化したものである。ただし、順序集合内の2つの元, に順序関係が定まっている(「比較可能」である)必要はなく、両者が「比較不能」であってもよい。 比較不能のケースを許容していることを強調して順序集合の事を半順序集合(はんじゅんじょしゅうごう、partially ordered set, poset)ともいう。一方、半順序集合の中で比較不能のケースがないものを特に全順序集合 という。(「半順序」という言葉が「全順序」の対義語ではない事に注意。全順序集合も半順序集合の一種である。) 全順序集合の簡単な例は整数の集合や実数の集合で、通常の大小比較を順序とみなしたものがある。 一方、全順序ではない半順序集合の例としては、正の整数全体の集合に整除関係で順序を入れたものや、(2つ以上元を含む)集合の冪集合において、包含関係を順序とみなしたものがある。例えば2元集合 において と はいずれも他方を包含していないので S の冪集合は全順序ではない。 実生活に近い例では、「AさんはBさんの子孫である」という事を「A<B」という大小関係とみなす事で人間全体の集合を半順序集合とみなせる。AさんとBさんはどちらも他方の子孫でない事もありうる(兄弟同士、叔父と甥、赤の他人等)ので、この順序集合は全順序ではない。.
部分集合
集合 A が集合 B の部分集合(ぶぶんしゅうごう、subset; 下位集合)であるとは、A が B の一部(あるいは全部)の要素だけからなることである。A が B の一部分であるという意味で部分集合という。二つの集合の一方が他方の部分集合であるとき、この二つの集合の間に包含関係があるという。.
配置集合
数学の集合論における配置集合(はいちしゅうごう、Belegungsmenge)あるいは集合の冪(べき、exponentiation ensembliste)は、二つの集合 に対する演算で、 から への写像全体の集合を割り当てるものである。この集合は や などと書かれる。これはまた、 で添字付けられた の元の族の全体 F^E.
集合
数学における集合 (しゅうごう、set, ensemble, Menge) とは、大雑把に言えばいくつかの「もの」からなる「集まり」である。集合を構成する個々の「もの」のことを元 (げん、; 要素) という。 集合は、集合論のみならず現代数学全体における最も基本的な概念の一つであり、現代数学のほとんどが集合と写像の言葉で書かれていると言ってよい。 慣例的に、ある種の集合が系 (けい、) や族 (ぞく、) などと呼ばれることもある。実際には、これらの呼び名に本質的な違いはないが細かなニュアンスの違いを含むと考えられている。たとえば、方程式系(「相互に連立する」方程式の集合)、集合族(「一定の規則に基づく」集合の集合)、加法族(「加法的な性質を持つ」集合族)など。.
連続体仮説
連続体仮説(れんぞくたいかせつ、Continuum Hypothesis, CH)とは、可算濃度と連続体濃度の間には他の濃度が存在しないとする仮説。19世紀にゲオルク・カントールによって提唱された。現在の数学で用いられる標準的な枠組みのもとでは「連続体仮説は証明も反証もできない命題である」ということが明確に証明されている。.
連続体濃度
集合論における連続体濃度(れんぞくたいのうど、cardinality of the continuum)とは、実数全体の成す集合 R の濃度(あるいは基数、集合の「大きさ」の尺度)のことである。連続体濃度を持った集合を連続体 (continuum) と呼ぶこともある。これは無限濃度のひとつであり、|R|, 2ℵ0(ℵはヘブライ文字のアレフ), または \mathfrak c(ドイツ文字小文字の c)などの記号で表される。.
束 (束論)
数学における束(そく、lattice)は、任意の二元集合が一意的な上限(最小上界、二元の結びとも呼ばれる)および下限(最大下界、二元の交わりとも呼ばれる)を持つ半順序集合である。それと同時に、ある種の公理的恒等式を満足する代数的構造としても定義できる。二つの定義が同値であることにより、束論は順序集合論と普遍代数学の双方の領域に属することとなる。さらに、半束 (semilattice) の概念は束の概念を含み、さらにハイティング代数やブール代数の概念も含む。これら束に関連する構造は全て順序集合としても代数系としても記述することができるという特徴を持つ。.
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濃度 (数学)
数学、とくに集合論において、濃度(のうど)あるいは基数(きすう)(cardinal number, cardinality, power)とは、集合の「元の個数」という概念を拡張したものである。有限集合については、濃度は「元の個数」の同意語に過ぎない。。。.
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指示関数
数学において指示関数(しじかんすう、indicator function)、集合の定義関数、特性関数(とくせいかんすう、characteristic function)は、集合の元がその集合の特定の部分集合に属するかどうかを指定することによって定義される関数である。.
有限集合
数学において、集合が有限(ゆうげん、finite)であるとは、自然数 n を用いて という形にあらわされる集合との間に全単射が存在することをいう(ただしここでは、n.
族 (数学)
数学における族(ぞく、family)は、添字付けされた元(要素)の(一般には非可算無限個の)集まりで、対、n-組、列などの概念の一般化である。系(けい、collection)と呼ぶこともある。元がどのような対象であるかによって、点族、集合族(集合系)、関数族(関数系)などと呼ばれる。.
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数学
数学(すうがく、μαθηματικά, mathematica, math)は、量(数)、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.
2の冪
2の冪(にのべき)は、適当な自然数 n を選べば、2 の n 乗 2n の形に表せる自然数の総称である。平たく言うと2の累乗数(にのるいじょうすう)である。.