目次
83 関係: 単位区間、単調写像、反対称関係、反数、可換体、同値類、定義域、実数、宇宙、交換法則、二項関係、代数的な元、代数的閉体、代数的閉包、位相の特徴付け、形式的冪級数、チェス、ネイピア数、ハンス・ハーン、ヨセ、レヴィ＝チヴィタ体、プリンストン高等研究所、デデキント切断、ディスカバー (雑誌)、フェリックス・ハウスドルフ、ドナルド・クヌース、到達不能基数、分配法則、分数、アルキメデスの性質、イプシロン数、カントール集合、クラス (集合論)、グロタンディーク宇宙、ジョン・ホートン・コンウェイ、再帰、再帰的定義、冪函数、全単射、全射、全順序、囲碁、算術、線型連続体、群 (数学)、結合法則、絶対値、環 (数学)、無視可能性、無限、... インデックスを展開 (33 もっと) »
単位区間
数学において、単位区間（たんいくかん、unit interval）とは、閉区間, つまり 0 以上 1 以下の全ての実数からなる集合である（0 と 1 を含む）。しばしば I と表記される。実解析での役割に加えて、単位区間は位相幾何学におけるホモトピーの研究でも使われる。 書籍によっては、上記の定義以外の単位区間（0 と 1 を含むか含まないか）を使う場合もあり、(0, 1、。
見る 超現実数と単位区間
単調写像
単調写像（たんちょうしゃぞう、monotonic map, monotone map）または単調関数（たんちょうかんすう、monotonic function, monotone function）は、単調性、すなわち順序集合の間の写像が順序を保つような性質を持つ写像のことである。具体的な例としては以下の増加関数および減少関数がある。 増加（ぞうか、increasing ）または単調増加(たんちょうぞうか、monotonically increasing)とは、狭義には実数の値を持つ関数 が、 が大きくなるつれて常に関数値 が大きくなることをいい、このような性質を持つ関数を増加関数（ぞうかかんすう、increasing function ）または単調増加関数 (たんちょうぞうかかんすう、monotonically increasing function)と呼ぶ。
見る 超現実数と単調写像
反対称関係
反対称関係（はんたいしょうかんけい、）とは、集合 に関する二項関係 であって、次の条件を満たすものをいう。 すなわち、 の任意の元 と に対して「 から への関係、および から への関係がともに成り立つならば、。
見る 超現実数と反対称関係
反数
反数（はんすう、opposite）とは、ある数に対し、足すと になる数である。つまり、ある数 に対して、 となるような数 を の反数といい、 と表す。記号「−」を負号と呼び、「マイナス 」と読む。また、 は の反数であるともいえる。 は加法における単位元であるから、反数は加法における逆元である。このような加法における逆元は加法逆元（かほうぎゃくげん、additive inverse）と呼ばれる。 ある数にある数の反数を足すことを「引く」といい、減法 を以下のように定義する。 「 引く 」 または「 マイナス 」 と読む。反数に使われる「−」（負号）と引き算に使われる「−」（減算記号）をあわせて「マイナス記号」と呼ぶ。
見る 超現実数と反数
可換体
抽象代数学において可換体（かかんたい、corps commutatif）あるいは単に体（たい、field）本記事において単に体と言った場合「可換」体を意味するものとする。とは、零でない可換可除環、あるいは同じことだが非零元全体が乗法の下で可換群をなすような環のことである。そのようなものとして体は、適当なアーベル群の公理と分配則を満たすような加法、減法、乗法、除法の概念を備えた代数的構造である。最もよく使われる体は、実数体、複素数体、有理数体であるが、他にも有限体、関数の体、代数体、''p'' 進数体などがある。 任意の体は、線型代数の標準的かつ一般的な対象であるベクトル空間のスカラーとして使うことができる。（ガロア理論を含む）体拡大の理論は、ある体に係数を持つ多項式の根に関係する。他の結果として、この理論により、古典的な問題である定規とコンパスを用いたや円積問題が不可能であることの証明や五次方程式が代数的に解けないというアーベル-ルフィニの定理の証明が得られる。現代数学において、体論は数論や代数幾何において必要不可欠な役割を果たしている。
見る 超現実数と可換体
同値類
数学において，ある集合 の元が（同値関係として定式化される）同値の概念を持つとき，集合 を同値類（どうちるい，equivalence class）たちに自然に分割できる．これらの同値類は，元 と が同じ同値類に属するのは と が同値であるとき，かつそのときに限るものとして構成される． フォーマルには，集合 と 上の同値関係 が与えられたとき，元 の における同値類は， に同値な元全体の集合 である．「同値関係」の定義から同値類は S の分割をなす．この分割，同値類たちの集合，を の による商集合 (quotient set) あるいは商空間 (quotient space) と呼び， と表記する． 集合 が（群演算や位相のような）構造を持ち，同値関係 がこの構造と適切に両立するように定義されているとき，商集合はしばしばもとの集合から類似の構造を引き継ぐ．例としては，線型代数学における商空間，位相空間論における商空間，，等質空間，商環，，など．。
見る 超現実数と同値類
定義域
数学における写像の定義域（ていぎいき、domain of definition）あるいは始域（しいき、domain; 域, 領域領域という語を充てている文献として、例えば, など。ただし「領域」というと複素解析などで「連結開集合」の意味で用いることが多く紛らわしい。）とは、写像の値の定義される引数（「入力」）の取り得る値全体からなる集合である。つまり、写像はその定義域の各元に対して（「出力」としての）値を与える。 例えば、実数の範囲での議論において、余弦函数の定義域はふつう実数全体の成す集合（実数直線）であるし、正の平方根函数の定義域は 以上の実数全体の成す集合であるものとする。定義域が実数から成る集合（実数全体の成す集合の部分集合）であるような実数値函数は、その定義域が -軸上にあるものとして -直交座標系に表すことができる。
見る 超現実数と定義域
実数
数学における実数（じっすう、nombre réel, reelle Zahl, real number）とは、連続な量を表すために有理数を拡張した数の体系である。 実数全体の空間は、途切れのなさにあたる完備性とよばれる位相的な性質を持ち、代数的には加減乗除ができるという体の構造を持っている。幾何学や解析学ではこれらのよい性質を利用して様々な対象が定義され、研究されている。一方でその構成方法に自明でない手続きが含まれるため、実数の空間は数学基礎論の観点からも興味深い性質を持っている。また、自然科学における連続的なものの計測値を表すのに十分な数の体系だとも考えられている。 実数の概念は、その形式的な定義が19世紀に達成される前から数の体系として使われていた。「実数」という名前は複素数の概念が導入された後に「普通の数」を表現する言葉として導入されたものである。
見る 超現実数と実数
宇宙
宇宙（うちゅう）について、本項では漢語（およびその借用語）としての「宇宙」と、「宇宙」と漢語訳される様々な概念を扱う。
見る 超現実数と宇宙
交換法則
初等代数学における交換法則（こうかんほうそく、commutative law; 可換則、交換律）は、与えられた演算の二つの引数を互いに入れ替えても結果が変わらないことを述べる。また交換法則を満足する演算は可換性（commutative property; 交換性質）を持つと言う。例えば自然数に関する足し算や掛け算は交換法則を満たしている。
見る 超現実数と交換法則
二項関係
数学において、二項関係（にこうかんけい、binary relation）あるいは二変数関係 (dyadic relation, 2-place relation) は、集合 の元からなる順序対のあつまりである。別な言い方をすれば、直積集合 の部分集合を、集合 上の二項関係と呼ぶ。あるいはもっと一般に、二つの集合 に対して、 と との間の二項関係とは、直積 の部分集合のことをいう。 二項関係の一つの例は素数全体の成す集合 と整数全体の成す集合 の間の整除関係である。この整除関係では任意の素数 は、 の倍数である任意の整数 に関係を持ち、倍数でない整数には関係しないものとして扱われる。例えば、素数 が関係を持つ整数には などが含まれるが や は含まれない。同様に素数 が関係する整数として などが挙げられるが、 や はそうでない。
見る 超現実数と二項関係
代数的な元
体論において、可換体 K の拡大体 L の元は、K 係数の 0 でない多項式 が存在してその根となっているときに、K 上代数的であると言う。K 上代数的でない元は K 上超越的であると言う。 これは代数的数と超越数の概念の一般化である。代数的数は有理数体 Q の拡大体 C の元であって、Q 上代数的な複素数である。したがって sqrt は Q 上代数的な実数であって、自然対数の底 e や円周率πは Q 上超越的な実数である。Q 上超越的な複素数は存在するが、すべての複素数 a+bi は実数体 R 上代数的である。なぜなら (X - a)2+b2 の根だからである。
見る 超現実数と代数的な元
代数的閉体
数学において、体 が代数的に閉じているまたは代数的閉体（だいすうてきへいたい、; 代数閉体）であるとは、一次以上の任意の 係数変数多項式が 上に根を持つこと、あるいは同じことであるが、一次以上の任意の 係数一変数多項式が一次多項式の積として書けることである。 代数学の基本定理は、複素数体 が代数的閉体であることを主張する定理である。一方で、有限体 、有理数体 や実数体 は代数的閉体ではない。
見る 超現実数と代数的閉体
代数的閉包
数学、特に抽象代数学において、体 K の代数的閉包（だいすうてきへいほう、algebraic closure）は、代数的に閉じている K の代数拡大である。数学においてたくさんある閉包のうちの1つである。 ツォルンの補題を使って、すべての体は代数的閉包をもつMcCarthy (1991) p.21Kaplansky (1972) pp.74-76ことと、体 K の代数的閉包は K のすべての元を固定するような同型の違いを除いてただ1つであることを証明できる。この本質的な一意性のため、an algebraic closure of K よりむしろ the algebraic closure of K と呼ばれることが多い。
見る 超現実数と代数的閉包
位相の特徴付け
数学において位相空間の位相は開集合系として定義することが多いが、それと同値な位相の特徴付けがいくつも知られており、それらは同じ位相空間の圏を定める。どの定義からも位相的概念に対する新たな見方が提供され、多くの位相的概念について更なる事実や一般化の方向性が導き出される。
見る 超現実数と位相の特徴付け
形式的冪級数
数学において、形式的冪級数（けいしきてきべききゅうすう、formal power series）とは、（形式的）多項式の一般化であり、多項式が有限個の項しか持たないのに対し、形式的冪級数は項が有限個でなくてもよい。例えば、（ を不定元として） は（多項式ではない）冪級数である。
見る 超現実数と形式的冪級数
チェス
チェスセット チェス（chess、شطرنج / šaṭranj シャトランジ）は、二人で行うボードゲーム、マインドスポーツの一種である。白・黒それぞれ6種類16個の駒を使って、敵のキングを追いつめるゲームである。チェスプレイヤーの間では、その文化的背景などからボードゲームであると同時に「スポーツ」でも「芸術」でも「科学」でもあるとされ、ゲームで勝つためにはこれらのセンスを総合する能力が必要であると言われている。
見る 超現実数とチェス
ネイピア数
1。
見る 超現実数とネイピア数
ハンス・ハーン
ハンス・ハーン（Hans Hahn, 1879年9月27日 - 1934年7月24日）は、オーストリアの数学者。関数解析学、位相幾何学、集合論、変分法、実解析、秩序理論などに多くの貢献を果たした。
見る 超現実数とハンス・ハーン
ヨセ
ヨセは囲碁用語の一つで、通常対局終盤に打たれる地の境界に関する着手のこと。 かつては「侵分」とも呼んだが、現在では一般的ではない。 布石、中盤を通じて明らかになってきた双方の地を確定していく段階であるが、中盤とヨセの境目は明確ではない。 下図は、九路盤対局におけるヨセの例。 ヨセでは、一般に大きなところからお互いにヨセてゆき、次第に小さな場所に移って、最後は半コウを争って終局となるのが一般的な流れである。このため、どのヨセが何目の価値があるか、判定しながらうち進めることが大切である。ヨセ合いで互いに反発したりして、思わぬところから戦いが発生して、中盤に戻ることもある。また、特に石の根拠にかかわるような場合では、序盤から大きなヨセの手が打たれることもある。
見る 超現実数とヨセ
レヴィ＝チヴィタ体
数学におけるレヴィ＝チヴィタ体（レヴィ-チヴィタたい、Levi-Civita field）は、トゥーリオ・レヴィ＝チヴィタに名を因む、非アルキメデス順序体—ある種の無限大量と無限小量を含む数体系—である。レヴィ＝チヴィタ体の各元は有理数全てを亙る変数 に対する実係数の形式級数 sum_ a_qvarepsilon^q quad(a_qinR) として与えられる。ここに、 は有理数全体の成す集合を表し、 は正の無限小と解釈されるべきものである。 ただし、係数列 の台 は左有限集合—任意の有理数に対し、それより小さい元は有限個しか含まない—でなければならない。この制約条件はこの体における乗法および除法が一意に定義可能であるようにするために必要である。この体における順序関係は、係数列に対する辞書式順序に従って定められ、これは直観的には を無限小とするという仮定をおくことと同値である。
プリンストン高等研究所
プリンストン高等研究所（プリンストンこうとうけんきゅうじょ、）は、アメリカ合衆国ニュージャージー州プリンストン市にある研究所。自然科学、数学、社会科学、歴史学の四部門を持ち、世界で最も優れた学術研究機関の一つとされる。 中核となるのは27名の教授陣。いずれも最高レベルの研究者であるが、特に物理学と数学の研究が有名である。なお「教授」とはいうものの、原則として授業負担はなく、各自の研究を進めることに加え、毎年世界各地から招聘される約190名の研究者を選抜することが主な職務である。 正式名称は「高等研究所」(Institute for Advanced Study)だが、類似の名称の研究所は内外に数多くあるため、日本では「プリンストン高等研究所」と呼ばれることが多い。
デデキント切断
デデキント切断（デデキントせつだん、Dedekind cut）、あるいは単に切断 (Schnitt) とは、リヒャルト・デデキントが考案した数学的な手続きで、実数論の基礎付けに用いられる。
見る 超現実数とデデキント切断
ディスカバー (雑誌)
『ディスカバー』（Discover） は、アメリカ合衆国で刊行されている、一般向けの科学雑誌である。1980年10月にタイム社によって創刊された。2010年からカルムバック・メディアが発行している。
フェリックス・ハウスドルフ
フェリックス・ハウスドルフ（Felix Hausdorff、1868年11月8日 – 1942年1月26日）は、ドイツの数学者。 位相空間などの研究に貢献した。ボン大学、グライフスヴァルト大学の教授を務めた。ハウスドルフはユダヤ人であったため、ナチス政権がドイツを支配していた1942年に強制収容所に送られることが決定され、妻や義理の妹と共に自殺した。
ドナルド・クヌース
ドナルド・アーヴィン・クヌース（Donald Ervin Knuth, 1938年1月10日 -）は、数学者・計算機科学者。スタンフォード大学名誉教授。 クヌースによるアルゴリズムに関する著作 The Art of Computer Programming のシリーズはプログラミングに携わるものの間では有名である。アルゴリズム解析と呼ばれる分野を開拓し、計算理論の発展に多大な貢献をしている。その過程で漸近記法で計算量を表すことを一般化させた。 計算機科学への貢献とは別に、コンピュータによる組版システム TeX とフォント設計システム METAFONT の開発者でもあり、Computer Modern という書体ファミリも開発した。
到達不能基数
集合論において、非可算基数 κ が弱到達不能基数（じゃくとうたつふのうきすう、weakly inaccessible）であるとは、それが正則なであることを言い、強到達不能基数 (strongly inaccessible) または単に到達不能基数 (inaccessible) であるとは、κ 未満の任意の基数 λ に対し、2^lambda を満たす正則基数であることを言う。 著者によっては非可算性を要求しないこともある（その場合 aleph_0 は強到達不能基数）。弱到達不能基数は 、強到達不能基数は および によって導入された。 “到達不能基数”という用語は曖昧である。1950年頃までは弱到達不能基数を指していたが、以後は普通は強到達不能基数を意味するからである。
見る 超現実数と到達不能基数
分配法則
分配法則（ぶんぱいほうそく、Distributive property）は、数学の法則の一つ。 集合 S に対して、積 × と和 + が定義されている時に、。
見る 超現実数と分配法則
分数
分数（ぶんすう、fraction）とは、2つの数の間の割り算の商を表す数の記法である。例えば を で割った商 は分数を用いて と表せる。 日常的には のように正の整数の分数がよく使われるが、分数で表される数に制限はなく、例えば や のように無理数（より一般に実数）を含んだり、 のように虚数（より一般に複素数）を含んでもよい。また定数に限らず や のように変数を含んでもよい。
見る 超現実数と分数
アルキメデスの性質
数学におけるアルキメデスの性質（アルキメデスのせいしつ、Archimedean property）とは、古代ギリシャの数学者シラクサのアルキメデスにちなんで名付けられた、実数の体系を典型的な例として一定の種類の群や体などいくつかの代数的構造が共通として持っている性質のことである。ふつう、アルキメデスの性質とは「体系の中に無限大や無限小が現れないこと」という意味で理解される。この概念は古代ギリシャにおける量の理論に端を発しているが、近現代の数学の教育や研究においてもヒルベルトの幾何の公理、順序群や順序体、局所体の理論などにおいて重要な役割を果たしている。 0でない元の任意の対について、それぞれ他方に対して無限小量ではないという意味で、「比較可能」な代数系はアルキメデス的であると呼ばれる。反対に二つの0でない元で片方がもう一方に対して無限小であるような代数系は非アルキメデス的であると呼ばれる。例えば、アルキメデス的な順序群はアルキメデス的順序群あるいはArchimedes的順序群、Archimedes順序群と呼ばれることになる。
イプシロン数
イプシロン数あるいはエプシロン数 (epsilon numbers)とは、数学における超限順序数の一つ。それ自身よりも小さい順序数から有限回の加算・乗算・冪乗では到達できない超限順序数として定義される。 alpha。
見る 超現実数とイプシロン数
カントール集合
カントール集合（カントールしゅうごう、Cantor set）は、フラクタルの1種で、閉区間 に属する実数のうち、その三進展開のどの桁にも 1 が含まれないような表示ができるもの全体からなる集合である。1874年にイギリスの数学者により発見され、1883年にゲオルク・カントールによって紹介された。 カントールの三進集合とも呼ばれ、カントル集合、カントルの三進集合とも表記される。フラクタル概念の生みの親であるブノワ・マンデルブロは、位相次元が 0 の図形をダスト（塵）と呼び、カントール集合のことはカントール・ダストやカントールのフラクタルダストと呼んでいた。
見る 超現実数とカントール集合
クラス (集合論)
集合論及びその応用としての数学におけるクラスまたは類（るい、class）は、集合(または、しばしば別の数学的対象)の集まりで、それに属する全ての元が共通にもつ性質によって紛れなく定義されるものである。「クラス」の正確な定義は、議論の基礎となる文脈に依存する。例えば、ツェルメロ＝フレンケル集合論 (ZF) ではクラスは厳密には存在しないが、他の集合論（たとえば、フォン・ノイマン＝ベルナイス＝ゲーデル集合論 (NBG)）では、「クラス」の概念は公理化されている（NBG の例だと、別の量 (entity) の要素にならないような量としてクラスが定義される）。 （どのような定式化を選んだとしても）「全ての集合の集まり」はクラスである。（ZF では厳密な言い方ではないが）このクラスだが集合でないようなものは真のクラス (proper class) と呼ばれ、集合となるようなクラス（つまり集合）は小さいクラス (small class) とも呼ばれる。例えば、全ての順序数からなるクラスや全ての集合からなるクラスは、多くの形式体系において真のクラスである。
グロタンディーク宇宙
数学におけるグロタンディーク宇宙（グロタンディークうちゅう、Grothendieck universe、Univers de Grothendieck）は次の性質をもった集合 U である：。
ジョン・ホートン・コンウェイ
ジョン・ホートン・コンウェイ（John Horton Conway, 1937年12月26日 - 2020年4月11日）はイギリスの数学者。プリンストン大学名誉教授。
再帰
再帰（さいき、Recursion, Recursive）とは、ある物事について記述する際に、記述しているもの自体への参照が、その記述中にあらわれることをいう。 再帰は言語学から論理学に至る様々な分野で使用されている。最も一般的な適用は数学と計算機科学で、定義されている関数がそれ自身の定義の中で参照利用されている場合を言う。
見る 超現実数と再帰
再帰的定義
再帰的定義（Recursive Definition）は、再帰的な定義、すなわち、あるものを定義するにあたってそれ自身を定義に含むものを言う。無限後退を避けるため、定義に含まれる「それ自身」はよく定義されていなければならない。同義語として帰納的定義（Inductive Definition）がある。
見る 超現実数と再帰的定義
冪函数
数学の、特に解析学における冪函数（べきかんすう、巾函数、power function）は、適当な定数 に対して定義される函数 を言う。ここに定数 は、この冪函数の冪指数 (exponent) と呼ばれ、文脈により自然数、整数、有理数、実数、複素数などに値をとることができるが、 の持つ性質によって対応する函数 の自然な定義域が異なってくることに注意が必要である。 冪函数は実変数に対する函数として一般に定義することができる。自然数冪を持つ冪函数は、多項式函数あるいは冪級数の展開の基底を与える。また実数冪を持つ冪函数は物理学、生物学、経済学などにおいて関係するモデルを与える。 複素変数に関して有効な議論も中にはあるが、以下では専ら実変数 に関する冪函数について述べる。またより一般には、上記函数の定数倍 （単項式函数）をも含む意味で冪函数と呼ぶ場合もあるが、本項では常に のみを扱う。
見る 超現実数と冪函数
全単射
数学において、全単射（ぜんたんしゃ）あるいは双射（そうしゃ）(bijective function, bijection) とは、写像であって、その写像の終域となる集合の任意の元に対し、その元を写像の像とする元が、写像の定義域となる集合に常にただ一つだけ存在するようなもの、すなわち単射かつ全射であるような写像のことを言う。例としては、群論で扱われる置換が挙げられる。 全単射であることを1対1上への写像 (one-to-one onto mapping)あるいは1対1対応 (one-to-one correspondence) ともいうが、紛らわしいのでここでは使用しない。 写像 f が全単射のとき、f は可逆であるともいう。
見る 超現実数と全単射
全射
数学において、写像が全射的（ぜんしゃてき、surjective, onto）であるとは、その終域となる集合の元はどれもその写像の像として得られることを言う。即ち、集合 から集合 への写像 について、 の各元 に対し となるような の元 が（一般には複数あってもよいが）対応させられるとき、写像 は全射 (surjection, onto mapping/function) であるという。全写（あるいは全写像）とも書く。 全射（および単射、双射）の語は20世紀フランスの数学結社ブルバキ（1935年以降『数学原論』シリーズを刊行している）により導入されたものである。接頭辞 sur- はフランス語で「上の」を意味し、写像の始域が終域全体をすっぽり覆い尽くすように写し込まれるイメージを反映したものになっている。sur, in, bi, jection いずれもラテン語源である。
見る 超現実数と全射
全順序
数学における全順序（ぜんじゅんじょ、total order）とは、集合での二項関係で、推移律、反対称律かつ完全律の全てを満たすもののことである。 単純順序（たんじゅんじゅんじょ、simple order）、線型順序（せんけいじゅんじょ、linear order）とも呼ばれる。 集合と全順序を組にしたものは、全順序集合 (totally ordered set), 線型順序集合 (linearly ordered set), 単純順序集合 (simply ordered set) あるいは鎖 (chain) と呼ばれる。 即ち、集合 上の関係 が全順序であるとは、が、 の任意の元 に対して、次の4条件を満たすことである：。
見る 超現実数と全順序
囲碁
とは、交互に盤上に石を置いて行き自分の石で囲んだ領域の広さを競う、2人で行うボードゲームの一種。 単にとも呼ばれる。
見る 超現実数と囲碁
算術
算術 (さんじゅつ、arithmetic) は、数の概念や数の演算を扱い、その性質や計算規則、あるいは計算法などの論理的手続きを明らかにしようとする学問分野である。
見る 超現実数と算術
線型連続体
数学の順序理論の分野において、線型連続体(せんけいれんぞくたい、linear continuum)とは実数直線を一般化したものである。ここでの「連続体」という語は連続体 (位相空間論)とは異なる。 正確には、線型連続体とは、上に有界な非空部分集合が上限をもつという意味で“ギャップ”を欠いており、稠密順序づけられた-つまり任意の二元の間に元が存在するような-空でない全順序集合S のことである。 さらに記号的にいうと 上限性質とは、いかなる空でない上に有界な部分集合は上限を持つということである。順序位相が与えられた順序集合が連結であるか否かを確かめるために使われる点で、線型連続体は特にトポロジーの分野で重要である。
見る 超現実数と線型連続体
群 (数学)
数学における群（ぐん、group）とは、ある二項演算とその対象となる集合とを合わせて見たときに結合性を伴い単位元と逆元を備えるものをいう。数学において最も基本的と見なされる代数的構造の一つであり、数学や物理学全般において、さまざまな構成に対する基礎的な枠組みを与えている。群はそれ自体が研究対象であり、その領域は群論と呼ばれる。
見る 超現実数と群 (数学)
結合法則
数学における結合性（けつごうせい、quote,associativity）は、一部の二項演算がもつ性質である。演算が結合的であるための必要十分条件を結合法則（けつごうほうそく、associative law; 結合律、結合則）という。命題論理において、結合則（結合規則）はにおける式に対するなのひとつに挙げられる。 同一式にて同じ結合的演算が複数回現れる場合、それらの演算を施す順番は、被演算子の順序を変えない限り、結果に影響しない。つまり、（必要ならば中置記法と括弧を使った式に書き換えて）括弧の位置を入れ替えても、式の値は変わらない。例えば、。
見る 超現実数と結合法則
絶対値
数の絶対値は零からの距離と考えられる 数学における実数 の絶対値（ぜったいち、absolute value）または母数（ぼすう、modulus） は、その符号を無視して得られる非負の値を言う。つまり正数 に対して および負数 に対して （このとき は正）であり、また である。例えば の絶対値は であり の絶対値も である。数の絶対値はその数の零からの距離と見なすことができる。 実数の絶対値を一般化する概念は、数学において広範で多様な設定のもとで生じてくる。例えば、絶対値は複素数、四元数、順序環、体などに対しても定義することができる。様々な数学的あるいは物理学的な文脈における (magnitude) や距離およびノルムなどの概念は、絶対値と緊密な関係にある。
見る 超現実数と絶対値
環 (数学)
数学における環（かん、ring）とは、台集合に「加法」（和）および「乗法」（積）と呼ばれる二種類の二項演算を備えた代数系のことである。 最もよく知られた環の例は、整数全体の成す集合に自然な加法と乗法を考えたものである（これは乗法が可換だから可換環の例でもある）。ただし、それが環と呼ばれるためには、環の公理として、加法は可換で、加法と乗法はともに結合的であって、乗法は加法の上に分配的で、各元は加法逆元をもち、加法単位元が存在すること、が全て要求される。したがって、台集合は加法の下「加法群」と呼ばれるアーベル群を成し、乗法の下「乗法半群」と呼ばれる半群であって、乗法は加法に対して分配的であり、またしばしば乗法単位元を持つ乗法に関しては半群となることのみを課す（乗法単位元の存在を要求しない）こともある。
見る 超現実数と環 (数学)
無視可能性
数学やその応用分野において「無視できる」（むしできる、Negligible）とは、考えている量が十分小さく、大勢に影響ないという意味で考慮からはずしてもよいことを意味する術語である。これはより数学的な無限小の概念と関連するが、無視可能という考え方は、特に物理学や化学、電気工学や計算機プログラミング、あるいは日常的な決定などの実利的な場面で有効なものである。ある量が「無視できる」ということができるのは、それが「当面の問題」においてその場合に許容できるという合意の得られる「誤差の範囲内」に収まるために、無視しても安全であるときである。例えば、電線の電気抵抗や原子における電子の質量などは、しばしば無視してよい量として扱われる。
見る 超現実数と無視可能性
無限
無限（むげん、infinity、∞）とは、限りの無いことである。 「限界を持たない」というだけの単純に理解できそうな概念である一方で、有限な世界しか知りえないと思われる人間にとって、無限というものが一体どういうことであるのかを厳密に理解することは非常に難しい問題を含んでいる。このことから、しばしば哲学、数学、論理学や自然科学などの一部の分野において考察の対象として無限という概念が取り上げられ、そして深い考察が得られている。 本項では、数学などの学問分野において、無限がどのように捉えられ、どのように扱われるのかを記述する。
見る 超現実数と無限
無限小
数学におけるは、測ることができないほど極めて小さい「もの」である。無限小に関して実証的に観察されることは、それらが定量的にいくら小さくなろうと、角度や傾きといったある種の性質はそのまま有効であることである。
見る 超現実数と無限小
違いを除いて
数学の文脈における「—（の違い）を除いて…」 (のちがいをのぞいて、… "up to" &mdash) という語句は、「— に関する差異を無視する」ことを意味する専門用語である。この言い回しの意味するところは、「適当な目的のもとでは、あるひとつの同値類に属する元全体を、何か単一の実体を表すものとみなせる」ということである。"—" の部分には、何らかの性質や、同じ同値類に属する元(つまり一方は他方に同値となるような元)の間の変換の過程を記述する内容が入る。 たとえば不定積分を計算するとき、その結果は「定数項の違いを除いて」 であるというように言うことができる。その意味は、 以外に不定積分 があったとしても (は定数)と書くことができ、その後の論理展開において のかわりに を用いても影響がないことを示唆している。また例えば群論で、群 が集合 に作用するとき、 のふたつの元が同じ軌道に属するならば、それらは「群作用の違いを除いて」同値であると言い表すことができる。
見る 超現実数と違いを除いて
順序対
数学における順序対（じゅんじょつい、ordered pair）は、一口に言えば対象を「対」にしたものである。二つの対象 の順序対をふつうは で表す。ここで、「順序」対において対象の現れる順番は重要であることに注意しなければならない、すなわち でない限り という対と という対とが相異なる。 順序対 において、対象 を第一成分 (first entry, first component), 対象 を第二成分 (second entry, second component) などと呼ぶ。場合によっては、第一、第二座標や、左射影・右射影ともいう。 順序対のことを二つ組とか長さ の列（計算機科学方面ではリスト）とも呼ぶ。あるいは、スカラー（数量）の順序対は二次元の（数）ベクトルである。順序対の成分となる対象として、別の順序対を取ることもでき、それによってn-組の再帰的定義が可能になる。例えば、順序三つ組 を、ひとつの対を別の対へ入れ子にした として定義できる。
見る 超現実数と順序対
順序体
数学における順序体（じゅんじょたい、ordered field）とは、全順序をもつ体で、その順序が体の演算と両立するもののことである。 順序体は標数 でなければならず、任意の自然数 は全て相異なる。従って順序体は無限個の元を含まねばならず、有限体には順序を定義することができない。 順序体の任意の部分体は、元の体の順序に関してそれ自身順序体を成す。任意の順序体は有理数体に同型な部分順序体を含む。任意の順序体は実数体に同型である。順序体において平方元は非負でなければならない。従って複素数体には（虚数単位 の平方が だから）順序を定義することはできない。任意の順序体は実体である。 歴史的にはヒルベルト、ヘルダー、ハーンらを含む数学者たちによって徐々に公理化が進められ、1926年に順序体および（形式的）実体に関するによって結実する。
見る 超現実数と順序体
順序集合
順序集合（じゅんじょしゅうごう、）は集合の要素の間に順序が定義された集合。順序とは二項関係であって後述する反射律・推移律などを満たすものであり、数の大小関係などを一般化したものである。 全ての2要素が比較可能（順序が定義されている）ものを特に全順序集合（）という。例えば実数における大小関係は全順序集合である。 また、全順序ではない順序集合の例としては、正の整数全体の集合に整除関係で順序を定めたものや、（2つ以上元を含む）集合の冪集合において、包含関係を順序と見なしたものがある。 後述するように、順序が満たすべき公理の種類により、前順序集合、半順序集合（）、全順序集合がある。多く場合、半順序集合を指して「順序集合」と呼ぶことが多いが、分野によっては前順序集合や全順序集合を指す場合がある。
見る 超現実数と順序集合
順序数
数学の特に集合論において、順序数（じゅんじょすう、ordinal number）とは、整列集合同士の“長さ”を比較するために、自然数を拡張させた概念である。
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解析学
解析学（かいせきがく、英語：analysis, mathematical analysis）とは、極限や収束といった概念を扱う数学の分野である日本数学会編、『岩波数学辞典 第4版』、岩波書店、2007年、項目「解析学」より。ISBN 978-4-00-080309-0 C3541。代数学、幾何学と合わせ数学の三大分野をなす。 数学用語としての解析学は還元主義とは異なっており、初等的には微積や級数などを用いて関数の変化量などの性質を調べる分野と言われることが多い。これは解析学がもともとテイラー展開やフーリエ級数などを用いて関数の性質を研究していたことに由来する。 例えばある関数の変数を少しだけずらした場合、その関数の値がどのようにどのぐらい変化するかを調べる問題は解析学として扱われる。
見る 超現実数と解析学
超実数
超実数（ちょうじっすう、hyperreal number）または超準実数（ちょうじゅんじっすう、nonstandard reals）と呼ばれる数の体系は無限大量や無限小量を扱う方法の一つである。超実数の全体 は実数体 の拡大体であり、 の形に書けるいかなる数よりも大きい元を含む。そのような数は無限大であり、その逆数は無限小である。 の語はが1948年に導入した。 超実数は（ライプニッツの経験則的なを厳密なものにした）を満たす。この移行原理は、 についての一階述語論理の真なる主張は においても真であることを主張する。例えば、加法の可換則 は、実数と全く同様に、超実数に対しても成り立つ。また、 は実閉体であるから、 も実閉体である。また、任意の整数 に対して が成立するから、任意の超準整数 に対しても が成立する。
見る 超現実数と超実数
超限帰納法
超限帰納法（ちょうげんきのうほう、Transfinite induction）は、数学的帰納法の整列集合上への拡張である、例えば順序数や基数の集合の上で行う。この手法の正当性はZFCの定理である。
見る 超現実数と超限帰納法
超限数
超限数（ちょうげんすう、英: Transfinite number）とは数学において、すべての有限数よりも大きい数であり、"無限"ではあるが必ずしも""とは限らない。これらには、無限集合の濃度を表現するための超限基数（英: transfinite cardinals）と、無限集合の順序を表現するため使われる超限順序数（英: transfinite ordinals）が含まれる。"超限"という数学用語は、1895年ゲオルク・カントールによってつくられた。これらの対象に対し"無限"という意味の言葉等を避けたいと思った人々は存在したが、にも拘わらずこの数は有限ではなかった。現在この点を問題視する者はほとんどおらず、超限の基数と順序数は無限数とされている。にもかかわらず"超限"という用語も使われ続けている。
見る 超現実数と超限数
超準解析
は、あるいは無限小数の意味および論理的妥当性に関する哲学的論争を孕んでいる。これらの論争の標準的な解決策は、微分積分学における操作を無限小ではなくイプシロン-デルタ論法によって定義することである。超準解析（nonstandard analysis）は代わりに論理的に厳格な無限小数の概念を用いて微分積分学を定式化する。Nonstandard Analysisは直訳すれば非標準解析学となるが、齋藤正彦が超準解析という訳語を使い始めたため、そのように呼ばれるようになった。無限小解析（infinitesimal analysis）という言葉で超準解析を意味することもある。 超準解析は1960年代に数学者アブラハム・ロビンソンによって創始された。
見る 超現実数と超準解析
辞書式順序
数学における辞書式順序（じしょしきじゅんじょ、lexicographical order. lexicographic-, dictionary-）とはいくつかの順序集合の直積集合上に順序を定める方法の一つである。順序集合 と が与えられた際の直積集合 上の辞書式順序は として定められる。辞書式順序という名前は、この順序の定め方が辞書における項目の並べ方を一般化したものと見なせることに由来する。つまり、単語（文字の並び） が別の単語 の前に現れるのは が と異なるような最初の について、文字の順番の中で が より前に現れる場合である。このとき2つの単語は同じ長さ（文字数）であるものと仮定されているが、実際の辞書では普通短い単語の方を後ろにどんな文字よりも先の順番にある空白を付け加えることで単語の長さが揃っているものとして考える、という操作が行われる。
見る 超現実数と辞書式順序
部分集合
部分集合（ぶぶんしゅうごう、subset）とは数学における概念の一つ。集合Aが集合Bの部分集合であるとは、AがBの一部の要素だけからなることである。AがBの一部分であるという意味で部分集合という。二つの集合の一方が他方の部分集合であるとき、この二つの集合の間に包含関係があるという。
見る 超現実数と部分集合
自然数
自然数（しぜんすう、natural number）とは、個数もしくは順番を表す一群の数のことである。集合論においては、自然数は物の個数を数える基数のうちで有限のものであると考えることもできるし、物の並べ方を示す順序数のうちで有限のものであると考えることもできる。 自然数を 1, 2, 3, … とする流儀と、0, 1, 2, 3, … とする流儀があり、前者は数論などでよく使われ、後者は集合論、論理学などでよく使われる（詳しくは#自然数の歴史と零の地位の節を参照）。日本では高校教育課程においては0を入れないが、大学以降では0を含めることも多い（より正確には、代数学では0を含め、解析学では除外することが多い）。いずれにしても、0 を自然数に含めるかどうかが問題になるときは、その旨を明記する必要がある。自然数の代わりに前者を正整数、後者を非負整数と言い換えることによりこの問題を避けることもある。
見る 超現実数と自然数
集合
集合（しゅうごう、set, ensemble, Menge）とは数学における概念の1つで、大雑把に言えばいくつかの「もの」からなる「集まり」である。集合を構成する個々の「もの」のことを元 (げん、; 要素) という。 集合は、集合論のみならず現代数学全体における最も基本的な概念の一つであり、現代数学のほとんどが集合と写像の言葉で書かれていると言ってよい。 慣例的に、ある種の集合が系 (けい、) や族 (ぞく、) などと呼ばれることもある。実際には、これらの呼び名に本質的な違いはないが細かなニュアンスの違いを含むと考えられている。たとえば、方程式系（「相互に連立する」方程式の集合）、集合族（「一定の規則に基づく」集合の集合）、加法族（「加法的な性質を持つ」集合族）など。
見る 超現実数と集合
集合の分割
集合を6つの部分に分割した図（オイラー図による表現） 数学において、集合 X の分割 (partition) とは、X の全体を覆う互いに重ならない部分集合の族のこと、あるいはその集合族を得ることである。
見る 超現実数と集合の分割
連続写像
数学において、関数または写像 が、定義域のある点 において連続（れんぞく、continuous）であるとは、 が において極限を保つこと、平たく言えば、 の入力 を に「限りなく近づける」ことで、その近づけ方によらず、出力 をも に「限りなく近づける」ことができるということである。特に定義域の全ての点において連続であるとき、 は連続関数（れんぞくかんすう、continuous function）または連続写像（れんぞくしゃぞう）という。連続でないことは不連続（ふれんぞく、discontinuous）という。 連続性は多項式関数や指数関数といった多くの初等関数が備える性質であり、実数値関数では連結集合の上で中間値の定理、コンパクト集合の上で最大値最小値定理が成り立つほか、微分可能であるための必要条件や積分可能であるための十分条件でもあるなど、解析学的に重要な性質を伴う。
見る 超現実数と連続写像
虚数単位
−1 になる。 虚数単位（きょすうたんい、imaginary unit）は、2乗して になる数である: 虚数単位 は の平方根の一つである。 は実数でない。実数単位, 虚数単位 は 上線型独立である。 実数体に虚数単位 を添加すると、四則演算ができる数の体系が得られる。この拡大体の元を複素数という。 虚数単位 は実数でないため、感覚的には存在しない数ととらえられがちであるが、実数 の直積集合の元として、実数の対（ハミルトンの定義）、行列表現、多項式環の剰余環などにより実現できる。 複素数平面では、虚数単位 は、直交座標表示すると に当たる数である。
見る 超現実数と虚数単位
Well-defined
数学における （ウェル・ディファインド）は、「定義によって一意の解釈または値が割り当てられる」ことを言う。
推移関係
推移関係（すいいかんけい、Transitive relation）は、数学における二項関係の一種。集合 X の二項関係 R が推移的であるとは、Xの任意の元 a、b、c について、a と b に R が成り立ち、b と c に R が成り立つとき、a と c にも R が成り立つことをいう。推移的関係とも。 一階述語論理でこれを表すと、次のようになる。
見る 超現実数と推移関係
極限順序数
集合論およびにおける極限順序数（きょくげんじゅんじょすう、limit ordinal）は でも後続順序数でもない順序数を言う。あるいは、順序数 が極限順序数であるための必要十分条件は「 より小さい順序数が存在して、順序数 が より小さい限り別の順序数 が存在して。
見る 超現実数と極限順序数
正の数と負の数
数学における正の数（せいのすう、positive number, plus number, above number; 正数）は、0より大きい実数である。対照的に負の数（ふのすう、negative number, minus number, below number; 負数）は、0より小さい実数である。とくに初等数学・算術や初等数論などの文脈によっては、（暗黙の了解のもと）特に断りなく、より限定的な範囲の正の有理数や正の整数という意味で単に「正の数」と呼んでいる場合がある。負の数も同様である。
見る 超現実数と正の数と負の数
決定論
決定論（けっていろん、determinism、determinare）とは、あらゆる出来事は、その出来事に先行する出来事のみによって決定している、とする哲学的な立場。 対立する世界観や仮説は「非決定論」と呼ばれる。
見る 超現実数と決定論
準超実体
抽象代数学における準超実数（じゅんちょうじっすう、 super-real number）は実数を拡張する数のクラスで、 によって超実数を一般化するものとして導入され、主に超準解析・モデル理論・バナッハ環論において興味がもたれる。準超実数全体の成す体は、それ自身が超現実数体の部分体を成す。
見る 超現実数と準超実体
濃度 (数学)
数学、特に集合論において、濃度（のうど、cardinality カーディナリティ）とは、有限集合における「元の個数」を一般の集合に拡張したものである。集合の濃度は基数 (cardinal number) と呼ばれる数によって表される。歴史的には、カントールにより初めて無限集合のサイズが一つではないことが見出された。
見る 超現実数と濃度 (数学)
指数体
数学における指数体（しすうたい、exponential field）は、体であって、その元に対して通常の指数函数の概念を一般化した演算を追加で持つものを言う。
見る 超現実数と指数体
指数関数
実解析における指数関数（しすうかんすう、exponential function）は、冪乗における指数 を変数として、その定義域を主に実数の全体へ拡張して定義される初等超越関数の一種である。対数の逆関数であるため、逆対数 と呼ばれることもある。自然科学において、指数関数は量の増加度に関する数学的な記述を与えるものとして用いられる（指数関数的成長や指数関数的減衰の項を参照）。 一般に、 かつ なる定数 に関して、（主に実数の上を亙る）変数 を へ送る関数は、「a を'''底'''とする指数関数」と呼ばれる。「指数関数」との名称は、与えられた底に関して冪指数を変数とする関数であることを示唆するものであり、冪指数を固定して底を独立変数とする冪函数とは対照的である。
見る 超現実数と指数関数
有理関数
数学における有理関数（ゆうりかんすう、rational function）は、二つの多項式をそれぞれ分子と分母に持つ分数として書ける関数の総称である。抽象代数学においては変数と不定元とを区別するので、後者の場合を有理式と呼ぶ。
見る 超現実数と有理関数
有理数
有理数（ゆうりすう、rational number）とは、整数の比（ratio）として表すことができる実数のことである。分母・分子ともに整数の分数として表すことができる実数との説明もされる。整数は、分母が 1 の分数と考えることにより、有理数の特別な場合となる。
見る 超現実数と有理数
数学
数学（すうがく）とは、数・量・図形などに関する学問であり、理学の一種。「算術・代数学・幾何学・解析学・微分法・積分法などの総称」とされる。 数学は自然科学の一種にも、自然科学ではない「形式科学」の一種にも分類され得る。
見る 超現実数と数学
数学的帰納法
数学的帰納法（すうがくてききのうほう、mathematical induction）は、数学における証明の手法の一つである。 例えば自然数に関する命題 が全ての自然数 に対して成り立つことを証明するために、次のような手続きを行う自然数の定義は を含む流儀とそうでない流儀があるが、ここでは後者を採用した。を含むとする場合には、 が成り立つことを示す代わりに が成り立つことを示す。。
見る 超現実数と数学的帰納法
整列集合
整列集合（せいれつしゅうごう、well­ordered set）、または整列順序付けられた集合（せいれつじゅんじょづけられたしゅうごう）とは、数学における概念の1つで、整列順序を備えた集合のことをいう。ここで、集合 上の整列順序関係 (well­order) とは、 上の全順序関係 "" であって、 の空でない任意の部分集合が必ず に関する最小元をもつものをいう。あるいは同じことだが、整列順序とは整礎な全順序関係のことである。整列集合 を慣例に従ってしばしば単純に で表す。
見る 超現実数と整列集合
2の冪
は、 を底とし整数の指数を持つ冪である。2の冪は、指数を として一般に、 の形で表される（例えば に対してそれぞれ,,,, …）。
見る 超現実数と2の冪