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55 関係: 垂直、偶数、半単純リー環のルート系、半整数、単純リー群、単連結空間、可換体、双対ベクトル空間、同型写像、定符号二次形式、対称群、局所コンパクト群における格子、代数群、ユークリッド空間、リー代数、リー代数の随伴表現、リー群、ワイル群、ディンキン図形、ドット積、ニール・スローン、ベクトル空間、アフィンルート系、ウェイト (表現論)、カルタン行列、カルタン部分環、キリング形式、コクセター群、ジョン・ホートン・コンウェイ、ゾム、円周群、全単射、六芒星、図形の合同、固有多項式、立方晶系、等長写像、線型包、線型部分空間、置換 (数学)、群 (数学)、群作用、組合せ数学、鏡映、順序集合、複素数、超平面、Mathematische Annalen、植物、極大トーラス、...、標準基底、正八面体、正六面体、数学、整数。 インデックスを展開 (5 もっと) »
垂直
初等幾何学において、垂直（すいちょく、perpendicular）であること、すなわち垂直性 は直角に交わる二つの直線の間の関係性を言う。この性質は関連するほかの幾何学的対象に対しても拡張される。 垂線 に関連して垂線の「足」() という術語がしばしば用いられる。考える図形の向きは如何様にも変えることができるから、足と謂えどもそれが必ずしも図形の下方にあるわけではない。 垂直性はより一般の数学概念である直交性の特別の場合と考えられる。すなわち、垂直性とは古典的な幾何学的対象に関する直交性を言うものである。ゆえに、より進んだ数学において、より複雑な幾何学的直交性（例えば曲面とその法線の関係など）に対して「垂直」あるいは「垂線」のような語を用いることもある。.
偶数
偶数（ぐうすう、even number) とは、 を約数に持つ整数、すなわち で割り切れる整数のことをいう。逆に で割り切れない整数のことは、奇数という。 具体的な偶数の例として などが挙げられる。これらはそれぞれ に等しいため、 で割っても余りが生じず、 で割り切ることができる。 より派生して、 で割り切れるが では割り切れない整数を単偶数または半偶数という。これに対して、 で割り切れる整数を複偶数 または全偶数という。 偶数と奇数は、偶数全体、奇数全体をそれぞれ 1 つの元と見て、2 つの元からなる有限体の例を与える。.
半単純リー環のルート系
数学において，被約抽象ルート系と半単純リー環の間には1対1の対応がある．ここで半単純リー環のルート系の構成，そして逆に，被約抽象ルート系からの半単純リー環の構成，が示される．.
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半整数
半整数（はんせいすう、half-integer）とは有理数で、 を整数としたとき の形で表される数のことである。十進法の小数で表すと、小数点以下一桁の有限小数で小数第一位が 5 である。 例としては 3.5、-\frac、4\frac などがある。 ごくまれに半奇整数 と呼ばれることもある。.
単純リー群
群論において、単純リー群 (simple Lie group) は連結非可換リー群 G であって非自明な連結正規部分群を持たないものである。 単純リー環 (simple Lie algebra) は非可換リー環であってイデアルが 0 と自身しかないものである。単純リー環の直和は半単純リー環と呼ばれる。 単純リー群の同値な定義がから従う：連結リー群はリー環が単純であれば単純である。重要な技術的点は、単純リー群は離散的な正規部分群を含むかもしれず、したがって単純リー群であることは抽象群として単純であることとは異なるということである。 単純リー群は多くのを含む。古典型リー群は球面幾何学、射影幾何学、フェリックス・クラインのエルランゲンプログラムの意味で関連する幾何学の群論的支柱を提供する。どんなよく知られた幾何学にも対応しない可能性もいくつか存在することが単純リー群のの過程で現れた。これらの例外群 (exceptional group) により数学の他の分野や当時の理論物理学の多くの特別な例や configuration が説明される。 単純リー群の概念は公理的観点からは十分であるが、の理論のようなリー理論の応用において、幾分一般的な概念である半単純および簡約リー群がもっと有用であることが証明されている。とくに、すべての連結は簡約であり、一般の簡約群の表現の研究は表現論の主要な分野である。.
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単連結空間
連結であるが、穴のまわりを1周するループを考えればわかるように単連結ではない。穴を全てふさげば単連結となる。 位相幾何学における単連結空間（たんれんけつくうかん、simply connected space）とは、任意のループを連続的に1点に収縮できるような弧状連結空間のことである。.
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可換体
抽象代数学において、可換体（かかんたい、corps commutatif）あるいは単に体（たい、field）本記事において単に体と言った場合「可換」体を意味するものとする。とは、零でない可換可除環、あるいは同じことだが、非零元全体が乗法の下で可換群をなすような環のことである。そのようなものとして体は、適当なアーベル群の公理と分配則を満たすような加法、減法、乗法、除法の概念を備えた代数的構造である。最もよく使われる体は、実数体、複素数体、有理数体であるが、他にも有限体、関数の体、代数体、''p'' 進数体、などがある。 任意の体は、線型代数の標準的かつ一般的な対象であるベクトル空間のスカラーとして使うことができる。（ガロワ理論を含む）体拡大の理論は、ある体に係数を持つ多項式の根に関係する。他の結果として、この理論により、古典的な問題である定規とコンパスを用いたや円積問題が不可能であることの証明や五次方程式が代数的に解けないというアーベル・ルフィニの定理の証明が得られる。現代数学において、体論は数論や代数幾何において必要不可欠な役割を果たしている。 代数的構造として、すべての体は環であるが、すべての環が体であるわけではない。最も重要な違いは、体は（ゼロ除算を除いて）除算ができるが、環は乗法逆元がなくてもよいということである。例えば、整数の全体は環をなすが、2x.
双対ベクトル空間
数学におけるベクトル空間の双対ベクトル空間（そうついベクトルくうかん、dual vector space）あるいは単に双対空間（そうついくうかん、dual space）は、そのベクトル空間上の線型汎函数（一次形式）全体の成す空間として定義される。有限次元ベクトル空間の双対空間はテンソルの研究に利用することができる。函数の成す（典型的には無限次元の）ベクトル空間に対する双対空間は、測度や超函数、あるいはヒルベルト空間のような概念の定義や研究に用いられ、結果として双対空間は函数解析学の研究における重要な観念となっている。 一般に双対空間には、代数的双対と連続的双対の二種類が用いられており、代数的双対は任意のベクトル空間に対して定義することができるが、位相線型空間を扱うときは代数的双対よりもその部分線型空間として、連続線型汎函数全体の成す連続的双対空間を考えるのが自然である。.
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同型写像
数学において，同型写像（isomorphismfrom the Ancient Greek: ἴσος isos "equal", and μορφή morphe "form" or "shape"）あるいは単に同型とは，は準同型写像あるいは射であって，逆射を持つものである逆関数ではない．．2つの数学的対象が同型 (isomorphic) であるとは，それらの間に同型写像が存在することをいう．自己同型写像は始域と終域が同じ同型写像である．同型写像の興味は2つの同型な対象は写像を定義するのに使われる性質のみを使って区別できないという事実にある．したがって同型な対象はこれらの性質やその結果だけを考える限り同じものと考えてよい． 群や環を含むほとんどの代数的構造に対して，準同型写像が同型写像であることと全単射であることは同値である． 位相幾何学において，射とは連続写像のことであるが，同型写像は同相写像あるいは双連続写像とも呼ばれる．解析学において，射は可微分関数であり，同型写像は微分同相とも呼ばれる． 標準的な同型写像 (canonical isomorphism) は同型であるようなである．2つの対象が標準的に同型 (canonically isomorphic) であるとは，それらの間に標準的な同型写像が存在することをいう．例えば，有限次元ベクトル空間 から二重双対空間への標準的な写像は標準的な同型写像である．一方， は双対空間に同型であるが，一般には標準的にではない． 同型写像は圏論を用いて形式化される．ある圏の射 が同型射であるとは，両側逆射を持つことをいう，すなわち，その圏における別の射 があって， かつ となる，ただし と はそれぞれ と の恒等射である．.
定符号二次形式
数学において実ベクトル空間 V 上で定義された二次形式 Q が定符号（ていふごう、definite）であるとは、V の任意の非零ベクトルに対して Q が同じ符号をもつことを言う。定符号二次形式は、至る所正となるか、または至る所負となるかに従ってさらに、正の定符号（positive definite; 正値、正定値）または負の定符号（negative definite; 負値、負定値）に分けられる。 半定符号 (semidefinite) 二次形式も、至る所「正」および「負」としていたところを、至る所「負でない」および「正でない」に置き換えて同様に定義される。正の値も負の値も取るような二次形式は不定符号 (indefinite) であると言う。 より一般に、二次形式の定符号性を順序体上のベクトル空間において考えることもできる。.
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対称群
対称群（たいしょうぐん、）とは、「ものを並べ替える」という操作を元とする群である。この場合の「ものを並べ替える」操作のことを置換（ちかん、）という。数学の議論の様々な場面で「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてを調べる」ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。置換のうちで特別なものだけを集めて得られる群は置換群（ちかんぐん、）と呼ばれる。置換群が空間 の変換群として与えられているとき、 の元 の置換は で与えられる の部分群の分だけ潰れているが、これは のなかに と「同じ」元が複数含まれている場合に対応しており、 の中でこれらを区別することができれば の元の置換から対称群 が回復される。.
局所コンパクト群における格子
リー理論およびその周辺分野において、局所コンパクト位相群における格子（こうし、lattice）とは、離散的部分群であって、それによる商空間が有限な不変測度を持つようなものをいう。特別な場合として、局所コンパクト群 Rn の場合を考えると、通常の幾何学的な概念としての格子が得られ、このときの格子の代数的構造や全ての格子全体における幾何はどちらも比較的よく知られている。1950年代から1970年代に掛けて得られた、ボレル、ハリシュ＝チャンドラ、ジョージ・モストウ、玉川、M.S.ラグナータン、マーグリス、ジマーらによる格子に関する深い結果は、理論の例を与えるとともに冪零リー群や局所体上の半単純代数群に対する理論への大きな一般化を与えた。1990年代には、ハイマン・バスやルボツキーによって樹状格子 (tree lattices) の研究が始められ、今もなお活発に研究されている。.
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代数群
代数幾何学において，代数群（だいすうぐん，algebraic group, あるいは群多様体，group variety）とは，代数多様体であるような群であって，積と逆元を取る演算がその多様体上の正則写像によって与えられるものである． 圏論のことばでは，代数群は代数多様体の圏におけるである．.
ユークリッド空間
数学におけるユークリッド空間（ユークリッドくうかん、Euclidean space）は、エウクレイデス（ユークリッド）が研究したような幾何学（ユークリッド幾何学）の場となる平面や空間、およびその高次元への一般化である。エウクレイデスが研究した平面や空間はそれぞれ、2次元ユークリッド空間、3次元ユークリッド空間に当たり、これらは通常、ユークリッド平面、ユークリッド空間などとも呼ばれる。「ユークリッド的」という修飾辞は、これらの空間が非ユークリッド幾何やアインシュタインの相対性理論に出てくるような曲がった空間ではないことを示唆している。 古典的なギリシャ数学では、ユークリッド平面や（三次元）ユークリッド空間は所定の公準によって定義され、そこからほかの性質が定理として演繹されるものであった。現代数学では、デカルト座標と解析幾何学の考え方にしたがってユークリッド空間を定義するほうが普通である。そうすれば、幾何学の問題に代数学や解析学の道具を持ち込んで調べることができるようになるし、三次元以上のユークリッド空間への一般化も容易になるといった利点が生まれる。 現代的な観点では、ユークリッド空間は各次元に本質的に一つだけ存在すると考えられる。たとえば一次元なら実数直線、二次元ならデカルト平面、より高次の場合は実数の組を座標にもつ実座標空間である。つまり、ユークリッド空間の「点」は実数からなる組であり、二点間の距離は二点間の距離の公式に従うものとして定まる。n-次元ユークリッド空間は、（標準的なモデルを与えるものという意味で）しばしば とかかれるが、（余分な構造を想起させない）ユークリッド空間固有の性質を備えたものということを強調する意味で と書かれることもある。ふつう、ユークリッド空間といえば有限次元であるものをいう。.
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リー代数
数学において、リー代数、もしくはリー環日本語ではしばしば Lie algebra のことをリー環と呼ぶが、後述の Lie ring はより一般的な概念である。本項ではこの2つの用語を区別して用いる。は、「リー括弧積」（リーブラケット、Lie bracket）と呼ばれる非結合的な乗法 を備えたベクトル空間である。 の概念を研究するために導入された。"Lie algebra" という言葉は、ソフス・リーに因んで、1930年代にヘルマン・ワイルにより導入された。古い文献では、無限小群 (infinitesimal group) という言葉も使われている。 リー代数はリー群と密接な関係にある。リー群とは群でも滑らかな多様体でもあるようなもので、積と逆元を取る群演算がであるようなものである。任意のリー群からリー代数が生じる。逆に、実数あるいは複素数上の任意の有限次元リー代数に対し、対応する連結リー群がによる違いを除いて一意的に存在する（）。このによってリー群をリー代数によって研究することができる。.
リー代数の随伴表現
リー代数の随伴表現（リーだいすうのずいはんひょうげん、adjoint representation of a Lie algebra）とは、リー代数 \mathfrak の交換子を用いて定義されるリー代数から \mathfrak(\mathfrak) への準同型写像のことをいう。.
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リー群
リー群（リーぐん、Lie group）は群構造を持つ可微分多様体で、その群構造と可微分構造とが両立するもののことである。ソフス・リーの無限小変換と連続群の研究に端を発するためこの名がある。.
ワイル群
数学、特にリー環の理論において、ルート系 のワイル群（Weyl group）は、ルート系のの部分群である。具体的には、ルートに直交する超平面に関する鏡映によって生成される部分群のことで、そのようなものとしてである。抽象的には、ワイル群はであり、その重要な例である。 半単純リー群、半単純リー環、線型代数群、などのワイル群はその群あるいは環のルート系のワイル群である。 名前はヘルマン・ワイル (Hermann Weyl) にちなむ。.
ディンキン図形
という数学の分野において、ディンキン図形（ディンキンずけい、Dynkin diagram）とは、二重あるいは三重の辺（二重あるいは三重の線で描かれる）を持ち得るの一種であり、 にちなんで名づけられた。多重辺は制約条件により有向である。 ディンキン図形は代数閉体上の半単純リー環を分類する手段として主に興味を持たれている。これはワイル群を生じる、すなわち（すべてではないが）多くのを生じる。ディンキン図形は他の文脈においても現れる。 「ディンキン図形」という用語には曖昧さがある。ある場合にはディンキン図形は有向であると仮定され、この場合それらはルート系や半単純リー環に対応するが、他の場合には有向でないと仮定され、この場合ワイル群に対応する；有向図形, は同じ無向図形を生じ、これは と呼ばれる。この記事では、「ディンキン図形」は「向き付けられた」ディンキン図形を意味し、「向き付けられていない」ディンキン図形は明示的にそう呼ぶ。 Image:Finite Dynkin diagrams.svg|有限ディンキン図形 Image:Affine Dynkin diagrams.png|アファイン（拡大）ディンキン図形.
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ドット積
数学あるいは物理学においてドット積（ドットせき、dot product）あるいは点乗積（てんじょうせき）とは、ベクトル演算の一種で、2つの同じ長さの数列から一つの数値を返す演算。代数的および幾何的に定義されている。幾何的定義では、（デカルト座標の入った）ユークリッド空間 において標準的に定義される内積のことである。.
ニール・スローン
ニール・ジェームズ・アレクサンダー・スローン（Neil James Alexander Sloane、1939年 - ）はアメリカの数学者である。主な研究分野は、組合せ論、誤り訂正符号および球の詰め込みである。また、オンライン整数列大辞典の創始者であることで有名である。.
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ベクトル空間
数学、特に線型代数学におけるベクトル空間（ベクトルくうかん、vector space）、または、線型空間（せんけいくうかん、linear space）は、ベクトルと呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である。ベクトルには和が定義され、またスカラーと呼ばれる数による積（「スケール変換」）を行える。スカラーは実数とすることも多いが、複素数や有理数あるいは一般の体の元によるスカラー乗法を持つベクトル空間もある。ベクトルの和とスカラー倍の演算は、「ベクトル空間の公理」と呼ばれる特定の条件（後述）を満足するものでなければならない。ベクトル空間の一つの例は、力のような物理量を表現するのに用いられる幾何ベクトルの全体である（同じ種類の任意の二つの力は、加え合わせて力の合成と呼ばれる第三の力のベクトルを与える。また、力のベクトルを実数倍したものはまた別の力のベクトルを表す）。同じ調子で、ただしより幾何学的な意味において、平面や空間での変位を表すベクトルの全体もやはりベクトル空間を成す。 ベクトル空間は線型代数学における主題であり、ベクトル空間はその次元（大雑把にいえばその空間の独立な方向の数を決めるもの）によって特徴づけられるから、その観点からはよく知られている。ベクトル空間は、さらにノルムや内積などの追加の構造を持つこともあり、そのようなベクトル空間は解析学において主に函数をベクトルとする無限次元の函数空間の形で自然に生じてくる。解析学的な問題では、ベクトルの列が与えられたベクトルに収束するか否かを決定することもできなければならないが、これはベクトル空間に追加の構造を考えることで実現される。そのような空間のほとんどは適当な位相を備えており、それによって近さや連続性といったことを考えることができる。こういた位相線型空間、特にバナッハ空間やヒルベルト空間については、豊かな理論が存在する。 歴史的な視点では、ベクトル空間の概念の萌芽は17世紀の解析幾何学、行列論、連立一次方程式の理論、幾何ベクトルの概念などにまで遡れる。現代的な、より抽象的な取扱いが初めて定式化されるのは、19世紀後半、ペアノによるもので、それはユークリッド空間よりも一般の対象が範疇に含まれるものであったが、理論の大半は（直線や平面あるいはそれらの高次元での対応物といったような）古典的な幾何学的概念を拡張することに割かれていた。 今日では、ベクトル空間は数学のみならず科学や工学においても広く応用される。ベクトル空間は線型方程式系を扱うための適当な線型代数学的概念であり、例えば画像圧縮ルーチンで使われるフーリエ展開のための枠組みを提示したり、あるいは偏微分方程式の解法に用いることのできる環境を提供する。さらには、テンソルのような幾何学的および物理学的な対象を、抽象的に座標に依らない で扱う方法を与えてくれるので、そこからさらに線型化の手法を用いて、多様体の局所的性質を説明することもできるようになる。 ベクトル空間の概念は様々な方法で一般化され、幾何学や抽象代数学のより進んだ概念が導かれる。.
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アフィンルート系
数学において，アフィンルート系（affine root system）はユークリッド空間上のアフィン線型写像のルート系である．それらはアフィンリー代数や超代数，半単純 -進代数群の分類において用いられ，の族に対応する．被約アフィンルート系はカッツとムーディによってカッツ・ムーディ代数についての彼らの研究において用いられた．被約とは限らないアフィンルート系は と によって導入され分類された（これら2つの論文は誤ってディンキン図形 を省いていたことを除いて）．.
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ウェイト (表現論)
表現論という数学の分野において，体 上の代数 のウェイト（weight）とは， から へのである，あるいは同じことだが， の 上の1次元表現である．それは群のの代数の類似である．しかしながら，概念の重要性は，リー環の表現への，したがって代数群やリー群の表現への，その応用から生じる．この文脈では，表現のウェイトは固有値の概念の一般化であり，対応する固有空間はウェイト空間と呼ばれる．.
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カルタン行列
ルタン行列(Cartan matrix)は 3つの意味を持っている。3つともすべてはフランスの数学者エリ・カルタン(Élie Cartan）の名に因んでいる。実際、リー代数の脈絡でのカルタン行列は、最初に(Wilhelm Killing)により研究され、一方、キリング形式はカルタンによって研究された。.
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カルタン部分環
数学において，カルタン部分環（カルタンぶぶんかん，Cartan subalgebra，しばしば CSA と略される）とは，リー環 \mathfrak の冪零部分環 \mathfrak であって，なもの（すべての X \in \mathfrak に対して \in \mathfrak であるならば，Y \in \mathfrak であるもの）のことである．エリ・カルタンによって彼の博士論文において導入された．.
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キリング形式
数学において、 (Wilhelm Killing) の名に因むキリング形式 (Killing form) とは、リー群とリー環の理論において基本的な役割を果たす対称双線型形式である。.
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コクセター群
数学においてコクセター群（コクセターぐん、Coxeter group）とは鏡映変換で表示できる抽象群のことである。ハロルド・スコット・マクドナルド・コクセターに因んで名づけられた。有限コクセター群は何らかのユークリッド鏡映群（たとえば一般次元正多胞体の対称変換群など）になっている。もちろん、すべてのコクセター群が有限群とは限らないし、すべてのコクセター群をユークリッド的な鏡映や対称変換として記述できるわけでもない。コクセター群は鏡映群の抽象化として導入され、有限コクセター群の分類は完了している 。 コクセター群は数学のいくつもの分野に現れる。一般次元正多胞体の対称変換群や単純リー代数のワイル群は有限コクセター群の例であり、ユークリッド平面や双曲平面の正則三角形分割 (regular tessellation) に対応する三角群や無限次元カッツ-ムーディ代数のワイル群は無限コクセター群の例である。 コクセター群に関する標準的な文献としては や などがある。.
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ジョン・ホートン・コンウェイ
ョン・ホートン・コンウェイ ジョン・ホートン・コンウェイ（John Horton Conway, 1937年12月26日 - ）はイギリスの数学者。現プリンストン大学教授。.
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ゾム
ゾム（Zome。ゾム・システム (Zome System)、ゾムツール (Zometool) とも呼ばれる）は、組立玩具（知育玩具）の一種である。アメリカのゾムツール社 (Zometool Inc.) が開発・製造・販売を行っている。日本では、会社名と同じゾムツール (Zometool) の名前で呼ばれることが多い。 ゾムのノードとストラット ゾムはノードと呼ばれる直径約18mmのABS樹脂製のボールに、数種類のサイズ・形状をもったストラット（ABS樹脂製の棒）を突き刺して立体物（いわゆるワイヤー・フレーム）を構築する。 ノードは半正多面体の一種である斜方二十・十二面体を元にしており、本来は正方形の部分が長方形になっている。また正三角形・長方形・正五角形の形をした合計62個の穴があり、ここに各色のストラットを差し込む。 差し込むストラットの色は、穴の形によって決まっており、.
円周群
数学における円周群（えんしゅうぐん、circle group; 円群）は の複素数（単位複素数）全体（つまり複素数平面上の単位円）\mathbb T.
全単射
数学において、全単射（ぜんたんしゃ）あるいは双射（そうしゃ）(bijective function, bijection) とは、写像であって、その写像の終域となる集合の任意の元に対し、その元を写像の像とする元が、写像の定義域となる集合に常にただ一つだけ存在するようなもの、すなわち単射かつ全射であるような写像のことを言う。例としては、群論で扱われる置換が全単射の良い例である。 全単射であることを一対一上への写像 (one-to-one onto mapping)あるいは一対一対応 (one-to-one correspondence) ともいうが、紛らわしいのでここでは使用しない。 写像 f が全単射のとき、fは可逆であるともいう。.
六芒星
六芒星 籠目紋「籠目」 六芒星（ろくぼうせい、りくぼうせい）とは、星型多角形の一種で、六本の線分が交差する図形である。六角形の各辺を延長することでできる。六角星、六線星、星型六角形、ヘキサグラム (hexagram) ともいう。また、六芒星中にある六角形を抜いた形を六光星と呼ぶ。 ユダヤ教がなにか教義の上からこの図形を神聖なものとして見ているというような事実はないが、17世紀以降、伝統的にユダヤ人を表わす記号として定着している。このため、ユダヤ人の国であるイスラエルの国旗にはダビデの星と呼ばれる青色の六芒星が描かれている。 日本でも、同様の「籠目」という文様がある。竹編みの籠の編み目を図案化したもので、魔除けとしてこの図形を用いることがあった。現在でも使用されている例として、伊勢神宮周辺にある石灯籠に籠目が刻まれている。家紋としては籠目紋といい、「籠目」、「丸に籠目」などが使用されている。江戸時代には、小宮氏、曲淵氏などが用いた。.
図形の合同
ユークリッド幾何学において、二つの図形が合同（ごうどう、congruence）とは、それらの形と大きさが同じであるということを数学的に表した概念である。場合によっては、形と大きさが同じである他に、一方が他方の鏡像である場合を含める。つまり、より厳密に言えば、二つの点集合が（互いに）合同であるとは、一方が他方に等距変換（すなわち、平行移動、回転および鏡映という剛体運動 (rigid motion) の組み合わせ）で移るとき、かつそのときに限り言う。しかるに二つの異なる平面図形が互いに合同ならば、いずれか一方の図形を位置を変え、あるいは鏡像反転して（しかし大きさは変えずに）他方の図形に一致させることができ、また紙の上に書いたそれらを切り取って（必要ならば紙を裏返して）ぴったり重ねることができる。 初等幾何学では以下のような形で「合同」という語がしばしば用いられる.
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固有多項式
線型代数学において、固有多項式（こゆうたこうしき、characteristic polynomial）あるいは特性多項式（とくせいたこうしき）とは、正方行列に付随して得られるある多項式を指し、その行列の固有値、行列式、トレース、最小多項式といった重要な量と関連している。相似な行列に対しては同じ固有多項式が定まる。 またグラフ理論において、グラフの固有多項式とは、グラフの隣接行列の固有多項式のことを指す。この多項式はグラフの不変量となっている。すなわち同型なグラフは同じ固有多項式を持つ。.
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立方晶系
立方晶系（りっぽうしょうけい、）は、7つの結晶系の1つ。対応するブラベー格子は、単純立方格子・体心立方格子・面心立方格子の3種類。 単位胞の軸と角はa1.
等長写像
数学、とくに幾何学において等長写像（とうちょうしゃぞう）または等距離写像（とうきょりしゃぞう）とは、"長さ" を変えない（距離を保つ、distance preserving）写像のことである。全単射であるものに限って等長写像 (isometry) という場合もある。.
線型包
数学の特に線型代数学あるいはより一般の函数解析学において、ベクトル空間内の与えられたベクトルからなる集合の（線型に）張る部分空間 (linear span) あるいは線型包（せんけいほう、linear hull; 線型苞）もしくは生成する (generated, spanned) 部分空間は、その集合を含む線型部分空間すべての交わりである。したがって、その集合を含む最小の部分空間である。また、それはその集合に属するベクトルのすべての線型結合からなる集合として実現される。.
線型部分空間
数学、とくに線型代数学において、線型部分空間（せんけいぶぶんくうかん、linear subspace）または部分ベクトル空間（ぶぶんベクトルくうかん、vector subspace）とは、ベクトル空間の部分集合で、それ自身が元の空間の演算により線型空間になっているもののことである。 ベクトル空間のある部分集合が、それ自身ある演算に関してベクトル空間の構造を持っていたとしても、その演算がもとの空間の演算でないならば部分線型空間とは呼ばない、ということに注意されたい。また、文脈により紛れの恐れのない場合には、線型部分空間のことを単に部分空間と呼ぶことがある。.
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置換 (数学)
数学における置換（ちかん、permutation）の概念は、いくつか僅かに異なった意味で用いられるが、いずれも対象や値を「並べ替える」ことに関するものである。有り体に言えば、対象からなる集合の置換というのは、それらの対象に適当な順番を与えて並べることを言う。例えば、集合 の置換は、 の全部で六種類ある順序組である。単語のアナグラムは、単語を構成する文字列に対する置換として定められる。そういった意味での置換の研究は、一般には組合せ論に属する話題である。 相異なる n 個の対象の置換の総数は 通りであり、これは "n!" と書いて n の階乗と呼ばれる。 置換の概念は、多かれ少なかれ（あるいは陰に陽に）、数学のほとんどすべての領域に現れる。たとえばある有限集合上に異なる順序付けが考えられる場合に、単にそれらの順番を無視したいとか、無視した時にどれほどの配置が同一視されるかを知る必要があるなどの理由で、置換が行われることも多い。同様の理由で、置換は計算機科学におけるソートアルゴリズムの研究において生じる。 代数学、特に群論において、集合 S 上の置換は S から自身への全単射（つまり写像 で S の各元が像としてちょうど一つずつ現れるもの）として定義される。これは各元 s を対応する f(s) と入れ替えるという意味での S の並び替え (rearrangement) と関連する。このような置換の全体は対称群と呼ばれる群を成す。重要なことは、置換の合成が定義できること、つまり二つの並び替えを続けて行うと、それは全体として別の並べ替えになっているということである。S 上の置換は、S の元（あるいはそれを特定の記号によって置き換えたもの）を対象として、それらに対象の並び替えとして作用する。 初等組合せ論において、「」はともに n 元集合から k 個の元を取り出す方法として可能なものを数え上げる問題に関するもので、取り出す順番を勘案するのが k-順列、順番を無視するのが k-組合せである。k.
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群 (数学)
数学における群（ぐん、group）とは最も基本的と見なされる代数的構造の一つである。群はそれ自体興味深い考察対象であり、群論における主要な研究対象となっているが、数学や物理学全般にわたってさまざまな構成に対する基礎的な枠組みを与えている。.
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群作用
数学における群作用（ぐんさよう、group action）は、群を用いて物体の対称性を記述する方法である。.
組合せ数学
組合せ数学（くみあわせすうがく、combinatorics）や組合せ論（くみあわせろん）とは、特定の条件を満たす（普通は有限の）対象からなる集まりを研究する数学の分野。特に問題とされることとして、集合に入っている対象を数えたり（数え上げ的組合せ論）、いつ条件が満たされるのかを判定し、その条件を満たしている対象を構成したり解析したり（組合せデザインやマトロイド理論）、「最大」「最小」「最適」な対象をみつけたり（極値組合せ論や組合せ最適化）、それらの対象が持ちうる代数的構造をみつけたり（代数的組合せ論）することが挙げられる。.
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鏡映
数学における鏡映（きょうえい、reflection）あるいは鏡映変換とはユークリッド空間の超平面を固定点集合にもつ等長変換である。その名の通り、3次元空間内では、ある図形に鏡映変換を施したものは、平面鏡に映ったその図形の位置及び見え方と一致する。（この場合、鏡の位置が固定点集合となる） 例えば2次元ユークリッド空間では鏡映の固定点集合は直線であり、固定点集合を鏡映の軸という。逆に、与えられた直線を軸とする鏡映が定まり、直線による折り返しなどとも呼ばれる。同様に、3次元空間では与えられた平面による鏡映が定まる。 鏡映によって変わらない図形を鏡映対称（2次元図形の場合、特に線対称とも呼ぶ）である、あるいは鏡映対称性を持つなどという。特に軸が垂直な場合は左右対称とも言われる。例えばアルファベットの A や H などは垂直な軸に関して鏡映対称である。3次元の物体や現象（特に分子）が鏡映対称であって、合同ではないことを掌性と呼ぶ。 長さや角度は鏡映によって変わらないが、向きが変わる。また、同じ鏡映を2回続けて行うと恒等変換になるので鏡映は対合の一種である。.
順序集合
数学において順序集合（じゅんじょしゅうごう、ordered set）とは「順序」の概念が定義された集合の事で、「順序」とは大小、高低、長短等の序列に関わる概念を抽象化したものである。ただし、順序集合内の2つの元, に順序関係が定まっている（「比較可能」である）必要はなく、両者が「比較不能」であってもよい。 比較不能のケースを許容していることを強調して順序集合の事を半順序集合（はんじゅんじょしゅうごう、partially ordered set, poset）ともいう。一方、半順序集合の中で比較不能のケースがないものを特に全順序集合 という。（「半順序」という言葉が「全順序」の対義語ではない事に注意。全順序集合も半順序集合の一種である。） 全順序集合の簡単な例は整数の集合や実数の集合で、通常の大小比較を順序とみなしたものがある。 一方、全順序ではない半順序集合の例としては、正の整数全体の集合に整除関係で順序を入れたものや、（2つ以上元を含む）集合の冪集合において、包含関係を順序とみなしたものがある。例えば2元集合 において と はいずれも他方を包含していないので S の冪集合は全順序ではない。 実生活に近い例では、「AさんはBさんの子孫である」という事を「A＜B」という大小関係とみなす事で人間全体の集合を半順序集合とみなせる。AさんとBさんはどちらも他方の子孫でない事もありうる（兄弟同士、叔父と甥、赤の他人等）ので、この順序集合は全順序ではない。.
複素数
数学における複素数（ふくそすう、complex number）は、実数の対 と と線型独立な（実数ではない）要素 の線型結合 の形に表される数（二元数: 実数体上の二次拡大環の元）で、基底元 はその平方が になるという特別な性質を持ち虚数単位と呼ばれる。 複素数全体の成す集合を太字の あるいは黒板太字で と表す。 は、実数全体の成す集合 と同様に、可換体の構造を持ち、とくに を含む代数閉体を成す。複素数体はケイリー–ディクソン代数（四元数、八元数、十六元数など）の基点となる体系であり、またさまざまな超複素数系の中で最もよく知られた例である。 複素数の概念は、一次元の実数直線を二次元の複素数平面に拡張する。複素数は自然に二次元平面上に存在すると考えることができるから、複素数全体の成す集合上に自然な大小関係（つまり全順序）をいれることはできない。すなわち は順序体でない。 ある数学的な主題や概念あるいは構成において、それが複素数体を基本の体構造として考えられているとき、そのことはしばしばそれら概念等の名称に（おおくは接頭辞「複素-」を付けることで）反映される。例えば、複素解析、複素行列、複素（係数）多項式、複素リー代数など。.
超平面
初等幾何学における超平面（ちょうへいめん、hyperplane）の概念は、二次元の平面をそれ以外の次元へ一般化するものである。''n''-次元空間における超平面とは、次元が n − 1 の平坦な部分空間をいう。その特質として、一つの超平面は全体空間を二つの半空間に分割する。.
Mathematische Annalen
Mathematische Annalen（略記はMath.
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植物
植物（しょくぶつ、plantae）とは、生物区分のひとつ。以下に見るように多義的である。.
極大トーラス
の数学的理論において特別な役割はトーラス部分群によって、とくに極大トーラス (maximal torus) 部分群によって果たされる。 コンパクトリー群 G のトーラス (torus) とは G のコンパクト連結可換部分リー群（したがって標準的なトーラス Tn に同型）である。極大トーラス (maximal torus) はそのような部分群の中で極大なものである。すなわち、T を含む任意のトーラス T′ に対して T.
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標準基底
線型代数学における標準基底（ひょうじゅんきてい、standard basis, canonical basis）または自然基底 (natural basis) は直交座標系の各軸方向に向かう単位ベクトルからなるユークリッド空間の基底を言う。例えばユークリッド平面の標準基底は であり、三次元ユークリッド空間の標準基底は で与えられる。ここで、各ベクトル ex, ey, ez はそれぞれ x-軸方向、y-軸方向、z-軸方向を向いている。この基底を表すのによく用いられる記法として、,,, などを挙げることができる。単位ベクトルであることを強調するためにサーカムフレックス（キャレット）を載せることもある。 ここでいう基底は、それらのベクトルの線型結合として、任意のベクトルがそれぞれただ一通りに表されるという意味においていう。例えば三次元ベクトル v は必ず なる形に書くことができて、スカラー vx, vy, vz は v の座標成分になる。.
正八面体
正八面体 正八面体（せいはちめんたい、regular octahedron）は立体の名称の1つ。空間を正三角形8枚で囲んだ形。.
正六面体
正六面体 折り紙で作った正六面体 九章算術の復元模型立方体、壍堵、陽馬、鼈臑 完全な立方体回転、15度毎の写真 多面体の回転を単軸で表現しようとするオブジェクトで、この作品（キューブ）は、 正六面体（せいろくめんたい、regular hexahedron）は立体の名称の1つ。正多面体の一つで、空間を正方形6枚で囲んだ立体。立方体（りっぽうたい、cube）とも呼ばれる。.
数学
数学（すうがく、μαθηματικά, mathematica, math）は、量（数）、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.
整数
数学における整数（せいすう、integer, whole number, Ganze Zahl, nombre entier, número entero）は、0 とそれに 1 ずつ加えていって得られる自然数 (1, 2, 3, 4, …) および 1 ずつ引いていって得られる数 (−1, −2, −3, −4, …) の総称である。 整数は数直線上の格子点として視覚化される 整数の全体からなる集合は普通、太字の Z または黒板太字の \mathbb Z で表す。これはドイツ語 Zahlen（「数」の意・複数形）に由来する。 抽象代数学、特に代数的整数論では、しばしば「代数体の整数環」の元という意味で代数的整数あるいは「整数」という言葉を用いる。有理数全体の成す体はそれ自身が代数体の最も簡単な例であり、有理数体の代数体としての整数環すなわち、「有理数の中で整なもの」の全体の成す環は、本項でいう意味での整数全体の成す環である。一般の「整数」との区別のためにここでいう意味の整数を有理整数 (rational integer) と呼ぶことがある接頭辞「有理（的）」(rational) はそもそも「整数比」であるという意味なので、この呼称は自己循環的にもみえる。しかし、有理整数と呼ぶ場合の「有理」は「有理数の中で」という程度の意味の単なる符牒であって、「整数比」という本来の意味合いに拘るのは徒労である。。.
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An (数学)、Bn (数学)、Cn (数学)、Dn (数学)、ルートベクトル、ルート束、ルート格子、ルート空間、ルート鏡映、コルート、余ルート、単純ルート、正ルート、負ルート。
