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16 関係: 力学系、位相空間、微分方程式、ロジスティック写像、トランスクリティカル分岐、パラメータ、ピッチフォーク分岐、ホップ分岐、分岐図 (力学系)、周期倍分岐、カオス理論、カタストロフィー理論、サドルノード分岐、相転移、離散数学、連続 (数学)。
力学系
力学系（りきがくけい、英語：dynamical system）とは、一定の規則に従って時間の経過とともに状態が変化するシステム（系）、あるいはそのシステムを記述するための数学的なモデルのことである。一般には状態の変化に影響を与える数個の要素を変数として取り出し、要素間の相互作用を微分方程式または差分方程式として記述することによってモデル化される。 力学系では、システムの状態を実数の集合によって定義している。各々の状態の違いは、その状態を代表する変数の差のみによって表現される。システムの状態の変化は関数によって与えられ、現在の状態から将来の状態を一意に決定することができる。この関数は、状態の発展規則と呼ばれる。 力学系の例としては、振り子の振動や自然界に存在する生物の個体数の変動、惑星の軌道などが挙げられるが、この世界の現象すべてを力学系と見なすこともできる。システムの振る舞いは、対象とする現象や記述のレベルによって多種多様である。;力学系の具体例.
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位相空間
数学における位相空間（いそうくうかん, topological space）とは、集合にある種の情報（位相、topology）を付け加えたもので、この情報により、連続性や収束性といった概念が定式化可能になる。 位相空間論は位相空間の諸性質を研究する数学の分野である。.
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微分方程式
微分方程式（びぶんほうていしき、differential equation）とは未知関数とその導関数の関係式として書かれている関数方程式である長倉三郎ほか編、『 』、岩波書店、1998年、項目「微分方程式」より。ISBN 4-00-080090-6。 物理法則を記述する基礎方程式は多くが時間微分、空間微分を含む微分方程式であり、物理学からの要請もあり微分方程式の解法には多くの関心が注がれてきた。微分方程式論は解析学の中心的な分野で、フーリエ変換、ラプラス変換等はもともと微分方程式を解くために開発された手法である。また物理学における微分方程式の主要な問題は境界値問題、固有値問題である。 線型微分方程式の研究は歴史が長く。それに比して、非線型微分方程式の研究は歴史が浅く比較的簡単な方程式しか解析できていない。例えばナビエ-ストークス方程式は、流体の支配方程式として重要であるが、その解の存在性は未解決問題でありミレニアム懸賞問題にも選ばれている。 その他有名な微分方程式については:Category:微分方程式を参照。.
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ロジスティック写像
ティック写像（ロジスティックしゃぞう、）とは、1次元の離散力学系の一種。ロジスティック方程式の離散化からも得られるため離散型ロジスティック方程式とも呼ばれる。変数を x としたとき、次の1変数2次差分方程式（漸化式）で示される。 ロジスティック写像は、パラメータ a にどのような値を与えるかによって、n を増やすに連れたxnの値の変化（振る舞いや軌道と呼ぶ）が、一定値への収束、複数の値を繰り返し取り続ける周期的な振動、カオスと呼ばれる非周期的な極めて複雑な振る舞い、へと変化する。 この複雑な振る舞いについて多くの研究がされてきたが、特にロバート・メイ(他にジム・ヨーク、ジョージ・オスター)の研究によって広く知られるようになった。 カオスを生み出す系は非線形性を持つ必要があるが、このような非線形関数の中でも、ロジスティック写像は最も単純なものの1つである二次関数の差分方程式からカオスを生成する。この単純さと、他のカオスとも共通する現象がいくつも現れることから、カオス理論の入り口としてよく採り上げられる。.
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トランスクリティカル分岐
トランスクリティカル分岐（transcritical bifurcation）は、分岐の一つ。 分岐の前後では、安定な不動点と不安定な不動点が存在する。しかし、合わさった時、安定性が交換される。 正準系は、 である。 この式はロジスティック方程式に似ているが、r と x は正と負の値をとりうる（一方ロジスティック方程式の場合非負である）。.
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パラメータ
パラメータ（parameter）とは、 ギリシア語のπαρά (pará) 「傍に」 + μέτρον (métron)「尺度」を語源とする。.
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ピッチフォーク分岐
ピッチフォーク分岐（ピッチフォークぶんき、英語：pitchfork bifurcation）または熊手型分岐は、力学系における分岐の一つ。分岐図が三叉となり、農具のピッチフォークのように見えることから、ピッチフォーク分岐という名、その日本語訳の熊手型分岐という名で呼ばれる。この分岐には、超臨界ピッチフォーク分岐 (supercritical pitchfork bifurcation) と亜臨界ピッチフォーク分岐 (subcritical pitchfork bifurcation) の二種類がある。.
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ホップ分岐
力学系においてホップ分岐（ホップぶんき、）とは、系の安定性の変化により周期解が生じる分岐の一種である。 より正確には、線形近似に対する複素共役な二つの固有値が複素平面の虚軸を横切る際に、ある力学系の固定点が安定性を失う局所的な分岐のことをいう。 ある程度一般的な力学系に対しては、固定点から小さい振幅のリミットサイクルが分岐する。 アンリ・ポアンカレ、およびの名にちなみ、ポアンカレ・アンドロノフ・ホップ分岐と呼ばれることもある。.
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分岐図 (力学系)
力学系において、分岐図（ぶんきず、bifurcation diagram）とは、分岐を図に表したものである。 有名なものは、ロジスティック写像の分岐図（右図）である。 この図は、ロジスティック写像を、 とし、横軸にパラメーター（分岐パラメーター）r 、縦軸に周期点をとっている。 一般的に、連続力学系では固定点をとり、離散力学系では周期点をとることが多い。 category:複雑系 Category:数学に関する記事 Category:カオス理論 Category:分岐理論 de:Bifurkationsdiagramm ru:Каскад бифуркаций.
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周期倍分岐
力学系において周期倍分岐（しゅうきばいぶんき、period-doubling bifurcation）とは分岐の一種である。 この分岐では、パラメータが変化していきある値に達すると、安定な不動点が不安定化し、その両側に安定な2周期点が発生する。.
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カオス理論
論（カオスりろん、、、）は、力学系の一部に見られる、数的誤差により予測できないとされている複雑な様子を示す現象を扱う理論である。カオス力学ともいう。 ここで言う予測できないとは、決してランダムということではない。その振る舞いは決定論的法則に従うものの、積分法による解が得られないため、その未来（および過去）の振る舞いを知るには数値解析を用いざるを得ない。しかし、初期値鋭敏性ゆえに、ある時点における無限の精度の情報が必要であるうえ、（コンピューターでは無限桁を扱えないため必然的に発生する）数値解析の過程での誤差によっても、得られる値と真の値とのずれが増幅される。そのため予測が事実上不可能という意味である。.
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カタストロフィー理論
タストロフィー理論（カタストロフィーりろん、カタストロフ理論、catastrophe theory）は、力学系の分岐理論の一種を扱う理論。 不連続な現象を説明する、画期的な理論として一時注目を浴び、盛んに研究、議論された。 カタストロフィーとは周期的な秩序だった現象の中から不意に発生する無秩序な現象の総称。 ルネ・トムの『構造安定性と形態形成』により提唱された。.
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サドルノード分岐
ドルノード分岐 (saddle-node bifurcation) は、分岐の一つ。余次元は1。フォールド分岐 (fold bifurcation) や、ブルースカイ分岐 (blue sky bifurcation) とも呼ばれる。 この分岐では、安定な不動点と不安定な不動点が合わさり、不動点が消滅する。 正準系は、 である。.
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相転移
転移（そうてんい、英語：phase transition）とは、ある系の相（phase）が別の相へ変わることを指す。しばしば相変態（そうへんたい、英語：phase transformation）とも呼ばれる。熱力学または統計力学において、相はある特徴を持った系の安定な状態の集合として定義される。一般には物質の三態（固体・固相、液体・液相、気体・気相）の相互変化として理解されるが、同相の物質中の物性変化（結晶構造や密度、磁性など）や基底状態の変化に対しても用いられる。相転移に現れる現象も単に「相転移」と呼ぶことがある。.
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離散数学
離散数学（りさんすうがく、英語：discrete mathematics）とは、原則として離散的な（言い換えると連続でない、とびとびの）対象をあつかう数学のことである。有限数学あるいは離散数理と呼ばれることもある。 グラフ理論、組み合わせ理論、最適化問題、計算幾何学、プログラミング、アルゴリズム論が絡む応用分野で、その領域を包括的・抽象的に表現する際に用いられることが多い。またもちろん離散数学には整数論が含まれるが、初等整数論を超えると解析学などとも関係し（解析的整数論）、離散数学の範疇を超える。.
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連続 (数学)
数学において、連続（れんぞく、continuous）および連続性（れんぞくせい、continuity）とは、いくら拡大しても近くにあって差が無いことを示す極限概念である。位相空間のあいだの写像について、開集合や極限といった位相的な概念を一定の方法でたもつという条件によって連続性の概念が定められる。これは異なる位相空間のあいだの関係を表す最も基本的な枠組みである。日常語としては「連続」が「切れずに繋がっている」という意味で使われることがあるが、位相空間の性質として「切れずに繋がっている」ということを表す概念は「連結性」である。事実として「連結領域の連続像は必ず連結」であり、従って連結な定義域を持つ連続函数のグラフは文字通り「切れずに繋がっている」ことになるが、それは連続性の本質ではない。.
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