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32 関係: 多様体、代数幾何学、弦理論、マキシム・コンツェビッチ、バナッハ空間、モジュライ空間、リーマン面、フレドホルム作用素、ファノ多様体、ホモロジー (数学)、分岐被覆、アティヤ＝シンガーの指数定理、オイラー標数、グロモフ・ウィッテン不変量、コンパクト空間、シンプレクティック多様体、シンプレクティック幾何学、ソボレフ空間、サードの定理、等長写像、閉多様体、自然数、陰函数定理、Lp空間、Well-defined、楕円型作用素、概複素構造、正則関数、有理数、斜交ベクトル空間、数え上げ幾何学、数学。
多様体
多様体（たようたい、manifold, Mannigfaltigkeit）とは、局所的にはユークリッド空間と見なせるような図形や空間（位相空間）のことである。多様体上には好きなところに局所的に座標を描き込むことができる。.
代数幾何学
代数幾何学（だいすうきかがく、algebraic geometry）とは、多項式の零点のなすような図形を代数的手法を用いて（代数多様体として）研究する数学の一分野である。大別して、「多変数代数函数体に関する幾何学論」「射影空間上での複素多様体論」とに分けられる。前者は代数学の中の可換環論と関係が深く、後者は幾何学の中の多様体論と関係が深い。20世紀に入って外観を一新し、大きく発展した数学の分野といわれる。 ルネ・デカルトは、多項式の零点を曲線として幾何学的に扱う発想を生みだしたが、これが代数幾何学の始まりとなったといえる。例えば、x, y を実変数として "x2 + ay2 − 1" という多項式を考えると、これの零点のなす R2 の中の集合は a の正、零、負によってそれぞれ楕円、平行な2直線、双曲線になる。このように、多項式の係数と多様体の概形の関係は非常に深いものがある。 上記の例のように、代数幾何学において非常に重要な問題として「多項式の形から、多様体を分類せよ」という問題が挙げられる。曲線のような低次元の多様体の場合、分類は簡単にできると思われがちだが、低次元でも次数が高くなるとあっという間に分類が非常に複雑になる。 当然、次元が上がると更に複雑化し、4次元以上の代数多様体についてはあまり研究は進んでいない。 2次元の場合、多様体に含まれる(−1)カーブと呼ばれる曲線を除外していくことにより、特殊な物をのぞいて極小モデルと呼ばれる多様体が一意に定まるので、2次元の場合の分類問題は「極小モデルを分類せよ」という問題に帰着される。 3次元の場合も同じように極小モデルを分類していくという方針が立てられたが、3次元の場合は、その極小モデルが一意に定まるかどうかが大問題であった。 しかし、1988年森重文により3次元多様体の極小モデル存在定理が証明され、以降「森のプログラム」と呼ばれるプログラムに沿って分類が強力に推し進められている。 19世紀中期に、ベルンハルト・リーマンがアーベル関数論の中で双有理同値など代数幾何学の中心概念を生み出し、19世紀後半には、イタリアの直観的な代数幾何学が発展した（代数幾何学のイタリア学派）。20世紀前半には、アンドレ・ヴェイユ、オスカー・ザリスキによって、抽象的な代数幾何学の研究が進められ、1950年代以降はグロタンディークのスキーム論によって代数幾何学全体が大きく書き直された。.
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弦理論
弦理論（げんりろん、string theory）は、粒子を0次元の点ではなく1次元の弦として扱う理論、仮説のこと。ひも理論、ストリング理論とも呼ばれる。.
マキシム・コンツェビッチ
マキシム・コンツェビッチ マキシム・コンツェビッチ（Максим Концевич,Maxim Kontsevich, 1964年8月25日 - ）は、ロシア出身の数学者。専門は数理物理学、代数幾何学、トポロジー。 モスクワ大学で数学を学び、ドイツのボン大学で の指導の下、1992年に博士号を取得。 1998年のICM(Berlin, German)でフィールズ賞を受賞した。 現在はフランスのIHES教授兼ラトガース大学教授。 業績に、 ウィッテン予想の証明。つまり量子重力の二つのモデルが等価であることの証明や位相的場の理論における貢献。 結び目理論におけるコンツェビッチ不変量（完全な量子不変量として期待されている。）の構成、一般のポアソン多様体の変形量子化、 行列型エアリー関数の構成、量子コホモロジー環の定式化、モチーフ的ガロア群における貢献、オペラドの再発見、 シンプレクティック幾何学の非可換化、モチーフ積分、モチーフ測度の創始、安定曲線や安定写像のモジュライスタックの超弦理論への応用、 ホモロジカルミラー対称性予想の提起、カラビ-ヤウ多様体に対する平坦構造（フロベニウス構造）の構成、リジッド解析幾何学のミラー対称性への応用。ヤコビヤン予想をディクシマー予想に帰着させた。 Cubic K3曲面におけるホモロジー的ミラー対称性予想を解決がある。 関数体上のラングランズ予想の高次元化やヴェイユ予想の高次元化を提唱した。 ドリーニュ61歳記念カンファレンスでは非可換モチーフについて講演した。.
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バナッハ空間
数学におけるバナッハ空間（バナッハくうかん、Banach space; バナハ空間）は、完備なノルム空間、即ちノルム付けられた線型空間であって、そのノルムが定める距離構造が完備であるものを言う。 解析学に現れる多くの無限次元函数空間、例えば連続函数の空間（コンパクトハウスドルフ空間上の連続写像の空間）、 ''L''''p''-空間と呼ばれるルベーグ可積分函数の空間、ハーディ空間と呼ばれる正則函数の空間などはバナッハ空間を成す。これらはもっとも広く用いられる位相線型空間であり、これらの位相はノルムから規定されるものになっている。 バナッハ空間の名称は、この概念をハーンとヘリーらと共に1920-1922年に導入したポーランドの数学者ステファン・バナフに因む。.
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モジュライ空間
代数幾何学では、モジュライ空間（moduli space）とは（普通、スキーム、もしくは(algebraic stack)）空間の点が、決められた種類の代数幾何学的な対象を表す点となっている、もしくは、そのような対象と(isomorphism class)を表現している点からなる幾何学的な空間のことを言う。そのような空間はしばしば分類問題の解として現れる。注目している対象の集まり（例えば、決められた種数を持つ滑らかな代数曲線のような）へ幾何学的空間の構造を与えることができると、出来上がる空間に座標を導入することで対象をパラメータ化することができる。この脈絡では、「モジュラス」という用語は「パラメータ」と同じような意味に使われる。モジュライ空間は、初期には、対象の空間というよりはパラメータの空間として理解されていた。.
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リーマン面
数学、特に複素解析においてリーマン面（Riemann surface）とは、連結な複素 1 次元の複素多様体のことである。ベルンハルト・リーマンにちなんで名付けられた。 リーマン面は、複素平面を変形したものと考えられる。 各点の近くで局所的には、複素平面の部分に似ているが、大域的位相は大きく異なり得る。例えば、球面、トーラス、または互いに糊付けした二枚の面のように見え得る。 リーマン面の主要な意味合いは、正則関数がそこで定義できることである。 今日、リーマン面は正則関数、特に、平方根や自然対数等の多価関数の大域的振る舞いを研究するための自然な土台と考えられている。 全てのリーマン面は向きづけ可能な実 2 次元の実解析的多様体（従って曲面）であって、正則関数を一義的に定義するために必要な追加的構造（特に複素構造）を含む。2 次元実多様体は、それが向き付け可能な場合、かつその場合に限り、（通常は、等価でない複数の方法により）リーマン面にすることができる。従って、球面やトーラスは複素構造を持ち得るが、メビウスの輪、クラインの壺および射影平面は持ち得ない。 リーマン面は、でき得る限り良い特性を有しているという幾何学的事実から、他の曲線、多様体または代数多様体に対し一般化の直感および動機をしばしばもたらす。リーマン・ロッホの定理は、この影響の第一の例である。.
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フレドホルム作用素
数学の分野におけるフレドホルム作用素（フレドホルムさようそ、Fredholm operator）とは、積分方程式に関するフレドホルム理論において登場するある作用素のことを言う。数学者のエリック・イヴァル・フレドホルムの名にちなむ。 フレドホルム作用素は、二つのバナッハ空間の間の有界線形作用素であって、その核および余核が有限次元であり、その値域が閉であるようなもののことを言う（最後の条件は実際には必要ない）。またそれと同値な定義として、ある作用素 T: X → Y がフレドホルム作用素であるとは、それがコンパクト作用素を法として可逆な作用素である（適当なコンパクト作用素の違いを除いて可逆である）こと、というものがある。すなわち がそれぞれ空間 X および Y 上のコンパクト作用素となるような有界線形作用素 S: Y → X が存在するならば、T はフレドホルム作用素である。 フレドホルム作用素の指数は あるいは、それと同値だが で定義される（記号の意味については次元、零空間、 を参照されたい）。.
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ファノ多様体
代数幾何学では、ファノ多様体(Fano variety)は、 により導入され、多様体上の反標準バンドルが豊富な(complete variety) X のことを言う。この定義は、X がある定義体上で(smooth)なことを前提としているが、極小モデルプログラムでは、端末特異点(canonical singularity)やklt特異点(klt singularity)（川又対数端末特異点）といった、様々なタイプの特異点を持ったファノ多様体の研究も進められていた。 X* is ample.
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ホモロジー (数学)
数学、とくに代数的位相幾何学や抽象代数学において、ホモロジー (homology) （「同一である」ことを意味するギリシャ語のホモス (ὁμός) に由来）は与えられた数学的対象、例えば位相空間や群に、アーベル群や加群の列を対応させる一つの一般的な手続きをいう。より詳しい背景については ホモロジー論 を見られたい。また、ホモロジーの手法の位相空間に対する具体的な適用については特異ホモロジーを、群についてのそれは群コホモロジーを、それぞれ参照されたい。 位相空間に対しては、ホモロジー群は一般にホモトピー群よりもずっと計算しやすく、したがって、空間を分類する道具としてはより手軽に扱えるものといえるだろう。.
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分岐被覆
数学では、分岐被覆(branched covering)は、小さな集合を除き、ほぼ全体が被覆写像となっている写像を記述する。.
アティヤ＝シンガーの指数定理
アティヤ＝シンガーの指数定理(Atiyah–Singer index theorem)とは、スピンc多様体 の上の複素ベクトル束の間の楕円型微分作用素について、解析的指数と呼ばれる量と位相的指数と呼ばれる量とが等しいという定理である。解析的指数は与えられた楕円型微分作用素が定める偏微分方程式の解の次元を表す解析的な量であり、一方で位相的指数は微分作用素の主表象をもとにして多様体のコホモロジーを通じて定義される幾何的な量である。従って指数定理は解析学と幾何学という見かけ上異なった体系の間のつながりを与えているという意味で20世紀の微分幾何学における最も重要な定理ともいわれる。 本稿で述べる形の指数定理はマイケル・アティヤとイサドール・シンガーによって1963年に発表され、1968年に証明 が刊行された。指数定理の特別な場合として、以前から知られていたガウス・ボンネの定理やヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理（ヒルツェブルフのリーマン・ロッホの定理）などが含まれていると理解できる。さらに、1950年代の終わりに得られていた（グロタンディークのリーマン・ロッホの定理）はこの定理の定式化に大きな影響を与えたとされ、グロタンディークが代数多様体に対して用いたK理論の構成を微分多様体に対して実行することが指数定理の定式化・証明における重要なステップをなしている。またアティヤ-シンガーによる枠組みの一般化として群が作用している場合や、楕円型微分作用素を持つ多様体が、ある多様体によってパラメーター付けされた族として与えられている場合、葉層構造によってパラメーター付けが与えられている場合などに指数定理が一般化されている。 この定理の研究から、アティヤとシンガーは2004年にアーベル賞を受賞した。.
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オイラー標数
イラー標数（オイラーひょうすう、）とは、位相空間のもつある種の構造を特徴付ける位相不変量のひとつ。オイラーが多面体の研究においてこの不変量を用いたことからこの名がある。オイラー数と呼ばれることもあるが、オイラー数は別の意味で使われることも多い。.
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グロモフ・ウィッテン不変量
数学、特にシンプレクティックトポロジーや代数幾何学では、グロモフ・ウィッテン(GW)不変量(Gromov–Witten (GW) invariant)は、ある状況下では、与えられたシンプレクティック多様体の中で決められた条件にあう(pseudoholomorphic curve)を数える有理数である。GW不変量は、ホモロジーやコホモロジー類として適切な空間の中に実現され、あるいは量子コホモロジーの変形されたカップ積として実現される。これらの不変量は、以前は識別できなかったシンプレクティック多様体を識別することに使われる。GW不変量はまた、閉じたタイプ IIA弦理論で重要な役目を果たす。GW不変量は、ミハイル・グロモフ(Mikhail Leonidovich Gromov)とエドワード・ウィッテン(Edward Witten)の名前にちなんでいる。 数学的に厳密なグロモフ・ウィッテン不変量の定義は、長く難しいので、安定写像という記事と分けて扱う。本記事では、何が不変を意味するか、どのようにして計算するか、なぜグロモフ・ウィッテン不変量が重要なのかのより直感的な説明を試みる。.
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コンパクト空間
数学において、コンパクト（compact）は位相空間の性質である。詳細は後述するがコンパクト性の定義それ自身は直観性に乏しいものであり、証明を容易にする為のいわば操作的なものである。しかし距離空間であればより直観的な言葉でいいかえる事ができ、特に有限次元のユークリッド空間においては有界閉集合であることとコンパクト集合であることとは同値になる。したがってコンパクトの概念はユークリッド空間における有界閉集合の概念を一般の位相空間に拡張したものとしてとらえる事ができる。 なお無限次元では有界閉集合はコンパクトとは限らず、例えばヒルベルト空間内の（縁を含んだ）単位球体は有界かつ閉集合であるがコンパクトではない（距離位相を入れた場合）。 ブルバキでは、ここでいう定義を満たす位相空間を準コンパクト（quasi-compact）と呼び、さらにハウスドルフの分離公理を満たすものをコンパクトであると呼んでいる。距離空間など多くの空間ではハウスドルフの分離公理が満たされるので両者の概念は一致するが、一般には注意が必要である。.
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シンプレクティック多様体
数学におけるシンプレクティック多様体（symplectic manifold）は、シンプレクティック形式と呼ばれる非退化な閉形式である 2-形式を持つ滑らかな多様体である。シンプレクティック多様体の研究分野はシンプレクティック幾何学やシンプレクティックトポロジーと呼ばれる。シンプレクティック多様体は、古典力学の抽象的定式化であるハミルトン力学などにおいて多様体の余接バンドルとして自然に表れるもので、この分野に対して大きな動機付けを与えた。実際、系の取り得るすべての配位が成す集合を多様体としてモデル化すると、この多様体は系の相空間を記述する。 シンプレクティック多様体上の微分可能な実数値関数 H は(energy function)を与えることができ、これをハミルトニアンと呼ぶ。どのようなハミルトニアンに対してもハミルトンベクトル場が対応付けられる。ハミルトンベクトル場の積分曲線はハミルトン方程式の解曲線になる。ハミルトンベクトル場は、シンプレクティック多様体上のフロー（ハミルトンフロー、あるいは、シンプレクティック同相写像と呼ばれる）を定め、リウヴィルの定理によれば、ハミルトンフローは相空間上の体積要素を保存する。.
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シンプレクティック幾何学
ンプレクティック幾何学（シンプレクティックきかがく、symplectic geometry）とは、シンプレクティック多様体上で展開される幾何学をいう。シンプレクティック幾何学は解析力学を起源とするが、現在では大域解析学の一分野でもあり、可積分系・非可換幾何学・代数幾何学などとも深い繋がりを持つ。また、弦理論や超対称性との関わりも盛んに研究がなされている。.
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ソボレフ空間
数学においてソボレフ空間（ソボレフくうかん、Sobolev space）は、函数からなるベクトル空間で、函数それ自身とその与えられた階数までの導函数の ''Lp''-ノルムを組み合わせて得られるノルムを備えたものである。ここでいう微分を適当な弱い意味での微分と解釈することにより、ソボレフ空間は完備距離空間、したがってバナッハ空間を成す。直観的には、ソボレフ空間は（偏微分方程式のような応用範囲に対して）十分多くの導函数を持つ函数からなるバナッハ空間あるいはヒルベルト空間であって、函数の大きさと滑らかさの両方を測るようなノルムを備えたものということである。 ソボレフ空間の名称はロシア人数学者のセルゲイ・ソボレフに因む。ソボレフ空間の重要性は、偏微分方程式の解というものは古典的な意味での導函数を備える連続函数からなる古典的な空間の中ではなく、むしろソボレフ空間の中にあるとして捉えたほうが自然であるという事実にある。.
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サードの定理
ードの定理（サードのていり、Sard's theorem）、サードの補題、モース・サードの定理は解析学の定理で、「ユークリッド空間（または多様体）から他のユークリッド空間（または多様体）への滑らかな関数 f について、f の臨界点全体の f による像は、ルベーグ測度が 0 である（つまり、零集合である）」ことを言うものである。ルベーグ測度が 0 であるというのは、そのような点が「ほとんどない」ということである。.
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等長写像
数学、とくに幾何学において等長写像（とうちょうしゃぞう）または等距離写像（とうきょりしゃぞう）とは、"長さ" を変えない（距離を保つ、distance preserving）写像のことである。全単射であるものに限って等長写像 (isometry) という場合もある。.
閉多様体
数学において、閉多様体 (closed manifold) とは、境界を持たないコンパクトな多様体のことである。境界が存在しえない文脈では、任意のコンパクト多様体が閉多様体である。 コンパクト多様体は、直感的な意味で、「有限」である。コンパクト性の基本的な性質により、閉多様体は連結閉多様体の有限個の非交和である。幾何学的トポロジーの最も基本的な目的の 1 つは、閉多様体がどのくらいあるかを理解することである。.
自然数
自然数（しぜんすう、natural number）とは、個数、もしくは順番を表す一群の数のことである。集合論においては、自然数は物の個数を数える基数のうちで有限のものであると考えることもできるし、物の並べ方を示す順序数のうちで有限のものであると考えることもできる。 自然数を 1, 2, 3, … とする流儀と、0, 1, 2, 3, … とする流儀があり、前者は数論などでよく使われ、後者は集合論、論理学などでよく使われる（詳しくは自然数の歴史と零の地位の節を参照）。いずれにしても、0 を自然数に含めるかどうかが問題になるときは、その旨を明記する必要がある。自然数の代わりに非負整数または正整数と言い換えることによりこの問題を避けることもある。 数学の基礎付けにおいては、自然数の間の加法についての形式的な逆元を考えることによって整数を定義する。正の整数ないしは負でない整数を自然数と同一視し、自然数を整数の一部として取扱うことができる。自然数と同様に整数の全体も可算無限集合である。 なお、文脈によっては、その一群に属する個々の数（例えば 3 や 18）を指して自然数ということもある。.
陰函数定理
数学の特に多変数微分積分学における陰函数定理（いんかんすうていり、implicit function theoremは、多項関係を多変数函数（特に）に読み替えることを可能にする基本的な道具である。グラフについて見れば、関係のグラフを函数のグラフとして表すということになる。このとき、関係全域を一つの函数のグラフとして表せるとは限らないが、関係の始域を制限すればそのような函数が取れる。陰函数定理はそのような函数の存在を保証するための十分条件を与えるものである。 定理の主張する所は、方程式 が、偏微分に関してある種の緩やかな条件を満足するならば、原理的には（つまり必ずしもに書くことができるとは限らないが）少なくとも適当な円板上において -個の各変数 を -個の変数 に関する式 として表すことができる。 からこれら陰伏函数 が得られるというのは、幾何学的には の定める超曲面と一致する によって定義される軌跡である。.
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Lp空間
数学の分野における Lp 空間（エルピーくうかん、Lp space）とは、有限次元ベクトル空間に対する p-ノルムの自然な一般化を用いることで定義される関数空間である。アンリ・ルベーグの名にちなんでルベーグ空間としばしば呼ばれる が、 によると初めて導入されたのは とされている。Lp 空間は関数解析学におけるバナッハ空間や、線型位相空間の重要なクラスを形成する。物理学や統計学、金融、工学など様々な分野で応用されている。.
Well-defined
数学における は、ある概念が数学的あるいは論理学的に特定の条件を公理に用いて定義・導入されるとき、その定義（における公理の組）が自己矛盾をその中に含み持たぬ状態にあることを言い表す修飾語句である。また、ある概念の定義をする場合、そう決めることによって、何も論理的な矛盾なく上手くいくということ（定義の整合性）が確認されているということを言い表す言葉である。文脈により、「うまく定義されている」「矛盾なく定まった」「定義可能である」などと表現されることもある。 でないことは、 であることとは異なる。 は「状態」を表す形容詞であるが、日本語の定訳はなく慣例的に形容詞と動詞の複合語に訳されるか、そのまま形容動詞的に「 である」といった形で用いる。名詞形 などもあり、これを 性と記すことはできるが日本語訳としてこなれたものは特には存在しない（文脈によっては「定義可能性」などで代用可能である）。.
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楕円型作用素
数学の偏微分方程式の理論において、楕円型作用素（だえんがたさようそ、）とは、ラプラス作用素を一般化した微分作用素のことを言う。最高次の微分の係数が正であるという条件によって定義され、このことは主表象が可逆であるか、または同値であるが、実の特性方向が存在しないという重要な性質を意味する。 楕円型作用素は、ポテンシャル論において典型的に現れるものであり、静電気学や連続体力学において頻繁に用いられる。楕円型正則性は、解が（作用素の係数が滑らかであれば）滑らかな函数になる傾向にあることを意味する。双曲型偏微分方程式や放物型偏微分方程式の定常解は一般に楕円型方程式によって解かれる。.
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概複素構造
数学における多様体の概複素構造（がいふくそこうぞう、almost complex structure）は、多様体の各点での接ベクトル空間が（滑らかな）複素構造を持つことを言う。1つの多様体に対して複数の概複素構造が入る場合がある。また、複素解析的多様体は必ず概複素構造をもつ一方で、概複素構造を持ちながら複素解析的多様体とならないものが存在する。概複素多様体はシンプレクティック幾何学に重要な応用を持つ。 この概念は、1940年代の(Charles Ehresmann)と(Heinz Hopf)による。.
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正則関数
複素解析において、正則関数（せいそくかんすう、regular analytic function）あるいは整型函数（せいけいかんすう、holomorphic function）とは、ガウス平面あるいはリーマン面上のある領域の全ての点で微分可能であるような複素変数のことである。.
有理数
有理数（ゆうりすう、rational number) とは、二つの整数 a, b （ただし b は 0 でない）をもちいて a/b という分数で表せる数のことをいう。b.
斜交ベクトル空間
数学において、斜交ベクトル空間（しゃこうべくとるくうかん、）（シンプレクティックベクトル空間ともいう）とは、斜交形式（しゃこうけいしき、 シンプレクティック形式とも）と呼ばれる非退化反対称双線型形式 を備えたベクトル空間 のことである。 斜交形式の定義を明示的に書くと、以下を満たす双線形形式 である。.
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数え上げ幾何学
数学では数え上げ幾何学(enumerative geometry)は代数幾何学の一分野であり、主に交叉理論により、幾何学的な問題の解の数を数え上げることに関連している。.
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数学
数学（すうがく、μαθηματικά, mathematica, math）は、量（数）、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.
