ブラウザよりも高速アクセス！
35 関係: 半群、単位元、反数、可逆元、可換体、可換環、吸収元、対合、局所環、二項演算、代数的構造、マグマ (数学)、オックスフォード大学出版局、ゼロ除算、冪等元、写像の合成、全単射、簡約律、群 (数学)、結合法則、終域、行列式、部分写像、部分群、零元、集合、逆写像、逆数、抽象代数学、恒等写像、正則行列、正方行列、斜体 (数学)、擬似逆行列、数学。
半群
数学における半群（はんぐん、semigroup）は集合 S とその上の結合的二項演算とをあわせて考えた代数的構造である。言い換えれば、半群とは演算が結合的なマグマのことをいう。半群の名は、既存の群の概念に由来するものである。半群は、各元が必ずしも逆元を持たないこと（さらに、単位元すら持たないかもしれないこと）が、群と異なる。 半群の演算はほとんど乗法的に書かれる（順序対 (x, y) に対して演算を施した結果を x • y などで、あるいは単に xy で表す）。 半群についてきちんとした形での研究が行われるようになるのは20世紀の初めごろからである。半群は、「無記憶」系 ("memoryless" system) すなわち各反復時点でゼロから開始される時間依存系 (time-dependent system) の抽象代数的な定式化の基盤であるので、数学の各種分野において重要な概念である。応用数学においては、半群はの基本モデルである。また偏微分方程式論では、半群は空間発展的かつ時間非依存な任意の方程式に対応している。有限半群論は1950年代以降、有限半群と有限オートマトンとの間の自然な関連性から、理論計算機科学の分野で特に重要となった。確率論では半群はマルコフ過程に関連付けられている 。.
単位元
数学、とくに抽象代数学において、単位元（たんいげん, ）あるいは中立元（ちゅうりつげん, ）は、二項演算を備えた集合の特別な元で、ほかのどの元もその二項演算による単位元との結合の影響を受けない。.
反数
反数（はんすう、opposite）とは、ある数に対し、足すと になる数である。つまり、ある数 に対して、 となるような数 を の反数といい、 と表す。記号「−」を負号と呼び、「マイナス 」と読む。また、 は の反数であるともいえる。 は加法における単位元であるから、反数は加法における逆元である。このような加法における逆元は加法逆元（かほうぎゃくげん、additive inverse）と呼ばれる。 ある数にある数の反数を足すことを「引く」といい、減法 を以下のように定義する。 「 引く 」 または「 マイナス 」 と読む。反数に使われる「−」（負号）と引き算に使われる「−」（減算記号）をあわせて「マイナス記号」と呼ぶ。 また、反数を与える − は単項演算子と見なすことができ、単項マイナス演算子 と呼ばれる。一方、減算を表す演算子としての − は、項を 2 つとるの二項演算子なので、二項マイナス演算子 と呼ばれる。 乗法において反数に相当するものは逆数、あるいはより一般には乗法逆元 と呼ばれる。整数、有理数、実数、複素数においては、逆数は必ずしも存在しないが、反数は必ず存在する。ただし、 を含まない自然数においては反数は常に存在しない。 反数の概念はそのままベクトルに拡張することができ、反ベクトル（はんベクトル、opposite vector）と呼ばれる。ベクトルの加法における単位元はゼロ・ベクトルであり、あるベクトル に足すと を与えるベクトル を の反ベクトルという。 これを満たすベクトル は と表される。またこのとき は の反ベクトル でもある。.
可逆元
数学、とくに代数学における可逆元（かぎゃくげん、invertible element）または単元（たんげん、unit）とは、一般に代数系の乗法と呼ばれる二項演算に対する逆元を持つ元のことをいう。.
可換体
抽象代数学において、可換体（かかんたい、corps commutatif）あるいは単に体（たい、field）本記事において単に体と言った場合「可換」体を意味するものとする。とは、零でない可換可除環、あるいは同じことだが、非零元全体が乗法の下で可換群をなすような環のことである。そのようなものとして体は、適当なアーベル群の公理と分配則を満たすような加法、減法、乗法、除法の概念を備えた代数的構造である。最もよく使われる体は、実数体、複素数体、有理数体であるが、他にも有限体、関数の体、代数体、''p'' 進数体、などがある。 任意の体は、線型代数の標準的かつ一般的な対象であるベクトル空間のスカラーとして使うことができる。（ガロワ理論を含む）体拡大の理論は、ある体に係数を持つ多項式の根に関係する。他の結果として、この理論により、古典的な問題である定規とコンパスを用いたや円積問題が不可能であることの証明や五次方程式が代数的に解けないというアーベル・ルフィニの定理の証明が得られる。現代数学において、体論は数論や代数幾何において必要不可欠な役割を果たしている。 代数的構造として、すべての体は環であるが、すべての環が体であるわけではない。最も重要な違いは、体は（ゼロ除算を除いて）除算ができるが、環は乗法逆元がなくてもよいということである。例えば、整数の全体は環をなすが、2x.
可換環
数学、特に抽象代数学の一分野である環論における可換環（かかんかん、commutative ring）は、その乗法が可換であるような環をいう。可換環の研究は可換環論あるいは可換代数学と呼ばれる。 いくつか特定の種類の可換環は以下のようなクラスの包含関係にある。.
吸収元
数学、とくに抽象代数学において吸収元（きゅうしゅうげん、absorbing element）は二項演算を持つ集合に属する特別な元で、吸収元とほかのどのような元との積も、吸収元自身になってしまうという性質を持つものである。半群論においては、吸収元のことをしばしば零元と呼ぶM.
対合
対合（たいごう、ついごう、involution）は、自分自身をその逆として持つ写像である。 これは空間上の変換であって、二回繰り返すと恒等変換となる（元に戻る）という性質 を持つものと言ってもよい。ただし、それ自身が恒等変換となるものは通常は除いて考える。またこれは変換群に属する位数 2 の元 を指すと言っても同じことであり、それを理由に一般の群（抽象群）においても位数 2 の元を対合と呼ぶことがある。.
局所環
抽象代数学における局所環（きょくしょかん、local ring）は、1938年にヴォルフガンク・クルルによって導入された概念で、比較的簡単な構造を持つ環であり、代数多様体や可微分多様体上で定義される関数の、あるいは代数体を座や素点上の関数として見るときの「局所的な振る舞い」を記述すると考えられるものである。局所環およびその上の加群について研究する可換環論の一分野を局所環論と呼ぶ。.
二項演算
数学において、二項演算（にこうえんざん、binary operation）は、数の四則演算（加減乗除）などの 「二つの数から新たな数を決定する規則」 を一般化した概念である。二項算法（にこうさんぽう）、結合などともいう。.
代数的構造
数学において代数的構造（だいすうてきこうぞう、algebraic structure）とは、集合に定まっている算法（演算ともいう）や作用によって決まる構造のことである。代数的構造の概念は、数学全体を少数の概念のみを用いて見通しよく記述するためにブルバキによって導入された。 また、代数的構造を持つ集合は代数系（だいすうけい、algebraic system）であるといわれる。すなわち、代数系というのは、集合 A とそこでの算法（演算の規則）の族 R の組 (A, R) のことを指す。逆に、具体的なさまざまな代数系から、それらが共通してもつ原理的な性質を抽出して抽象化・公理化したものが、代数的構造と呼ばれるのである。 なお、分野（あるいは人）によっては代数系そのもの、あるいは代数系のもつ算法族のことを代数的構造とよぶこともあるようである。 後者は、代数系の代数構造とも呼ばれる。 現代では、代数学とは代数系を研究する学問のことであると捉えられている。.
マグマ (数学)
抽象代数学におけるマグマ（magma）または亜群（あぐん、）は、演算によって定義される種類の基本的な代数的構造であり、集合 M とその上の二項演算 M × M → M からなる組をいう。マグマ M における二項演算は M において閉じていることは要求するが、それ以外の何らの公理も課すものではない。 このような構造に対して「マグマ」という呼称を導入したのはニコラ・ブルバキであるフランス語で "magma" は（複数の意味があるが）「ゴチャゴチャ」「支離滅裂」であるという意味である。フランスの数学者集団であるブルバキが「二項演算が定義されているだけの集合」にマグマと名づけて言及したのは、（群や環とは違い）そのような取り留めの無い広範な概念にどのような整理をつけて扱えばよいかわからないといったことが念頭にあってのことであろう。。旧来はオイステイン・オアによる用語で亜群（）と呼ばれていたもので、現在でもしばしばそのように呼ばれる。ただし、それとは別に圏論において「亜群（）」と呼ばれる概念があるので、それと混同してはならない。.
新しい！!: 逆元とマグマ (数学) · 続きを見る »
オックスフォード大学出版局
Walton Streetのオックスフォード大学出版局 オックスフォード大学出版局（オックスフォードだいがくしゅっぱんきょく、英語：Oxford University Press、略称OUP）は、イングランドのオックスフォード大学の出版局を兼ねる出版社である。OUPは世界最大の大学出版局であり、アメリカの全ての大学出版局とケンブリッジ大学出版局の合計以上の規模を誇る。OUPはケンブリッジ大学出版局とともに、イギリスの特権出版社(en:privileged presses イギリスで祈祷書・欽定訳聖書の出版権を持つ出版社)の一つである。インド・パキスタン・カナダ・オーストラリア・ニュージーランド・マレーシア・シンガポール・ナイジェリア・南アフリカ共和国など、世界中に支部を持っている。OUP USAは1896年ごろに設立され、1987年に法人化された非公開有限(en:private limited company)の子会社で、OUP初の国際ベンチャーである。1905年設立のカナダ支部は2番目。OUP全体は選挙によって選ばれた、出版局代表団(Delegates of the Press)と呼ばれる代表者たちによって運営される。出版局代表団はすべてオックスフォード大学のメンバーである。現在、OUPが用いる出版社名は二つある。第一に参考書・教育書・学術書などの大部分はOxford University Press(オックスフォード大学出版局)名義、「名声のある(prestige)」学術書はClarendon Press(クラレンドンプレス)名義である。主要な支部のほとんどは、OUP本部の書籍の発行・販売だけでなく、その地域の出版社として機能している。 OUPは1972年にアメリカの法人税を控除され、1978年にイギリスでも控除された。OUPは、慈善事業団体としてほとんどの国で所得税・法人税を控除されているが、出版物に対し、売上税その他の商取引に関する税金を払う場合もある。OUPは現在、黒字の30%(毎年最低12万ポンドの確約つき)をオックスフォード大学に送っている。OUPは出版数として世界最大の大学出版局で、毎年4500冊以上の新刊を出版し、従業員数は約4000人。OUPはオックスフォード英語辞典、、Oxford World's Classics、Oxford Dictionary of National Biographyなどの参考書・専門書・学術書を出版している。これらの重要書籍の多くが、Oxford Reference Onlineというパッケージとして電子公開されており、イギリスの公立図書館の利用者カードの所有者には無料で提供されている。 哲学者のアンドリュー・マルコムが、著書Making Namesに関する1985年の出版契約不履行について提訴した裁判で、1990年OUPはイギリス控訴院にて敗訴した。1998年、OUPは人気の高かったOxford Poetsシリーズを打ち切った。2001年、OUPはイギリスの法律系出版社Blackstoneを取得した。2003年、OUPはMacmillan PublishersからGrove Dictionary of Music and Musicians(グローヴ音楽事典)・Grove Dictionary of Art(グローヴ芸術事典)を取得した。2006年、OUPはイギリスの出版社Richmond Law & Taxを取得した。 OUPで出版された本のISBNは0-19で始まる。つまりOUPは数少ないISBN識別番号2桁の出版社のひとつなのである。(ISBN番号は13桁と決まっており、桁が少ないほど多くの図書を登録できるようになっている。).
新しい！!: 逆元とオックスフォード大学出版局 · 続きを見る »
ゼロ除算
算（ゼロじょざん、division by zero）は、0で除す割り算のことである。このような除算は除される数を a とするならば、形式上は と書くことができるが、数学において、この式と何らかの意味のある値とが結び付けられるかどうかは、数学的な設定にまったく依存している話である。少なくとも通常の実数の体系とその算術においては、意味のある式ではない。 コンピュータなど計算機においても、ゼロ除算に対するふるまいは様々である。たとえば浮動小数点数の扱いに関する標準であるIEEE 754では、数とは異なる無限大を表現するものが結果となる。 しかし、浮動小数点以外の数値型（整数型など）においては多くの場合無限大に相当する値は定義されておらず、またいくつかの除算アルゴリズムの単純な実装（取尽し法など）においては無限ループに陥りかねないなど演算処理の中でも特異なふるまいとなるため、演算前にゼロ除算例外を発生させることで計算そのものを行わせないか、便宜上型が表現できる最大の数値、あるいはゼロを返すなどの特殊な処理とされる場合が多い（後述） 計算尺では、対数尺には0に相当する位置が存在しない（無限の彼方である）ため計算不可能である。.
冪等元
抽象代数学において、二項演算 ∗ をもった集合の元 は であるときに冪等元（idempotent element）あるいは単に冪等（idempotent）と呼ばれる。これはその特定の元における二項演算の冪等性を反映している。 環論において（積に関する）冪等元は特に重要である。一般の環に対して、冪等元は加群の分解や環のホモロジー的性質と深く関わっている。この概念は によって導入された。 本記事は環論的な意味の冪等元を扱う。.
写像の合成
数学において写像あるいは函数の合成（ごうせい、composition）とは、ある写像を施した結果に再び別の写像を施すことである。 たとえば、時刻 t における飛行機の高度を h(t) とし、高度 x における酸素濃度を c(x) で表せば、この二つの函数の合成函数 (c ∘ h)(t).
全単射
数学において、全単射（ぜんたんしゃ）あるいは双射（そうしゃ）(bijective function, bijection) とは、写像であって、その写像の終域となる集合の任意の元に対し、その元を写像の像とする元が、写像の定義域となる集合に常にただ一つだけ存在するようなもの、すなわち単射かつ全射であるような写像のことを言う。例としては、群論で扱われる置換が全単射の良い例である。 全単射であることを一対一上への写像 (one-to-one onto mapping)あるいは一対一対応 (one-to-one correspondence) ともいうが、紛らわしいのでここでは使用しない。 写像 f が全単射のとき、fは可逆であるともいう。.
簡約律
数学において、簡約律 (かんやくりつ、 英:cancellation property) の概念は可逆 (invertible) の概念の一般化である。消去律（しょうきょりつ）、消約律（しょうやくりつ）の訳が充てられることもある。 マグマ の元 a が左簡約性質 (left cancellation property) をもつ（あるいは左簡約可能 (left-cancellative)である）とは、M のすべての b と c に対して、 は常に を意味するということである。 マグマ の元 a が右簡約性質 (right cancellation property) をもつ（あるいは右簡約可能 (right-cancellative)である）とは、M のすべての b と c に対して、 が常に を意味するということである。 マグマ の元 a が両側簡約性質 (two-sided cancellation property) をもつ（あるいは簡約可能 (cancellative)である）とは、左右両方簡約可能であるということである。 マグマ が左簡約性質をもつ（あるいは左簡約可能である）とは、マグマのすべての元 a が左簡約可能であるということであり、同様の定義は右簡約あるいは両側簡約に対しても適用する。 左可逆元は左簡約可能であり、右と両側についても同様である。 例えば、すべての、したがってすべての群では簡約律が成り立つ。.
群 (数学)
数学における群（ぐん、group）とは最も基本的と見なされる代数的構造の一つである。群はそれ自体興味深い考察対象であり、群論における主要な研究対象となっているが、数学や物理学全般にわたってさまざまな構成に対する基礎的な枠組みを与えている。.
結合法則
数学、殊に代数学における結合法則（けつごうほうそく、associative law) 、結合則、結合律あるいは演算の結合性（けつごうせい、associativity）は二項演算に対して考えられる性質の一つ。ひとつの数式にその演算の演算子が2個以上並んでいる時、その演算子について、左右どちらの側が優先されるかに関わらず結果が同じになるような演算は結合的 (associative) である。.
終域
数学において写像の終域（しゅういき、codomain; 余域）あるいは終集合（しゅうしゅうごう、target set）は、写像を と表すときの集合 、すなわち写像 の出力する値がその中に属するべきという制約を定める集合をいう。終域の代わりに「値域」という語を用いる場合もあるが、値域は写像の像（出力される値すべてからなる集合、 で言えば ）の意味で用いることが多いので注意すべきである。.
行列式
数学における行列式（ぎょうれつしき、）とは、正方行列に対して定義される量で、歴史的には行列が表す一次方程式の可解性を判定する指標として導入された。幾何的には線型空間またはより一般の有限生成自由加群上の自己準同型に対して定義され、線型変換によって空間の体積要素が何倍に変わるかという概念を抽象化したものと見なすことができる。行列の可逆性を判定する指標として線型代数学における最も重要な指標の一つと見なされている。.
部分写像
単射な部分写像の例 単射でない全域写像の例 数学において部分写像（ぶぶんしゃぞう、partial mapping）あるいは部分函数（partial function）は適当な部分集合上で定義された写像である。即ち、集合 から への部分写像 は の任意の元に の元を割り当てることが求められる写像 の概念を一般化して、 の適当な部分集合 の元に対してのみそれを要求する。 となる場合には は全域写像 (total function) と呼ばれ、これは写像と同じ概念を意味する。部分写像を考えるときには、その定義域 がはっきりとは分かっていないという場合もよくある。.
部分群
二項演算 * に関して群 G が与えられたとする。 G の部分集合である H が G の部分群であるということは、 H が演算 * に関して群になるということである。より正確に表現すると、 H が G の部分群であるということは、群の演算 * を H×H （Hの直積）に制限したときに、 H における群の演算になっているということである。この関係は通常、 H ≤ G という記号で表現し、「 H は G の部分群である」と読む。 G の真部分群とは、部分群 H が G の真部分集合である（つまり H≠G である）ことである。任意の群 G に対し、G 自身と単位元のみからなる集合 は常に G の部分群である。 H が G の部分群であるとき、 G は H の拡大群であると表現する場合がある。 G が任意の半群であるときも、G の部分群の定義はそのまま通用するが、本項では群の部分群についてのみを扱うにとどめる。群 G は順序対 (G, &lowast) として記述されることもあるが、このように書くのは普通、G を台となる集合としてその上に演算 "∗" が代数的構造（あるいはもっとほかの構造）を定めるということを強調するためである。 以下では、通常の慣習に倣って ∗ を省略し、積 a ∗ b を単に ab と表記する。また、群の演算を単に「積」と表記する場合もある。.
零元
数学において、零元（れいげん、ぜろげん）とは、.
集合
数学における集合 (しゅうごう、set, ensemble, Menge) とは、大雑把に言えばいくつかの「もの」からなる「集まり」である。集合を構成する個々の「もの」のことを元 (げん、; 要素) という。 集合は、集合論のみならず現代数学全体における最も基本的な概念の一つであり、現代数学のほとんどが集合と写像の言葉で書かれていると言ってよい。 慣例的に、ある種の集合が系 (けい、) や族 (ぞく、) などと呼ばれることもある。実際には、これらの呼び名に本質的な違いはないが細かなニュアンスの違いを含むと考えられている。たとえば、方程式系（「相互に連立する」方程式の集合）、集合族（「一定の規則に基づく」集合の集合）、加法族（「加法的な性質を持つ」集合族）など。.
逆写像
数学における逆写像（ぎゃくしゃぞう、inverse mapping）は一口に言えば写像の与える元の対応関係を「反対」にして得られる写像である。すなわち、写像 が を に写すならば、 の逆写像は を に写し戻す。 函数と呼ばれる種類の写像の逆写像は、逆函数 (inverse function) と呼ばれる。.
逆数
逆数（ぎゃくすう、reciprocal）とは、ある数に掛け算した結果が となる数である。すなわち、数 の逆数 とは次のような関係を満たす。 通常、 の逆数は分数の記法を用いて のように表されるか、冪の記法を用いて のように表される。 を乗法に関する単位元と見れば、逆数とは乗法逆元（じょうほうぎゃくげん、multiplicative inverse）の一種であり、乗法逆元とは一般化された逆数である。 上述の式から明らかなように、 と の役割を入れ替えれば、 は の逆数であると言える。従って、 の逆数が であるとき の逆数は である。 が である場合、任意の数との積は になるため、（0 ≠ 1 であれば） に対する逆数は存在しない。 また、任意の について必ずしもその逆数が存在するとは限らない。たとえば、自然数の範囲では上述の関係を満たす数は 以外には存在しない。 を除く任意の数 について逆数が常に存在するようなものには、有理数や実数、複素数がある。これらのように四則演算が自由にできる集合を体と呼ぶ。 逆数は乗法における逆元であるが、加法における逆元として反数がある。 1つの二項演算を持つ集合であって左右の逆元が常に存在するもの（代数的構造）はと呼ばれる。.
抽象代数学
抽象代数学 (ちゅうしょうだいすうがく、abstract algebra) とは、群、環、体、加群、ベクトル空間や線型環のように公理的に定義される代数的構造に関する数学の研究の総称である。.
恒等写像
数学における恒等写像（こうとうしゃぞう、identity mapping, identity function）、恒等作用素（こうとうさようそ、identity operator）、恒等変換（こうとうへんかん、identity transformation）は、その引数として用いたのと同じ値を常にそのまま返すような写像である。集合論の言葉で言えば、恒等写像は恒等関係（こうとうかんけい、identity relationである。.
正則行列
正則行列（せいそくぎょうれつ、regular matrix）、非特異行列（ひとくいぎょうれつ、non-singular matrix）あるいは可逆行列（かぎゃくぎょうれつ、invertible matrix）とは行列の通常の積に関する逆元を持つ正方行列のこと、言い換えると逆行列が存在する行列のことである。 ある体上の同じサイズの正則行列の全体は一般線型群と呼ばれる群を成す。多項式の根として定められる部分群はあるいは行列群と呼ばれる代数群の一種で、その表現論が代数的整数論などに広い応用を持つ幾何学的対象である。.
正方行列
正方行列（せいほうぎょうれつ、square matrix）とは、行要素の数と列要素の数が一致する行列である。サイズが n × n つまり、n 行 n 列であるとき、n 次正方行列という。 \end.
斜体 (数学)
斜体（しゃたい、skew field; 歪体, Schiefkörper, corps, corps gauche）は加減乗除が可能な代数系である。除法の可能な環であるという意味で可除環（かじょかん、, ）ともいう。係数環を持ち、多元環の構造を持つことを強調する場合は、特に多元体（たげんたい、,; 可除多元環）と呼称することも多いいかなる斜体も、その中心を係数体として多元環と見ることができるので、この区別は文脈上で立場を明確にする必要のある場合を除いてはさほど重要ではない。非可換な積を持つ体を非可換体（ひかかんたい、, ）という。.
新しい！!: 逆元と斜体 (数学) · 続きを見る »
擬似逆行列
ムーア-ペンローズの擬似逆行列（ぎじぎゃくぎょうれつ、pseudo-inverse matrix）は線型代数学における逆行列の概念の一般化である。擬逆行列、一般化逆行列、一般逆行列（generalized inverse）ともいう。また擬は疑とも書かれる。 連立一次方程式の解を簡潔に表現するものとして逆行列の概念は重要であり、逆行列を持つ行列は、可逆あるいは正則であると言われる。正則でない行列の場合にも逆行列のような都合のよい行列として擬逆の概念を導入する。ロボット工学に関していうならば、動特性の同定や冗長ロボットの制御などで良く用いられている。.
数学
数学（すうがく、μαθηματικά, mathematica, math）は、量（数）、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.
