70 関係: ほとんど (数学)、単調写像、可算集合、可測関数、同時分布、多様体、大数の法則、変数 (数学)、実数、完全加法族、岩波書店、中心極限定理、伏見康治、位相空間、像 (数学)、バナッハ=タルスキーのパラドックス、モーメント (確率論)、ランダム、ランダム行列、ラプラス変換、ルベーグ測度、ボレル集合、ブール領域、列 (数学)、分散 (確率論)、和集合、アイバーソンの記法、オーム社、カイ二乗分布、シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア、公理、共通部分 (数学)、図形、確率、確率変数の収束、確率密度関数、確率分布、確率空間、確率過程、確率要素、確率論、積率母関数、統計学、絶対連続、独立 (確率論)、相関関係と因果関係、非可算集合、計算機科学、高々 (数学)、距離、...、関数、開集合、量、自由度、自然言語処理、離散確率分布、集合、連続確率分布、標準偏差、標本空間、正規分布、河出書房新社、添え字、測度論、期待値、木 (数学)、本質的上限と本質的下限、日本工業規格、日本規格協会、日本数学会。 インデックスを展開 (20 もっと) »
ほとんど (数学)
数学において、ほとんど (almost) という語は、ある厳密な意味で用いられる専門用語のひとつである。主に「測度 0 の集合を除いて」という意味であるが、それ単体で用いることはあまりなく、「ほとんど至るところで(almost everywhere)」「ほとんど全ての(almost all)」などの決まり文句でひとつの意味を形成する。.
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単調写像
単調写像(たんちょうしゃぞう、monotonic function, monotone function)または単調関数は、単調性、すなわち順序集合の間の写像が順序を保つような性質を持つ写像のことである。具体的な例としては以下の単調増加関数および単調減少関数がある。 単調増加(たんちょうぞうか、monotonically increasing)とは、狭義には実数の値を持つ関数 が、 の増加につれて常に関数値 も増加することをいい、このような性質を持つ関数を単調増加関数(たんちょうぞうかかんすう、monotonically increasing function)と呼ぶ。同様に、引数 の増加につれて関数値 が常に減少することを単調減少(たんちょうげんしょう、monotonically decreasing)といい、そのような性質を持つ関数を単調減少関数(たんちょうげんしょうかんすう、monotonically decreasing function)と呼ぶ。従って、連続な単調増加関数 を縦軸、その引数 を横軸にとったグラフ上の曲線は常に右上りで、右下がりになっている部分がない。逆に単調減少関数の場合には、常に右下がりであり右上がりの部分がない。 ある関数が単調増加または単調減少する性質をまとめて単調性(たんちょうせい、monotonicity)と呼ぶ。.
可算集合
可算集合(かさんしゅうごう、countable set 又は denumerable set)もしくは可付番集合とは、おおまかには、自然数全体と同じ程度多くの元を持つ集合のことである。各々の元に 1, 2, 3, … と番号を付けることのできる、すなわち元を全て数え上げることのできる無限集合と表現してもよい。 有限集合も、数え上げることができる集合という意味で、可算集合の一種とみなすことがある。そのため、はっきりと区別を付ける必要がある場合には、冒頭の意味での集合を可算無限集合と呼び、可算無限集合と有限集合を合わせて高々可算の集合と呼ぶ。可算でない無限集合を非可算集合という。非可算集合は可算集合よりも「多く」の元を持ち、全ての元に番号を付けることができない。そのような集合の存在は、カントールによって初めて示された。.
可測関数
数学の、特に測度論の分野における可測関数(かそくかんすう、)とは、(積分論を展開する文脈として自然なものである)可測空間の間の、構造を保つ写像である。具体的に言えば、可測空間の間の関数が可測であるとは、各可測集合に対するその原像が可測であることを言う(これは位相空間の間の連続関数の定義の仕方と似ている)。 この定義は単純なようにも見えるが、σ-代数も併せて考えているということに特別な注意が払われなければならない。特に、関数 f: R → R がルベーグ可測であるといったとき、これは実際には f\colon (\mathbb, \mathcal) \to (\mathbb, \mathcal) が可測関数であることを意味する。すなわち、その定義域と値域は、同じ台集合上で異なる σ-代数を持つものを表している(ここで \mathcal はルベーグ可測集合全体の成す σ-代数であり、\mathcal は R 上のボレル集合族である)。結果として、ルベーグ可測関数の合成は必ずしもルベーグ可測とはならない。 慣例では、特に断りの無い限り、位相空間にはその開部分集合全体により生成されるボレル代数が与えられるものと仮定される。最もよくある場合だと、この空間として実数全体あるいは複素数全体からなる空間をとる。例えば、実数値可測関数とは、各ボレル集合の原像が可測となるような関数を言う。複素数値可測関数も同様に定義される。実用においては、ボレル集合族に関する実数値可測関数のみを指して可測関数という語を使用するものもある。関数の値が R や C の代わりに無限次元ベクトル空間に取られるのであれば、弱可測性やボホナー可測性などの、可測性に関する他の定義が用いられることが普通である。 確率論の分野において、σ-代数はしばしば、利用可能な情報すべてからなる集合を表し、ある関数(この文脈では確率変数)が可測であるとは、それが利用可能な情報に基づいて知ることの出来る結果(outcome)を表すことを意味する。対照的に、少なくとも解析学の分野においては、ルベーグ可測でない関数は一般に病的であると見なされる。.
同時分布
率論において、同時分布(どうじぶんぷ)または結合分布(けつごうぶんぷ, joint distribution)とは、確率変数が複数個ある場合に、複数の確率変数がとる値の組に対して、その発生の度合いを確率を用いて記述するもので、確率分布の一種である。 日本工業規格では、2次元分布関数の定義において、多次元分布関数を説明し、同時分布を紹介している。 同時分布の表現方法として、離散型の確率変数にたいしては確率質量関数(確率関数ともいう)を用い、連続型の確率変数にたいしては確率密度関数を用いる。.
多様体
多様体(たようたい、manifold, Mannigfaltigkeit)とは、局所的にはユークリッド空間と見なせるような図形や空間(位相空間)のことである。多様体上には好きなところに局所的に座標を描き込むことができる。.
大数の法則
大数の法則(たいすうのほうそく、law of large numbers)は、確率論・統計学における極限定理のひとつで、「経験的確率と理論的確率が一致する」 という、素朴な意味での確率を意味付け、定義付ける法則である。 厳密には、ヤコブ・ベルヌーイによる大数の弱法則 と、エミール・ボレルやアンドレイ・コルモゴロフによる大数の強法則 とがある。単に「大数の法則」と言った場合、どちらを指しているのかは文脈により判断する必要がある。.
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変数 (数学)
数学、特に解析学において変数(へんすう、variable)とは、未知あるいは不定の数・対象を表す文字記号のことである。代数学の文脈では不定元(ふていげん、indeterminate)の意味で変数と言うことがしばしばある。方程式において、特別な値をとることがあらかじめ期待されている場合、(みちすう)とも呼ばれる。また、記号論理学などでは(変数の表す対象が「数」に限らないという意味合いを込めて)変項(へんこう)とも言う。.
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実数
数学における実数(じっすう、 nombre réel, reelle Zahl, real number)は、様々な量の連続的な変化を表す数の体系である。実数全体の空間は、途切れのなさにあたる完備性とよばれる位相的な性質を持ち、代数的には加減乗除ができるという体の構造を持っている。幾何学や解析学ではこれらのよい性質を利用して様々な対象が定義され、研究されている。一方でその構成方法に自明でない手続きが含まれるため、実数の空間は数学基礎論の観点からも興味深い性質を持っている。また、自然科学における連続的なものの計測値を表すのに十分な数の体系だとも考えられている。 実数の概念は、その形式的な定義が19世紀に達成される前から数の体系として使われていた。「実数」という名前は複素数の概念が導入された後に「普通の数」を表現する言葉として導入されたものである。.
完全加法族
数学における完全加法族(かんぜんかほうぞく、completely additive class)、可算加法族(かさんかほうぞく、countably additive class)あるいは (σ-)加法族、σ-集合代数(シグマしゅうごうだいすう、σ-algebra)、σ-集合体(シグマしゅうごうたい、σ-field)接頭辞 "σ" は「可算加法的」("completely additive") であることを示すのにしばしば用いられる。また、完全加法族では可算加法性と可算乗法性が補集合を取る操作を通じて同値になるので区別されないが、(乗法族における)積の可算性が δ- を用いることによって表される場合がある(δ-乗法族)。例えば、σ-集合環と δ-集合環など。''G''δ-集合と''F''σ-集合の項も参照。は、主な用途として測度を定義することに十分な特定の性質を満たす集合の集まりである。特に測度が定義される集合全体を集めた集合族は完全加法族になる。この概念は、解析学ではルベーグ積分に対する基礎付けとして重要であり、また確率論では確率の定義できる事象全体の成す族として解釈される。完全加法族を接頭辞「完全」を付けずに単に「加法族」と呼ぶことも多い(つまり、有限加法族の意味ならば接頭辞「有限」を省略しないのがふつう)ので注意が必要である。.
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岩波書店
株式会社岩波書店(いわなみしょてん、Iwanami Shoten, Publishers. )は、日本の出版社。.
中心極限定理
中心極限定理(ちゅうしんきょくげんていり、central limit theorem)は、確率論・統計学における極限定理の一つ。 大数の法則によると、ある母集団から無作為抽出された標本平均はサンプルのサイズを大きくすると真の平均に近づく。これに対し中心極限定理は標本平均と真の平均との誤差を論ずるものである。多くの場合、母集団の分布がどんな分布であっても、その誤差はサンプルのサイズを大きくしたとき近似的に正規分布に従う。 なお、標本の分布に分散が存在しないときには、極限が正規分布と異なる場合もある。 統計学における基本定理であり、例えば世論調査における必要サンプルのサイズの算出等に用いられる。.
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伏見康治
伏見 康治(ふしみ こうじ、1909年6月29日 - 2008年5月8日)は日本の理論物理学者、理学博士。公明党参議院議員(1期)。正四位勲二等(没時)。 本来の仕事である物理学、特に統計力学の分野で大きな研究業績を上げた他、戦後日本の科学研究体制の確立と発展にも力を尽くし、原子力平和利用研究を推進、さらには科学者の社会的責任のアピールと行動、一般向け書籍による物理の面白さの啓発・普及、そして対称性の美の追究など、多方面に大きな足跡を残した。.
位相空間
数学における位相空間(いそうくうかん, topological space)とは、集合にある種の情報(位相、topology)を付け加えたもので、この情報により、連続性や収束性といった概念が定式化可能になる。 位相空間論は位相空間の諸性質を研究する数学の分野である。.
像 (数学)
'''f''' は始域 '''X''' から終域 '''Y''' への写像。'''Y''' の内側にある小さな楕円形が '''f''' の像である。 数学において、何らかの写像の像(ぞう、image)は、写像の始域(域、定義域)の部分集合上での写像の出力となるもの全てからなる、写像の終域(余域)の部分集合である。すなわち、始域の部分集合 X の各元において写像の値を評価することによって得られる集合を f による(または f に関する、f のもとでの、f を通じた)X の像という。また、写像の終域の何らかの部分集合 S の逆像(ぎゃくぞう、inverse image)あるいは原像(げんぞう、preimage)は、S の元に写ってくるような始域の元全体からなる集合である。 像および逆像は、写像のみならず一般の二項関係に対しても定義することができる。.
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バナッハ=タルスキーのパラドックス
バナッハ=タルスキーのパラドックス (Banach-Tarski paradox) は、球を3次元空間内で、有限個の部分に分割し、それらを回転・平行移動操作のみを使ってうまく組み替えることで、元の球と同じ半径の球を2つ作ることができるという定理(ただし、各断片は通常の意味で体積を定義できない)。この操作を行うために球を最低5つに分割する必要がある。 バナッハ=タルスキーの証明では、ハウスドルフのパラドックスが援用され、その後、多くの人により証明の最適化、様々な空間への拡張が行われた。 結果が直観に反することから、定理であるが、パラドックスと呼ばれる。証明の1箇所で選択公理を使う。ステファン・バナフ(バナッハ)とアルフレト・タルスキが1924年に初めてこの定理を述べたときに選択公理を肯定的にとらえていたか、否定的にとらえていたか、判断することは難しい。(彼らは、「この研究に対する選択公理の果たす役割は、注目するに値する。」(Le rôle que joue cet axiome dans nos raisonnements nous semble mériter l'attention.)としか述べていないのである。).
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モーメント (確率論)
率論や統計学において、モーメント(もーめんと、moment)または積率(せきりつ)とは、確率変数のべき乗に対する期待値で与えられる特性値。.
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ランダム
ランダム(random)とは、事象の発生に法則性(規則性)がなく、な状態である。ランダムネス(randomness)、無作為性(むさくいせい)ともいう。 事象・記号などのランダムな列には秩序がなく、理解可能なパターンや組み合わせに従わない。個々のランダムな事象は定義上予測不可能であるが、多くの場合、何度も試行した場合の結果の頻度は予測可能である。例えば、2つのサイコロを投げるとき、1回ごとの出目は予測できないが、合計が7になる頻度は4になる頻度の2倍になる。この見方では、ランダム性とは結果の不確実性の尺度であり、確率・情報エントロピーの概念に適用される。 数学、確率、統計の分野では、ランダム性の正式な定義が使用される。統計では、事象空間の起こり得る結果に数値を割り当てたものを確率変数(random variable)という。この関連付けは、事象の確率の識別および計算を容易にする。確率変数の列を(random sequence)という。ランダム過程(不規則過程、確率過程)は、結果が決定論的パターンに従わず、確率分布によって記述される進化に従う確率変数の列である。これらの構造と他の構造は、確率論や様々なランダム性の応用に非常に有用である。 ランダム性は、よく定義された統計的特性を示すために統計で最も頻繁に使用される。ランダムな入力(や擬似乱数発生器など)に依存するモンテカルロ法は、計算科学などの科学において重要な技術である。これに対し、では乱数列ではなく一様分布列を使用している。 無作為抽出(random selection)は、ある項目を選択する確率が母集団内におけるその項目の割合と一致している集団から項目を選択する方法である。例えば、赤い石10個と青い石90個を入れた袋に入れた場合、この袋から何らかのランダム選択メカニズムによって石を1個選択した時にそれが赤い石である確率は1/10である。しかし、ランダム選択メカニズムによって実際に10個の石を選択したときに、それが赤1個・青9個であるとは限らない。母集団が識別可能な項目で構成されている状況では、ランダム選択メカニズムは、選択される項目に等しい確率を必要とする。つまり、選択プロセスが、母集団の各メンバー(例えば、研究対象)が選択される確率が同じである場合、選択プロセスはランダムであると言うことができる。.
ランダム行列
ランダム行列(Random Matrix)とは、行列要素 hj,k がなんらかの確率法則あるいは確率分布に従う確率変数(乱数)として与えられると仮定する行列モデル。また、ランダム行列に関する理論をランダム行列理論(RMT)という。ランダム行列は、ユージン・ウィグナーにより固有値や固有値の間隔の分布の統計的性質、それらの普遍性(Universality)やその要因などを研究する目的で導入された。現在では核物理学のほかに、量子カオス、固体物理学、 統計力学、 数論、生態学、遺伝子工学、金融工学、無線工学、複雑ネットワークなどの研究で応用されている。.
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ラプラス変換
関数解析学において、ラプラス変換(ラプラスへんかん、Laplace transform)とは、積分で定義される関数空間の間の写像(線型作用素)の一種。関数変換。 ラプラス変換の名はピエール=シモン・ラプラスにちなむ。 ラプラス変換によりある種の微分・積分は積などの代数的な演算に置き換わるため、制御工学などにおいて時間領域の(とくに超越的な)関数を別の領域の(おもに代数的な)関数に変換することにより、計算方法の見通しを良くするための数学的な道具として用いられる。 フーリエ変換を発展させて、より実用本位で作られた計算手法である。1899年に電気技師であったオリヴァー・ヘヴィサイドが回路方程式を解くための実用的な演算子を経験則として考案して発表し、後に数学者がその演算子に対し厳密に理論的な裏付けを行った経緯がある。理論的な根拠が曖昧なままで発表されたため、この計算手法に対する懐疑的な声も多かった。この「ヘヴィサイドの演算子」の発表の後に、多くの数学者達により数学的な基盤は1780年の数学者ピエール=シモン・ラプラスの著作にある事が指摘された(この著作においてラプラス変換の公式が頻繁に現れていた)。 従って、数学の中ではかなり応用寄りの分野である。ラプラス変換の理論は微分積分、線形代数、ベクトル解析、フーリエ解析、複素解析を基盤としているため、理解するためにはそれらの分野を習得するべきである。 これと類似の解法として、より数学的な側面から作られた演算子法がある。こちらは演算子の記号を多項式に見立て、代数的に変形し、公式に基づいて特解を求める方法である。.
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ルベーグ測度
数学におけるルベーグ測度(ルベーグそくど、Lebesgue measure)は、ユークリッド空間上の長さ、面積、体積の概念を拡張したものである。名称はフランスの数学者アンリ・ルベーグにちなむ。体積には「互いに素な集合の体積は元の体積の和に等しい」という性質(加法性)がある。この性質を保ちながらより複雑な集合に対しても「体積」を定めることができるよう体積の概念を拡張できる。このような拡張は一意である。実解析、特にルベーグ積分で用いられる。体積と同様ルベーグ測度は値として をとりうる。解析学で普通に考えられるような集合に対してはルベーグ測度が与えられるものと考えてよいが、選択公理によって の部分集合でルベーグ測度を与えることができない(無理に与えると加法性が成り立たない)ものが存在することを証明できる。ルベーグ測度が与えられる集合はルベーグ可測であるという。以下の説明ではルベーグ可測な集合 の測度を で表す。.
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ボレル集合
数学におけるボレル集合(ボレルしゅうごう、Borel set)は、位相空間の開集合系(あるいは閉集合系)から可算回の合併、交叉、差を取ることによって得られる集合の総称である。名称はエミール・ボレルに由来する。 位相空間 X に対し、X 上のボレル集合全体の成す族(ボレル集合族)は完全加法族(σ-集合体)を成し、ボレル集合体 あるいはボレル完全加法族 と呼ばれる。X 上のボレル集合体は、全ての開集合を含む最小の完全加法族である(全ての閉集合を含む最小の完全加法族でもある)。 ボレル集合は測度論において重要である。これは任意のボレル集合体上で定義された測度が空間内の開集合(あるいは閉集合)上での値のみから一意に定まることによる。ボレル集合体上で定義された測度はボレル測度と呼ばれる。ボレル集合およびそれに付随するボレル階層は、記述集合論においても基本的な役割を果たす。 文脈によっては、位相空間の(開集合ではなくて)コンパクト集合の生成するものとしてボレル集合を定めることもある。多くの素性の良い 空間、例えば任意の σ-コンパクトハウスドルフ空間などでは、この定義は先の(開集合を用いた)定義と同値になるが、そうでない病的な空間では違ってくる。.
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ブール領域
ブール領域(ブールりょういき)またはブーリアン領域(英: Boolean domain)は、「偽」と「真」(真理値ないし真偽値)に対応する2つの元のみから成る集合である。 数学では、束の圏における始対象がブール領域である。記号としては 等を当てることもあるが、真偽値から離れた議論では や 等を当てることもある。ブール領域は、二値ブール代数としての構造を持つ。位相幾何学における類似のオブジェクトとして、2つの元からなる位相空間であるシェルピンスキー空間がある。 コンピュータプログラミング言語には、これに相当するブーリアン型があるものが多いが、C言語のように数値の0と1で代用している言語も多い。詳細はブーリアン型の記事を参照。.
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列 (数学)
数学において列(れつ、sequence)とは、粗く言えば、対象あるいは事象からなる集まりを「順序だてて並べる」ことで、例えば「A,B,C」は3つのものからなる列である。狭義にはこの例のように一列に並べるものを列と呼ぶが、広義にはそうでない場合(すなわち半順序に並べる場合)も列という場合がある(例:有向点列)。集合との違いは順番が決まっている事で、順番を変更したものは別の列であるとみなされる。たとえば列「A,B,C」と列「B,C,A」は異なる列である。 数を並べた列を数列、(何らかの空間上の)点を並べた列を点列、文字を並べた列を文字列(あるいは語)という。このように同種の性質○○を満たすもののみを並べた場合にはその列を「○○列」という言い方をするが、異なる種類のものを並べた列も許容されている。 列の構成要素は、列の要素あるいは項(こう、term)と呼ばれ、例えば「A,B,C」には3つの項がある。項の個数をその列の項数あるいは長さ (length, size) という。項数が有限である列を有限列(ゆうげんれつ、finite sequence)と、そうでないものを無限列(むげんれつ、infinite sequence)と呼ぶ。(例えば正の偶数全体の成す列 (2, 4, 6,...) )。.
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分散 (確率論)
率論および統計学において、分散(ぶんさん、variance)は、確率変数の2次の中心化モーメントのこと。これは確率変数の分布が期待値からどれだけ散らばっているかを示す非負の値である。 記述統計学においては標本が標本平均からどれだけ散らばっているかを示す指標として標本分散(ひょうほんぶんさん、sample variance)を、推測統計学においては不偏分散(ふへんぶんさん、unbiased (sample) variance)を用いる。 に近いほど散らばりは小さい。 日本工業規格では、「確率変数 からその母平均を引いた変数の二乗の期待値。 である。」と定義している。 英語の variance(バリアンス)という語はロナルド・フィッシャーが1918年に導入した。.
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和集合
数学において、集合族の和集合(わしゅうごう)、あるいは合併集合(がっぺいしゅうごう)、合併(がっぺい、)、あるいは演算的に集合の和(わ、sum)、もしくは'''結び'''(むすび、)とは、集合の集まり(集合族)に対して、それらの集合のいずれか少なくとも一つに含まれているような要素を全て集めることにより得られる集合のことである。.
アイバーソンの記法
アイバーソンの記法はケネス・アイバーソンにちなんで名づけられた記法。Pが真ならば1で偽ならば0である。.
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オーム社
株式会社オーム社(英称:Ohmsha, Ltd.)とは、理工学専門書、コンピュータ関連書などを出版する日本の出版社である。社名の由来は、抵抗の単位であるオーム(Ω)から。.
カイ二乗分布
記載なし。
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シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア
ュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア(Springer Science+Business Media, Springer)は、科学(Science)、技術(Technology、工学など)、医学(Medicine)、すなわちSTM関連の書籍、電子書籍、査読済みジャーナルを出版するグローバル企業である。シュプリンガーはまた、"SpringerLink"(「シュプリンガー・リンク」) 、"SpringerProtocols"(「」) 、"SpringerImages"(「シュプリンガー・イメージ」) 、"SpringerMaterials"(「シュプリンガー・マテリアル」) などいくつかの科学データベース・サービスのホスティングも行っている。 出版物には、参考図書(Reference works、レ(リ)ファレンス・ワークス)、教科書、モノグラフ(Monograph)、(Proceedings)、叢書など多数が含まれる。また、シュプリンガー・リンクには45,000以上のタイトルが自然科学など13の主題・テーマで集められており、それらは電子書籍として利用可能である。シュプリンガーはSTM分野の書籍に関しては世界最大の出版規模を持ち、ジャーナルでは世界第2位である(第1位はエルゼビア)。 多数のインプリントや、20ヶ国に約55の発行所(パブリッシング・ハウス)、5,000人以上の従業員を抱え、毎年約2,000のジャーナル、7,000以上の新書(これにはSTM分野だけではなく、B2B分野のものも含まれる)を発刊している。シュプリンガーはベルリン、ハイデルベルク、ドルトレヒト、ニューヨークに主要オフィスを構える。近年成長著しいアジア市場のために、アジア地域本部を香港に置いており、2005年8月からは北京に代表部を設置している 。 2015年5月、シュプリンガー・サイエンス+ビジネスメディアとマクミラン・サイエンス・アンド・エデュケーションの大半の事業の合併が、欧州連合や米国司法省などの主要な公正競争監視機関により承認された。新会社の名称は「シュプリンガー・ネイチャー(Springer Nature)」。.
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公理
公理(こうり、axiom)とは、その他の命題を導きだすための前提として導入される最も基本的な仮定のことである。一つの形式体系における議論の前提として置かれる一連の公理の集まりを (axiomatic system) という 。公理を前提として演繹手続きによって導きだされる命題は定理とよばれる。多くの文脈で「公理」と同じ概念をさすものとして仮定や前提という言葉も並列して用いられている。 公理とは他の結果を導きだすための議論の前提となるべき論理的に定式化された(形式的な)言明であるにすぎず、真実であることが明らかな自明の理が採用されるとは限らない。知の体系の公理化は、いくつかの基本的でよく知られた事柄からその体系の主張が導きだせることを示すためになされることが多い。 なお、ユークリッド原論などの古典的な数学観では、最も自明(絶対的)な前提を公理、それに準じて要請される前提を公準 (postulate) として区別していた。.
共通部分 (数学)
数学において、集合族の共通部分(きょうつうぶぶん、intersection)とは、与えられた集合の集まり(族)全てに共通に含まれる元を全て含み、それ以外の元は含まない集合のことである。共通集合(きょうつうしゅうごう)、交叉(こうさ、交差)、交わり(まじわり、)、積集合(せきしゅうごう)、積(せき)、などとも呼ばれる。ただし、積集合は直積集合の意味で用いられることが多い。.
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図形
図形(ずけい、shape)は、一定の決まりによって定められる様々な形状のことであり、様々な幾何学における基本的な対象である。 ものの視覚認識によって得られる直観的な「かたち」を、まったく感覚によらず明確な定義と公理のみを用いて、演繹的に研究する論理的な学問としての幾何学の一つの典型は、ユークリッドの原論に見られる。ユークリッド幾何学においては、図形は定木とコンパスによって作図され、点、直線と円、また平面や球、あるいはそれらの部分から構成される。 1872年、クラインによって提出されたエルランゲン目録は、それまでの古典的なユークリッド幾何学、非ユークリッド幾何学、射影幾何学などの種々の幾何学に対して、変換という視点を通して統一的に記述することを目的とした。クラインのこの立場からは、図形は運動あるいは変換と呼ばれる操作に関して不変であるような性質によって記述される点集合のことであると言うことができる。 同時期にリーマンは、ガウスによって詳しく研究されていた曲面における曲率などの計量を基礎に、曲面をそれが存在する空間に拠らない一つの幾何学的対象として扱うことに成功し、リーマン幾何学あるいはリーマン多様体の概念の基礎を築いた。この立場において図形は、空間内の点集合という概念ではなく(一般には曲がったり重なったりした)空間そのものを指すと理解できる。.
確率
率(かくりつ、)とは、偶然性を持つある現象について、その現象が起こることが期待される度合い、あるいは現れることが期待される割合のことをいう。確率そのものは偶然性を含まないひとつに定まった数値であり、発生の度合いを示す指標として使われる。.
確率変数の収束
数学の確率論の分野において、確率変数の収束(かくりつへんすうのしゅうそく、)に関しては、いくつかの異なる概念がある。確率変数列のある極限への収束は、確率論や、その応用としての統計学や確率過程の研究における重要な概念の一つである。より一般的な数学において同様の概念は確率収束(stochastic convergence)として知られ、その概念は、本質的にランダムあるいは予測不可能な事象の列は、その列から十分離れているアイテムを研究する場合において、しばしば、本質的に不変な挙動へと落ち着くことが予想されることがある、という考えを定式化するものである。異なる収束の概念とは、そのような挙動の特徴づけに関連するものである:すぐに分かる二つの挙動とは、その列が最終的に定数となるか、あるいはその列に含まれる値は変動を続けるがある不変な確率分布によってその変動が表現される、というようなものである。.
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確率密度関数
率論において、確率密度関数(かくりつみつどかんすう、probability density function、PDF)とは連続確率変数がある値をとるという事象の相対尤度を記述する関数である。確率変数がある範囲の値をとる確率を、その範囲にわたって確率密度関数を積分することにより得ることができるよう定義される。例えば単変数の確率分布を平面上のグラフに表現して、x軸に“ある値”を、y軸に“相対尤度”を採った場合、求めたい範囲(x値)の下限値と上限値での垂直線と、変数グラフ曲線とy.
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確率分布
率分布(かくりつぶんぷ, probability distribution)は、確率変数の各々の値に対して、その起こりやすさを記述するものである。日本工業規格では、「確率変数がある値となる確率,又はある集合に属する確率を与える関数」と定義している。.
確率空間
率空間(かくりつくうかん、probability space)とは、可測空間 に確率測度 を入れた測度空間 を言う。アンドレイ・コルモゴロフによる確率論の公理的構成から、現代においては、確率論は確率空間における確率測度の理論として展開される。.
確率過程
率論において、確率過程(かくりつかてい、stochastic process)は、時間とともに変化する確率変数のことである。 株価や為替の変動、ブラウン運動などの粒子のランダムな運動を数学的に記述する模型(モデル)として利用している。不規則過程(random process)とも言う。.
確率要素
数学の確率論における確率要素(かくりつようそ、)とは、単純な実数直線からより複雑な空間への、確率変数の概念の一般化である。この概念は、「確率論の発展とその応用分野の拡張は、経験の(ランダムな)結果が数や有限の集合によって表現される方法から、経験の結果が例えばベクトル、関数、過程、体、級数、変換や集合あるいは集合族を表すような方法へと移行される必要性を導いている。」という意見を残したモーリス・ルネ・フレシェによって導入された。 昨今の慣例で「確率要素」を扱う際のその値の空間は位相線型空間であることが多いが、しばしば部分集合の特別な σ-代数を備えるバナッハ空間やヒルベルト空間であるとされることもある。.
確率論
率論(かくりつろん、,, )とは、偶然現象に対して数学的な模型(モデル)を与え、解析する数学の一分野である。 もともとサイコロ賭博といった賭博の研究として始まった。現在でも保険や投資などの分野で基礎論として使われる。 なお、確率の計算を問題とする分野を指して「確率論」と呼ぶ用例もあるが、本稿では取り扱わない。.
積率母関数
率論や統計学において、確率変数 X の積率母関数またはモーメント母関数(英: moment-generating function)は、期待値が存在するならば次の式で定義される。 積率母関数がそのように呼ばれるのは、t.
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統計学
統計学(とうけいがく、statistics、Statistik)とは、統計に関する研究を行う学問である。 統計学は、経験的に得られたバラツキのあるデータから、応用数学の手法を用いて数値上の性質や規則性あるいは不規則性を見いだす。統計的手法は、実験計画、データの要約や解釈を行う上での根拠を提供する学問であり、幅広い分野で応用されている。 現在では、医学(疫学、EBM)、薬学、経済学、社会学、心理学、言語学など、自然科学・社会科学・人文科学の実証分析を伴う分野について、必須の学問となっている。また、統計学は哲学の一分科である科学哲学においても重要な一つのトピックになっている。.
絶対連続
数学における絶対連続(ぜったいれんぞく、absolute continuity)とは通常の連続性や一様連続性よりも強い条件を課した連続性の概念である。関数と測度とについて、関係しているが見かけ上異なるふたつの絶対連続性の定義がなされる。.
独立 (確率論)
立(どくりつ、independent)とは、確率論において、2つのが成立する確率がそれぞれの確率の積で表されることを言う。2つの確率変数が独立であるというのは、「ある確率変数の値が一定範囲に入る事象」と「別の確率変数の値が別の一定範囲に入る事象」が、考えられるどのような「一定範囲」(「考えられる」とは通常ボレル集合族を指す)を定めても事象として独立であることを言う。 確率論における独立は、他の分野における独立性の概念と区別する意味で、確率論的独立(かくりつろんてきどくりつ、stochastic independence)あるいは統計的独立(とうけいてきどくりつ、statistical independence)などとも呼ばれる。 2つの事象が独立といった場合は、片方の事象が起きたことが分かっても、もう片方の事象の起きる確率が変化しないことを意味する。2つの確率変数が独立といった場合は、片方の変数の値が分かっても、もう片方の変数の分布が変化しないことを意味する。.
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相関関係と因果関係
関関係と因果関係(そうかんかんけいといんがかんけい)では、相関関係と因果関係の関わりについて解説する。 相関関係があるだけでは因果関係があるとは断定できず、因果関係の前提に過ぎない。「相関関係は因果関係を含意しない (Correlation does not imply causation)」は、科学や統計学で使われる語句で、2つの変数の相関が自動的に一方がもう一方の原因を意味するというわけではないことを強調したものである(もちろん、そのような関係がある場合を完全に否定するものではない)。全く逆の言葉である「相関関係は因果関係を証明する (correlation proves causation)」は誤謬であり、同時に発生した2つの事象に因果関係を主張するものである。このような誤謬は虚偽の原因の誤謬(英: false cause)と呼ばれる(ラテン語では "cum hoc ergo propter hoc"、直訳すると「それとともに、そしてそれ故に」)。前後即因果の誤謬は、2つの事象に順序関係があることが前提であり、「虚偽の原因の誤謬」の一種である。.
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非可算集合
数学において、非可算集合(ひかさんしゅうごう)、あるいは非可算無限集合とは可算集合でない無限集合のことである。集合の非可算性は基数、濃度という概念と密接に関係している。集合は、その濃度が自然数全体の集合の濃度より大きいときに、非可算である。.
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計算機科学
計算機科学(けいさんきかがく、computer science、コンピュータ科学)とは、情報と計算の理論的基礎、及びそのコンピュータ上への実装と応用に関する研究分野である。計算機科学には様々な下位領域がある。コンピュータグラフィックスのように特定の処理に集中する領域もあれば、計算理論のように数学的な理論に関する領域もある。またある領域は計算の実装を試みることに集中している。例えば、プログラミング言語理論は計算を記述する手法に関する学問領域であり、プログラミングは特定のプログラミング言語を使って問題を解決する領域である。.
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高々 (数学)
数学において、高々(たかだか)という表現は、英語の at most に対応した厳密な意味を持つ用語である。 「多くとも」、「以下」と同義であるが、文脈によってはこれらよりも好まれる場合もある(例:「高々可算」とは言うが「可算以下」とは言わない。).
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距離
距離(きょり、Entfernung)とは、ある2点間に対して測定した長さの量をいう。本項では日常生活および高校数学の範囲内で使われている距離について触れる。大学以上で扱うより専門的な距離については距離空間を参照。.
関数
関数(かんすう)、函数.
開集合
開集合(かいしゅうごう、open set)は、実数直線の開区間の考えを一般化した抽象的な概念である。最も簡単な例は距離空間におけるものであり、開集合をその任意の点に対しそれを(元として)含む開球を(部分集合として)含むような集合(あるいは同じことだが境界点を全く含まないような集合)として定義できる。例えば、数直線上で不等式 2 < x < 5 によって定まる開区間は開集合である。この場合の境界とは数直線上の点 2 と 5 であって、不等式を 2 ≤ x ≤ 5 としたものや 2 ≤ x < 5 としたものは、境界を含んでいるので開集合ではない。また、 2 < x < 5 によって定まる開区間内のどの点に対しても、その点の開近傍として十分小さなものを選べば、それがもとの開区間に含まれるようにできる。 しかしながら、開集合は一般にはとても抽象的になりうる(詳しくは位相空間の項を参照されたい)。開集合とは全体集合を形成する基本要素達のようなものであり、位相の特殊な定義の仕方によっては、例えば実数において(普通の意味での)境界上を含む集合が“開集合”と呼ばれることになる場合もある。極端な例では、すべての部分集合を開集合としたり(離散位相)、開集合は空集合と空間全体だけとしたり(密着位相)することもできる。.
量
この記事では量(りょう、)について解説する。.
自由度
自由度(じゆうど、degree of freedom)とは、一般に、変数のうち独立に選べるものの数、すなわち、全変数の数から、それら相互間に成り立つ関係式(束縛条件、拘束条件)の数を引いたものである。数学的に言えば、多様体の次元である。「自由度1」、「1自由度」などと表現する。 自由度は、力学、機構学、統計学などで使用され、意味は上記の定義に準じるが、それぞれの具体的に示唆する処は異なる。.
自然言語処理
自然言語処理(しぜんげんごしょり、natural language processing、略称:NLP)は、人間が日常的に使っている自然言語をコンピュータに処理させる一連の技術であり、人工知能と言語学の一分野である。「計算言語学」()との類似もあるが、自然言語処理は工学的な視点からの言語処理をさすのに対して、計算言語学は言語学的視点を重視する手法をさす事が多い。データベース内の情報を自然言語に変換したり、自然言語の文章をより形式的な(コンピュータが理解しやすい)表現に変換するといった処理が含まれる。応用例としては予測変換、IMEなどの文字変換が挙げられる。 自然言語の理解をコンピュータにさせることは、自然言語理解とされている。自然言語理解と、自然言語処理の差は、意味を扱うか、扱わないかという説もあったが、最近は数理的な言語解析手法(統計や確率など)が広められた為、パーサ(統語解析器)などが一段と精度や速度が上がり、その意味合いは違ってきている。もともと自然言語の意味論的側面を全く無視して達成できることは非常に限られている。このため、自然言語処理には形態素解析と構文解析、文脈解析、意味解析などをなど表層的な観点から解析をする学問であるが、自然言語理解は、意味をどのように理解するかという個々人の理解と推論部分が主な研究の課題になってきており、両者の境界は意思や意図が含まれるかどうかになってきている。.
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離散確率分布
離散確率分布の確率質量関数。単集合 1、3、7 の確率はそれぞれ 0.2、0.5、0.3。これらの点を含まない集合の確率はゼロである。 上から順に、離散確率分布、連続確率分布、連続部分と離散部分がある確率分布の累積分布関数 離散確率分布(英: discrete probability distribution)は、確率論や統計学において、観測される値が事前に定義された一連の値に限定される場合の確率分布である。とりうる値は有限個の数であるか、高々可算集合である。.
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集合
数学における集合 (しゅうごう、set, ensemble, Menge) とは、大雑把に言えばいくつかの「もの」からなる「集まり」である。集合を構成する個々の「もの」のことを元 (げん、; 要素) という。 集合は、集合論のみならず現代数学全体における最も基本的な概念の一つであり、現代数学のほとんどが集合と写像の言葉で書かれていると言ってよい。 慣例的に、ある種の集合が系 (けい、) や族 (ぞく、) などと呼ばれることもある。実際には、これらの呼び名に本質的な違いはないが細かなニュアンスの違いを含むと考えられている。たとえば、方程式系(「相互に連立する」方程式の集合)、集合族(「一定の規則に基づく」集合の集合)、加法族(「加法的な性質を持つ」集合族)など。.
連続確率分布
連続確率分布(れんぞくかくりつぶんぷ、continuous probability distribution)は、確率論において、累積分布関数が連続な確率分布である。これはその確率分布の確率変数 X において、全ての実数 a について Pr.
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標準偏差
標準偏差(ひょうじゅんへんさ、)は、日本工業規格では、分散の正の平方根と定義している。データや確率変数の散らばり具合(ばらつき)を表す数値のひとつ。物理学、経済学、社会学などでも使う。例えば、ある試験でクラス全員が同じ点数、すなわち全員が平均値の場合、データにはばらつきがないので、標準偏差は 0 になる。 母集団や確率変数の標準偏差を σ で、標本の標準偏差を s で表すことがある。二乗平均平方根 (RMS) と混同されることもある。両者の差異については、二乗平均平方根を参照。.
標本空間
率論における標本空間(ひょうほんくうかん、sample space)は (experiment, random trial) に付随して決まり、試行の取りうるすべての (outcome, result) からなる集合を言う。標本空間はふつう集合の記法に則り、取りうる順序付けられた結果はその集合の元として書き並べられる。標本空間を表すのに、S (Sample) や U (Universe) のような頭文字をとったり、 のような全体集合を表すのによく用いられる文字が使われる。 例えば、コイントスの試行では標本空間は典型的には であり、コインを二回投げる場合にはその標本空間は とするが、順番に関係なく二枚投げるならば標本空間は である。 六面ダイスを投げて上の面にある目の数を結果とする試行では、標本空間は とする。 きちんと定義された標本空間は、確率モデルを与える確率空間の三つの基本要素の一つであり、ほかの二つは可能なすべてのを表す完全加法族と各事象に割り当てられた確率を表す確率測度と呼ばれる線型汎函数である。.
正規分布
率論や統計学で用いられる正規分布(せいきぶんぷ、normal distribution)またはガウス分布(Gaussian distribution)は、平均値の付近に集積するようなデータの分布を表した連続的な変数に関する確率分布である。中心極限定理により、独立な多数の因子の和として表される確率変数は正規分布に従う。このことにより正規分布は統計学や自然科学、社会科学の様々な場面で複雑な現象を簡単に表すモデルとして用いられている。たとえば実験における測定の誤差は正規分布に従って分布すると仮定され、不確かさの評価が計算されている。 また、正規分布の確率密度関数のフーリエ変換は再び正規分布の密度関数になることから、フーリエ解析および派生した様々な数学・物理の理論の体系において、正規分布は基本的な役割を果たしている。 確率変数 が1次元正規分布に従う場合、X \sim N(\mu, \sigma^) 、確率変数 が 次元正規分布に従う場合、X \sim N_n(\mu, \mathit) などと表記される。.
河出書房新社
株式会社河出書房新社(かわでしょぼうしんしゃ)は、日本の出版社である。本社は東京都渋谷区千駄ヶ谷にある。 3代目社長の河出朋久は歌人でもあり、歌集『白葉集』1-3(短歌研究社、2004-06)がある。佐佐木幸綱、高野公彦、小野茂樹など学生歌人を社員登用していたこともある。.
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添え字
添え字は、文字の右上、左上、右下、左下のいずれかに書かれる文字のことである。 上付き文字や下付き文字も添え字のひとつであるほか、漢文の送り仮名も添え字である。 縦書きで表記する場合には、冪乗を表す場合を除き上付き文字や下付き文字という言葉は使用されない。.
測度論
測度論(そくどろん、measure theory )は、数学の実解析における一分野で、測度とそれに関連する概念(完全加法族、可測関数、積分等)を研究する。 ここで測度(そくど、measure )とは面積、体積、個数といった「大きさ」に関する概念を精緻化・一般化したものである。 よく知られているように積分は面積と関係があるので、積分(厳密にはルベーグ積分)も測度論を基盤にして定式化・研究できる。 また、測度の概念は確率を数学的に定式化する際にも用いられるため(コルモゴロフの公理)、 確率論や統計学においても測度論は重要である。 たとえば「サイコロの目が偶数になる確率 」は目が 1,..., 6 になるという 6 つの事象の集合の中で、2, 4, 6 という 3 つ分の「大きさ」を持っている為、 測度の概念で記述できる。.
期待値
率論において、期待値(きたいち、expected value)または平均は、確率変数の実現値を, 確率の重みで平均した値である。 例えば、ギャンブルでは、掛け金に対して戻ってくる「見込み」の金額をあらわしたものである。ただし、期待値ぴったりに掛け金が戻ることを意味するのではなく、各試行で期待値に等しい掛け金が戻るわけでもない。.
木 (数学)
数学、特にグラフ理論の分野における木(き、tree)とは、連結で閉路を持たない(無向)グラフである。有向グラフについての木(有向木)についても論じられるが、当記事では専ら無向木を扱う。 閉路を持たない(連結であるとは限らない)無向グラフを森(もり、forest)という。木は明らかに森である。 なお、閉路を持たない有向グラフは有向非巡回グラフである。有向木は有向非巡回グラフでもあるが、有向非巡回グラフは必ずしも有向木とは限らない。 コンピュータ上での木の扱いについては、木構造 (データ構造) を参照。 画像:Tree-sample1.png.
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本質的上限と本質的下限
数学における本質的上限(ほんしつてきじょうげん、)と本質的下限(ほんしつてきかげん、)の概念は、上限と下限の概念と関連するものであるが、測度論においては前者の方がより意義深いものとなる。なぜならば測度論においては、ある集合のすべての元に対しては有効ではないが、ほとんどすべての元に対して、すなわち測度 0 の集合に含まれないすべての元に対して有効となるような議論が行われるからである。 を測度空間とし、 を必ずしも可測ではない 上の実数値函数とする。ある実数 が のであるとは、 内のすべての に対して が成立すること、すなわち、集合 が空であることを言う。それと比べて、a が本質的上界であるとは、集合 が測度 0 の集合に含まれることを言う。すなわち、 内のほとんどすべての に対して が成立することを言う。すると、最小の上界として の上限が定義されるように、本質的上限は、最小の本質的上界として定義される。 より正式に言うと、 の本質的上限 は、その本質的上界の集合 が空でないときには で定義され、空であるときには で定義される。 全く同様に、本質的下限は最大の本質的下界として定義される。すなわち、本質的下界の集合が空でないときには.
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日本工業規格
鉱工業品用) 日本工業規格(にほんこうぎょうきかく、Japanese Industrial Standards)は、工業標準化法に基づき、日本工業標準調査会の答申を受けて、主務大臣が制定する工業標準であり、日本の国家標準の一つである。JIS(ジス)またはJIS規格(ジスきかく)と通称されている。JISのSは英語 Standards の頭文字であって規格を意味するので、「JIS規格」という表現は冗長であり、これを誤りとする人もある。ただし、この表現は、日本工業標準調査会、日本規格協会およびNHKのサイトでも一部用いられている。.
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日本規格協会
一般財団法人日本規格協会(にほんきかくきょうかい、英語名称:Japanese Standards Association、略称:JSA)は、日本工業規格(JIS)原案の作成、JIS規格票の発行、出版物(『JISハンドブック』等)の発行などを行う法人。東京にある本部や日本各地の支部では規格票の閲覧ができる。以前は経済産業省産業技術環境局所管の財団法人であったが、公益法人制度改革に伴い一般財団法人へ移行した。.
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日本数学会
一般社団法人 日本数学会(いっぱんしゃだんほうじんにほんすうがっかい、The Mathematical Society of Japan、略称: MSJ)は、1877年(明治10年)に設立された東京数学会社を起源とする1946年(昭和21年)に設立された学会である。数学の研究に関する交流の場であり、数学を一般社会へ普及することを図る。また、関係諸方面と協力して学術文化の向上発展に寄与することを目的とする。会員約 5,000 名を擁する組織である。日本国内および国際的に、数学の進歩・発展のために力をつくしている。.
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