目次
31 関係: 多重集合、対角化、対角行列、小行列、三角行列、交換法則、作用素 (関数解析学)、ユニタリ行列、イサイ・シューア、エルミート形式、コンパクト作用素、スペクトル分解 (関数解析学)、冪零行列、商線型空間、固有値と固有ベクトル、線型代数学、群作用、特異値、特異値分解、直交補空間、随伴行列、行列の定値性、行列の分解、行列の相似、行列ノルム、複素数、正規直交基底、正規行列、正方行列、有界作用素、数学。
- 行列の分解
- 行列論
多重集合
数学における多重集合（たじゅうしゅうごう、multiset）あるいはバッグ（bag; かばん）は、集合に同じ値の元がいくつも含まれるとき、各元がそれぞれいくつ含まれるかという重複度を考え合わせた集合概念である。非順序対、非順序組 (unordered tuple) ともいう。 クヌースによれば、1970年代に最初に多重集合 (multiset) という言葉を提案したのは、オランダ人数学者のニコラース・ホーバート・ド・ブラン (IPA) であるという クヌースは同書で、多重集合に対して提案された他の名前（例えば,リスト(list)、まとまり(bunch)、バッグ(bag)、堆積(heap)、標本(sample)、重みつき集合(weighted set)、コレクション(collection)、組(suite).など）も提示している。
見る シュール分解と多重集合
対角化
対角化（たいかくか、diagonalization）とは、正方行列を適当な線形変換によりもとの行列と相似な対角行列に変形することを言う。あるいは、ベクトル空間の線形写像に対し、空間の基底を取り替え、その作用が常にある方向（固有空間）へのスカラー倍（固有値）として現れるようにすること。対角化により変換において本質的には無駄な計算を省くことで計算量を大幅に減らすことができる100行100列のような大きな正規行列を対角化するにあたっては、そのまま対角化のアルゴリズムを適用するよりは、いったんブロック対角化された行列にする、すなわち複数の100行100列よりは小さな正規行列の直和に変換することで、並列的かつ以前の計算資産を再利用する形で対角化をすることができるようになる。
見る シュール分解と対角化
対角行列
数学、特に線型代数学において、対角行列（たいかくぎょうれつ、diagonal matrix）とは、正方行列であって、その対角成分（-要素）以外が零であるような行列のことである。 end この対角行列は、クロネッカーのデルタを用いて (ci δij) と表現できる。また、しばしば のようにも書かれる。 単位行列やスカラー行列は対角行列の特殊例である。
見る シュール分解と対角行列
小行列
小行列は行列から特定の行および列を取り除いて得られる。この図では第二行と第四列を落としている。 線型代数学における部分行列（ぶぶんぎょうれつ、submatrix）または小行列（しょうぎょうれつ、TeilmatrixChristian Karpfinger: Höhere Mathematik in Rezepten.
見る シュール分解と小行列
三角行列
数学の一分野線型代数学における三角行列（さんかくぎょうれつ、triangular matrix）は特別な種類の正方行列である。正方行列が またはであるとは主対角線より「上」の成分がすべて零となるときに言い、同様にまたはとは主対角線より「下」の成分がすべて零となるときに言う。三角行列は上半または下半三角となる行列のことを言い、また上半かつ下半三角となる行列は対角行列と呼ぶ。 三角行列に関する行列方程式は解くことが容易であるから、それは数値解析において非常に重要である。LU分解アルゴリズムにより、正則行列が下半三角行列 と上半三角行列 との積 に書くことができるための必要十分条件は、その行列の首座小行列式 (leading principal minor) がすべて非零となることである。
見る シュール分解と三角行列
交換法則
初等代数学における交換法則（こうかんほうそく、commutative law; 可換則、交換律）は、与えられた演算の二つの引数を互いに入れ替えても結果が変わらないことを述べる。また交換法則を満足する演算は可換性（commutative property; 交換性質）を持つと言う。例えば自然数に関する足し算や掛け算は交換法則を満たしている。
見る シュール分解と交換法則
作用素 (関数解析学)
数学における作用素（さようそ、operator）は、しばしば写像、函数、変換などの一般化として用いられる。函数解析学においては主にヒルベルト空間やバナッハ空間上の（必ずしも写像でない部分写像の意味での）線型変換を単に作用素と呼ぶ。そのような空間として特に函数空間と呼ばれる函数の成す無限次元線型空間は典型的であり（同じものを物理学の分野、特に量子力学などでは演算子（えんざんし）と呼ぶ）、このとき、作用素を関数を別の関数にうつす写像として理解することができる。定義されているベクトル空間の係数体に値をとる作用素は汎函数（はんかんすう、functional）と呼ばれる。 また、群や環が空間に作用しているとき、群や環の各元が定める空間上の変換、あるいはその変換が引き起こす関数空間上の変換のことを作用素ということがある。
ユニタリ行列
ユニタリ行列（ユニタリぎょうれつ、unitary matrix）は、次を満たす複素正方行列 として定義される。 ここで、 は単位行列、 は行列 の随伴行列。 なお、実数で構成される行列の随伴は単に転置であるため実ユニタリ行列は直交行列に等しく、直交行列を複素数体へ拡張したものがユニタリ行列とも言える。
イサイ・シューア
イサイ・シューア（Issaj Schur, Issai Schur, יִשַׁי שׁוּר‎ Yiššáy Šūr, Иса́й "Шая" Мо́вшевич Шур, 1875年1月10日1941年1月10日）は、ドイツとイスラエルの地で活動したユダヤ系の数学者。
エルミート形式
数学の線型代数学におけるエルミート積 (Hermitian product), エルミート半双線型形式 (Hermitian Sesqui­linear form) あるいは単にエルミート形式（エルミートけいしき、Hermitian form）は、シャルル・エルミートに名を因む特別な種類の半双線型形式で、対称双線型形式の複素版にあたる。 複素線型空間 とその上のエルミート形式 との組, あるいは同じことだが対応する「二次形式」 との組 をエルミート空間（あるいはエルミート二次空間）と呼ぶ。
コンパクト作用素
数学の一分野函数解析学においてコンパクト作用素（コンパクトさようそ、compact operator）とは、バナッハ空間 X から別のバナッハ空間 Y への線型作用素 L であって、X の任意の有界集合を Y の相対コンパクト集合へ写すようなもののことを言う。このような作用素は有界作用素、つまり連続写像でなければならない。 有界作用素 L で階数が有限なものは全てコンパクト作用素である。実際、無限次元空間上のコンパクト作用素のクラスは階数有限な作用素のクラスの自然な一般化である。X。
スペクトル分解 (関数解析学)
数学の関数解析学の分野において、あるバナッハ空間 X（関数解析学における基本概念の一つ）上の線型作用素 T のスペクトルは、作用素 T-lambda が X 上に有界な逆作用素を持たないようなすべてのスカラー lambda で構成される。そのようなスペクトルは、通常以下の三つの部分に分解（ぶんかい、）される：。
冪零行列
冪零行列（べきれいぎょうれつ、べきぜろぎょうれつ、nilpotent matrix）とは、冪乗して零（零行列）となる正方行列のこと。すなわち、ある自然数 m に対して、 が成り立つ行列 M をいう。冪零行列は基底の与えられたベクトル空間に対して冪零変換を定める。
見る シュール分解と冪零行列
商線型空間
線型代数学において商線型空間（しょうせんけいくうかん、quotient vector space）あるいは単に商空間 (quotient space) とは、ベクトル空間 V とその部分線型空間 N に対して、N に属する全てのベクトルを 0 に「潰して」得られるベクトル空間である。これを部分空間 N による V の商空間あるいは N を法とする V の商空間といい、V/N で表す。
見る シュール分解と商線型空間
固有値と固有ベクトル
モナ・リザの画像（左図）を平行四辺形に線形変換した画像（右図）。この線形変換において、画像の中にある右向きの矢印（青色）は変化していないのに対し、上を向いた矢印（赤色）は方向が変化している。この青い矢印がこの変換における'''固有ベクトル'''であり、赤い矢印は固有ベクトルではない。ここで青い矢印は伸張も収縮もしていないので、この'''固有値'''は 1 である。このベクトルと平行なすべてのベクトルは固有ベクトルである。零ベクトルも含めて、これらのベクトルはこの固有値に対する'''固有空間'''を形成する。 数学の線型代数学において、線型変換の固有値（こゆうち、eigenvalue）とは、零ベクトルでないベクトルを線型変換によって写したときに、写された後のベクトルが写される前のベクトルのスカラー倍になっている場合の、そのスカラー量（拡大率）のことである。この零ベクトルでないベクトルを固有ベクトル（こゆうベクトル、eigenvector）という。この2つの用語を合わせて、固有対 (eigenpair) という。
線型代数学
3次元ユークリッド空間のモデル。3つの平面は一次方程式の解を表し、その交点は共通解の集合（この場合は一意点）を表す。青い線は、これらの方程式のうちの2つの共通解を表す。 線型代数学（せんけいだいすうがく、linear algebra）とは、線形空間と線形変換を中心とした理論を研究する代数学の一分野である。現代数学において基礎的な役割を果たし、幅広い分野に応用されている。また、これは特に行列・行列式・連立一次方程式に関する理論を含む。線形などの用字・表記の揺れについては線型性を参照によれば、線形とすると線の形を扱う数学と誤解される危険性があるとのことである。。 日本の大学においては、多くの理系学部学科（特に理学部・工学部）で解析学（微分積分学）とともに初学年から履修する。
見る シュール分解と線型代数学
群作用
数学における群作用（ぐんさよう、group action）は、群を用いて対象の対称性を記述する方法である。
見る シュール分解と群作用
特異値
数学の線型代数学分野において、行列 の特異値（とくいち、Singular values）とは、 の随伴行列 との積 の固有値の非負の平方根のことである。
見る シュール分解と特異値
特異値分解
U による等長変換（この図では回転）の合成に分解される。 特異値分解（とくいちぶんかい、singular value decomposition; SVD）とは線形代数学における複素数あるいは実数を成分とする行列に対する行列分解の一手法であり、Autonneによって導入されたWeisstein, Eric W.
見る シュール分解と特異値分解
直交補空間
数学の線型代数学および関数解析学の分野において、部分線型空間の直交補空間（ちょっこうほくうかん、; perp）とは、その部分空間内のすべてのベクトルと直交するようなベクトル全体の成す集合を言い、直交補空間はそれ自身部分線型空間を成す。
見る シュール分解と直交補空間
随伴行列
数学の特に線型代数学における行列の, エルミート転置 (Hermitian transpose), エルミート共軛 (Hermitian conjugate), エルミート随伴 (Hermitian adjoint) あるいは随伴行列（ずいはんぎょうれつ、adjoint matrix）とは、複素数を成分にとる 行列 に対して、 の転置およびその成分の複素共役（実部はそのままで虚部の符号を反転する）をとって得られる 行列 を言う。 end。
見る シュール分解と随伴行列
行列の定値性
線型代数学における行列の定値性（ていちせい、definiteness）は、その行列に付随する二次形式が一定の符号を持つか否か (二次形式の定値性) と密接な関係を持つ概念だが、付随する二次形式を経ることなくその行列自身の持つ性質によって特徴づけることもできる。 この概念は対称行列およびエルミート行列に対して定義するのが通例であるが、そうではない行列を含むように「定値性」の概念を一般化して適用する文献もある。
行列の分解
線型代数学という数学の分野において、行列の分解（ぎょうれつのぶんかい、matrix decomposition, matrix factorization）とは、行列の行列の積への因数分解である．多くの異なった行列の分解があり、それぞれがある問題のために利用される。リー群の分解はこれらのより本質的な視点を与える。
見る シュール分解と行列の分解
行列の相似
線型代数学において、ふたつの n 次正方行列 A, B が相似（そうじ、similar）であるとは、n 次正則行列 P で となるようなものが存在するときに言う。互いに相似な行列は同じ線型写像を異なる基底に関して表現するもので、さきほどの P はそれらの基底の間の基底変換 (change of basis) を与える行列である。上記のような変換はしばしば、変換行列 P に関する相似変換 (similarity transformation) と呼ばれる。線型代数群の文脈では、行列の相似性は（群の元としての）共軛性として言及されることも多い。
見る シュール分解と行列の相似
行列ノルム
線型代数学における行列ノルム（ぎょうれつノルム、matrix norm）は、ベクトルのノルムを行列に対し自然に一般化したものである。
見る シュール分解と行列ノルム
複素数
2。
見る シュール分解と複素数
正規直交基底
線型代数学における有限次元内積空間 V の正規直交基底（せいきちょっこうきてい、orthonormal basis）は正規直交系を成すような V の基底である。
正規行列
数学の特に線型代数学において正規行列（せいきぎょうれつ、normal matrix）は、複素数に成分をとる正方行列であって、自身のエルミート共軛と可換となるような行列を言う。式で書けば、複素正方行列 が正規であるとは、 が成り立つことを言う。ただし、 の共軛転置を で表した。 成分が実数の行列 に対しては が成り立つから、それが正規であるのは が成り立つときである。 正規性に対しては、対角化可能性を調べるのが便利である。すなわち、行列が正規であるための必要十分条件は、それが対角行列とユニタリ行列に関して相似となることである。即ち、 を満たす任意の行列 は対角化可能である。 正規行列の概念は無限次元ヒルベルト空間上の正規作用素の概念、および ''C''∗-環における正規元の概念に拡張することができる。行列の場合には正規性は可換性を保つが、非可換な状況に置いても拡張は可能である。これにより、正規作用素や C∗-環の正規元は、より解析学と馴染む。
見る シュール分解と正規行列
正方行列
正方行列（せいほうぎょうれつ、square matrix）とは、行要素の数と列要素の数が一致する行列である。サイズが n × n つまり、n 行 n 列であるとき、n 次正方行列という。 end。
見る シュール分解と正方行列
有界作用素
関数解析学において有界（線形）作用素（ゆうかいさようそ、）とは、二つのノルム空間 X および Y の間の線型作用素 L であって、X に含まれるゼロでないすべてのベクトル v に対して L(v) のノルムと v のノルムの比が、v に依存しない1つの数によって上から評価されるようなもののことを言う。言い換えると、次を満たす線型作用素 L のことを、有界作用素と言う: ここで |cdot|_X は X が備えるノルムである（ |cdot|_Y も同様）．上記の正定数 M の下限は L の作用素ノルムと呼ばれ、|L|_ , と記述される。 X から Y への有界作用素全体の集合を mathcal(X,Y)として，L in mathcal(X,Y)に対して |L|_によって作用素ノルムを表すこともある． 一般的に、有界作用素は有界関数ではない。後者は、すべての v に対し L(v) のノルムが上から評価されている必要があるが、これは L が零作用素でないと起こり得ない。有界作用素はである。
見る シュール分解と有界作用素
数学
数学（すうがく）とは、数・量・図形などに関する学問であり、理学の一種。「算術・代数学・幾何学・解析学・微分法・積分法などの総称」とされる。 数学は自然科学の一種にも、自然科学ではない「形式科学」の一種にも分類され得る。
見る シュール分解と数学
参考情報
行列の分解
行列論
- P-行列
- アダマール積
- イマナント
- カットヒル・マキー法
- カーレマン行列
- クロネッカー積
- ケイリー・ハミルトンの定理
- ゲルシュゴリンの定理
- シュール分解
- シルベスターの行列式恒等式
- シルヴェスターの慣性法則
- シンクホーンの定理
- ジョルダン標準形
- スペクトル定理
- パーマネント (数学)
- ペロン＝フロベニウスの定理
- ムーア・ペンローズ逆行列
- ヤコビの公式
- リー・トロッター積公式
- ルーシェ＝カペリの定理
- 余因子展開
- 余因子行列
- 全正値行列
- 同伴行列
- 固有値と固有ベクトル
- 固有値分解
- 基底変換
- 小行列式
- 広義固有ベクトル
- 最小多項式 (線型代数学)
- 正則行列
- 特異値分解
- 疎グラフ符号
- 行列のスペクトル
- 行列の乗法
- 行列の分解
- 行列の対数
- 行列の平方根
- 行列値関数
- 行列多項式
- 行列式
- 行列指数関数
- 行列環
- 跡 (線型代数学)
シュア分解 別名。