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連続 (数学)

索引 連続 (数学)

数学において、連続(れんぞく、continuous)および連続性(れんぞくせい、continuity)とは、いくら拡大しても近くにあって差が無いことを示す極限概念である。位相空間のあいだの写像について、開集合や極限といった位相的な概念を一定の方法でたもつという条件によって連続性の概念が定められる。これは異なる位相空間のあいだの関係を表す最も基本的な枠組みである。日常語としては「連続」が「切れずに繋がっている」という意味で使われることがあるが、位相空間の性質として「切れずに繋がっている」ということを表す概念は「連結性」である。事実として「連結領域の連続像は必ず連結」であり、従って連結な定義域を持つ連続函数のグラフは文字通り「切れずに繋がっている」ことになるが、それは連続性の本質ではない。.

40 関係: 半連続同程度連続定義域実数実数の連続性実数直線完備距離空間不連続性の分類床関数と天井関数位相空間微分可能区間 (数学)ノルムハイネ・カントールの定理ヘルダー条件ディリクレの関数フィルター (数学)ベクトルイプシロン-デルタ論法グラフ (関数)スコット連続写像積分法絶対値絶対連続無理数複素数高木貞治距離空間近傍系開集合連続体連続体 (集合論)連結空間極限極限 (圏論)比例有向点族有理数数学

半連続

解析学における半連続性(semi-continuity)とは、拡張実数値関数(値として ±∞ を取り得る)に対して定義される「連続性」よりも弱い性質である。概略的に言うと、拡張実数値関数 f が点 x0 で上(下)半連続であるとは、x0 の十分近くで函数の値が f(x0) に近いかもしくは f(x0) よりも小さい(大きい)ことを言う。.

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同程度連続

同程度連続(どうていど れんぞく、equicontinuous)は、解析学の用語の一つであり、関数の列の性質を表す。おおまかには、以下の条件を満たす関数列 (fn) が同程度連続であると言われる。.

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定義域

数学における写像の定義域(ていぎいき、domain of definition)あるいは始域(しいき、domain; 域, 領域)とは、写像の値の定義される引数(「入力」)の取り得る値全体からなる集合である。つまり、写像はその定義域の各元に対して(「出力」としての)値を与える。 例えば、実数の範囲での議論において、余弦函数の定義域はふつう実数全体の成す集合(実数直線)であるし、正の平方根函数の定義域は 以上の実数全体の成す集合であるものとする。定義域が実数から成る集合(実数全体の成す集合の部分集合)であるような実数値函数は、その定義域が -軸上にあるものとして -直交座標系に表すことができる。.

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実数

数学における実数(じっすう、 nombre réel, reelle Zahl, real number)は、様々な量の連続的な変化を表す数の体系である。実数全体の空間は、途切れのなさにあたる完備性とよばれる位相的な性質を持ち、代数的には加減乗除ができるという体の構造を持っている。幾何学や解析学ではこれらのよい性質を利用して様々な対象が定義され、研究されている。一方でその構成方法に自明でない手続きが含まれるため、実数の空間は数学基礎論の観点からも興味深い性質を持っている。また、自然科学における連続的なものの計測値を表すのに十分な数の体系だとも考えられている。 実数の概念は、その形式的な定義が19世紀に達成される前から数の体系として使われていた。「実数」という名前は複素数の概念が導入された後に「普通の数」を表現する言葉として導入されたものである。.

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実数の連続性

実数の連続性(continuity of real numbers)とは、実数の集合がもつ性質である。 実数の連続性は、実数の完備性(completeness of the real numbers)とも言われる。また、実数の連続性を議論の前提とする立場であれば実数の公理と記述する場合もある。 また、実数の連続性における連続性とは関数の連続性とは別の概念である。.

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実数直線

数学における実数直線(じっすうちょくせん、real line, real number line)は、その上の各点が実数であるような直線である。つまり、実数直線とは、すべての実数からなる集合 を、幾何学的な空間(具体的には一次元のユークリッド空間)とみなしたものということである。この空間はベクトル空間(またはアフィン空間)や距離空間、位相空間、測度空間あるいは線型連続体としてみることもできる。 単に実数全体の成す集合としての実数直線は記号 (あるいは黒板太字の &#x211d) で表されるのがふつうだが、それが一次元のユークリッド空間であることを強調する意味で と書かれることもある。 本項では の位相幾何学的、幾何学的あるいは実解析的な側面に焦点を当てる。もちろん実数の全体は一つの体として代数学でも重要な意味を持つが、その文脈での が直線として言及されるのは稀である。そういった観点を含めた の詳細は実数の項を参照のこと。.

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完備距離空間

位相空間論あるいは解析学において、距離空間 M が完備(かんび、complete)またはコーシー空間(コーシーくうかん、Cauchy space)であるとは、M 内の任意のコーシー点列が M に属する極限を持つ(任意のコーシー点列が収束する)ことを言う。 直観的に言えば、空間が完備であるというのは(その内側や境界において)点を追いかけると「空間からはみ出してしまう」ということが起きないということである。例えば、有理数全体の成す集合 Q は完備でないが、これは例えば 2 の正の平方根は、それに収束する有理コーシー数列が構成できるにも拘らず、有理数ではないので Q からははみ出してしまう(後述)。「こういった抜けを全て埋めてしまう」という考えは後述するように、空間の完備化 (completion) として常に可能である。.

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不連続性の分類

連続関数は数学およびその応用において非常に重要である。しかし、関数が全て連続というわけではない。ある関数がその定義域内のある点で連続でないとき、その関数は不連続性 (discontinuity) を有する。関数の不連続点全体の成す集合は離散集合の場合もあるし、稠密集合の場合もある。場合によっては定義域全体と同じとなるかもしれない。 本項目では、最も単純な実一変数で実数を値にとる函数の場合における不連続性の分類を述べる。.

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床関数と天井関数

床関数(ゆかかんすう、floor function)と天井関数(てんじょうかんすう、ceiling function)は、実数に対しそれぞれそれ以下の最大あるいはそれ以上の最小の整数を対応付ける関数である。 “floor”や“ceiling”といった名称やその他の記法は、1962年にケネス・アイバーソンによって導入された。.

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位相空間

数学における位相空間(いそうくうかん, topological space)とは、集合にある種の情報(位相、topology)を付け加えたもので、この情報により、連続性や収束性といった概念が定式化可能になる。 位相空間論は位相空間の諸性質を研究する数学の分野である。.

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微分可能

微分可能(びぶんかのう).

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区間 (数学)

数学における(実)区間(じつくかん、(real) interval)は、実数からなる集合で、その集合内の任意の二点に対しその二点の間にあるすべての数がその集合に属するという性質を持つものである。例えば、 を満たす数 全体の成す集合は、 と, およびその間の数すべてを含区間である。他の著しい例として、実数全体の成す集合, 負の実数全体の成す集合および空集合などが挙げられる。 実区間は積分および測度論において、「大きさ」「測度」「長さ」などと呼ばれる量を容易に定義できるもっとも単純な集合として重要な役割がある。測度の概念は実数からなるより複雑な集合に対して拡張され、ボレル測度やルベーグ測度といったような概念までにつながっていく。 不確定性や数学的近似および算術的丸めがあっても勝手な公式に対する保証された一定範囲を自動的に与える一般の法としてのを考えるにあたって、区間はその中核概念を成す。 勝手な全順序集合、例えば整数の集合や有理数の集合上でも、区間の概念は定義することができる。.

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ノルム

解析学において、ノルム (norm, Norm) は、平面あるいは空間における幾何学的ベクトルの "長さ" の概念の一般化であり、ベクトル空間に対して「距離」を与えるための数学の道具である。ノルムの定義されたベクトル空間を線型ノルム空間または単にノルム空間という。.

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ハイネ・カントールの定理

ハイネ・カントールの定理とは、次のような定理である。.

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ヘルダー条件

数学において、 次元ユークリッド空間上の実あるいは複素数値函数 がヘルダー条件(ヘルダーじょうけん、)を満たす、あるいはヘルダー連続であるとは、 の定義域内のすべての点 と に対して次の不等式を満たす非負の実定数, が存在することを言う。 より一般に、この条件は任意の二つの距離空間の間の函数に対して考えることが出来る。このような数 はヘルダー条件の指数と呼ばれる。 の場合はリプシッツ条件を意味し、 の場合は単純に函数が有界であることを意味する。この条件の名は、オットー・ヘルダーにちなむ。 実数直線のコンパクトな部分集合上の函数に対して、.

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ディリクレの関数

ディリクレの関数(ディリクレの-かんすう)とは、実数全体の成す集合 R 上で定義される次のような関数のことである。 f(x).

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フィルター (数学)

フィルター (filter) とは半順序集合の特別な部分集合のことである。実際には半順序集合として、特定の集合の冪集合に包含関係で順序を入れた物が考察されることが多い。フィルターが初めて用いられたのは一般位相幾何学の研究であったが、現在では順序理論や束の理論でも用いられている。順序理論的な意味でのフィルターの双対概念はイデアルである。 類似の概念として1922年にエリアキム・H・ムーアとH.L.スミスによって導入されたネットの概念がある。.

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ベクトル

ベクトル()またはベクター() ベクトルは Vektor に由来し、ベクターは vector に由来する。物理学などの自然科学の領域ではベクトル、プログラミングなどコンピュータ関係ではベクターと表記される、という傾向が見られることもある。また、技術文書などではしばしばJIS規格に準拠する形で、長音を除いたベクタという表記が用いられる。 は「運ぶ」を意味するvehere に由来し、18世紀の天文学者によってはじめて使われた。 ベクトルは通常の数(スカラー)と区別するために矢印を上に付けたり(例: \vec,\ \vec)、太字で書いたりする(例: \boldsymbol, \boldsymbol)が、分野によっては矢印も太字もせずに普通に書くこともある(主に解析学)。 ベクトル、あるいはベクターに関する記事と用法を以下に挙げる。.

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イプシロン-デルタ論法

ε-δ 論法(イプシロンデルタろんぽう、(ε, δ)-definition of limit)は、解析学において、(有限な)実数値のみを用いて極限を議論する方法である。.

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グラフ (関数)

関数のグラフ(graph)は、直観的には、関数を平面内の曲線もしくは空間内の曲面としてダイアグラム状に視覚化したものである。形式的には、関数 のグラフとは、順序対 の集合である。 例えば、 と が常に実数であるような関数の場合、グラフは座標平面上の点の集まりとみなすことができる。このような関数のうち、応用上重要な関数の多くは、グラフを座標平面上に曲線として描くことが可能である。 グラフの概念は、関数のみならず、より一般の写像や対応に対しても定義される。標語的には、グラフは関数や対応を特徴付ける集合であるといえる。.

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スコット連続

数学において、二つの半順序集合 P と Q が与えられたとき、それらの間の関数 がスコット連続(スコットれんぞく、)であるとは、それがすべての有向上限を保存する、すなわち、上限を P に持つすべての有向部分集合 D に対し、その像は Q に上限を持ち、sup f (D).

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写像

写像(しゃぞう、mapping, map)とは、二つの集合が与えられたときに、一方の集合の各元に対し、他方の集合のただひとつの元を指定して結びつける対応のことである。函数(関数)、変換、作用素、射などが写像の同義語として用いられることもある。 ブルバキに見られるように、写像は集合とともに現代数学の基礎となる道具の一つである。現代的な立場では、「写像」と(一価の)「函数」は論理的におなじ概念を表すものと理解されているが、歴史的には「函数」の語は解析学に出自を持つものであり、一部には必ずしも写像でないものも函数の名の下におなじ範疇に扱われる(多価函数参照)。文献によっては「数の集合(大抵の場合実数体 または複素数体 の部分集合)を終域に持つ写像」をして特に「函数」と呼び、「写像」はより一般の場合に用いる。函数、二項関係、対応の各項も参照のこと。.

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積分法

積分法(せきぶんほう、integral calculus)は、微分法と共に微分積分学で対を成す主要な分野である。 実数直線上の区間 [a, b] 上で定義される実変数 x の関数 f の定積分 (独: bestimmte Integral, 英: definite integral, 仏: intégrale définie) は、略式的に言えば f のグラフと x-軸、および x.

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絶対値

数の絶対値は零からの距離と考えられる 数学における実数 の絶対値(ぜったいち、absolute value)または母数(ぼすう、modulus) は、その符号を無視して得られる非負の値を言う。つまり正数 に対して および負数 に対して (このとき は正)であり、また である。例えば の絶対値は であり の絶対値も である。数の絶対値はその数の零からの距離と見なすことができる。 実数の絶対値を一般化する概念は、数学において広範で多様な設定のもとで生じてくる。例えば、絶対値は複素数、四元数、順序環、体などに対しても定義することができる。様々な数学的あるいは物理学的な文脈における (magnitude) や距離およびノルムなどの概念は、絶対値と緊密な関係にある.

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絶対連続

数学における絶対連続(ぜったいれんぞく、absolute continuity)とは通常の連続性や一様連続性よりも強い条件を課した連続性の概念である。関数と測度とについて、関係しているが見かけ上異なるふたつの絶対連続性の定義がなされる。.

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無理数

無理数(むりすう、 irrational number)とは、有理数ではない実数、つまり分子・分母ともに整数である分数(比.

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複素数

数学における複素数(ふくそすう、complex number)は、実数の対 と と線型独立な(実数ではない)要素 の線型結合 の形に表される数(二元数: 実数体上の二次拡大環の元)で、基底元 はその平方が になるという特別な性質を持ち虚数単位と呼ばれる。 複素数全体の成す集合を太字の あるいは黒板太字で と表す。 は、実数全体の成す集合 と同様に、可換体の構造を持ち、とくに を含む代数閉体を成す。複素数体はケイリー–ディクソン代数(四元数、八元数、十六元数など)の基点となる体系であり、またさまざまな超複素数系の中で最もよく知られた例である。 複素数の概念は、一次元の実数直線を二次元の複素数平面に拡張する。複素数は自然に二次元平面上に存在すると考えることができるから、複素数全体の成す集合上に自然な大小関係(つまり全順序)をいれることはできない。すなわち は順序体でない。 ある数学的な主題や概念あるいは構成において、それが複素数体を基本の体構造として考えられているとき、そのことはしばしばそれら概念等の名称に(おおくは接頭辞「複素-」を付けることで)反映される。例えば、複素解析、複素行列、複素(係数)多項式、複素リー代数など。.

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高木貞治

木 貞治(たかぎ ていじ、1875年(明治8年)4月21日 - 1960年(昭和35年)2月28日)は、日本の数学者。東京帝国大学教授。第1回フィールズ賞選考委員。文化勲章受章。.

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距離空間

距離空間(きょりくうかん、metric space)とは、距離関数(きょりかんすう)と呼ばれる非負実数値関数が与えられている集合のことである。 古代より、平面や空間、地上の 2 点間の離れ具合を表す尺度である距離は測量や科学、数学において重要な役割を果たしてきた。1906年にモーリス・フレシェは、様々な集合の上で定義された関数の一様連続性の概念を統一的に研究した論文 において、ユークリッド空間から距離の概念を抽出して用い、距離空間の理論を築いた。 平面 R2 の上の 2 点 P1.

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近傍系

数学の位相空間論周辺分野において、点の近傍系(きんぼうけい、neighbourhood system)あるいは近傍フィルター(きんぼうフィルター、neighbourhood filter)とは、その点の近傍全体の成す集合族をいう。.

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開集合

開集合(かいしゅうごう、open set)は、実数直線の開区間の考えを一般化した抽象的な概念である。最も簡単な例は距離空間におけるものであり、開集合をその任意の点に対しそれを(元として)含む開球を(部分集合として)含むような集合(あるいは同じことだが境界点を全く含まないような集合)として定義できる。例えば、数直線上で不等式 2 < x < 5 によって定まる開区間は開集合である。この場合の境界とは数直線上の点 2 と 5 であって、不等式を 2 ≤ x ≤ 5 としたものや 2 ≤ x < 5 としたものは、境界を含んでいるので開集合ではない。また、 2 < x < 5 によって定まる開区間内のどの点に対しても、その点の開近傍として十分小さなものを選べば、それがもとの開区間に含まれるようにできる。 しかしながら、開集合は一般にはとても抽象的になりうる(詳しくは位相空間の項を参照されたい)。開集合とは全体集合を形成する基本要素達のようなものであり、位相の特殊な定義の仕方によっては、例えば実数において(普通の意味での)境界上を含む集合が“開集合”と呼ばれることになる場合もある。極端な例では、すべての部分集合を開集合としたり(離散位相)、開集合は空集合と空間全体だけとしたり(密着位相)することもできる。.

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連続体

連続体(れんぞくたい、continuum ).

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連続体 (集合論)

数学の集合論における連続体(れんぞくたい、continuum)は、実数全体の成す集合あるいはそれに対応する基数 \mathfrak を言う。 連続体濃度は実数全体の成す集合の大きさを表すものであり、連続体仮説は連続体濃度と自然数全体の成す集合の濃度 \aleph_0 との間には別な濃度が存在しないことを述べたものである。.

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連結空間

位相幾何学や関連する数学の分野において、連結空間(れんけつくうかん、connected space)とは、2つ以上の互いに素な空でない開部分集合の和集合として表すことのできない位相空間のことである。空間の連結性は主要なの1つであり、位相空間の区別をつけることに利用できる。より強い意味での連結性として、弧状連結 (path-connected) という概念があり、これは任意の2点が道によって結べることをいう。 位相空間 X の部分集合が連結であるとは、X の相対位相によってそれ自身を位相空間と見たときに連結であることをいう。 連結でない空間の例は、平面から直線を取り除いたものがある。非連結空間(すなわち連結でない空間)の他の例には、平面からアニュラスを取り除いたものや、2つの交わりを持たない閉円板の和集合がある。ただし、これら3つの例はいずれも、2次元ユークリッド空間から誘導される相対位相を考えている。.

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極限

数学においては、数列など、ある種の数学的対象をひとまとまりに並べて考えたものについての極限(きょくげん、limit)がしばしば考察される。数の列がある値に限りなく近づくとき、その値のことを数列の極限あるいは極限値といい、この数列は収束するという。収束しない場合は、発散するという。 極限を表す記号として、次のような lim (英語:limit, リミット、ラテン語:limes)という記号が一般的に用いられる。.

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極限 (圏論)

数学の一分野圏論において、極限とは積やや逆極限といった普遍的な構成たちの根底にある性質を捉えた抽象概念である。双対的に余極限とは非交和、直和、余積、、直極限のような構成を一般化したものである。 極限と余極限は、強く関連した概念である普遍性や随伴関手と同様に、高度に抽象化された存在である。これらを理解するために、一般化される前の特定の概念を先に学ぶのがよい。.

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比例

比例(ひれい、proportionality)とは、変数を用いて書かれる二つの量に対し一方が他方の定数倍であるような関係の事である。.

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有向点族

有向点族(ゆうこうてんぞく、directed family of points)とは、点列を一般化した概念で、ムーア (Eliakim Hastings Moore) とスミス (H. L. Smith) により1922年に定義された。有向点族はネット (net)、有向点列、 Moore-Smith 列などとも呼ばれる。 点列との違いは添え字にあり、点列が自然数という可算な全順序集合の元で添え字付けられるのに対し、有向点族はより一般的な順序集合である(可算または非可算な)有向集合の元で添え字付けられている。 有向点族の概念の利点として以下の2つがある:.

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有理数

有理数(ゆうりすう、rational number) とは、二つの整数 a, b (ただし b は 0 でない)をもちいて a/b という分数で表せる数のことをいう。b.

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数学

数学(すうがく、μαθηματικά, mathematica, math)は、量(数)、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.

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