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33 関係: Arg max、人工知能、低密度パリティ検査符号、径、マルコフ確率場、モンテカルロ法、ヤコビ法、ビタビアルゴリズム、ベイジアンネットワーク、分配関数、アルゴリズム、ガウス＝ザイデル法、グラフ彩色、グラフィカルモデル、グラフ理論、ジューディア・パール、スペクトル半径、ターボ符号、内部エネルギー、共役勾配法、充足可能性問題、確率分布、熱力学、自由エネルギー、NP完全問題、NP困難、Sharp-P、SOR法、正規分布、木 (数学)、情報理論、数学的帰納法、2部グラフ。
Arg max
数学において、最大値を与える引数あるいは最大点集合 (argument of the maximum) は関数がその最大値をとる定義域の元全体の成す集合である混同を避けるため、臨界点とのように、入力 のことは「点」、出力 のことは「値」と呼び分けることは便利である。。省略してarg max (もしくは argmax) と書かれる。最大値が函数の出力のうち最も大きいものを指すのと対照に、最大点は最大値を出力する入力の値を指す。 最大点集合は一般に複数の元を含むが、それは有限集合であることも無限集合であることも起こり得るし、空となることもあり得る。.
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人工知能
250px 人工知能（じんこうちのう、artificial intelligence、AI）とは、「計算機（コンピュータ）による知的な情報処理システムの設計や実現に関する研究分野」を指す。.
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低密度パリティ検査符号
低密度パリティ検査符号（ていみつどぱりてぃけんさふごう、、）は、誤り訂正符号の1つで、ノイズのある通信チャンネルを通してメッセージを通信する手法のひとつである。 LDPCは、情報伝送レートの理論上の上限値であるシャノン限界に極めて近いレートを達成した最初の符号であった。 1963年に開発されたときは実装が実用的ではなかったので、LDPC符号は忘れ去られてしまった。 その後50年あまりにわたる符号理論の歴史のなかで様々な誤り訂正符号が提案されてきたが、 LDPCは今日においても最も効率的な符号であり続けている。 情報技術が爆発的に成長するのに伴い、高効率な情報伝送符号の開発に対する商業的関心も相応に高まっている、というのも、信号の品質から電池の寿命に至るあらゆるものが、符号の性質の影響を受けるからである。 LDPC符号の実装は重要なターボ符号などの符号に比べて遅れていたとはいえ、ソフトウェア特許による妨害のないことがほかの符号からLDPCへ興味をひきつけ、LDPC符号は高い効率のデータ伝送手法の開発マーケットにおいて標準に位置づけられる。 2003年には、6つのターボ符号を破り、デジタルテレビの衛星通信の標準となった。 LDPC符号は、1960年代にMITでの博士論文内でLDPCのコンセプトを打ち出したRobert G. Gallagerをたたえて、Gallager符号としても知られる。.
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径
初等幾何学における図形の径（けい、diameter）は、その図形の差し渡しをいう。διάμετρος（「亙りの」+ 「大きさ」） に由来する。 円の直径は、その円の中心を通り、両端点がその円周上にある任意の線分であり、またその円の最長のでもある。球体の直径についても同様。 より現代的な用法では、任意の直径の（一意な）長さ自身も同じく「直径」と呼ばれる（一つの円に対して線分の意味での直径は無数にあるが、その何れも同じ長さを持つことに注意する。それゆえ（量化を伴わず）単に円の直径といった場合、ふつうは長さとしての意味である）。長さとして、直径は半径 (radius) の二倍に等しい。 平面上の凸図形に対して、その径は図形の両側から接する二本の平行線の間の最長距離として定義される（同様の最小距離は幅 (width) と呼ばれる）。径（および幅）はを用いて効果的に計算することができる。ルーローの三角形のような定幅図形では、任意の平行接線が同じ長さを持つから、径と幅は一致する。.
マルコフ確率場
物理学や統計学において、 マルコフ確率場 (Markov Random Field; MRF)、マルコフネットワーク、無向グラフィカルモデルとは、無向グラフで表現されるようなマルコフ性のある確率変数の集合を指す。言い換えると、がマルコフ性を満たす場合にマルコフ確率場と呼ばれる。 マルコフ確率場は、従属性の表現の仕方においてはベイジアンネットワークに似ている。違いは、ベイジアンネットワークでは従属性は有向非巡回であるのに対し、マルコフ確率場では無向で巡回していても構わないことである。このように、マルコフ確率場はベイジアンネットワークで表現できない種類の従属性を表現できる（たとえば、従属性が巡回するもの）。他方、マルコフ確率場で表現できないが、ベイジアンネットワークで表現できる従属性もある（例えば、因果関係）。マルコフ確率場のグラフは、有限・無限どちらもありうる。 確率変数同士の同時確率が狭義正測度であるとき、マルコフ確率場はギブス確率場とも呼ばれる。これは、により、確率変数同士の同時確率が真に正なマルコフ確率場は、適切な（局所的な）エネルギー関数を持つで表現できるからである。初期のマルコフ確率場としてはイジング模型がある。それどころか、マルコフ確率場はイジング模型を一般化する形で導出された。.
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モンテカルロ法
モンテカルロ法 (モンテカルロほう、Monte Carlo method, MC) とはシミュレーションや数値計算を乱数を用いて行う手法の総称。元々は、中性子が物質中を動き回る様子を探るためにスタニスワフ・ウラムが考案しジョン・フォン・ノイマンにより命名された手法。カジノで有名な国家モナコ公国の4つの地区（カルティ）の1つであるモンテカルロから名付けられた。ランダム法とも呼ばれる。.
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ヤコビ法
ヤコビ法とはn元の連立一次方程式A\vec.
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ビタビアルゴリズム
ビタビアルゴリズム（Viterbi algorithm）は、観測された事象系列を結果として生じる隠された状態の最も尤もらしい並び（ビタビ経路と呼ぶ）を探す動的計画法アルゴリズムの一種であり、特に隠れマルコフモデルに基づいている。観測された事象系列の確率計算のアルゴリズムである 前向きアルゴリズム（forward algorithm）も密接に関連している。これらのアルゴリズムは情報理論の一部である。 このアルゴリズムには、いくつかの前提条件がある。まず、観測された事象と隠されている事象は1つの系列上に並んでいる。この系列は多くの場合時系列である。次に、これら2つの並びには一対一の対応があり、1つの観測された事象は正確に1つの隠されている事象に対応している。第三に、時点 t での最も尤もらしい隠されている事象の計算は、t での観測された事象と t − 1 での最も尤もらしい隠された事象の系列のみに依存している。これらの前提条件は、全て一次隠れマルコフモデルで満たされている。 「ビタビ経路; Viterbi path」および「ビタビアルゴリズム」という用語は、観測結果について1つの最も尤もらしい説明を与える動的計画法のアルゴリズムに関して使われる。例えば、動的計画法のアルゴリズムを使った統計的構文解析は、文字列について1つの最も尤もらしい解析結果を生じる。そのため、これを「ビタビ構文解析; Viterbi parse」と呼ぶこともある。 ビタビアルゴリズムは、アンドリュー・ビタビがノイズのあるデジタル通信経路における誤り検出訂正手法として生み出したものである。CDMAやGSMといったデジタル携帯電話、ダイヤルアップ接続用モデム、通信衛星、宇宙探査での通信、IEEE 802.11 無線LAN などの畳み込み符号の復号に広く利用されている。また、音声認識、自然言語処理、計算言語学、バイオインフォマティクスなどにも使われている。例えば、音声認識では、音声信号を観測された事象の系列として扱い、それを文字に変換したものがその音声信号に対応した「隠された原因」と見なされる。ビタビアルゴリズムは、与えられた音声信号から最も尤もらしい文字列を見つけ出す。.
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ベイジアンネットワーク
ベイジアンネットワーク（Bayesian network）は、因果関係を確率により記述するグラフィカルモデルの1つで、複雑な因果関係の推論を有向非巡回グラフ構造により表すとともに、個々の変数の関係を条件つき確率で表す確率推論のモデルである。ネットワークとは重み付けグラフのこと。 ジューディア・パールが1985年に命名した。ジューディア・パールはこの研究の功績によりチューリング賞を受賞した。 人工知能の分野では、ベイジアンネットワークを確率推論アルゴリズムとして1980年頃から研究が進められ、既に長い研究と実用化の歴史がある。.
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分配関数
統計力学において、分配関数（ぶんぱいかんすう、Partition function）または状態和（じょうたいわ、state sum, sum over states）は、ある系の物理量の統計集団的平均を計算する際に用いられる規格化定数を指す。単に分配関数と呼ぶときはカノニカル分布における分配関数を指し、ドイツ語で状態和を表す語Zustandssummeに由来する記号Zで表すW.
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アルゴリズム
フローチャートはアルゴリズムの視覚的表現としてよく使われる。これはランプがつかない時のフローチャート。 アルゴリズム（algorithm ）とは、数学、コンピューティング、言語学、あるいは関連する分野において、問題を解くための手順を定式化した形で表現したものを言う。算法と訳されることもある。 「問題」はその「解」を持っているが、アルゴリズムは正しくその解を得るための具体的手順および根拠を与える。さらに多くの場合において効率性が重要となる。 コンピュータにアルゴリズムをソフトウェア的に実装するものがコンピュータプログラムである。人間より速く大量に計算ができるのがコンピュータの強みであるが、その計算が正しく効率的であるためには、正しく効率的なアルゴリズムに基づいたものでなければならない。.
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ガウス＝ザイデル法
数値線形代数におけるガウス＝ザイデル法（〜ほう、Gauss-Seidel method）とはn元の連立一次方程式A\vec.
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グラフ彩色
3色に頂点彩色（最適彩色）されたグラフ。ピーターセングラフの彩色数は3である。 グラフ彩色（英: Graph coloring）とは、グラフの何らかの要素に、ある制約条件を満たすように色を割り当てることである。最も単純なものは、隣接する頂点同士が同じ色にならないように全頂点に彩色する問題である。これを頂点彩色という。同様に辺彩色は、隣接する辺同士が同じ色にならないように全辺を彩色する問題、面彩色は、平面グラフの辺で囲まれた各領域（面）を隣接する面同士が同じ色にならないように彩色する問題である。.
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グラフィカルモデル
ラフィカルモデル()は、グラフが、確率変数間の条件付き依存構造を示しているような確率モデルである。これらは一般に確率論や統計、特にベイズ統計や機械学習で使用される。 グラフィカルモデルの例。各矢印は依存関係を示している。この例では、DがAに依存し、DがBに依存し、DがCに依存し、CがBに依存し、そしてCがDに依存している。.
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グラフ理論
ラフ理論（グラフりろん、graph theory）は、ノード（節点・頂点）の集合とエッジ（枝・辺）の集合で構成されるグラフに関する数学の理論である。グラフ (データ構造) などの応用がある。.
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ジューディア・パール
ューディア・パール（Judea Pearl、1936年9月4日 - ）はイスラエル系アメリカ人の計算機科学者で哲学者。人工知能への確率的アプローチとベイジアンネットワークを発展させたことで知られている（確率伝搬法を参照）。また、構造モデルに基づいた因果的かつ反事実的推論の理論を発展させた。 「確率的および因果的推論の算法を発展させることで、人工知能に基礎的貢献をした」として、2011年のACMチューリング賞を受賞, ACM, retrieved 2012-03-14.
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スペクトル半径
数学におけるスペクトル半径（スペクトルはんけい、spectral radius）とは、複素正方行列や線形位相空間上の有界線形作用素の固有値の絶対値の最小上界のことである。ギリシャ文字ρによって表記されることがおおい。.
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ターボ符号
ターボ符号（ターボふごう、Turbo code）は、1993年に開発された高性能な誤り訂正符号であり、宇宙探査機での通信など、ノイズのある限られた帯域幅で情報転送量を可能な限り最大化したい場合に使われている。.
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内部エネルギー
内部エネルギー（ないぶエネルギー、）は、系の熱力学的な状態を表現する、エネルギーの次元をもつ示量性状態量の一つである。系が全体として持っている力学的エネルギー（運動エネルギーと位置エネルギー）に対する用語として、内部エネルギーと呼ばれる。 記号は や で表されることが多い。.
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共役勾配法
線型方程式の二次形式を最小化するための、最適なステップサイズによる最急降下法（緑）の収束と共役勾配法（赤）の収束の比較。共役勾配法は、厳密には''n''次の係数行列に対して高々''n''ステップで収束する（ここでは''n''.
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充足可能性問題
充足可能性問題（じゅうそくかのうせいもんだい、satisfiability problem, SAT）は、一つの命題論理式が与えられたとき、それに含まれる変数の値を偽 (False) あるいは真 (True) にうまく定めることによって全体の値を'真'にできるか、という問題をいう。SATisfiabilityの頭3文字を取ってしばしば「SAT」と呼ばれる。.
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確率分布
率分布（かくりつぶんぷ, probability distribution）は、確率変数の各々の値に対して、その起こりやすさを記述するものである。日本工業規格では、「確率変数がある値となる確率，又はある集合に属する確率を与える関数」と定義している。.
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熱力学
熱力学（ねつりきがく、thermodynamics）は、物理学の一分野で、熱や物質の輸送現象やそれに伴う力学的な仕事についてを、系の巨視的性質から扱う学問。アボガドロ定数個程度の分子から成る物質の巨視的な性質を巨視的な物理量（エネルギー、温度、エントロピー、圧力、体積、物質量または分子数、化学ポテンシャルなど）を用いて記述する。 熱力学には大きく分けて「平衡系の熱力学」と「非平衡系の熱力学」がある。「非平衡系の熱力学」はまだ、限られた状況でしか成り立たないような理論しかできていないので、単に「熱力学」と言えば、普通は「平衡系の熱力学」のことを指す。両者を区別する場合、平衡系の熱力学を平衡熱力学、非平衡系の熱力学を非平衡熱力学 と呼ぶ。 ここでいう平衡 とは熱力学的平衡、つまり熱平衡、力学的平衡、化学平衡の三者を意味し、系の熱力学的(巨視的)状態量が変化しない状態を意味する。 平衡熱力学は（すなわち通常の熱力学は）、系の平衡状態とそれぞれの平衡状態を結ぶ過程とによって特徴付ける。平衡熱力学において扱う過程は、その始状態と終状態が平衡状態であるということを除いて、系の状態に制限を与えない。 熱力学と関係の深い物理学の分野として統計力学がある。統計力学は熱力学を古典力学や量子力学の立場から説明する試みであり、熱力学と統計力学は体系としては独立している。しかしながら、系の平衡状態を統計力学的に記述し、系の状態の遷移については熱力学によって記述するといったように、一つの現象や定理に対して両者の結果を援用している 。しかしながら、アインシュタインはこの手法を否定している。.
自由エネルギー
自由エネルギー（じゆうエネルギー、）とは、熱力学における状態量の1つであり、化学変化を含めた熱力学的系の等温過程において、系の最大仕事(潜在的な仕事能力)、自発的変化の方向、平衡条件などを表す指標となるChang『生命科学系のための物理化学』 pp.63-65アトキンス『物理化学(上)』 pp.120-125。 自由エネルギーは1882年にヘルマン・フォン・ヘルムホルツが提唱した熱力学上の概念で、呼称は彼の命名による。一方、等温等圧過程の自由エネルギーと化学ポテンシャルとの研究はウィラード・ギブズにより理論展開された。 等温等積過程の自由エネルギーはヘルムホルツの自由エネルギー（）と呼ばれ、等温等圧過程の自由エネルギーはギブズの自由エネルギー（）と呼びわけられる。ヘルムホルツ自由エネルギーは F で表記され、ギブズ自由エネルギーは G で表記されることが多い。両者の間には G.
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NP完全問題
NP完全（な）問題（エヌピーかんぜん（な）もんだい、NP-complete problem）とは、(1) クラスNP（Non-deterministic Polynomial）に属する決定問題（言語）で、かつ (2) 任意のクラスNPに属する問題から多項式時間還元（帰着）可能なもののことである。条件 (2) を満たす場合は、問題の定義が条件 (1) を満たさない場合にも、NP困難な問題とよびその計算量的な困難性を特徴づけている。多項式時間還元の推移性から、クラスNPに属する問題で、ある一つのNP完全問題から多項式時間還元可能なものも、またNP完全である。現在発見されているNP完全問題の証明の多くはこの推移性によって充足可能性問題などから導かれている。充足可能性問題がNP完全であることは1971年、スティーブン・クック（Stephen Cook (1971).
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NP困難
NP完全、'''NP困難'''の相関を表すベン図 NP困難（エヌピーこんなん、NP-hard）とは計算量理論において、問題が「NPに属する任意の問題と比べて、少なくとも同等以上に難しい」ことである。正確にいうと問題 H がNP困難であるとは、「NPに属する任意の問題 L が H へ帰着可能である」と定義される。この「帰着」の定義として何を用いるかにより微妙に定義が異なることになるが、例えば多項式時間多対一帰着や多項式時間チューリング帰着を用いる。NP困難問題を解ける多項式時間の機械がもしあれば、それを利用してNPに属するどの問題も多項式時間で解くことができる。 NP完全問題とは、NP困難であり、かつNPに属する問題である。これと異なり、NP困難である問題はNPに属するとは限らない。NPは決定問題のクラスなのでNP完全もまた決定問題に限られるが、定義に用いる帰着の種類によってはNP困難には決定問題、探索問題(en)、組合せ最適化問題など様々な問題が属しうる。 上に挙げた定義から、問題 H がNP困難なとき次のことが言える（以下は定義ではなく主張）。.
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Sharp-P
計算複雑性理論において、複雑性クラス ♯P とは、NP に属する決定問題に対応した数え上げ問題の集合である。多くの複雑性クラスとは異なり、決定問題のクラスではなく、函数問題のクラスである。 NP 問題は多くの場合「ある制約を満足する解は存在するか?」という形式である。例えば、次のようなものがある。.
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SOR法
SOR法(Successive Over-Relaxation、逐次加速緩和法)とは n元連立一次方程式A\boldsymbol.
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正規分布
率論や統計学で用いられる正規分布（せいきぶんぷ、normal distribution）またはガウス分布（Gaussian distribution）は、平均値の付近に集積するようなデータの分布を表した連続的な変数に関する確率分布である。中心極限定理により、独立な多数の因子の和として表される確率変数は正規分布に従う。このことにより正規分布は統計学や自然科学、社会科学の様々な場面で複雑な現象を簡単に表すモデルとして用いられている。たとえば実験における測定の誤差は正規分布に従って分布すると仮定され、不確かさの評価が計算されている。 また、正規分布の確率密度関数のフーリエ変換は再び正規分布の密度関数になることから、フーリエ解析および派生した様々な数学・物理の理論の体系において、正規分布は基本的な役割を果たしている。 確率変数 が1次元正規分布に従う場合、X \sim N(\mu, \sigma^) 、確率変数 が 次元正規分布に従う場合、X \sim N_n(\mu, \mathit) などと表記される。.
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木 (数学)
数学、特にグラフ理論の分野における木（き、tree）とは、連結で閉路を持たない(無向)グラフである。有向グラフについての木（有向木）についても論じられるが、当記事では専ら無向木を扱う。 閉路を持たない（連結であるとは限らない）無向グラフを森（もり、forest）という。木は明らかに森である。 なお、閉路を持たない有向グラフは有向非巡回グラフである。有向木は有向非巡回グラフでもあるが、有向非巡回グラフは必ずしも有向木とは限らない。 コンピュータ上での木の扱いについては、木構造 (データ構造) を参照。 画像:Tree-sample1.png.
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情報理論
情報理論（じょうほうりろん、Information theory）は、情報・通信を数学的に論じる学問である。応用数学の中でもデータの定量化に関する分野であり、可能な限り多くのデータを媒体に格納したり通信路で送ったりすることを目的としている。情報エントロピーとして知られるデータの尺度は、データの格納や通信に必要とされる平均ビット数で表現される。例えば、日々の天気が3ビットのエントロピーで表されるなら、十分な日数の観測を経て、日々の天気を表現するには「平均で」約3ビット/日（各ビットの値は 0 か 1）と言うことができる。 情報理論の基本的な応用としては、ZIP形式（可逆圧縮）、MP3（非可逆圧縮）、DSL（伝送路符号化）などがある。この分野は、数学、統計学、計算機科学、物理学、神経科学、電子工学などの交差する学際領域でもある。その影響は、ボイジャー計画の深宇宙探査の成功、CDの発明、携帯電話の実現、インターネットの開発、言語学や人間の知覚の研究、ブラックホールの理解など様々な事象に及んでいる。.
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数学的帰納法
数学的帰納法（すうがくてききのうほう、mathematical induction）は自然数に関する命題 が全ての自然数 に対して成り立っている事を証明するための、次のような証明手法である自然数の定義は を含む流儀とそうでない流儀があるが、ここでは後者を採用した。。.
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2部グラフ
循環の無い2部グラフの例 完全2部グラフ 数学、とくにグラフ理論における2部グラフ（にぶぐらふ、bipartite graph）は、頂点集合を二つの部分集合に分割して各集合内の頂点同士の間には辺が無いようにできるグラフのことである。このような頂点の集合を独立集合といい、より一般にn個の独立頂点集合に分割可能なグラフのことをn部グラフ (n-partite graph) という。 完全2部グラフは、二つの頂点集合V1, V2に分割したとき、V1同士・V2同士の頂点間には辺が存在しないが、V1とV2間の任意の2点間に辺が存在するグラフのことである。m頂点の頂点集合とn頂点の頂点集合に分割されるような完全2部グラフのことをKm, nとかく。 隣り合った頂点同士を異なる色で塗ることを（頂点）彩色という。よって、n部グラフはn点彩色可能なグラフである。同様に、隣り合った辺同士を異なる色で塗ることを辺彩色という。 二部グラフの辺集合Mがマッチングであるとは、Mに属するどの2辺も隣接していないと言うことである。グラフGの最大マッチングとは、GのマッチングMのうち、辺の数が最大のものである。また、全ての頂点を含むマッチングのことを完全マッチングという。.
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