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60 関係: 基本群、反対圏、可微分多様体、可換体、可換図式、双対ベクトル空間、同型写像、多元環、多様体の圏、完全系列、完全関手、導来函手、小さい圏の圏、射 (圏論)、代数幾何学、代数的位相幾何学、代数方程式、位相空間、位相空間の圏、余接束、圏 (数学)、圏同値、圏論、モノイド、モニック射、リー代数、リー群、テンソル積、ホモトピー、ベクトル空間、ベクトル束、アレクサンドル・グロタンディーク、アーベル群、エミー・ネーター、エヴァリスト・ガロア、エピ射、冪集合、写像の微分、公理、充満関手と忠実関手、前加法圏、米田の補題、線型写像、線型結合、群 (数学)、群作用、環上の加群、点付き空間、随伴関手、豊穣圏、...、転置写像、部分圏、関手、関手圏、集合の圏、連続写像、Kan拡張、接束、準同型、数学。 インデックスを展開 (10 もっと) »
基本群
数学、特に代数トポロジーにおいて、基本群（きほんぐん、fundamental group）とは、ある固定された点を始点と終点にもつふたつのループが互いに連続変形可能かを測る点付き位相空間に付帯する群である。直観的には、それは位相空間にある穴についての情報を記述している。基本群はホモトピー群の最初で最も単純な例である。基本群は位相不変量である。つまり同相な位相空間は同じ基本群を持っている。 基本群は被覆空間の理論を用いて研究することができる。なぜなら、基本群は元の空間に付帯する普遍被覆空間の被覆変換群に一致するからである。基本群のアーベル化は、その空間の第一ホモロジー群と同一視することできる。位相空間が単体複体に同相のとき、基本群は群の生成子と関係式のことばで明示的に記述することができる。 基本群はアンリ・ポアンカレによって1895年に論文"Analysis situs"で定義された。ベルンハルト・リーマンとポアンカレとフェリックス・クラインの仕事でリーマン面の理論において基本群の概念が現れた。基本群は閉曲面の位相的な完全な分類を提供するだけでなく、複素函数のモノドロミー的性質の記述もする。.
反対圏
圏論という数学の分野において，与えられた圏 の反対圏（はんたいけん，opposite category），逆圏（ぎゃくけん）あるいは双対圏（そうついけん，dual category） は射を逆にする，つまり，各射の始域と終域を交換することによって作られる．逆にする操作を2回やるともとの圏になるので，逆圏の逆圏はもとの圏自身である．記号で書けば，(C^)^.
可微分多様体
数学において、可微分多様体（かびぶんたようたい、differentiable manifold）、あるいは微分可能多様体（びぶんかのうたようたい）は、局所的に十分線型空間に似ており微積分ができるような多様体である。任意の多様体は、チャート（座標近傍、局所座標）の集まり、アトラス（座標近傍系、局所座標系）、によって記述することができる。各座標近傍は微積分の通常のルールが適用する線型空間の中にあるから、各々のチャートの中で考えるときには微積分学のアイデアを適用できる。チャートが適切に両立可能であれば（すなわち1つのチャートから別のチャートへの変換が微分可能であれば）、1つのチャートでなされた計算は任意の他の微分可能なチャートにおいても有効である。 フォーマルに言えば、可微分多様体は大域的に定義されたを持つ位相多様体である。任意の位相多様体にはアトラスの同相写像と線型空間上の標準的な微分構造を用いて局所的に微分構造を与えることができる。同相写像によって誘導された局所座標系上の大域的な微分構造を誘導するためには、アトラスのチャートの共通部分上での合成が対応する線型空間上の微分可能な関数でなければならない。言い換えると、チャートの定義域が重なっているところでは、各チャートによって定義された座標はアトラスのすべてのチャートによって定義された座標に関して微分可能であることが要求される。様々なチャートによって定義された座標を互いに結びつける写像を変換関数 (transition map/遷移写像/座標変換) と呼ぶ。 微分可能性は文脈によって連続微分可能、k 回微分可能、滑らか、正則といった異なる意味を持つ。さらに、抽象的な空間にそのような可微分構造を誘導できることによって微分可能性の定義を大域的な座標系なしの空間に拡張することができる。微分構造によって大域的に微分可能な接空間、微分可能な関数、微分可能なテンソル場やベクトル場を定義することができる。可微分多様体は物理においても非常に重要である。特別な種類の可微分多様体は古典力学、一般相対論、ヤン・ミルズ理論といった物理理論の基礎をなす。可微分多様体に対して微積分を展開することが可能である。これによって exterior calculus （外微分法/外微分学）のような数学的機構が導かれる。可微分多様体上の微積分の研究は微分幾何学と呼ばれる。.
可換体
抽象代数学において、可換体（かかんたい、corps commutatif）あるいは単に体（たい、field）本記事において単に体と言った場合「可換」体を意味するものとする。とは、零でない可換可除環、あるいは同じことだが、非零元全体が乗法の下で可換群をなすような環のことである。そのようなものとして体は、適当なアーベル群の公理と分配則を満たすような加法、減法、乗法、除法の概念を備えた代数的構造である。最もよく使われる体は、実数体、複素数体、有理数体であるが、他にも有限体、関数の体、代数体、''p'' 進数体、などがある。 任意の体は、線型代数の標準的かつ一般的な対象であるベクトル空間のスカラーとして使うことができる。（ガロワ理論を含む）体拡大の理論は、ある体に係数を持つ多項式の根に関係する。他の結果として、この理論により、古典的な問題である定規とコンパスを用いたや円積問題が不可能であることの証明や五次方程式が代数的に解けないというアーベル・ルフィニの定理の証明が得られる。現代数学において、体論は数論や代数幾何において必要不可欠な役割を果たしている。 代数的構造として、すべての体は環であるが、すべての環が体であるわけではない。最も重要な違いは、体は（ゼロ除算を除いて）除算ができるが、環は乗法逆元がなくてもよいということである。例えば、整数の全体は環をなすが、2x.
可換図式
5項補題の証明で使われる可換図式 数学、特に圏論において、可換図式 (commutative diagram) は、対象（あるいは頂点）と射（あるいは矢、辺）の図式であって、始点と終点が同じである図式のすべての向き付きの道が合成によって同じ結果になるようなものである。可換図式は代数学において方程式が果たすような役割を圏論において果たす（Barr-Wells, Section 1.7 を参照）。 図式は可換でないかもしれない、すなわち図式の異なる道の合成は同じ結果にならないかもしれないことに注意する。明確化のために、「この可換図式」(this commutative diagram) あるいは「図式は交換する」(the diagram commutes) といったフレーズが使われる。.
双対ベクトル空間
数学におけるベクトル空間の双対ベクトル空間（そうついベクトルくうかん、dual vector space）あるいは単に双対空間（そうついくうかん、dual space）は、そのベクトル空間上の線型汎函数（一次形式）全体の成す空間として定義される。有限次元ベクトル空間の双対空間はテンソルの研究に利用することができる。函数の成す（典型的には無限次元の）ベクトル空間に対する双対空間は、測度や超函数、あるいはヒルベルト空間のような概念の定義や研究に用いられ、結果として双対空間は函数解析学の研究における重要な観念となっている。 一般に双対空間には、代数的双対と連続的双対の二種類が用いられており、代数的双対は任意のベクトル空間に対して定義することができるが、位相線型空間を扱うときは代数的双対よりもその部分線型空間として、連続線型汎函数全体の成す連続的双対空間を考えるのが自然である。.
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同型写像
数学において，同型写像（isomorphismfrom the Ancient Greek: ἴσος isos "equal", and μορφή morphe "form" or "shape"）あるいは単に同型とは，は準同型写像あるいは射であって，逆射を持つものである逆関数ではない．．2つの数学的対象が同型 (isomorphic) であるとは，それらの間に同型写像が存在することをいう．自己同型写像は始域と終域が同じ同型写像である．同型写像の興味は2つの同型な対象は写像を定義するのに使われる性質のみを使って区別できないという事実にある．したがって同型な対象はこれらの性質やその結果だけを考える限り同じものと考えてよい． 群や環を含むほとんどの代数的構造に対して，準同型写像が同型写像であることと全単射であることは同値である． 位相幾何学において，射とは連続写像のことであるが，同型写像は同相写像あるいは双連続写像とも呼ばれる．解析学において，射は可微分関数であり，同型写像は微分同相とも呼ばれる． 標準的な同型写像 (canonical isomorphism) は同型であるようなである．2つの対象が標準的に同型 (canonically isomorphic) であるとは，それらの間に標準的な同型写像が存在することをいう．例えば，有限次元ベクトル空間 から二重双対空間への標準的な写像は標準的な同型写像である．一方， は双対空間に同型であるが，一般には標準的にではない． 同型写像は圏論を用いて形式化される．ある圏の射 が同型射であるとは，両側逆射を持つことをいう，すなわち，その圏における別の射 があって， かつ となる，ただし と はそれぞれ と の恒等射である．.
多元環
数学において、多元環（たげんかん、algebra）とは可換環上の加群としての構造を持ち、その構造と両立しているような積を持つ代数的構造のことである。algebra を直訳して代数（だいすう）と呼ぶことも多い。また、ブルバキの数学原論では（結合的なものを）線型環（せんけいかん）と呼んでいる。 双対概念である余代数（双対多元環）も参照。.
多様体の圏
数学の一分野である圏論において -級多様体の圏（たようたいのけん、category of manifolds） は、すべての -級可微分多様体を対象とし、すべての -級可微分写像（-回連続的微分可能写像を射とする圏である。二つの -級写像の合成はやはり -級となるから、確かにこれで圏が得られている。 しばしば特定の圏 に属する対象をモデルに持つ多様体（ における多様体対象）のみを考えたいという場合が生じる。そのような限定された意味の多様体の成す圏は のように書き表す。同様に特定の空間 の上で定められる多様体の成す圏を と書く。 滑らかな多様体の圏 やの圏 も同様に考えられる。.
完全系列
ホモロジー代数における完全系列（かんぜんけいれつ、exact sequence）あるいは完全列（かんぜんれつ）とは、環上の加群や群などの系列で各射の像空間が次の射の核空間と正確に合致するという意味で完全であるものをいう。.
完全関手
ホモロジー代数において、完全関手とは完全列を保存する関手のことをいう。完全関手は対象の表現にそのまま適用できるため便利である。ホモロジー代数の多くの研究は、完全関手にはならないがその不完全さを制御できる関手を扱うためのものである。.
導来函手
数学では、一部の函手から導来(derived)することにより、元の函手と密接に関連した新しい函手を得ることができる。導来という操作は、抽象的ではあるが、数学全体を通して多くの構成を統一する。.
小さい圏の圏
数学の特に圏論における（小さい）圏の圏（ちいさいけんのけん、category of small categories） は、すべての小さい圏を対象とし、圏の間の函手を射とする圏である。実際には、 は自然変換を (2-射) とする (2-圏) を成すものと見なせる。 の始対象は対象も射も持たない空圏 であり、終対象はただ一つの対象とただ一つの射（唯一の対象上の恒等射）のみからなる圏 （自明圏あるいは終圏という）である。 小さい圏の圏 それ自身は大きい圏であり、それゆえ自身を対象として含むことはない。ラッセルの逆理（の圏版）を避けるには「すべての（小さいとは限らない）圏の圏」はあってはならないが、「すべての圏の擬圏」(quasi­category of categories) CATを考えることはできる（擬圏は大きい圏を対象にできるという意味で圏ではないとすれば、圏の擬圏は自身を対象に含まない）。.
射 (圏論)
数学の多くの分野において、型射あるいは射（しゃ、morphism; モルフィズム）は、ある数学的構造を持つ数学的対象から別の数学的対象への「構造を保つ」写像の意味で用いられる（準同型）。この意味での射の概念は現代的な数学のあらゆる場所で繰り返し生じてくる。例えば集合論における射は写像であり、線型代数学における線型写像、群論における群準同型、位相空間論における連続写像、… といったようなものなどがそうである。 圏論における射はこのような概念を広く推し進め、しかしより抽象的に扱うものである。考える数学的対象は集合である必要はないし、それらの間の関係性である射は写像よりももっと一般の何ものかでありうる。 射の、そして射がその上で定義される構造（対象）を調べることは圏論の中核を成す。射に関する用語法の多くは、その直観的背景でもある（対象が単に付加構造を備えた集合で、射がその構造を保つ写像であるような圏）に由来するものとなっている。また圏論において、圏を図式と呼ばれる有向グラフによって見る立場から、射は有向辺あるいは矢印 (arrow) と呼ばれることもある。.
代数幾何学
代数幾何学（だいすうきかがく、algebraic geometry）とは、多項式の零点のなすような図形を代数的手法を用いて（代数多様体として）研究する数学の一分野である。大別して、「多変数代数函数体に関する幾何学論」「射影空間上での複素多様体論」とに分けられる。前者は代数学の中の可換環論と関係が深く、後者は幾何学の中の多様体論と関係が深い。20世紀に入って外観を一新し、大きく発展した数学の分野といわれる。 ルネ・デカルトは、多項式の零点を曲線として幾何学的に扱う発想を生みだしたが、これが代数幾何学の始まりとなったといえる。例えば、x, y を実変数として "x2 + ay2 − 1" という多項式を考えると、これの零点のなす R2 の中の集合は a の正、零、負によってそれぞれ楕円、平行な2直線、双曲線になる。このように、多項式の係数と多様体の概形の関係は非常に深いものがある。 上記の例のように、代数幾何学において非常に重要な問題として「多項式の形から、多様体を分類せよ」という問題が挙げられる。曲線のような低次元の多様体の場合、分類は簡単にできると思われがちだが、低次元でも次数が高くなるとあっという間に分類が非常に複雑になる。 当然、次元が上がると更に複雑化し、4次元以上の代数多様体についてはあまり研究は進んでいない。 2次元の場合、多様体に含まれる(−1)カーブと呼ばれる曲線を除外していくことにより、特殊な物をのぞいて極小モデルと呼ばれる多様体が一意に定まるので、2次元の場合の分類問題は「極小モデルを分類せよ」という問題に帰着される。 3次元の場合も同じように極小モデルを分類していくという方針が立てられたが、3次元の場合は、その極小モデルが一意に定まるかどうかが大問題であった。 しかし、1988年森重文により3次元多様体の極小モデル存在定理が証明され、以降「森のプログラム」と呼ばれるプログラムに沿って分類が強力に推し進められている。 19世紀中期に、ベルンハルト・リーマンがアーベル関数論の中で双有理同値など代数幾何学の中心概念を生み出し、19世紀後半には、イタリアの直観的な代数幾何学が発展した（代数幾何学のイタリア学派）。20世紀前半には、アンドレ・ヴェイユ、オスカー・ザリスキによって、抽象的な代数幾何学の研究が進められ、1950年代以降はグロタンディークのスキーム論によって代数幾何学全体が大きく書き直された。.
代数的位相幾何学
代数的位相幾何学（だいすうてきいそうきかがく、英語：algebraic topology、代数的トポロジー）は代数的手法を用いる位相幾何学の分野のことをいう。 古典的な位相幾何学は、図形として取り扱い易い多面体を扱っていたが、1900年前後のポワンカレの一連の研究を契機として20世紀に発展した。 ポワンカレは 1895年に出版した "Analysis Situs" の中で、ホモトピーおよびホモロジーの概念を導入した。これらはいまや代数的位相幾何学の大きな柱であると考えられている。 多様体、基本群、ホモトピー、ホモロジー、コホモロジー、ファイバー束などの、位相空間の不変量として代数系を対応させ、位相的性質を代数的性質に移して研究する．.
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代数方程式
数学において、代数方程式 (だいすうほうていしき、algebraic equation) とは（一般には多変数の）多項式を等号で結んだ形で表される方程式の総称で、式で表せば の形に表されるもののことである。言い換えれば、代数方程式は多項式の零点を記述する数学的対象である。.
位相空間
数学における位相空間（いそうくうかん, topological space）とは、集合にある種の情報（位相、topology）を付け加えたもので、この情報により、連続性や収束性といった概念が定式化可能になる。 位相空間論は位相空間の諸性質を研究する数学の分野である。.
位相空間の圏
数学の一分野である圏論における位相空間の圏（いそうくうかんのけん、category of topological spaces） あるいは \mathcal\!\!op は、位相空間を対象とし、連続写像を射とする圏を言う。ただし、しばしば対象や射を特定のものに制限したり適当なものに取り換えたりするので注意が必要である（例えば、対象はしばしばと仮定する）。これが圏を成すことは、二つの連続写像の合成がふたたび連続となることによる。圏 およびを圏論の手法を用いて研究する分野を圏論的位相空間論 (categorical topology) と言う。 注意: 記号 を位相多様体と連続写像の圏の意味で用いる文献があるので注意が必要である。必要ならば や などと書けば混乱は避けられる。.
余接束
数学、特に微分幾何学において、滑らかな多様体の余接束 (cotangent bundle) は多様体のすべての点におけるすべての余接空間からなるベクトル束である。それはまた接束の双対束として記述することもできる。.
圏 (数学)
数学の一分野である圏論において中核的な概念を成す圏（けん、category）は、数学的構造を取り扱うための枠組みであり、数学的対象をあらわす対象とそれらの間の関係を表す射の集まりによって与えられる。圏はそれ自体、群に類似した代数的構造として理解することができる 二つの圏が等しい（相等）とは、それらの対象の集まりが等しく、かつそれら対象の間の射の集まりが等しく、さらにそれら射の対の結合の仕方が相等となることを言う。圏論の目的に照らせば、圏がまったく相等しいことは非常に強すぎる条件であり（それよりも緩いでさえ強すぎる）、圏同値がしばしば考慮される（二つの圏が同値であるとは、大まかに言えば圏の相等において等式で与えられる関係を、それぞれの圏における同型で置き換えたものとして与えられる）。 圏論が初めて現れるのは Eilenberg–Mac Lane, "General Theory of Natural Equivalences" (1945) と題された論文である。古典的だが今もなお広く用いられる教科書として、マクレーンの がある。.
圏同値
数学、とりわけ圏論において、圏同値（けんどうち、equivalence of categories）とはふたつの圏が「本質的には同じである」という関係のことをいう。 多くの分野で圏同値の例がある。 圏同値を示すことで、対象になっている数学的な構造の間に強い相関関係があることがわかる。 場合によっては、その構造は表面的には無関係に見えるので、圏同値は有用である； つまりある定理を異なる数学的構造の定理に「翻訳」できることがある。 もしある圏が別の圏の双対圏と圏同値ならば、ふたつの圏は双対同値と言い、圏双対について論じることができる。 圏同値は圏の間の「可逆な」関手から成る。 しかしながら代数的な設定の下における同型とは異なり、関手とその「逆関手」の合成が恒等写像である必要はない。 その代わりに各対象が合成の像と自然同型であればよい。 そのため、このことはふたつの関手が「同型を除いて逆関手」であると言われたりする。 実際にという概念もあり、こちらは本当に関手が逆関手であることを要求するが、圏同値の概念に比べると実用性を欠く。.
圏論
圏論（けんろん、category theory）は、数学的構造とその間の関係を抽象的に扱う数学理論の 1 つである。 考えている種類の「構造」を持った対象とその構造を反映するような対象間の射の集まりからなる圏が基本的な考察の対象になる。 数学の多くの分野、また計算機科学や数理物理学のいくつかの分野で導入される一連の対象は、しばしば適当な圏の対象たちだと考えることができる。圏論的な定式化によって同種のほかの対象たちとの、内部の構造に言及しないような形式的な関係性や、別の種類の数学的な対象への関連づけなどが統一的に記述される。.
モノイド
数学、とくに抽象代数学における単系（たんけい、monoid; モノイド）はひとつの二項演算と単位元をもつ代数的構造である。モノイドは単位元をもつ半群（単位的半群）であるので、半群論の研究対象の範疇に属する。 モノイドの概念は数学のさまざまな分野に現れる。たとえば、モノイドはそれ自身が「ただひとつの対象をもつ圏」と見ることができ、したがって「集合上の写像とその合成」といった概念を捉えたものと考えることもできる。モノイドの概念は計算機科学の分野でも、その基礎付けや実用プログラミングの両面で広く用いられる。 モノイドの歴史や、モノイドに一般的な性質を付加した議論などは半群の項に譲る。.
モニック射
数学の圏論において、モニック射あるいはモノ射、単射 (monomorphism, monic morphism) とは、左簡約可能な射のことである。つまり、射 がモニックであるとは、任意の射 に対して、 が成り立つということである。 これは集合間の写像の意味での単射の抽象化であり、射が写像であり集合論的単射であれば圏論的単射であるが、逆は必ずしも成り立たない。しかしながら、集合の圏や群の圏、環上の加群の圏などでは、圏論の意味での単射は集合論の意味での単射と一致する。.
リー代数
数学において、リー代数、もしくはリー環日本語ではしばしば Lie algebra のことをリー環と呼ぶが、後述の Lie ring はより一般的な概念である。本項ではこの2つの用語を区別して用いる。は、「リー括弧積」（リーブラケット、Lie bracket）と呼ばれる非結合的な乗法 を備えたベクトル空間である。 の概念を研究するために導入された。"Lie algebra" という言葉は、ソフス・リーに因んで、1930年代にヘルマン・ワイルにより導入された。古い文献では、無限小群 (infinitesimal group) という言葉も使われている。 リー代数はリー群と密接な関係にある。リー群とは群でも滑らかな多様体でもあるようなもので、積と逆元を取る群演算がであるようなものである。任意のリー群からリー代数が生じる。逆に、実数あるいは複素数上の任意の有限次元リー代数に対し、対応する連結リー群がによる違いを除いて一意的に存在する（）。このによってリー群をリー代数によって研究することができる。.
リー群
リー群（リーぐん、Lie group）は群構造を持つ可微分多様体で、その群構造と可微分構造とが両立するもののことである。ソフス・リーの無限小変換と連続群の研究に端を発するためこの名がある。.
テンソル積
数学におけるテンソル積（テンソルせき、tensor product）は、線型代数学で多重線型性を扱うための線型化を担う概念で、既知のベクトル空間・加群など様々な対象から新たな対象を作り出す操作の一つである。そのようないずれの対象に関しても、テンソル積は最もな双線型乗法である。 共通の体 上の二つの ベクトル空間 のテンソル積 （基礎の体 が明らかな時には とも書く）はふたたびベクトル空間を成す。ベクトル空間のテンソル積を繰り返して得られるテンソル空間は物理的なテンソルを数学的に定式化する。テンソル空間に種々の積を入れてさまざまな多重線型代数・クリフォード代数が定式化されるが、その基本となる演算がテンソル積である。.
ホモトピー
数学におけるホモトピー (homotopy)とは、点や線や面などの幾何学的対象、あるいはそれらの間の連続写像が連続的に移りあうということを定式化した位相幾何学における概念のひとつである。位相幾何学では、2 つの対象 A と X との関係のうち、連続的な変形によって保たれるものを問題とすることが多い。これらの関係はふつう連続写像 A → X を通して定義され、ホモトピーの概念は連続的に変形する連続写像の族によって定式化される。ホモトピー的な種々の不変量は位相幾何学の研究における基本的な道具となる。 考察している幾何学的対象に「穴」が開いていれば、端を固定された曲線はそれを越えて連続的に変形することができない。したがって、ホモトピーによって「穴」の有無や、単純な構成要素に分解したときのそれらの組み合わせ的なつながり具合といった構造を調べることができる。ホモトピーが威力を発揮するのは、空間や写像といった幾何学的な対象に対し群や準同型などという代数的な対象を対応づけることであり、またそのような代数的な対象がしばしばもとの幾何学的な対象よりも単純化されているということにある。 このように、代数的な道具によって空間と写像の位相的性質を調べるという方法をとる幾何学は、代数的位相幾何学と呼ばれる。.
ベクトル空間
数学、特に線型代数学におけるベクトル空間（ベクトルくうかん、vector space）、または、線型空間（せんけいくうかん、linear space）は、ベクトルと呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である。ベクトルには和が定義され、またスカラーと呼ばれる数による積（「スケール変換」）を行える。スカラーは実数とすることも多いが、複素数や有理数あるいは一般の体の元によるスカラー乗法を持つベクトル空間もある。ベクトルの和とスカラー倍の演算は、「ベクトル空間の公理」と呼ばれる特定の条件（後述）を満足するものでなければならない。ベクトル空間の一つの例は、力のような物理量を表現するのに用いられる幾何ベクトルの全体である（同じ種類の任意の二つの力は、加え合わせて力の合成と呼ばれる第三の力のベクトルを与える。また、力のベクトルを実数倍したものはまた別の力のベクトルを表す）。同じ調子で、ただしより幾何学的な意味において、平面や空間での変位を表すベクトルの全体もやはりベクトル空間を成す。 ベクトル空間は線型代数学における主題であり、ベクトル空間はその次元（大雑把にいえばその空間の独立な方向の数を決めるもの）によって特徴づけられるから、その観点からはよく知られている。ベクトル空間は、さらにノルムや内積などの追加の構造を持つこともあり、そのようなベクトル空間は解析学において主に函数をベクトルとする無限次元の函数空間の形で自然に生じてくる。解析学的な問題では、ベクトルの列が与えられたベクトルに収束するか否かを決定することもできなければならないが、これはベクトル空間に追加の構造を考えることで実現される。そのような空間のほとんどは適当な位相を備えており、それによって近さや連続性といったことを考えることができる。こういた位相線型空間、特にバナッハ空間やヒルベルト空間については、豊かな理論が存在する。 歴史的な視点では、ベクトル空間の概念の萌芽は17世紀の解析幾何学、行列論、連立一次方程式の理論、幾何ベクトルの概念などにまで遡れる。現代的な、より抽象的な取扱いが初めて定式化されるのは、19世紀後半、ペアノによるもので、それはユークリッド空間よりも一般の対象が範疇に含まれるものであったが、理論の大半は（直線や平面あるいはそれらの高次元での対応物といったような）古典的な幾何学的概念を拡張することに割かれていた。 今日では、ベクトル空間は数学のみならず科学や工学においても広く応用される。ベクトル空間は線型方程式系を扱うための適当な線型代数学的概念であり、例えば画像圧縮ルーチンで使われるフーリエ展開のための枠組みを提示したり、あるいは偏微分方程式の解法に用いることのできる環境を提供する。さらには、テンソルのような幾何学的および物理学的な対象を、抽象的に座標に依らない で扱う方法を与えてくれるので、そこからさらに線型化の手法を用いて、多様体の局所的性質を説明することもできるようになる。 ベクトル空間の概念は様々な方法で一般化され、幾何学や抽象代数学のより進んだ概念が導かれる。.
ベクトル束
数学において、ベクトル束（べくとるそく、vector bundle; ベクトルバンドル）は、ある空間 （例えば、 は位相空間、多様体、代数多様体等）により径数付けられたベクトル空間の族を作るという方法で与えられる幾何学的構成である。.
アレクサンドル・グロタンディーク
アレクサンドル・グロタンディーク（Alexander Grothendieck, 1928年3月28日 - 2014年11月13日）は主にフランスで活躍した、ドイツ出身のユダヤ系フランス人の数学者である。 日本の数学界では彼は「グロタンディク」、「グロタンディック」、「グロタンディエク」、「グロタンディエック」、「グロテンディーク」、「グローテーンディーク」などと表記されているGrothendieck という名は、オランダ起源です。オランダにはこの名と類似の名（en dyck など）はよくあるものです。それは『大きな堤防』の意味です。私は（オランダ語よみやフランス語よみでなく）ドイツ語の発音―グロテンディーク―にしたがっています。。.
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アーベル群
数学、とくに抽象代数学におけるアーベル群（アーベルぐん、abelian group）または可換群（かかんぐん、commutative group）は、群演算が可換な群、すなわちどの二つの元の積も掛ける順番に依らず定まる群を言う。名称は、ノルウェーの数学者ニールス・アーベルに因む。 アーベル群は環や体、環上の加群やベクトル空間といった抽象代数学の概念において、その基礎となる加法に関する群（加法群）としてしばしば生じる。任意の抽象アーベル群についても、しばしば加法的な記法（例えば群演算は "+" を用いて表され、逆元は負符号を元の前に付けることで表す）が用いられ、その場合に用語の濫用で「加法群」と呼ばれることがある。また任意のアーベル群は整数全体の成す環 上の加群とみることができ、その意味でやはり用語の濫用だがアーベル群のことを「加群」と呼ぶこともある。 一般に可換群はに比べて著しく容易であり、とくに有限アーベル群の構造は具さに知られているが、それでも無限アーベル群論はいまなお活発な研究領域である。.
エミー・ネーター
アマーリエ・エミー・ネーター (Amalie Emmy Noether,; 1882年3月23日 - 1935年4月14日) はユダヤ系ドイツ人数学者であり、抽象代数学と理論物理学への絶大な貢献で有名である。ネーターは、パヴェル・アレクサンドロフ (Pavel Alexandrov)、アルベルト・アインシュタイン (Albert Einstein)、ジャン・ディュドネ (Jean Dieudonné)、ヘルマン・ヴァイル (Hermann Weyl)、ノーバート・ウィーナー (Norbert Wiener) によって、数学の歴史において最も重要な女性と評されている。彼女の時代の先導的数学者の一人として、彼女は環、体、多元環の理論を発展させた。物理学では、ネーターの定理は対称性と保存則の間の関係を説明する。 ネーターはエルランゲンのフランケン地方の町のユダヤの家系に生まれた。父は数学者のである。彼女はもともと、必要な試験を通った後フランス語と英語を教える予定だったが、そうしないで数学を彼女の父が講義しているエルランゲン大学で学んだ。 (Paul Gordan) の指導の下1907年に学位論文を完成させた後、彼女は7年間無給でエルランゲンの数学研究所で働いた。当時女性は大学の職から大きく遮断されていた。1915年、彼女はダフィット・ヒルベルト (David Hilbert) とフェリックス・クライン (Felix Klein) によってゲッチンゲン大学数学科、世界規模で有名な数学研究の中心、に招かれた。しかしながら、哲学的な教授陣は反対し、彼女は4年間をヒルベルトの名の下での講義に費やした。彼女の （大学教授資格試験）が1919年に承認され、彼女は Privatdozent （私講師）の地位を得ることができた。 ネーターは1933年までゲッチンゲン数学科の主導的一員だった。彼女の生徒は "Noether boys" と呼ばれることもあった。1924年、オランダ人数学者 は彼女の仲間に入り、すぐにネーターのアイデアの主導的解説者になった。彼女の仕事は彼の影響の大きい1931年の教科書 （現代代数学）の第二巻の基礎であった。1932年のチューリッヒでの国際数学者会議での彼女の plenary address （全員参加の講演）の時までには彼女の代数的な洞察力は世界中で認められていた。翌年、ドイツのナチ政府はユダヤ人を大学の職から解雇し、ネーターはアメリカに移ってペンシルヴァニアので職を得た。1935年、彼女は卵巣嚢腫の手術を受け、回復の兆しにもかかわらず、4日後53歳で亡くなった。 ネーターの数学的研究は3つの「時代」に分けられている。第一の時代 (1908–19)、彼女はと数体の理論に貢献した。変分法における微分不変量に関する彼女の仕事、ネーターの定理は、「現代物理学の発展を先導したこれまでに証明された最も重要な数学な定理の1つ」と呼ばれてきた。第二の時代 (1920–26)、彼女は「代数学の顔を変えた」仕事を始めた。彼女の高尚な論文 Idealtheorie in Ringbereichen (環のイデアル論, 1921) においてネーターは可換環のイデアルの理論を広範な応用を持つ道具へと発展させた。彼女は昇鎖条件を手際よく使った。それを満たす対象は彼女に敬意を表してと呼ばれる。第三の時代 (1927–35)、彼女は非可換代数と超複素数についての研究を出版し、群の表現論を加群とイデアルの理論と統合した。ネーターは自身の出版物に加え、自分の考えに惜しみなく、他の数学者によって出版されたいろいろな研究の功績が、代数的位相幾何学のような彼女の研究とはかけ離れた分野においてさえ、認められている。.
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エヴァリスト・ガロア
ヴァリスト・ガロア（Évariste Galois, 1811年10月25日 - 1832年5月31日）は、フランスの数学者および革命家である。フランス語の原音（）に忠実に「ガロワ」と表記されることもある。.
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エピ射
数学の圏論において、エピ射あるいは全射 (epimorphism, epic morphism) とは、右簡約可能な射のことである。つまり、射 がエピであるとは、任意の射 に対して、 が成り立つということである。 これは集合間の写像の意味での全射の抽象化であり、射が写像であり集合論的全射であれば圏論的全射であるが、逆は必ずしも成り立たない。例えば可換環の圏における整数環から有理数体への包含写像 が反例となる。しかしながら、集合の圏や群の圏、環上の加群の圏などでは、圏論の意味での全射は集合論の意味での全射と一致する。.
冪集合
冪集合（べきしゅうごう、power set）とは、数学において、与えられた集合から、その部分集合の全体として新たに作り出される集合のことである。べきは冪乗の冪（べき）と同じもので、冪集合と書くのが正確だが、一部分をとった略字として巾集合とも書かれる。 集合と呼ぶべき対象を公理的に構成的に与える公理的集合論では、集合から作った冪集合が集合と呼ばれるべきもののうちにあることを公理の一つ（冪集合公理）としてしばしば提示する。.
写像の微分
数学の一分野、微分幾何学における多様体間の写像の微分（びぶん、differential）または全微分 は、通常の解析学における全微分の概念を可微分写像に対して一般化するもので、可微分多様体間の可微分写像のある意味での最適線型近似を各点において与えるものである。より具体的に、可微分多様体 の間の可微分写像 に対し、 の における微分（係数） は、 における の接空間から における の接空間への線型写像として与えられる。 各点における微分係数 は、接束を考えることにより、 を動かして微分写像（導写像） にすることができる。 は接写像とも呼ばれ、可微分多様体の接束をとる操作（接構成）は接写像を伴って可微分多様体の圏からベクトル束の圏への函手（接函手）を定める。.
公理
公理（こうり、axiom）とは、その他の命題を導きだすための前提として導入される最も基本的な仮定のことである。一つの形式体系における議論の前提として置かれる一連の公理の集まりを (axiomatic system) という 。公理を前提として演繹手続きによって導きだされる命題は定理とよばれる。多くの文脈で「公理」と同じ概念をさすものとして仮定や前提という言葉も並列して用いられている。 公理とは他の結果を導きだすための議論の前提となるべき論理的に定式化された（形式的な）言明であるにすぎず、真実であることが明らかな自明の理が採用されるとは限らない。知の体系の公理化は、いくつかの基本的でよく知られた事柄からその体系の主張が導きだせることを示すためになされることが多い。 なお、ユークリッド原論などの古典的な数学観では、最も自明（絶対的）な前提を公理、それに準じて要請される前提を公準 (postulate) として区別していた。.
充満関手と忠実関手
圏論において，忠実関手（ちゅうじつかんしゅ，faithful functor）（resp.
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前加法圏
数学、特に圏論において、前加法圏とは可換群のなすモノイド圏で豊穣化した圏のことである。言い換えると、圏Cが前加法的であるとは、Cの各hom集合 Hom(A,B) が可換群の構造を持ち、さらに射の合成について双線形であることをいう。 可換群の圏 を Ab と書く記法に由来して、前加法圏を「Ab-圏」と呼ぶこともある。著者によっては前加法圏を加法圏と呼ぶこともあるが、ある特別な前加法圏(以下の#特別な場合を参照)のことを加法圏と呼ぶのが最近の傾向である。.
米田の補題
米田の補題（よねだのほだい、Yoneda lemma）とは、小さなhom集合をもつ圏 C について、共変hom関手 hom(A, -): C → Set から集合値関手 F: C → Set への自然変換と、集合である対象 F(A) の要素との間に一対一対応が存在するという定理である。名称は米田信夫に因む。.
線型写像
数学の特に線型代数学における線型変換（せんけいへんかん、linear transformation、一次変換）あるいは線型写像（せんけいしゃぞう、linear mapping）は、ベクトルの加法とスカラー乗法を保つ特別の写像である。特に任意の（零写像でない）線型写像は「直線を直線に移す」。 抽象代数学の言葉を用いれば、線型写像とは（体上の加群としての）ベクトル空間の構造を保つ準同型のことであり、また一つの固定された体上のベクトル空間の全体は線型写像を射とする圏を成す。 「線型変換」は線型写像とまったく同義と扱われる場合もあるが、始域と終域を同じくする線型写像（自己準同型）の意味で用いていることも少なくない。また函数解析学の分野では、（特に無限次元空間上の）線型写像のことを「線型作用素」（せんけいさようそ、linear operator）と呼ぶことも多い。スカラー値の線型写像はしばしば「線型汎函数」もしくは「一次形式」（いちじけいしき、linear form, one-form; 線型形式; 1-形式）とも呼ばれる一次の微分形式（一次微分形式もしくは微分一次形式; differential one-form）を単に「一次形式」または「1-形式」(one-form) と呼ぶこともある。これとの対照のため、本項に云う意味での一次形式を「代数一次形式」(albegraic one-form) と呼ぶ場合がある。。 線形等の用字・表記の揺れについては線型性を参照。.
線型結合
線型結合（せんけいけつごう、）は、線型代数学およびその関連分野で用いられる中心的な概念の一つで、平たく言えば、ベクトルの定数倍と加え合わせのことである。一次結合あるいは線型和とも呼ぶ。 いくつかのベクトルを組み合わせると他のベクトルを作ることができる。例えば、2次元数ベクトルを例にとれば、ベクトル v.
群 (数学)
数学における群（ぐん、group）とは最も基本的と見なされる代数的構造の一つである。群はそれ自体興味深い考察対象であり、群論における主要な研究対象となっているが、数学や物理学全般にわたってさまざまな構成に対する基礎的な枠組みを与えている。.
群作用
数学における群作用（ぐんさよう、group action）は、群を用いて物体の対称性を記述する方法である。.
環上の加群
抽象代数学における環上の加群（かぐん、module）とは、ベクトル空間を一般化した概念で、係数（スカラー）を体の元とする代わりに、より一般の環の元としたものである。つまり、加群とは（ベクトル空間がそうであるように）加法的なアーベル群であって、その元と環の元との間に乗法が定義され、その乗法が結合的かつ加法に関して分配的となるようなものである。 任意のアーベル群は有理整数環上の加群であり、したがって環上の加群はアーベル群の一般化でもある。また、環のイデアルは環上の加群であり、したがって環上の加群はイデアルの一般化でもある。このように環上の加群はベクトル空間・アーベル群・イデアルを包括する概念であるので、さまざまな議論を加群の言葉によって統一的に扱うことができるようになる。 加群は群の表現論に非常に近しい関連を持つ。また、加群は可換環論やホモロジー代数における中心概念の一つであり、ひろく代数幾何学や代数的位相幾何学において用いられる。.
点付き空間
数学における点付き空間（てんつきくうかん、pointed space; （基）点付き（位相）空間）は、基点 と呼ばれる区別を受ける点を備えた位相空間を言う。基点というのは、その空間内から選び出された単に特定の一点ということに過ぎないのであるが、しかしいったん選び出されたならば一連の議論の間は基点を変えることはできないし、様々な操作においてその結果として基点がどうなるのかを追うことを免れ得ない。 点付き空間の間の点付き写像 とは、基点を保つ連続写像のことを言う。すなわち、点付き空間 から への点付き写像とは、写像 が各空間の位相 に関して連続で、 を満たすときに言い、それをふつうは のように書く。点付き空間は代数的位相幾何学、特にホモトピー論において重要であり、そこでは基本群などの様々な構成が、基点の選び方に依存して定まる。 点付き集合の概念は、点付き離散空間に他ならないから、重要性はやや落ちる。 点付き空間はしばしば、部分集合が一点集合であるような相対位相の特別の場合ととられる。そうすればホモトピー論の大部分は点付き空間上でふつうに展開でき、相対位相を代数的位相幾何学に持ち込むことができる。.
随伴関手
数学の特に圏論における随伴（ずいはん、adjunction）は、二つの関手の間に考えることができる（ある種の双対的な）関係をいう。随伴の概念は数学に遍在し、最適化や効率に関する直観的概念を明らかにする。 最も簡潔な対称的定義において、圏 と の間の随伴とは、二つの関手 の対であって、全単射の族 が変数 に関して自然（あるいは函手的）となるものを言う。このとき、関手 を左随伴函手と呼び、他方 を右随伴函手と呼ぶ。また、「 は の左随伴である」 (同じことだが、「 は の右随伴である」)という関係を と書く。 以下では、この定義や他の定義を詳細化する。.
豊穣圏
数学の一分野、圏論における豊穣圏（ほうじょうけん、enriched category; 豊饒圏、豊穣化された圏、豊饒化された圏）は、（局所的に小さい）圏におけるを一般のモノイド圏の対象に置き換えて得られる圏の一般化である。このようなものを考える意義は、実際の応用の多くにおいて射集合が追加の構造を備えている（例えば射のベクトル空間や射の位相空間になっている）ことが期待されることがしばしばあるという観察に基づく。 一つの豊饒圏において、対象の任意の対に付随する射集合は、よくわからない「射対象」("hom-objects"; ホム対象) の成す何らかの固定されたモノイド圏（「射圏」; "hom-category"; ホム圏）の対象に置き換えられる。通常の圏における射の（結合的な）合成を再現するためには、射圏は射対象の間に定義される結合的な合成を持たなければならない。つまり、少なくとも、射対象の間の二項演算がモノイド圏の構造から導入される必要がある。文脈によってはその演算が可換であったり、右随伴を持ったりすることがあり得るし、それが必要とされる場合もある（それにより圏がや、さらにモノイド閉圏となる）。 したがって豊饒圏論は広く多様な構造を同じ枠組みに包摂するものである。そのような構造として以下のようなものが挙げられる.
転置写像
線型代数学におけるベクトル空間の間の線型写像の転置（てんち、transpose）は、各ベクトル空間の双対空間の間に誘導される。そのような転置写像 (transpose of a linear map) はもとの線型写像を知るためにしばしば有用である。この概念は随伴函手によって一般化することができる。.
部分圏
数学において，圏 の部分圏（ぶぶんけん，subcategory）とは，圏 であって対象が の対象で射が の射で同じ恒等射と射の合成をもつものである．直観的には， の部分圏は から対象と射をいくつか「取り除いて」得られる圏である．.
関手
圏論における関手（かんしゅ、functor）は、圏から圏への構造と両立する対応付けである。関手によって一つの数学体系から別の体系への組織的な対応が定式化される。関手は「圏の圏」における射と考えることもできる。 関手の概念の萌芽はエヴァリスト・ガロアによる群を用いた代数方程式の研究に見ることができる。20世紀はじめのエミー・ネーターらによる加群の研究において拡大加群などさまざまな関手的構成が蓄積された。20世紀半ばの代数的位相幾何学において実際に関手が定義され、図形から様々な「自然な」代数的構造を取り出す操作を定式化するために利用された。ここでは（基本群のような）代数的対象が位相空間から導かれ、位相空間の間の連続写像は基本群の間の代数的準同型を導いている。その後アレクサンドル・グロタンディークらによる代数幾何学の変革の中でさまざまな数学的対象の関手による定式化が徹底的に追求された。.
関手圏
圏論という数学の分野において、与えられた2つの圏の間の関手たちは関手圏（かんしゅけん、functor category）と呼ばれる圏をなす。その対象は関手であり、射は関手の間の自然変換である。関手圏は主に2つの理由によって興味が持たれる：.
集合の圏
数学の一分野である圏論において、集合の圏（しゅうごうのけん、category of sets）Set (あるいは \mathcal などとも書く) は、その対象の成す類が集合全体の成す類であるような圏である。ただし、対象の間の射の類は、集合 に対して を任意の写像とするとき、 の形に書ける三つ組全体の成す集合によって与えられる。.
連続写像
位相空間論において函数や写像が連続（れんぞく、continuous）であるというのは、ある特定の意味で位相空間の間の位相的構造を保つある種の準同型となっていることを意味し、それ自体が位相空間論における興味の対象ともなる。数学の他の領域における各種の連続性の定義も、位相空間論における連続性の定義から導出することができる。連続性は、空間の位相が同相（位相同型）であることの基礎となる概念であり、特に全単射な連続写像が同相写像であるための必要十分条件は、その逆写像もまた連続となることである。 連続でない写像あるいは函数は、不連続であると言う。 連続性と近しい関係にある概念として、一様連続性、同程度連続性、作用素の有界性などがある。 位相空間の間の写像の連続性の概念は、それが距離空間の間の連続函数の場合のような明確な「距離」の概念を一般には持たない分、より抽象的である。位相空間というのは、集合 とその上の位相（あるいは開集合系）と呼ばれる の部分集合族で（距離空間における開球体全体の成す族の持つ性質を一般化するように）合併と交叉に関する特定の条件を満足するものを組にしたもので、位相空間においても与えられた点の近傍について考えることができる。位相に属する各集合は の（その位相に関する）開部分集合と呼ばれる。.
Kan拡張
圏論においてカン拡張とは普遍性を持つ構成の一種である。 カン拡張は随伴関手と近い関係を持つばかりでなく、圏における極限概念やエンドとも関係している。カン拡張の名は1960年に極限を用いてこの拡張を構成した ダニエル・カンの名に由来している。黎明期のカン拡張はホモロジー代数で導来関手を求める際に使われていた。 圏論の基礎（ ソーンダース・マックレーン 著）においてMac Laneは「すべての概念はカン拡張である」と述べ、さらには「カン拡張には圏論における基本的な概念がすべて含まれている」とまで述べている。 ある部分集合上で定義された関数を全体集合にまで拡張する操作を一般化したものがカン拡張である。カン拡張の定義は、当然のように高度に抽象化されている。特別な場合として、半順序集合の場合には、カン拡張は'constrained optimization'の問題となり比較的馴染み深いものになる。.
接束
微分幾何学において、可微分多様体 の接束（せっそく、tangent bundle, 接バンドル、タンジェントバンドル) は の接空間の非交和である。つまり、.
準同型
準同型（じゅんどうけい、homomorphic）とは、複数の対象（おもに代数系）に対して、それらの特定の数学的構造に関する類似性を表す概念で、構造を保つ写像である準同型写像（じゅんどうけいしゃぞう、homomorphism) を持つことを意味する。構造がまったく同じであることを表すときは、準同型・準同型写像の代わりに同型（どうけい、isomorphic）および同型写像（どうけいしゃぞう、isomorphism）という術語を用いる。しばしば、準同型写像・同型写像のことを指して単に準同型・同型と呼ぶ。いずれも、「型」の代わりに「形」が用いられることが稀にある。.
数学
数学（すうがく、μαθηματικά, mathematica, math）は、量（数）、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.
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反変函手、反変関手、函手、共変函手、共変関手、表現可能函手、表現可能関手。
