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31 関係: 同値関係、実数、一次関数、平面、幾何学、座標、ユークリッド幾何学、ユークリッド空間、ルネ・デカルト、ベクトル、アフィン空間、エウクレイデス、グラフ理論、公理、線型方程式、線型方程式系、線分、直交座標系、直積、直線、非ユークリッド幾何学、超平面、辺、集合、極座標系、比、測地線、放物線、数、教育、曲線。
同値関係
数学において、同値関係（どうちかんけい、equivalence relation）は反射的、対称的かつ推移的な二項関係を言う。これらの性質の帰結として、与えられた集合において、一つの同値関係はその集合を同値類に分割（類別）する。 同値関係にあることを表す記法は文献によって様々に用いられるけれども、与えられた集合上の同値関係 に関して二元 が同値であることを "" や "" で表すのがもっともよく用いられる記法である。 に関して同値であることを明示する場合には、"" や "" あるいは "" などと書かれる。.
実数
数学における実数（じっすう、 nombre réel, reelle Zahl, real number）は、様々な量の連続的な変化を表す数の体系である。実数全体の空間は、途切れのなさにあたる完備性とよばれる位相的な性質を持ち、代数的には加減乗除ができるという体の構造を持っている。幾何学や解析学ではこれらのよい性質を利用して様々な対象が定義され、研究されている。一方でその構成方法に自明でない手続きが含まれるため、実数の空間は数学基礎論の観点からも興味深い性質を持っている。また、自然科学における連続的なものの計測値を表すのに十分な数の体系だとも考えられている。 実数の概念は、その形式的な定義が19世紀に達成される前から数の体系として使われていた。「実数」という名前は複素数の概念が導入された後に「普通の数」を表現する言葉として導入されたものである。.
一次関数
y-切片を持つ。 数学、特に初等解析学における（狭義の）一次関数（いちじかんすう、linear function）は、（の）一次（）、つまり次数 の多項式が定める関数 をいう。ここで、係数 は に依存しない定数であり、矢印は各値 に対して を対応させる関数であることを意味する。特に解析幾何学において、係数および定義域は実数の範囲で扱われ、その場合一次関数のグラフは平面直線である。 より広義には、係数や定義域として複素数やその他の環を考えたり、多変数の一次多項式函数や、あるいは一次式をベクトル空間や作用を持つ加群の文脈で理解することもある。 一次関数は線型関数（ の直訳）やアフィン関数 とも呼ばれ、この場合しばしば定数関数 も含む。ベクトルを変数とする広義の一次関数はアフィン写像と呼ばれ、これはベクトルにベクトルを対応させる写像であるが、ふつう線型写像はその特別な場合 で斉一次函数で与えられる。 以下、解析幾何学における実函数としての一次函数について述べる。.
平面
平面（へいめん、plane）とは、平らな表面のことである広辞苑 第五版、p.2395「平面」。平らな面。 一般的には曲面や立体などと対比されつつ理解されている。.
幾何学
最先端の物理学でも用いられるカラビ-ヤウ多様体の一種。現代幾何学では図も書けないような抽象的な分野も存在する。 幾何学（きかがく、）は、図形や空間の性質について研究する数学の分野である広辞苑第六版「幾何学」より。イエズス会マテオ・リッチによる geometria の中国語訳である。以前は geometria の冒頭の geo- を音訳したものであるという説が広く流布していたが、近年の研究により否定されている。 もともと測量の必要上からエジプトで生まれたものだが、人間に認識できる図形に関する様々な性質を研究する数学の分野としてとくに古代ギリシャにて独自に発達しブリタニカ国際大百科事典2013小項目版「幾何学」より。、これらのおもな成果は紀元前300年ごろユークリッドによってユークリッド原論にまとめられた。その後中世以降のヨーロッパにてユークリッド幾何学を発端とする様々な幾何学が登場することとなる。 幾何学というとユークリッド幾何学のような具体的な平面や空間の図形を扱う幾何学が一般には馴染みが深いであろうが、対象や方法、公理系などが異なる多くの種類の幾何学が存在し、現代においては微分幾何学や代数幾何学、位相幾何学などの高度に抽象的な理論に発達・分化している。 現代の日本の教育では、体系的な初等幾何学はほぼ根絶されかけたが、近年、中・高の数学教育で線型幾何/代数幾何を用いない立体を含む、本格的な綜合幾何は見直されつつある。.
座標
幾何学において、座標（ざひょう）とは、点の位置を指定するために与えられる数の組 (coordinates)、あるいはその各数 (coordinate) のことであり、その組から点の位置を定める方法を与えるものが座標系（ざひょうけい、coordinate system）である。座標系と座標が与えられれば、点はただ一つに定まる。 座標は点により定まる関数の組であって、一つの空間に複数の座標系が重複して定義されていることがある。例えば、多様体は各点の近くでユークリッド空間と同様の座標系が貼り付けられているが、ほとんどの場合、一つの座標系の座標だけを考えていたのでは全ての点を特定することができない。このような場合は、たくさんの座標系を貼り付けて、重なる部分での読み替えの方法を記した地図帳（アトラス、atlas）を用意することもある。 地球上の位置を表す地理座標や、天体に対して天球上の位置を表す天球座標がある。.
ユークリッド幾何学
ユークリッド幾何学（ユークリッドきかがく、Euclidean geometry）は、幾何学体系の一つであり、古代エジプトのギリシア系・哲学者であるエウクレイデスの著書『ユークリッド原論』に由来する。詳しい説明は『ユークリッド原論』の記事にある。.
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ユークリッド空間
数学におけるユークリッド空間（ユークリッドくうかん、Euclidean space）は、エウクレイデス（ユークリッド）が研究したような幾何学（ユークリッド幾何学）の場となる平面や空間、およびその高次元への一般化である。エウクレイデスが研究した平面や空間はそれぞれ、2次元ユークリッド空間、3次元ユークリッド空間に当たり、これらは通常、ユークリッド平面、ユークリッド空間などとも呼ばれる。「ユークリッド的」という修飾辞は、これらの空間が非ユークリッド幾何やアインシュタインの相対性理論に出てくるような曲がった空間ではないことを示唆している。 古典的なギリシャ数学では、ユークリッド平面や（三次元）ユークリッド空間は所定の公準によって定義され、そこからほかの性質が定理として演繹されるものであった。現代数学では、デカルト座標と解析幾何学の考え方にしたがってユークリッド空間を定義するほうが普通である。そうすれば、幾何学の問題に代数学や解析学の道具を持ち込んで調べることができるようになるし、三次元以上のユークリッド空間への一般化も容易になるといった利点が生まれる。 現代的な観点では、ユークリッド空間は各次元に本質的に一つだけ存在すると考えられる。たとえば一次元なら実数直線、二次元ならデカルト平面、より高次の場合は実数の組を座標にもつ実座標空間である。つまり、ユークリッド空間の「点」は実数からなる組であり、二点間の距離は二点間の距離の公式に従うものとして定まる。n-次元ユークリッド空間は、（標準的なモデルを与えるものという意味で）しばしば とかかれるが、（余分な構造を想起させない）ユークリッド空間固有の性質を備えたものということを強調する意味で と書かれることもある。ふつう、ユークリッド空間といえば有限次元であるものをいう。.
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ルネ・デカルト
ルネ・デカルト（René Descartes、1596年3月31日 - 1650年2月11日）は、フランス生まれの哲学者、数学者。合理主義哲学の祖であり、近世哲学の祖として知られる。.
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ベクトル
ベクトル（）またはベクター（） ベクトルは Vektor に由来し、ベクターは vector に由来する。物理学などの自然科学の領域ではベクトル、プログラミングなどコンピュータ関係ではベクターと表記される、という傾向が見られることもある。また、技術文書などではしばしばJIS規格に準拠する形で、長音を除いたベクタという表記が用いられる。 は「運ぶ」を意味するvehere に由来し、18世紀の天文学者によってはじめて使われた。 ベクトルは通常の数（スカラー）と区別するために矢印を上に付けたり（例： \vec,\ \vec）、太字で書いたりする（例： \boldsymbol, \boldsymbol）が、分野によっては矢印も太字もせずに普通に書くこともある（主に解析学）。 ベクトル、あるいはベクターに関する記事と用法を以下に挙げる。.
アフィン空間
数学において、アフィン空間（あふぃんくうかん、affine space, アファイン空間とも）または擬似空間（ぎじくうかん）とは、幾何ベクトルの存在の場であり、ユークリッド空間から絶対的な原点・座標と標準的な長さや角度などといった計量の概念を取り除いたアフィン構造を抽象化した幾何学的構造である。（代数的な）ベクトル空間からどの点が原点であるかを忘れたものと考えることもできる。 1次元のアフィン空間はアフィン直線、2次元のアフィン空間はと呼ばれる。.
エウクレイデス
ラファエロの壁画「アテナイの学堂」に画かれたエウクレイデス アレクサンドリアのエウクレイデス（、、（ユークリッド）、紀元前3世紀? - ）は、古代ギリシアの数学者、天文学者とされる。数学史上最も重要な著作の1つ『原論』（ユークリッド原論）の著者であり、「幾何学の父」と称される。 プトレマイオス1世治世下（紀元前323年-283年）のアレクサンドリアで活動した。『原論』は19世紀末から20世紀初頭まで数学（特に幾何学）の教科書として使われ続けた。線の定義について、「線は幅のない長さである」、「線の端は点である」など述べられている。基本的にその中で今日ユークリッド幾何学と呼ばれている体系が少数の公理系から構築されている。エウクレイデスは他に光学、透視図法、円錐曲線論、球面天文学、誤謬推理論、図形分割論、天秤などについても著述を残したとされている。 なお、エウクレイデスという名はギリシア語で「よき栄光」を意味する。その実在を疑う説もあり、その説によると『原論』は複数人の共著であり、エウクレイデスは共同筆名とされる。 確実に言えることは、彼が古代の卓越した数学者で、アレクサンドリアで数学を教えていたこと、またそこで数学の一派をなしたことである。ユークリッド幾何学の祖で、原論では平面・立体幾何学、整数論、無理数論などの当時の数学が公理的方法によって組み立てられているが、これは古代ギリシア数学の一つの成果として受け止められている。.
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グラフ理論
ラフ理論（グラフりろん、graph theory）は、ノード（節点・頂点）の集合とエッジ（枝・辺）の集合で構成されるグラフに関する数学の理論である。グラフ (データ構造) などの応用がある。.
公理
公理（こうり、axiom）とは、その他の命題を導きだすための前提として導入される最も基本的な仮定のことである。一つの形式体系における議論の前提として置かれる一連の公理の集まりを (axiomatic system) という 。公理を前提として演繹手続きによって導きだされる命題は定理とよばれる。多くの文脈で「公理」と同じ概念をさすものとして仮定や前提という言葉も並列して用いられている。 公理とは他の結果を導きだすための議論の前提となるべき論理的に定式化された（形式的な）言明であるにすぎず、真実であることが明らかな自明の理が採用されるとは限らない。知の体系の公理化は、いくつかの基本的でよく知られた事柄からその体系の主張が導きだせることを示すためになされることが多い。 なお、ユークリッド原論などの古典的な数学観では、最も自明（絶対的）な前提を公理、それに準じて要請される前提を公準 (postulate) として区別していた。.
線型方程式
線型方程式（せんけいほうていしき、linear equation）とは、線型性を持つ写像（関数・作用素）の等式で表される方程式のことである。線形等の用字・表記の揺れについては線型性を参照。 線型方程式においては、その線型性から解の重ね合わせが成り立つなどいくつものよい性質が成り立つ。線型方程式（特に多変数の一次代数方程式）の研究から行列などの手法が整備され、線型代数学という一分野が形成された。 線型代数学の整備により、多くの場合に線型方程式の係数を実数や複素数に限らず、四則演算が自由にできる（つまり体と呼ばれる代数的構造をもつ）集合からとったとして広く適用できる結果が知られている。 以下、特に断らない場合は係数をとる集合 K を（可換な）体とする。多くの場合 K は、実数全体の成す集合 R または複素数全体の成す集合 C のことと思って差し支えない。.
線型方程式系
数学において、線型方程式系（せんけいほうていしきけい）とは、同時に成立する複数の線型方程式（一次方程式）の組のことである。線形等の用字・表記の揺れについては線型性を参照。 複数の方程式の組み合わせを方程式系あるいは連立方程式と呼ぶことから、線型方程式系のことを一次方程式系、連立線型方程式、連立一次方程式等とも呼ぶこともある。.
線分
線分の幾何学的な定義 幾何学における線分（せんぶん、Line segment）とは2つの点に挟まれた直線の部分であり、それら端点の間にあるどの点も含む。 通常は端点も含むものとするが、端点を含まないものも線分として認め、端点を含む狭義の線分を閉線分、含まないものを開線分とすることもある。 線分の例として、三角形や四角形の辺が挙げられる。もっと一般に、端点がある1つの多角形の頂点となっている線分は、その端点が多角形の隣接する2頂点であるときその多角形の辺となり、そうでないときには対角線である。端点が円周のような1つの曲線上に載っているとき、その線分はその曲線の弦と呼ばれる。.
直交座標系
数学における直交座標系（ちょっこうざひょうけい、, ）とは、互いに直交している座標軸を指定することによって定まる座標系のことである。平面上の直交座標系ではそれぞれの点に対して一意に定まる二つの実数の組によって点の位置が指定される。同様にして空間上の直交座標系では三つの実数の組によって座標が与えられる。 1637年に発表された『方法序説』において平面上の座標の概念を確立したルネ・デカルトの名を採ってデカルト座標系 (Cartesian coordinate system) とも呼ぶ。.
直積
数学において、直積を考えられる対象は様々ある。そのうちの一部を以下に挙げる。.
直線
線の正確な表示（直線は太さを持たない図形である為、厳密に正しく表示した場合、視覚では確認不能となる） 線分 直線（ちょくせん、line）とは、太さを持たない幾何学的な対象である曲線の一種で、どこまでもまっすぐ無限に伸びて端点を持たない。まっすぐな線には直線の他に、有限の長さと両端を持つ線分（せんぶん、line segment、segment）と、一つの端点を始点として無限にまっすぐ伸びた半直線（はんちょくせん、ray、half-line）がある。.
非ユークリッド幾何学
非ユークリッド幾何学（ひユークリッドきかがく、non-Euclidean geometry）は、ユークリッド幾何学の平行線公準が成り立たないとして成立する幾何学の総称。非ユークリッドな幾何学の公理系を満たすモデルは様々に構成されるが、計量をもつ幾何学モデルの曲率を一つの目安としたときの両極端の場合として、至る所で負の曲率をもつ双曲幾何学と至る所で正の曲率を持つ楕円幾何学（殊に球面幾何学）が知られている。 ユークリッドの幾何学は、至る所曲率0の世界の幾何であることから、双曲・楕円に対して放物幾何学と呼ぶことがある。大雑把に言えば「平面上の幾何学」であるユークリッド幾何学に対して、「曲面上の幾何学」が非ユークリッド幾何学である。.
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超平面
初等幾何学における超平面（ちょうへいめん、hyperplane）の概念は、二次元の平面をそれ以外の次元へ一般化するものである。''n''-次元空間における超平面とは、次元が n − 1 の平坦な部分空間をいう。その特質として、一つの超平面は全体空間を二つの半空間に分割する。.
辺
辺（へん、二次元図形ではside、三次元図形ではedge（但し、円柱の辺の様に線分でないものはedgeと呼ばれない））は、特定の“図形”の中で 1 次元の“部分”となっている、両端に頂点と呼ばれる特別の点を 0 次元の“部分”として含むような線分である。辺は“線分”であり通常はまっすぐであるものを指すが、位相幾何学（トポロジー）的な文脈など、場合によっては曲がっていても構わずに辺と呼ぶことがある。 辺と呼ばれる“部分”を含むような“図形”としては例えば、多角形、グラフ理論におけるグラフ、単体的複体などを挙げることができる。 正確に辺の概念を考えるためには、頂点と呼ばれる点の集合 V の部分集合からなる集合族の族 D を図形として捉えて、V の二つの頂点 v, w に対して、D に含まれる の形（あるいはこれに空集合を含めた形）に表される集合、あるいは同じことではあるが、 の冪集合に順序同型なる集合が辺であるというのが適当である。ユークリッド空間内の点集合を図形と捉えるような立場では、このような D と図形とが一対一に対応すると考えることは望むべくもない。特に辺上には無数の点が乗っており、頂点を決めても辺が一意的に決まるわけではない。それでもなお、辺はこのような方法によって図形の中の“部分”として特徴付けられる。 Category:初等幾何学 Category:数学に関する記事.
集合
数学における集合 (しゅうごう、set, ensemble, Menge) とは、大雑把に言えばいくつかの「もの」からなる「集まり」である。集合を構成する個々の「もの」のことを元 (げん、; 要素) という。 集合は、集合論のみならず現代数学全体における最も基本的な概念の一つであり、現代数学のほとんどが集合と写像の言葉で書かれていると言ってよい。 慣例的に、ある種の集合が系 (けい、) や族 (ぞく、) などと呼ばれることもある。実際には、これらの呼び名に本質的な違いはないが細かなニュアンスの違いを含むと考えられている。たとえば、方程式系（「相互に連立する」方程式の集合）、集合族（「一定の規則に基づく」集合の集合）、加法族（「加法的な性質を持つ」集合族）など。.
極座標系
極座標系（きょくざひょうけい、polar coordinates system）とは、n 次元ユークリッド空間 R 上で定義され、1 個の動径 r と n − 1 個の偏角 θ, …, θ からなる座標系のことである。点 S(0, 0, x, …,x) を除く直交座標は、局所的に一意的な極座標に座標変換できるが、S においてはヤコビアン が 0 となってしまうから、一意的な極座標表現は不可能である。それは、S に於ける偏角が定義できないことからも明らかである。.
比
比（ひ、ratio）とは2つ（または3つ以上）の数の関係を表したもの。数 a, b について、その比は a:b で表され、「a対b」とよむ。a を前項、b を後項（こうこう）という。また、前項と後項を入れ替えた b:a を元の比の逆比または反比という。3数以上の場合も a:b:c のように表し、特に連比（れんぴ）という。 例えば、テレビ受像機には様々な大きさがあるが、横の長さを4等分したものと縦の長さを3等分したもの, あるいは, 横の長さを16等分したものと縦の長さを9等分したものとが等しくなるのは, どの大きさのテレビでも変わらない。これをまとめて, それぞれ 4:3, 16:9 で表す。 比において、前項と後項に（0以外の）同じ数をかけたものも同じ比である。つまり、a:b.
測地線
測地線（そくちせん、）とは、直線の概念を曲がった空間において一般化したものである。 計量が定義される空間においては、測地線は、2つの離れた点を結ぶ（局所的に）最短な線として定義される。アフィン接続が定義される空間においては、測地線は、曲線のうち、その接ベクトルが曲線に沿って移動しても平行に保たれるような曲線（測地的曲率が常に0）として定義される。測地線の中でその長さが2点間の距離に等しくなるものを最短測地線という。 言葉の由来は、測地学からであり、地球上の2点間の最短ルート（大円の一部）による。この概念は、数学的な空間にも拡張され、例えばグラフ理論ではグラフ上の2つの頂点（vertex）や結節点 () 間の測地線が定義されている。一般相対性理論では、光は曲がった空間での測地線を進むという原理に基づいて構築されている。.
放物線
放物線（ほうぶつせん、希:παραβολή「parabolē」、羅、英: parabola、独: Parabel）とは、その名の通り地表（つまり重力下）で投射した物体の運動（放物運動）が描く軌跡のことである。 放物線をその対称軸を中心として回転させた曲面を放物面という。.
数
数（かず、すう、number）とは、.
教育
FIRST Robotics Competitionにおける学生徒弟 教育（きょういく、、education、éducation, enseignement、Bildung, Erziehung、educación、educação、Образование、تعليم）は、教え育てることであり、ある人間を望ましい状態にさせるために、心と体の両面に、意図的に働きかけることであるデジタル大辞泉。教育を受ける人の知識を増やしたり、技能を身につけさせたり、人間性を養ったりしつつ、その人が持つ能力を引き出そうとすることである。 教育の機能や効果については、さまざまなことが言われている。政治面、経済面など様々なことが挙げられている。教育は、民主化を推進することになる、と指摘されている。また経済学的に見ると、生産性が向上する、とも指摘されている。なお、教育がむしろ否定的な効果・機能を果している場合には「教育の逆機能」と呼ばれることがある。 教育を研究のする学問を教育学と言う。教育学は、哲学・心理学・社会学・歴史学などの方法を用いて教育を研究する。様々な目的で細分化されており、基礎的・基本的なものとして、教育哲学・教育社会学・教育心理学・教育史学などがあり、実践的なものとして領域教育方法論・臨床教育学・教科教育学なものがある。（中学や高校の）教師になろうとする人は、必修科目として教育学を学ぶ。（ただし大学教授は教育学を学んでいない人がなっていることは多い。） 年齢による分類もあり、乳児の場合には、その教育は乳児教育（保育）と呼ばれ、幼児の場合は幼児教育、児童の場合には児童教育、成人である場合は成人教育と呼ばれる。また、場所に着目して、家庭教育、学校教育、社会教育、世界教育(World Studies、日本では、国際理解教育と呼ぶ)という言い方もある。.
曲線
数学における曲線（きょくせん、curve, curved line）は、一般にまっすぐとは限らない幾何学的対象としての「線」を言う。 つまり、曲線とは曲率が零とは限らないという意味での直線の一般化である。 数学の様々な分野において、その研究領域に応じたそれぞれやや異なる意味で「曲線」の語が用いられる（から、精確な意味は文脈に即して捉えるべきである）が、それらの意味の多くは以下に挙げる定義の特別な実例になっているはずである。すなわち、曲線とは局所的に直線と同相であるような位相空間を言う。それは日常語で言えば、曲線は点の集合であって、それらの点が十分近くであれば直線のように見えるが、変形があってもよいというような意味である。数学の各分野で扱われる。 最初に触れる曲線の簡単な例というのはほとんどの場合「平面曲線」（例えば平らな紙の上に描いた曲がった線）であろうが、螺旋のように三次元的なものもある。幾何学的な必要性や、例えば古典力学からの要請で任意次元の空間に埋め込まれた曲線の概念も必要とされる。一般相対論において世界線とは時空内の曲線である。; 注: 一般用語として、「曲線」が（成長曲線やフィリップス曲線の例に見るように）函数のグラフ、あるいはより多様なの意味で用いられることがあるが、本項で言う意味とは（近い関連はあるにせよ）異なるものと理解すべきである。.
