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22 関係: 可逆元、可換体、可換環、対称群、一般線型群、交換法則、忠実表現、ブレイド群、アメリカ数学会、置換行列、群 (数学)、群の表現、群作用、環 (数学)、行列の乗法、正則行列、正方行列、準同型、指標理論、有限単純群の分類、有限群、数学。
可逆元
数学、とくに代数学における可逆元（かぎゃくげん、invertible element）または単元（たんげん、unit）とは、一般に代数系の乗法と呼ばれる二項演算に対する逆元を持つ元のことをいう。
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可換体
抽象代数学において可換体（かかんたい、corps commutatif）あるいは単に体（たい、field）本記事において単に体と言った場合「可換」体を意味するものとする。とは、零でない可換可除環、あるいは同じことだが非零元全体が乗法の下で可換群をなすような環のことである。そのようなものとして体は、適当なアーベル群の公理と分配則を満たすような加法、減法、乗法、除法の概念を備えた代数的構造である。最もよく使われる体は、実数体、複素数体、有理数体であるが、他にも有限体、関数の体、代数体、''p'' 進数体などがある。 任意の体は、線型代数の標準的かつ一般的な対象であるベクトル空間のスカラーとして使うことができる。（ガロア理論を含む）体拡大の理論は、ある体に係数を持つ多項式の根に関係する。他の結果として、この理論により、古典的な問題である定規とコンパスを用いたや円積問題が不可能であることの証明や五次方程式が代数的に解けないというアーベル-ルフィニの定理の証明が得られる。現代数学において、体論は数論や代数幾何において必要不可欠な役割を果たしている。
見る 行列群と可換体
可換環
数学、特に抽象代数学の一分野である環論における可換環（かかんかん、commutative ring）は、その乗法が可換であるような環をいう。可換環の研究は可換環論あるいは可換代数学と呼ばれる。 いくつか特定の種類の可換環は以下のようなクラスの包含関係にある。
見る 行列群と可換環
対称群
対称群（たいしょうぐん、）とは、「ものを並べ替える」という操作を元とする群である。この場合の「ものを並べ替える」操作のことを置換（ちかん、）という。数学の議論の様々な場面で「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてを調べる」ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。置換のうちで特別なものだけを集めて得られる群は置換群（ちかんぐん、）と呼ばれる。置換群が空間 の変換群として与えられているとき、 の元 の置換は で与えられる の部分群の分だけ潰れているが、これは のなかに と「同じ」元が複数含まれている場合に対応しており、 の中でこれらを区別することができれば の元の置換から対称群 が回復される。
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一般線型群
数学において、一般線型群（いっぱんせんけいぐん、general linear group）とは線型空間上の自己同型写像のなす群のこと。あるいは基底を固定することで、正則行列のなす群のことを指すこともある。
見る 行列群と一般線型群
交換法則
初等代数学における交換法則（こうかんほうそく、commutative law; 可換則、交換律）は、与えられた演算の二つの引数を互いに入れ替えても結果が変わらないことを述べる。また交換法則を満足する演算は可換性（commutative property; 交換性質）を持つと言う。例えば自然数に関する足し算や掛け算は交換法則を満たしている。
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忠実表現
数学、特に表現論という抽象代数学の一分野において、群 のベクトル空間 上における忠実表現（ちゅうじつひょうげん、faithful representation） とは、 の異なる元 が の異なる線型写像 に対応する線型表現のことである。 より抽象的な言葉では、これは群準同型 が単射であることを意味する。あるいは核 が自明であると言い換えることもできる。 たとえば正則表現は忠実表現のひとつである。 注意： の体 上の表現は事実上 加群と同じである（ は群 の群環を表す）が、 の忠実表現が群環の忠実加群であるとは限らない。実は任意の忠実 加群は の忠実表現であるが、逆は成り立たない。例えば対称群 の置換行列による 次元の自然表現を考えると、これは確かに忠実であるが、群の位数は である一方 行列の全体は 次元のベクトル空間をなすので、 が 以上であれば、次元勘定により（ だから）置換行列の間に線型独立性が生じなければならず、したがって群環上の加群は忠実ではない。
見る 行列群と忠実表現
ブレイド群
数学において、 本の糸のブレイド群(braid group)（組みひも群とも呼ぶ）は、と記し、直感的には幾何学的に描かれる群であり、ある意味で 対称群 を一般化する。ここに は自然数であり、 であれば、 は(infinite group)である。ブレイド群は、結び目をあるブレイド（組みひも）の閉じた形として表現することができるので、結び目理論に応用を持つ。 n, is a group which has an intuitive geometrical representation, and in a sense generalizes the symmetric group.
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アメリカ数学会
アメリカ数学会（アメリカすうがくかい、英語：American Mathematical Society、略称：AMS）は、アメリカ合衆国の数学の学会である。現会員数は、32000人。 イギリス滞在中にロンドン数学会の影響を受けたトーマス・フィスクによって1888年に設立された。1894年7月に、現在の名前で再編成された。 AMS は組版処理ソフトウェア TeX のマクロパッケージである や AmS-LaTeX の開発を支援した。また、SIAMとの合弁事業で MathJax オープンソースプロジェクトを管理している。
見る 行列群とアメリカ数学会
置換行列
数学の特に行列論における置換行列（ちかんぎょうれつ、permutation matrix）は、各行各列にちょうど一つだけ の要素を持ち、それ以外は全て となるような正方行列を言う。そのような -次正方行列の各々は、特定の 文字の置換を表現するもので、右または左からの行列の積によって列または行の置換を引き起こす。
見る 行列群と置換行列
群 (数学)
数学における群（ぐん、group）とは、ある二項演算とその対象となる集合とを合わせて見たときに結合性を伴い単位元と逆元を備えるものをいう。数学において最も基本的と見なされる代数的構造の一つであり、数学や物理学全般において、さまざまな構成に対する基礎的な枠組みを与えている。群はそれ自体が研究対象であり、その領域は群論と呼ばれる。
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群の表現
数学において、群の表現（ぐんのひょうげん、group representation）とは、抽象的な群 の元 に対して具体的な線形空間 の正則な線形変換としての実現を与える準同型写像 のことである。線型空間 の基底を取ることにより、 をより具体的な正則行列として表すことができる。
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群作用
数学における群作用（ぐんさよう、group action）は、群を用いて対象の対称性を記述する方法である。
見る 行列群と群作用
環 (数学)
数学における環（かん、ring）とは、台集合に「加法」（和）および「乗法」（積）と呼ばれる二種類の二項演算を備えた代数系のことである。 最もよく知られた環の例は、整数全体の成す集合に自然な加法と乗法を考えたものである（これは乗法が可換だから可換環の例でもある）。ただし、それが環と呼ばれるためには、環の公理として、加法は可換で、加法と乗法はともに結合的であって、乗法は加法の上に分配的で、各元は加法逆元をもち、加法単位元が存在すること、が全て要求される。したがって、台集合は加法の下「加法群」と呼ばれるアーベル群を成し、乗法の下「乗法半群」と呼ばれる半群であって、乗法は加法に対して分配的であり、またしばしば乗法単位元を持つ乗法に関しては半群となることのみを課す（乗法単位元の存在を要求しない）こともある。
見る 行列群と環 (数学)
行列の乗法
数学において、行列の対から別の行列を作り出す二項演算としての行列の乗法（ぎょうれつのじょうほう）は、実数や複素数などの数が初等的な四則演算でいうところの乗法を持つことと対照的に、そのような「数の配列」の間の乗法として必ずしも一意的な演算を指しうるものではない。そのような意味では、一般に「行列の乗法」は幾つかの異なる二項演算を総称するものと考えることができる。行列の乗法の持つ重要な特徴には、与えられた行列の行および列の数（行列の型やサイズあるいは次元と呼ばれるもの）が関係して、得られる行列の成分がどのように特定されるかが述べられるということが挙げられる。 例えば、ベクトルの場合と同様に、任意の行列に対してスカラーを掛けるという操作が、その行列の全ての成分に同じ数を掛けるという方法で与えられる。また、の場合と同様に、同じサイズの行列に対して成分ごとの乗法を入れることによって定まる行列の積はアダマール積と呼ばれる。それ以外にも、二つの行列のクロネッカー積は区分行列として得られる。
見る 行列群と行列の乗法
正則行列
正則行列（せいそくぎょうれつ、regular matrix）、非特異行列（ひとくいぎょうれつ、non-singular matrix）あるいは可逆行列（かぎゃくぎょうれつ、invertible matrix）とは、行列の通常の積に関する逆元を持つ正方行列のことである。この逆元を、元の正方行列の逆行列という。例えば、複素数体上の二次正方行列 a & b c & d end が正則行列であるのは が成立するとき、かつ、そのときに限る。このとき逆行列は で与えられる。 ある体上の同じサイズの正則行列の全体は一般線型群と呼ばれる群を成す。多項式の根として定められる部分群は線形代数群あるいは行列群と呼ばれる代数群の一種で、その表現論が代数的整数論などに広い応用を持つ幾何学的対象である。
見る 行列群と正則行列
正方行列
正方行列（せいほうぎょうれつ、square matrix）とは、行要素の数と列要素の数が一致する行列である。サイズが n × n つまり、n 行 n 列であるとき、n 次正方行列という。 end。
見る 行列群と正方行列
準同型
代数学において、二つの代数系が準同型（じゅんどうけい、homomorphic）であるとは、それらの間に数学的構造を保つ写像である準同型写像（じゅんどうけいしゃぞう、homomorphism) があることを意味する。 構造がまったく同じであることを表すときは、代わりに同型（どうけい、isomorphic）および同型写像（どうけいしゃぞう、isomorphism）という術語を用いる。 構造により、等長・等距、同相や射型などといった特定の術語が用いられることがある。
見る 行列群と準同型
指標理論
数学、特に群論において、群の表現の指標（しひょう、character）は、群の各元に対応する行列のトレースを対応させる写像である。指標は表現の本質的な情報をより凝縮された形で持っている。ゲオルク・フロベニウスは最初に、指標のみに基づいて、表現の明示的な行列表示は用いずに、を発展させた。これは有限群の複素表現はその指標によって（同型を除いて）決定されるから可能である。正標数の体上の表現、いわゆる「モジュラー表現」の場合には、状況はより繊細であるが、はこの場合にも指標の強力な理論を発展させた。有限群の構造に関する多くの深い定理はモジュラー表現の指標を用いる。
見る 行列群と指標理論
有限単純群の分類
有限単純群の分類 とは、数学において全ての有限単純群を4つの大まかなクラスへと分類する定理である。 これらの群は、全ての有限群を構成する基本的な要素として見ることが出来る。 この分類定理の証明は、主に1955年から2004年にわたり出版された、100以上の著者により数百の学術誌において書かれた、計1万5000ページ以上もの成果の集大成である。ダニエル・ゴーレンシュタイン (d.1992) と、らは、この証明を整理し見通しよく改訂した「第2世代の証明」の出版を開始している。 (有限単純群の分類問題のあらすじ解説)。
見る 行列群と有限単純群の分類
有限群
数学および抽象代数学において、有限群(ゆうげんぐん、finite group)とは台となっている集合 G が有限個の元しか持たない群のことである。20世紀の間数学者は、特に有限群のや、可解群や冪零群の理論などといった、有限群の理論のさまざまな面を深く研究していた。全ての有限群の構造の完全な決定は余りに遠大な目標だった: あり得る構造の数はすぐに圧倒的に大きくなった。しかし、単純群の完全な分類という目標は達成された。つまり任意の有限群の「組み立て部品」は現在では完全に知られている（任意の有限群は組成列を持つ）。 20世紀の後半には、シュヴァレーやといった数学者によってや関連する群の有限類似の理解が深まった。それらの群の族の一つには有限体上の一般線型群がある。
見る 行列群と有限群
数学
数学（すうがく）とは、数・量・図形などに関する学問であり、理学の一種。「算術・代数学・幾何学・解析学・微分法・積分法などの総称」とされる。 数学は自然科学の一種にも、自然科学ではない「形式科学」の一種にも分類され得る。
見る 行列群と数学