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43 関係: 加群の直和、単位元、単位的多元環、合成代数、多元体、多項式環、実数、完備距離空間、対合環、局所コンパクト空間、不連続性の分類、帰納極限、三角不等式、一様収束、二次形式、付値体、位相体、位相空間、位相線型環、体 (数学)、体上の多元環、ノルム、ノルム多元体、ノルム代数、ノルム線型空間、ハウスドルフ空間、バナッハ環、ベクトル空間、イデアル (環論)、ゲルファント＝マズールの定理、コンパクト空間、C*-環、絶対値、複素数、調和解析、超球面、近傍 (位相空間論)、関数解析学、閉集合、零環、連続 (数学)、正則関数、数学。
加群の直和
抽象代数学における直和（ちょくわ、direct sum）は、いくつかの加群を一つにまとめて新しい大きな加群にする構成である。加群の直和は、与えられた加群を「不必要な」制約なしに部分加群として含む最小の加群であり、余積の例である。双対概念であると対照をなす。 この構成の最もよく知られた例はベクトル空間（体上の加群）やアーベル群（整数環 Z 上の加群）を考えるときに起こる。構成はバナッハ空間やヒルベルト空間をカバーするように拡張することもできる。.
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単位元
数学、とくに抽象代数学において、単位元（たんいげん, ）あるいは中立元（ちゅうりつげん, ）は、二項演算を備えた集合の特別な元で、ほかのどの元もその二項演算による単位元との結合の影響を受けない。.
単位的多元環
数学における多元環（必ずしも結合的でない）が単位的（たんいてき、unitary）または単型 (unital) であるとは、それが内部乗法 に対する単位元 （すなわちその多元環の任意の に対して を満たす元）を持つときに言う。この単位元は右単位元および左単位元として一意である。 さらに多元環が結合的ならば、単位的であることはその多元環の元全体が乗法に関してモノイドを成すことと言っても同じである。.
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合成代数
数学における体 上の合成代数（ごうせいだいすう、composition algebra）は、 上の（必ずしも結合的でない）単位的多元環 で、条件 N(xy).
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多元体
数学の抽象代数学において、体上の斜体、多元体（たげんたい）または可除多元環（かじょたげんかん、division algebra）は、大まかには、体上の多元環で除法が自由にできるものをいう。.
多項式環
数学、殊に抽象代数学における多項式環（たこうしきかん、polynomial ring）は環に係数を持つ一変数または多変数の多項式の全体の集合が成す環である。多項式環はヒルベルトの基底定理や分解体の構成、線型作用素の理解など数学のかなり広い分野に影響をもつ概念である。セール予想のような多くの重要な予想が、他の環の研究に影響をもち群環や形式冪級数環のようなほかの環の定義にさえ影響を及ぼしている。.
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実数
数学における実数（じっすう、 nombre réel, reelle Zahl, real number）は、様々な量の連続的な変化を表す数の体系である。実数全体の空間は、途切れのなさにあたる完備性とよばれる位相的な性質を持ち、代数的には加減乗除ができるという体の構造を持っている。幾何学や解析学ではこれらのよい性質を利用して様々な対象が定義され、研究されている。一方でその構成方法に自明でない手続きが含まれるため、実数の空間は数学基礎論の観点からも興味深い性質を持っている。また、自然科学における連続的なものの計測値を表すのに十分な数の体系だとも考えられている。 実数の概念は、その形式的な定義が19世紀に達成される前から数の体系として使われていた。「実数」という名前は複素数の概念が導入された後に「普通の数」を表現する言葉として導入されたものである。.
完備距離空間
位相空間論あるいは解析学において、距離空間 M が完備（かんび、complete）またはコーシー空間（コーシーくうかん、Cauchy space）であるとは、M 内の任意のコーシー点列が M に属する極限を持つ（任意のコーシー点列が収束する）ことを言う。 直観的に言えば、空間が完備であるというのは（その内側や境界において）点を追いかけると「空間からはみ出してしまう」ということが起きないということである。例えば、有理数全体の成す集合 Q は完備でないが、これは例えば 2 の正の平方根は、それに収束する有理コーシー数列が構成できるにも拘らず、有理数ではないので Q からははみ出してしまう（後述）。「こういった抜けを全て埋めてしまう」という考えは後述するように、空間の完備化 (completion) として常に可能である。.
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対合環
数学、特に抽象代数学における対合環（ついごうかん、involutory ring）、-環（スターかん、∗-ring）記法について: 対合 は後置により表される単項演算で、そのグリフはミーンライン付近やや上方に中心がくるように右肩にのせて のように書くが、"" のように中心がミーンライン上にくるようにはしない（スター記号 * とスター演算記号 ∗ との混同に注意: アスタリスクの項も参照）。あるいは対合付き環（ついごうつきかん、involution）は、環構造と両立する対合（共軛演算、随伴）を備える代数系である。可換 -環 上の結合多元環 がそれ自身 -環でもあるとき、二つの -環の -構造が両立するならば、 を -環 上の 対合多元環（ついごうたげんかん、involutive algebra; 対合代数）、-多元環（スターたげんかん、∗-algebra; -代数）あるいは対合付き多元環（ついごうつきたげんかん、algebra with involution; 対合つき代数）という。 対合環における対合（-演算）は複素数体における複素共軛を一般化するものであり、また対合多元環における対合は複素行列環における共軛転置あるいはヒルベルト空間上の線型作用素のエルミート共軛を一般化するものである。.
局所コンパクト空間
数学において、位相空間 が局所コンパクト（きょくしょコンパクト、）というのは、雑に言って、 の各点の近傍ではコンパクトであるという性質をもつことである。位相空間がコンパクトであるための条件は非常に厳しく、コンパクトな空間が数学において特殊な位置を占めているのに対して、数学で扱う重要な位相空間の多くが局所コンパクトである。特に局所コンパクトなハウスドルフ空間は数学の中で重要な位置を占める。.
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不連続性の分類
連続関数は数学およびその応用において非常に重要である。しかし、関数が全て連続というわけではない。ある関数がその定義域内のある点で連続でないとき、その関数は不連続性 (discontinuity) を有する。関数の不連続点全体の成す集合は離散集合の場合もあるし、稠密集合の場合もある。場合によっては定義域全体と同じとなるかもしれない。 本項目では、最も単純な実一変数で実数を値にとる函数の場合における不連続性の分類を述べる。.
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帰納極限
数学における順極限（じゅんきょくげん）または直極限（ちょくきょくげん、direct limit）もしくは帰納極限（きのうきょくげん、inductive limit）は、「対象の向き付けられた族」の余極限である。本項ではまず群や加群などの代数系に対する帰納極限の定義から始めて、あらためて任意の圏において通用する一般的な定義を与える。.
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三角不等式
数学における三角不等式（さんかくふとうしき、triangle inequality）は、任意の三角形に対してその任意の二辺の和が残りの一辺よりも大きくなければならないことを述べるものである。三角形の三辺が で最大辺が とすれば、三角不等式は が成り立つことを主張している.
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一様収束
数学の分野である解析学において、一様収束（いちようしゅうそく、uniform convergence）は、各点収束よりも強いの概念である。関数列 が極限関数 f に一様収束する (converge uniformly) とは、fn(x) の f(x) への収束のはやさが x に依らないということである。 関数 fn の連続性やリーマン可積分性といったいくつかの性質は、収束が一様であれば極限 f に引き継がれるが、収束が一様でない場合はそうとは限らないから、一様収束の概念は重要である。 与えられた区間上の関数への一様収束は一様ノルムのことばによって定義できる。 The term uniform convergence was probably first used by Christoph Gudermann, in an 1838 paper on elliptic functions, where he employed the phrase "convergence in a uniform way" when the "mode of convergence" of a series \textstyle is independent of the variables \phi and \psi.
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二次形式
数学における二次形式（にじけいしき、quadratic form) は、いくつかの変数に関する次数が 2 の斉次多項式である。たとえば は変数 x, y に関する二次形式である。 二次形式は数学のいろいろな分野（数論、線型代数学、群論（直交群）、微分幾何学（リーマン計量）、微分位相幾何学（四次元多様体の交叉形式）、リー理論（キリング形式）など）で中心的な位置を占める概念である。.
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付値体
付値体(ふちたい、valued field, valuation field)とは、乗法付値により得られる距離に対する距離空間の位相が入った位相体のことを付値体という。体 K の乗法付値 |\cdot| で付値体になるとき、\scriptstyle (K,\ |\cdot|) と表す。 付値体 \scriptstyle (K,\ |\cdot|) に対して、乗法付値 |\cdot| がアルキメデス付値であるとき、アルキメデス付値体、非アルキメデス付値のとき、非アルキメデス付値体という。 付値体の位相体としての性質は、項目位相体を参照のこと。.
位相体
位相体（いそうたい、topological field）とは、密着位相ではない位相が入った位相空間であり、加法、乗法、および 0 以外の元に対する除法が連続となる体のことである。従って、位相体 K は加法に対する位相群であり、K× は乗法に対する位相群となる。.
位相空間
数学における位相空間（いそうくうかん, topological space）とは、集合にある種の情報（位相、topology）を付け加えたもので、この情報により、連続性や収束性といった概念が定式化可能になる。 位相空間論は位相空間の諸性質を研究する数学の分野である。.
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位相線型環
数学の函数解析学における位相線型環（いそうせんけいかん、topological algebra; 位相多元環、位相代数）は、位相体 （普通は実数体 または複素数体 ）上の線型環であって、位相を持ち、その位相のもとで線型環演算（つまり、加法、乗法、）が全て連続となるものを言う。 位相線型環の著しい代表例が函数解析学においてよく知られたバナッハ代数である。単位的かつ結合的な位相線型環は位相環を成す。位相線型環の部分構造としては、閉部分線型環を考えるのが自然である。特に、位相線型環 の部分集合 の生成する位相線型環とは、 を含む最小の閉部分線型環、すなわち を含む閉部分線型環すべての交わりを言う。例えば実数直線 内の有界閉区間 に対して、ストーン–ヴァイアシュトラスの定理を用いれば、恒等函数 のみからなる一元集合がバナッハ代数 を生成することがわかる。 による造語で、自身の博士論文 (1931) の題目で用いられている。.
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体 (数学)
数学において、体（たい）という用語は、四則演算が（零で割ることを除いて）自由に行える代数系に用いる。日本語の語法として、体の定義においてはその積が可換か非可換かについて必ずしも注視しないが、積が可換かそうでないかで目的意識や手法は大きく異なる。前者については可換体の項を（初学者にはこちらが取りつきやすいであろう）、後者については斜体（これは「必ずしも可換ではない」体の意味で用いられる）の項を参照されたい。 定義をきちんと述べれば、 あるいは などと書くことができる。 この代数的構造はリヒャルト・デーデキントとレオポルト・クロネッカーがそれぞれ独立に（そして極めて異なる方法で）導入したが、体という呼称は実数または複素数からなる四則演算に関して閉じている部分集合を表すものとしてドイツ語で体を意味する Körper を用いたのが由来である（それがゆえに、任意の体を表すのにしばしば をプレースホルダとして用いる）。 Category:数学に関する記事.
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体上の多元環
数学において体上の代数あるいは多元環（たげんかん、algebra）とは、双線型な乗法を備えた線型空間である（ゆえに「線型環」ともいう）。すなわちベクトル空間とその上の乗法と呼ばれる二項演算——つまり二つのベクトルから第三のベクトルを作り出す操作——とからなり、乗法がベクトル空間の構造と（分配律などの）適当な意味で両立するような代数的構造である。したがって、体上の多元環は、加法と乗法および体の元によるとを演算として備えた集合である。 定義における係数の体を可換環に取り換えることにより、体上の多元環の一般化として環上の多元環の概念を得ることもできる。 文献によっては、単に「多元環」（あるいは「代数」）と言えば単位的結合多元環を指すこともあるが、本項ではそのような制約は課さない。.
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ノルム
解析学において、ノルム (norm, Norm) は、平面あるいは空間における幾何学的ベクトルの "長さ" の概念の一般化であり、ベクトル空間に対して「距離」を与えるための数学の道具である。ノルムの定義されたベクトル空間を線型ノルム空間または単にノルム空間という。.
ノルム多元体
数学におけるノルム多元体（のるむたげんたい、normed division algebra; ノルム付き可除代数）は、乗法的なノルムを持つ多元体を言う。即ち、実または複素数体上のノルム多元体 A は、多元体であって、かつ任意の x, y ∈ A に対して を満たすノルム ǁ•ǁ Porteous (1969) p.277に関してノルム線型空間の構造も持つ。 定義からは無限次元のノルム多元環と言うものも考えることができるが、実はこれは起こらない。実数体上のノルム多元体は同型の違いを除いて.
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ノルム代数
数学の特に函数解析学におけるノルム環（ノルムかん）またはノルム代数（ノルムだいすう、normed algebra; ノルム多元環、ノルム線型環） は適当な位相体 （とくに実数体 または複素数体 ）上のノルム空間かつ多元環であって、そのノルムが を満たすものを言う。加えて、 が乗法単位元 を持つ（単位的多元環）ならば も仮定することがある。.
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ノルム線型空間
数学におけるノルム線型空間（ノルムせんけいくうかん、normed vector space; ノルム付きベクトル空間、ノルム付き線型空間）または短くノルム空間は、ノルムの定義されたベクトル空間を言う。 各成分が実数の、二次元あるいは三次元のベクトルからなる空間では、直観的にベクトルの「大きさ」（長さ）の概念が定義できる。この直観的アイデアを任意有限次元の実数ベクトル空間 に拡張するのは容易い。ベクトル空間におけるそのようなベクトルの大きさは以下のような性質を持つ.
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ハウスドルフ空間
数学におけるハウスドルフ空間（ハウスドルフくうかん、Hausdorff space）とは、異なる点がそれらの近傍によって分離できるような位相空間のことである。これは分離空間(separated space)またはT2 空間とも呼ばれる。位相空間についてのさまざまな分離公理の中で、このハウスドルフ空間に関する条件はもっともよく仮定されるものの一つである。ハウスドルフ空間においては点列（あるいはより一般に、フィルターやネット）の極限の一意性が成り立つ。位相空間の理論の創始者の一人であるフェリックス・ハウスドルフにちなんでこの名前がついている。ハウスドルフによって与えられた位相空間の公理系にはこのハウスドルフ空間の公理も含まれていた。.
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バナッハ環
数学の、特に関数解析学の分野におけるバナッハ環（バナッハかん、; バナッハ代数、バナッハ多元環、バナッハ線型環）は、完備ノルム体（ふつうは実数体 または 複素数体 ）上の結合多元環 であって、バナッハ空間（ノルムが存在し、に関して完備）ともなる。バナッハ代数におけるノルムは乗法に関して を満たすことが要求され、それにより乗法の連続性は保証される。名称はステファン・バナッハに由来する。 上述の定義において、バナッハ空間をノルム空間に緩める（つまり完備性を要請しない）場合、同様の構造はノルム環（ノルム線型環）と呼ばれる。 バナッハ環は、乗法単位元を持つとき、単位的（unital）であると言う。また乗法が可換であるとき、可換と言う。単位元を持つ持たないにかかわらず、任意のバナッハ環 は適当な単位的バナッハ環（つまり の「単位化」） にこの閉イデアルとなるように等長的に埋め込める。しばしば、扱っている環は単位的であるということがアプリオリに仮定される。すなわち、 を考えることで多くの理論を展開でき、その結果を元の環に応用するという方法が取られることがある。しかしこの方法は常に有効という訳ではない。例えば、単位元を持たないバナッハ環においては、すべての三角関数を定義することが出来ない。 実バナッハ環の理論は、複素バナッハ環の理論とは非常に異なるものである。例えば、非自明な複素バナッハ環の元のスペクトルは決して空とはならないが、実バナッハ環においてはいくつかの元のスペクトルは空となり得る。 p-進数体 上のバナッハ代数（-進バナッハ代数）は、p-進解析の一部として研究される。.
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ベクトル空間
数学、特に線型代数学におけるベクトル空間（ベクトルくうかん、vector space）、または、線型空間（せんけいくうかん、linear space）は、ベクトルと呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である。ベクトルには和が定義され、またスカラーと呼ばれる数による積（「スケール変換」）を行える。スカラーは実数とすることも多いが、複素数や有理数あるいは一般の体の元によるスカラー乗法を持つベクトル空間もある。ベクトルの和とスカラー倍の演算は、「ベクトル空間の公理」と呼ばれる特定の条件（後述）を満足するものでなければならない。ベクトル空間の一つの例は、力のような物理量を表現するのに用いられる幾何ベクトルの全体である（同じ種類の任意の二つの力は、加え合わせて力の合成と呼ばれる第三の力のベクトルを与える。また、力のベクトルを実数倍したものはまた別の力のベクトルを表す）。同じ調子で、ただしより幾何学的な意味において、平面や空間での変位を表すベクトルの全体もやはりベクトル空間を成す。 ベクトル空間は線型代数学における主題であり、ベクトル空間はその次元（大雑把にいえばその空間の独立な方向の数を決めるもの）によって特徴づけられるから、その観点からはよく知られている。ベクトル空間は、さらにノルムや内積などの追加の構造を持つこともあり、そのようなベクトル空間は解析学において主に函数をベクトルとする無限次元の函数空間の形で自然に生じてくる。解析学的な問題では、ベクトルの列が与えられたベクトルに収束するか否かを決定することもできなければならないが、これはベクトル空間に追加の構造を考えることで実現される。そのような空間のほとんどは適当な位相を備えており、それによって近さや連続性といったことを考えることができる。こういた位相線型空間、特にバナッハ空間やヒルベルト空間については、豊かな理論が存在する。 歴史的な視点では、ベクトル空間の概念の萌芽は17世紀の解析幾何学、行列論、連立一次方程式の理論、幾何ベクトルの概念などにまで遡れる。現代的な、より抽象的な取扱いが初めて定式化されるのは、19世紀後半、ペアノによるもので、それはユークリッド空間よりも一般の対象が範疇に含まれるものであったが、理論の大半は（直線や平面あるいはそれらの高次元での対応物といったような）古典的な幾何学的概念を拡張することに割かれていた。 今日では、ベクトル空間は数学のみならず科学や工学においても広く応用される。ベクトル空間は線型方程式系を扱うための適当な線型代数学的概念であり、例えば画像圧縮ルーチンで使われるフーリエ展開のための枠組みを提示したり、あるいは偏微分方程式の解法に用いることのできる環境を提供する。さらには、テンソルのような幾何学的および物理学的な対象を、抽象的に座標に依らない で扱う方法を与えてくれるので、そこからさらに線型化の手法を用いて、多様体の局所的性質を説明することもできるようになる。 ベクトル空間の概念は様々な方法で一般化され、幾何学や抽象代数学のより進んだ概念が導かれる。.
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イデアル (環論)
抽象代数学の分野である環論におけるイデアル（ideal, Ideal）は環の特別な部分集合である。整数全体の成す環における、偶数全体の成す集合や の倍数全体の成す集合などの持つ性質を一般化したもので、その部分集合に属する任意の元の和と差に関して閉じていて、なおかつ環の任意の元を掛けることについても閉じているものをイデアルという。 整数の場合であれば、イデアルと非負整数とは一対一に対応する。即ち整数環 の任意のイデアルは、それぞれただ一つの整数の倍数すべてからなる主イデアルになる。しかしそれ以外の一般の環においてはイデアルと環の元とは全く異なるものを指しうるもので、整数のある種の性質を一般の環に対して一般化する際に、環の元を考えるよりもそのイデアルを考えるほうが自然であるということがある。例えば、環の素イデアルは素数の環における対応物であり、中国の剰余定理もイデアルに対するものに一般化することができる。素因数分解の一意性もデデキント環のイデアルに対応するものが存在し、数論において重要な役割を持つ。 イデアルは整数の算術から定義される合同算術の方法と同様の剰余環（商環）の構成にも用いられる、この点において群論で剰余群（商群）の構成に用いられる正規部分群と同様のものと理解することができる。 順序集合に対するの概念は環論におけるこのイデアルの概念に由来する。またイデアルの概念を一般化して分数イデアルの概念を考えることもでき、それとの区別のためここで扱う通常のイデアルは整イデアルと呼ばれることもある。.
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ゲルファント＝マズールの定理
作用素環論において、ゲルファント＝マズールの定理(ゲルファント＝マズールのていり、Gelfand–Mazur theorem)とはバナッハ環の基本定理の一つである。単位元を持つ複素バナッハ環が可除環であれば、複素数体と同型であることを主張する。可換なバナッハ環におけるゲルファント理論において、基本的な役割を果たす。定理の名は、定理を導いたポーランドの数学者とロシアの数学者イズライル・ゲルファントに因む S. Mazur, "," C. R. Acad.
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コンパクト空間
数学において、コンパクト（compact）は位相空間の性質である。詳細は後述するがコンパクト性の定義それ自身は直観性に乏しいものであり、証明を容易にする為のいわば操作的なものである。しかし距離空間であればより直観的な言葉でいいかえる事ができ、特に有限次元のユークリッド空間においては有界閉集合であることとコンパクト集合であることとは同値になる。したがってコンパクトの概念はユークリッド空間における有界閉集合の概念を一般の位相空間に拡張したものとしてとらえる事ができる。 なお無限次元では有界閉集合はコンパクトとは限らず、例えばヒルベルト空間内の（縁を含んだ）単位球体は有界かつ閉集合であるがコンパクトではない（距離位相を入れた場合）。 ブルバキでは、ここでいう定義を満たす位相空間を準コンパクト（quasi-compact）と呼び、さらにハウスドルフの分離公理を満たすものをコンパクトであると呼んでいる。距離空間など多くの空間ではハウスドルフの分離公理が満たされるので両者の概念は一致するが、一般には注意が必要である。.
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C*-環
数学における -環（しーすたーかん、C*-algebra）とは複素数体上の完備なノルム環で複素共役に類似の作用をもつものであり、フォン・ノイマン環と並ぶ作用素環論の主要な研究対象である。-代数（シースターだいすう）とも呼ばれる。1943年のGel'fand-Naimarkと1946年のRickartの研究によって公理系が与えられた。'-algebra' という用語は1947年にSegalによって導入された。 -環はその内在的な構造のみにもとづいて公理的に定義されるが、実はどんな -環もヒルベルト空間上の線形作用素のなす環で、随伴操作とノルムに関する位相で閉じたものとして実現されることが知られている。また、可換な -環を考えることは局所コンパクト空間上の複素数値連続関数環を考えることになり、その連続関数環からはもとの位相空間を復元できるので、可換 -環の理論は局所コンパクト空間の理論と等価だといえる。一般の -環は、群（あるいは亜群）など、幾何学的な文脈に現れながら普通の空間とは見なされないようなものを包摂しうる変形（「量子化」）された空間を表していると考えることもできる。.
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絶対値
数の絶対値は零からの距離と考えられる 数学における実数 の絶対値（ぜったいち、absolute value）または母数（ぼすう、modulus） は、その符号を無視して得られる非負の値を言う。つまり正数 に対して および負数 に対して （このとき は正）であり、また である。例えば の絶対値は であり の絶対値も である。数の絶対値はその数の零からの距離と見なすことができる。 実数の絶対値を一般化する概念は、数学において広範で多様な設定のもとで生じてくる。例えば、絶対値は複素数、四元数、順序環、体などに対しても定義することができる。様々な数学的あるいは物理学的な文脈における (magnitude) や距離およびノルムなどの概念は、絶対値と緊密な関係にある.
複素数
数学における複素数（ふくそすう、complex number）は、実数の対 と と線型独立な（実数ではない）要素 の線型結合 の形に表される数（二元数: 実数体上の二次拡大環の元）で、基底元 はその平方が になるという特別な性質を持ち虚数単位と呼ばれる。 複素数全体の成す集合を太字の あるいは黒板太字で と表す。 は、実数全体の成す集合 と同様に、可換体の構造を持ち、とくに を含む代数閉体を成す。複素数体はケイリー–ディクソン代数（四元数、八元数、十六元数など）の基点となる体系であり、またさまざまな超複素数系の中で最もよく知られた例である。 複素数の概念は、一次元の実数直線を二次元の複素数平面に拡張する。複素数は自然に二次元平面上に存在すると考えることができるから、複素数全体の成す集合上に自然な大小関係（つまり全順序）をいれることはできない。すなわち は順序体でない。 ある数学的な主題や概念あるいは構成において、それが複素数体を基本の体構造として考えられているとき、そのことはしばしばそれら概念等の名称に（おおくは接頭辞「複素-」を付けることで）反映される。例えば、複素解析、複素行列、複素（係数）多項式、複素リー代数など。.
調和解析
数学の一分野としての調和解析（ちょうわかいせき、Harmonic analysis）は、関数や信号を基本波の重ね合わせとして表現することに関わるもので、フーリエ級数やフーリエ変換及びその一般化について研究する分野である。19世紀から20世紀を通じて、調和解析の扱う主題は広く、応用も信号処理、量子力学、神経科学など多岐にわたる。 「調和 (harmonic)」の語は、もとは物理的な固有値問題から来たもので、（楽器の弦における調和振動の周波数のように）周波数が他の周波数の整数倍となっているような波を意図したものであるが、現在ではその原義を超えて一般化した使い方をされる。 上の古典フーリエ変換は未だ活発な研究の成されている領域であり、特により一般の緩増加超関数などの対象についてのフーリエ変換に関心が持たれる。例えば、シュワルツ超関数 に適当な仮定を課すときに、それらの仮定を のフーリエ変換に関する仮定に翻訳することを考えることができる。はその一例である。ペイリー・ウィーナーの定理からすぐに従うことに、 がコンパクト台を持つ非零超関数（これにはコンパクト台を持つ関数ももちろん含まれる）ならばそのフーリエ変換がコンパクト台を持つことは起こりえない。これは調和解析的な設定のもとでの非常に初等的な形の不確定性原理と言うことができる（フーリエ級数の収束も参照）。 フーリエ級数はヒルベルト空間論の文脈でも有効に調べられており、調和解析と関数解析学とを結ぶものとなっている。.
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超球面
数学において、 次元球面（-じげんきゅうめん、n-sphere, n 球面）は普通の球面の ''n'' 次元空間への一般化である。任意の自然数 n に対して、半径 r の n 次元球面は中心点から距離 r にある (n + 1) 次元ユークリッド空間における点の集合として定義される。ここで半径 r は任意の正の実数でよい。したがって、原点を中心とする n 次元球面は によって定義される。これは (n + 1) 次元ユークリッド空間内に存在する n 次元多様体である。 特に：.
近傍 (位相空間論)
平面上の集合 ''V'' が点 ''p'' の近傍であるのは、''p'' を中心とする小さな円板が ''V'' に含まれるときである。 矩形の頂点に対して、その矩形は近傍でない。 数学の位相空間論周辺分野でいう近傍（きんぼう、neighbourhood, neighborhood）は位相空間の基本概念の一つで、直観的に言えば与えられた点を含む集合で、その点を少しくらい動かしてもその集合から外に出ないようなものをいう。 近傍の概念は開集合と内部の概念と密接な関連がある。.
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関数解析学
関数解析学（かんすうかいせきがく、functional analysis）は数学（特に解析学）の一分野で、フーリエ変換や微分方程式、積分方程式などの研究に端を発している。特定のクラスの関数からなるベクトル空間にある種の位相構造を定めた関数空間や、その公理化によって得られる線形位相空間の構造が研究される。主な興味の対象は、様々な関数空間上で積分や微分によって定義される線型作用素の振る舞いを通じた積分方程式や微分方程式の線型代数学的取り扱いであり、無限次元ベクトル空間上の線型代数学と捉えられることも多い。.
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閉集合
閉集合（へいしゅうごう、closed set）は、その補集合が開集合となる集合のこと。距離空間の場合はその部分集合の元からなる任意の収束点列の極限がその部分集合の元であることと一致するので、それを定義としてもよい。 例えば、数直線上で不等式 0 ≤ x ≤ 1 によって定まる集合は閉区間と呼ばれるが、これは閉集合である。なぜならば、その補集合である x < 0 または x > 1 を満たす区間が開集合となるからである。 不等式を 0 < x < 1 としたものや 0 ≤ x < 1 としたものは、閉集合ではない。 また、連続関数 f(x,y) を使って、\ と表される集合は平面の閉集合である。円周も平面の閉集合である。 次の性質を満たす集合 X の部分集合の族 F があると、 F の元が閉集合であるような位相が X に定まる。.
零環
数学の分野である環論において、零環（the zero ring）または自明環 (trivial ring) は1つの元からなる（同型を除いて）唯一の環である。（あまり一般的ではないが、“零環 (zero ring)”という用語は任意の rng of square zero, すなわちすべての x と y に対して であるような rng を指すために使われることもある。この記事では1つの元からなる環の意味で使う。） 環の圏において、零環は終対象である。始対象は有理整数環 Z である。.
連続 (数学)
数学において、連続（れんぞく、continuous）および連続性（れんぞくせい、continuity）とは、いくら拡大しても近くにあって差が無いことを示す極限概念である。位相空間のあいだの写像について、開集合や極限といった位相的な概念を一定の方法でたもつという条件によって連続性の概念が定められる。これは異なる位相空間のあいだの関係を表す最も基本的な枠組みである。日常語としては「連続」が「切れずに繋がっている」という意味で使われることがあるが、位相空間の性質として「切れずに繋がっている」ということを表す概念は「連結性」である。事実として「連結領域の連続像は必ず連結」であり、従って連結な定義域を持つ連続函数のグラフは文字通り「切れずに繋がっている」ことになるが、それは連続性の本質ではない。.
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正則関数
複素解析において、正則関数（せいそくかんすう、regular analytic function）あるいは整型函数（せいけいかんすう、holomorphic function）とは、ガウス平面あるいはリーマン面上のある領域の全ての点で微分可能であるような複素変数のことである。.
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数学
数学（すうがく、μαθηματικά, mathematica, math）は、量（数）、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.
