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28 関係: 単純環、合同ゼータ関数、局所大域原理、二次形式、代数体、マルティン・ルター大学ハレ・ヴィッテンベルク、ハンブルク大学、ハッセ図、ヘルマン・ワイル、パウル・ローレンツェン、ディオファントス方程式、フィリップ大学マールブルク、ドイツ、ドイツ語、ベルリン、エミー・ネーター、オズヴァルト・タイヒミュラー、カッセル、ガウス和、クリスティアン・アルブレヒト大学キール、クルト・ヘンゼル、ゲオルク・アウグスト大学ゲッティンゲン、第一次世界大戦、類体論、P進数、数学、数学者、数論。
単純環
数学の環論において、（ を持つ可換とは限らない）環 が単純（たんじゅん、simple）であるとは、 の両側イデアルが と しか存在しないことをいう。.
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合同ゼータ関数
数学において、 個の元をもつ有限体 上で定義された非特異射影代数多様体 の合同ゼータ関数 (congruent zeta function) （または局所ゼータ関数 (local zeta function)）とは、 を の 次拡大体 上の の（有理）点の数（定義方程式の解の個数）としたとき、 で定義される。変数変換 を行うと、これは の形式的冪級数として \mathit (V,u).
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局所大域原理
局所大域原理 (きょくしょたいいきげんり、local-global principle) とは、不定方程式が解を持つかどうかを考察する際に用いられる数学の用語である。より詳しくは、ある不定方程式が有理数の範囲で解を持つことと、実数および全ての素数 p に対する ''p''-進数の範囲で解を持つことが同値である、という命題もしくはそのような現象を指す。ヘルムート・ハッセにちなみ、ハッセの原理 (Hasse principle) ともいう。 同様のことは、有理数体のみならず、一般の代数体上で考えることもできる。この場合、素数の代わりに素イデアルを考えることになる。本稿では、主として有理数体の場合について記述する。.
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二次形式
数学における二次形式（にじけいしき、quadratic form) は、いくつかの変数に関する次数が 2 の斉次多項式である。たとえば は変数 x, y に関する二次形式である。 二次形式は数学のいろいろな分野（数論、線型代数学、群論（直交群）、微分幾何学（リーマン計量）、微分位相幾何学（四次元多様体の交叉形式）、リー理論（キリング形式）など）で中心的な位置を占める概念である。.
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代数体
代数体（だいすうたい、algebraic number field）とは、有理数体の有限次代数拡大体のことである。代数体 K の有理数体上の拡大次数 を、K の次数といい、次数が n である代数体を、n 次の代数体という。 特に、2次の代数体を二次体、1のベキ根を添加した体を円分体という。 K を n 次の代数体とすると、K は単拡大である。つまり、K の元 θ が存在して、K の任意の元 α は、以下の様に表される。 このとき θ は n 次の代数的数であるので、K を \mathbb 上のベクトル空間とみたとき、\ は基底となる。.
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マルティン・ルター大学ハレ・ヴィッテンベルク
マルティン・ルター大学ハレ・ヴィッテンベルク（独：Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg、英：Martin Luther University of Halle-Wittenberg）は、ドイツ・ザクセン＝アンハルト州のハレ (ザーレ)とルターシュタット・ヴィッテンベルクを所在地とする公立大学。略称はMLU。 1817年、ヴィッテンベルク大学（1502年設立）とハレ大学（1694年設立）の合併により設立した。ヴィッテンベルクで教鞭をとっていたマルティン・ルターに因んで名付けられる。ハレ・ヴィッテンベルク間は、ICEで約1時間である。.
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ハンブルク大学
ハンブルクの中心部であるロッターバウム（）にキャンパスがある。 2008年以降、6学部あわせて22の学科と研究センターを持つ。.
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ハッセ図
ハッセ図（ハッセず、英: Hasse diagram）は、数学における有限半順序集合を単純に図示する方法のひとつで、半順序のを描いたものである。具体的には有限半順序集合 (S, ≤) があるとき、S の個々の元を頂点とし、x < y で、かつ x < z < y となるような z が存在しない場合にのみ x から y に上向きの線（辺）を描く（ここで二項関係 < は全ての x について (x, x) という元を ≤ から除くことで得られる）。 この場合、「 y は x をする」または「 y は x の immediate successor（直接の後続）である」という。さらに、各辺が両端の頂点以外を通らないように頂点を配置する必要がある。このような図（頂点にはラベルが付属するものとする）は半順序を一意に特定し、任意の有限な半順序では推移簡約が一意に定まる。ただし、図における元の配置の仕方は様々なものが考えられ、ひとつの順序集合に対して見た目の異なるハッセ図が多数存在することになる。 ハッセ図はドイツの数論学者ヘルムート・ハッセ（1898年–1979年）に因んで名付けられている。これはハッセが部分体や拡大体がなす半順序集合を図示するために効果的に活用したからである。しかし、ハッセが最初にこの図を使ったわけではなく、少なくとも では既にこの図が使われている。ハッセ図は半順序集合を手で図示する技法として生まれたが、最近ではグラフ描画技法を使って自動的に描くことができる。 「ハッセ図」という言葉は、個々のグラフの描画とは関係なく、抽象概念としての有向非循環グラフの推移簡約を指すこともある。ただし、本項目ではこの意味では使わない。.
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ヘルマン・ワイル
ヘルマン・クラウス・フーゴー・ワイル（, 1885年11月9日 - 1955年12月8日）は、ドイツの数学者。ドイツ語の発音に従ってヴァイルとも表記される。 数論を含む純粋数学と理論物理学の双方の分野で顕著な業績を残した。20世紀において最も影響力のある数学者であるとともに、初期のプリンストン高等研究所の重要なメンバーであった。研究の大半はプリンストンとスイス連邦工科大学で行われたものであったが、ダフィット・ヒルベルトとヘルマン・ミンコフスキーによって確立されたゲッティンゲン大学の数学の伝統の継承者でもあった。 ワイルは空間、時間、物質、哲学、論理、対称性、数学史など、多岐に渡る分野について多くの論文と著書を残した。彼は一般相対性理論と電磁気学を結び付けようとした最初の人物の一人であり、アンリ・ポアンカレやヒルベルトの唱えた'普遍主義'について、同時代の誰よりも深く理解していた。特にマイケル・アティヤは、数学上の問題に取り組む際、常にワイルが先行する研究を行っていたと述懐している。 アンドレ・ヴェイユ と名前がよく似ているため、.
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パウル・ローレンツェン
パウル・ローレンツェン（ドイツ語:Paul Lorenzen、1915年3月24日 - 1994年10月1日）は、ドイツ帝国（現:ドイツ）キール出身の哲学者、数学者、論理学者。 1950年後半に同国出身の哲学者と共にゲーム理論的概念に基づいた論理の意味論の手法である「ゲーム意味論」を提唱し、エルランゲン学派を創設したことで名高い - コトバンク、2013年9月3日閲覧。。.
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ディオファントス方程式
ディオファントス方程式（ディオファントスほうていしき、Diophantine equation）とは、整係数多変数高次不定方程式である。文脈として、整数解や有理数解を問題にしたい場合に用いられる用語であり、主に数論の研究課題と考えられている。古代アレクサンドリアの数学者ディオファントスの著作『算術』で、その有理数解が研究されたのにちなんだ名称である。.
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フィリップ大学マールブルク
マールブルク大学 フィリップ大学マールブルク（Philipps-Universität Marburg）は、ドイツのマールブルクにある大学。通称、マールブルク大学。.
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ドイツ
ドイツ連邦共和国（ドイツれんぽうきょうわこく、Bundesrepublik Deutschland）、通称ドイツ（Deutschland）は、ヨーロッパ中西部に位置する連邦制共和国である。もともと「ドイツ連邦共和国」という国は西欧に分類されているが、東ドイツ（ドイツ民主共和国）の民主化と東西ドイツの統一により、「中欧」または「中西欧」として再び分類されるようになっている。.
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ドイツ語
ドイツ語（ドイツご、独：Deutsch、deutsche Sprache）は、インド・ヨーロッパ語族・ゲルマン語派の西ゲルマン語群に属する言語である。 話者人口は約1億3000万人、そのうち約1億人が第一言語としている。漢字では独逸語と書き、一般に独語あるいは独と略す。ISO 639による言語コードは2字が de、3字が deu である。 現在インターネットの使用人口の全体の約3パーセントがドイツ語であり、英語、中国語、スペイン語、日本語、ポルトガル語に次ぐ第6の言語である。ウェブページ数においては全サイトのうち約6パーセントがドイツ語のページであり、英語に次ぐ第2の言語である。EU圏内では、母語人口は域内最大（ヨーロッパ全土ではロシア語に次いで多い）であり、話者人口は、英語に次いで2番目に多い。 しかし、歴史的にドイツ、オーストリアの拡張政策が主に欧州本土内で行われたこともあり、英語、フランス語、スペイン語のように世界語化はしておらず、基本的に同一民族による母語地域と、これに隣接した旧支配民族の使用地域がほとんどを占めている。上記の事情と、両国の大幅な領土縮小も影響して、欧州では非常に多くの国で母語使用されているのも特徴である。.
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ベルリン
ベルリン（Berlin 、伯林）は、ドイツ北東部、ベルリン・ブランデンブルク大都市圏地域の中心に位置する都市である。16ある連邦州のうちの一つで、市域人口は万人とドイツでは最大の都市で欧州連合の市域人口ではロンドンに次いで2番目に多く、都市的地域の人口は7番目に多い。同国の首都と定められている。.
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エミー・ネーター
アマーリエ・エミー・ネーター (Amalie Emmy Noether,; 1882年3月23日 - 1935年4月14日) はユダヤ系ドイツ人数学者であり、抽象代数学と理論物理学への絶大な貢献で有名である。ネーターは、パヴェル・アレクサンドロフ (Pavel Alexandrov)、アルベルト・アインシュタイン (Albert Einstein)、ジャン・ディュドネ (Jean Dieudonné)、ヘルマン・ヴァイル (Hermann Weyl)、ノーバート・ウィーナー (Norbert Wiener) によって、数学の歴史において最も重要な女性と評されている。彼女の時代の先導的数学者の一人として、彼女は環、体、多元環の理論を発展させた。物理学では、ネーターの定理は対称性と保存則の間の関係を説明する。 ネーターはエルランゲンのフランケン地方の町のユダヤの家系に生まれた。父は数学者のである。彼女はもともと、必要な試験を通った後フランス語と英語を教える予定だったが、そうしないで数学を彼女の父が講義しているエルランゲン大学で学んだ。 (Paul Gordan) の指導の下1907年に学位論文を完成させた後、彼女は7年間無給でエルランゲンの数学研究所で働いた。当時女性は大学の職から大きく遮断されていた。1915年、彼女はダフィット・ヒルベルト (David Hilbert) とフェリックス・クライン (Felix Klein) によってゲッチンゲン大学数学科、世界規模で有名な数学研究の中心、に招かれた。しかしながら、哲学的な教授陣は反対し、彼女は4年間をヒルベルトの名の下での講義に費やした。彼女の （大学教授資格試験）が1919年に承認され、彼女は Privatdozent （私講師）の地位を得ることができた。 ネーターは1933年までゲッチンゲン数学科の主導的一員だった。彼女の生徒は "Noether boys" と呼ばれることもあった。1924年、オランダ人数学者 は彼女の仲間に入り、すぐにネーターのアイデアの主導的解説者になった。彼女の仕事は彼の影響の大きい1931年の教科書 （現代代数学）の第二巻の基礎であった。1932年のチューリッヒでの国際数学者会議での彼女の plenary address （全員参加の講演）の時までには彼女の代数的な洞察力は世界中で認められていた。翌年、ドイツのナチ政府はユダヤ人を大学の職から解雇し、ネーターはアメリカに移ってペンシルヴァニアので職を得た。1935年、彼女は卵巣嚢腫の手術を受け、回復の兆しにもかかわらず、4日後53歳で亡くなった。 ネーターの数学的研究は3つの「時代」に分けられている。第一の時代 (1908–19)、彼女はと数体の理論に貢献した。変分法における微分不変量に関する彼女の仕事、ネーターの定理は、「現代物理学の発展を先導したこれまでに証明された最も重要な数学な定理の1つ」と呼ばれてきた。第二の時代 (1920–26)、彼女は「代数学の顔を変えた」仕事を始めた。彼女の高尚な論文 Idealtheorie in Ringbereichen (環のイデアル論, 1921) においてネーターは可換環のイデアルの理論を広範な応用を持つ道具へと発展させた。彼女は昇鎖条件を手際よく使った。それを満たす対象は彼女に敬意を表してと呼ばれる。第三の時代 (1927–35)、彼女は非可換代数と超複素数についての研究を出版し、群の表現論を加群とイデアルの理論と統合した。ネーターは自身の出版物に加え、自分の考えに惜しみなく、他の数学者によって出版されたいろいろな研究の功績が、代数的位相幾何学のような彼女の研究とはかけ離れた分野においてさえ、認められている。.
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オズヴァルト・タイヒミュラー
ヴァルト・タイヒミュラー（Oswald Teichmüller、1913年6月13日 - 1943年9月11日）は、ドイツの数学者。.
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カッセル
ッセル （Kassel、1926年までは Cassel が公式な表記であった）は、ドイツ連邦共和国ヘッセン州の都市。同州北部の大学都市で、フランクフルト・アム・マイン、ヴィースバーデンに次ぐヘッセン州第3位の都市である。 カッセルは歴史上、ヘッセンの首都の一つであり、1277年から1866年まで首都機能が置かれていた。この街は現在、同名の行政管区および郡の行政庁舎所在地（ただし郡には属さない郡独立市）である。また、ヘッセン州に10ある上級中心都市の一つである。 フルダ川の両岸に広がるカッセルは、国際的には特に、カッセルのヴァッサーシュピールが行われるハービヒツヴァルトのベルクパルク・ヴィルヘルムスヘーエ（直訳すると「山の公園ヴィルヘルムスヘーエ」）や1955年から 4、5年ごとに開催される芸術祭ドクメンタで知られている。このためカッセルは1999年3月から「ドクメンタ・シュタット」というニックネームを公式に称している。 カッセルの人口は1899年に10万人を超え、これにより大都市の仲間入りをした。現在（）のカッセルの人口は 人である。.
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ガウス和
数学におけるガウス和（ガウスわ、）とは、ある特別な1の冪根の有限和である。典型的に で与えられる。ここで和はある有限可換環 R の元 r について取られ、ψ(r) は加法群 R+ から（複素平面の）単位円への群準同型で、χ(r) は単数群 R× から単位円への群準同型である。単元でない r については と拡張する。ガウス和はガンマ関数の有限体における類似物である。 このような和は数論において至る所で現れる。例えば、あるディリクレ指標 χ に対して L(s, &chi) と L(1 − s) を関連付ける方程式が を含むような、ディリクレのL関数の関数等式に現れる。ただし は χ の複素共役である。 カール・フリードリヒ・ガウスによって元々考えられていたケースは、R が素数 p を法とする剰余体 Z/pZ で χ がルジャンドル記号であるであった。その場合、ガウスは p が 4 を法として 1 と合同であるか 3 と合同であるかに応じて G(&chi).
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クリスティアン・アルブレヒト大学キール
リスティアン・アルブレヒト大学キール（ドイツ語：Christian-Albrechts-Universität zu Kiel、略称：CAU、キール大学）は、ドイツシュレースヴィヒ＝ホルシュタイン州キールにある大学。1665年にシュレースヴィヒ＝ホルシュタイン＝ゴットルプ公クリスチャン・アルブレクトによって Academia Holsatorum Chiloniensis として創設された。 キール大学の卒業生や教員などから、ノーベル賞受賞者12名を輩出した。.
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クルト・ヘンゼル
ルト・ヘンゼル クルト・ウィルヘルム・セバスチャン・ヘンゼル（独: Kurt Wilhelm Sebastian Hensel、1861年12月29日 - 1941年6月1日）は、ドイツの数学者。ケーニヒスベルク生まれ。 父は地主で企業家であり、兄は哲学者（Paul Hensel）、祖母は作曲家ファニー・メンデルスゾーン、祖父は画家ヴィルヘルム・ヘンゼルであり、その祖先は哲学者モーゼス・メンデルスゾーンである。 ベルリン大学とボン大学で数学を学び、レオポルト・クロネッカーやカール・ワイエルシュトラスに師事した。 後にマールブルク大学の教授となり、1930年まで勤めた。また数学の学会誌 クレレ誌（Crelle's Journal ）の編集者も務めた。 1897年、p進数を考案し、それを様々な形で導入したことで知られている。p進数は20世紀の数論や他の分野で重要性が増していった。.
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ゲオルク・アウグスト大学ゲッティンゲン
旧大講堂 大学内の風景 ゲオルク・アウグスト大学ゲッティンゲン（Georg-August-Universität Göttingen, 略称：GAU）は、ドイツのニーダーザクセン州ゲッティンゲンに位置する大学。ドイツに9つあるエクセレントセンターの一つ。ハノーファー選帝侯ゲオルク・アウグスト（英国王としてはジョージ2世）によって1737年に設立された。大学名はこの創設者にちなむものである。ゲッティンゲン大学とも通称する。.
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第一次世界大戦
一次世界大戦（だいいちじせかいたいせん、World War I、略称WWI）は、1914年7月28日から1918年11月11日にかけて戦われた世界大戦である。.
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類体論
数学における類体論（るいたいろん、class field theory, Klassenkörpertheorie）は、有限体上の曲線の函数体や数体のアーベル拡大について、およびそのようなアーベル拡大に関する数論的性質について研究する、代数的整数論の一大分野である。理論の対象となる体は、一般に大域体もしくは一次元大域体と呼ばれるものである。 与えられた大域体の有限次アーベル拡大と、その体の適当なイデアル類もしくはその体のイデール類群の開部分群との間に一対一対応が取れるという事実によって、類体論の名がある。例えば、数体の最大不分岐アーベル拡大であるヒルベルト類体は、非常に特別なイデアル類に対応する。類体論は、大域体のイデール類群（即ち、体の乗法群によるイデールの商）によってその大域体の最大アーベル拡大のガロワ群へ作用する相互律準同型 (reciprocity homomorphism) を含む。大域体のイデール類群の各開部分群は、対応する類体拡大からもとの大域体へ落ちるノルム写像の像になっているのである。 標準的な方法論は、1930年代以降発達したで、これは大域体の完備化である局所体のアーベル拡大を記述するものであり、これを用いて大域類体論が構築される。.
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P進数
p 進数（ピーしんすう、p-adic number）とは、1897年にクルト・ヘンゼルによって導入された、数の体系の一つである。文脈によっては、その体系の個々の数を指して p 進数と呼ぶこともある。有理数の体系を実数や複素数の体系に拡張するのとは別の方法で、各素数 p に対して p 進数の体系が構成される。それらは有理数のつくる空間の局所的な姿を記述していると考えられ、数学の中でも特に数論において重要な役割を果たす。数学のみならず、素粒子物理学の理論などで使われることもある（例えば ''p'' 進量子力学を参照）。 「p 進数」とは「2進数」や「3進数」の総称に過ぎないので、文字 p がすでに他の場所で用いられている場合、q 進数や l 進数などと表現されることもある。 なお、自然数や実数を 0 と 1 で表現する方法（2進法）やその結果得られる記号列（2進列）も「2進数」と呼ぶ場合があるが、本項の意味での「2進数」とは異なる。.
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数学
数学（すうがく、μαθηματικά, mathematica, math）は、量（数）、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.
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数学者
数学者（すうがくしゃ、mathematician）とは、数学に属する分野の事柄を第一に、調査および研究する者を指していう呼称である。.
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数論
数論（すうろん、number theory）とは数、特に整数およびそれから派生する数の体系（代数体、局所体など）の性質について研究する数学の一分野である。整数論とも言う。ふつうは代数学の一分野とみなされることが多い。おおむね次の四つに分けられる。;初等整数論;代数的整数論;解析的整数論;数論幾何学 フェルマーの最終定理のように、数論のいくつかの問題については、他の数学の分野に比して問題そのものを理解するのは簡単である。しかし、使われる手法は多岐に渡り、また非常に高度であることが多い。 ガウスは次のような言葉を残している。.
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