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43 関係: 原子論理式、型付きラムダ計算、型システム、反射関係、存在論、一階述語論理、二項関係、圏論、ペール・マルティン＝レーフ、ペアノの公理、バートランド・ラッセル、モンタギュー文法、ラッセルのパラドックス、プリンキピア・マテマティカ、プログラミング言語、データ型、アルフレッド・ノース・ホワイトヘッド、コンパイラ、公理型、公理的集合論、値 (情報工学)、真理値、領域理論、論理式、議論領域、関数 (数学)、量化、自由変数と束縛変数、自然言語、自然数、集合、集合論、接中辞、推移関係、恒等式、様相論理、指示関数、指標、文字列、意味論、数理論理学、整数、時相論理。
原子論理式
原子論理式（atomic formula）または素論理式（そろんりしき）は、それを構成する部分論理式を持たない論理式である。何をもって原子論理式とするかは論理体系による。たとえば命題論理における原子論理式は命題変数である。 原子論理式は論理システムにおける最も単純な論理式である。整論理式はまず全ての原子論理式を示し、次に整論理式から整論理式を形成するルールを与えるという帰納的な方法によって定義される（再帰的定義）。複数の原子論理式から構成される論理式を複合論理式という。 例として命題論理に関する整論理式の定義を示す.
型付きラムダ計算
型付きラムダ計算（typed lambda calculus）とは、無名の関数の抽象表現にラムダ (\lambda) というシンボルを用いる型付き形式手法である。型付きラムダ計算は基礎的なプログラミング言語でもあり、MLやHaskellなどの型付き関数型言語の基盤であり、さらには型付き命令型プログラミング言語の間接的な基盤とも言える。また、カリー・ハワード同型対応によって数理論理学と証明論とも密接に関連しており、圏論のクラスの内部言語と見なすこともできる。例えば単純な型付きラムダ計算はデカルト閉圏 (CCC) の言語である。 ある観点から見れば、型付きラムダ計算は型を持たないラムダ計算を改良したものと言えるが、別の観点からは、より根本的な理論と見ることもでき、型を持たないラムダ計算の方が型が1つしかない特殊ケースと見ることができる。 様々な型付きラムダ計算がこれまで研究されてきた。単純型付きラムダ計算はいくつかの基本型（または型変数）と関数型 \sigma\to\tau から成る。System T はこれを拡張し、自然数型と高階原始再帰を加えたものである。この系ではペアノ算術において全ての再帰する可能性のある関数が定義可能である。System F は、全ての型に対して全称量化を施すことでポリモーフィズムを実現している。これを論理学的に見れば、二階述語論理に属する全ての関数を記述できることを意味する。依存型のあるラムダ計算は直観主義的型理論の基盤であり、calculus of constructions や logical framework (LF) の基盤である。Berardi の成果に基づき Barendregt が提案したラムダ・キューブは、純粋な型付きラムダ計算（単純型付きラムダ計算、System F、LF、calculus of constructions など）の関係を体系化したものである。 一部の型付きラムダ計算には「派生型」の記法が導入されている。すなわち、A が B の派生型であるとき、型が A である全ての項は型が B でもある。派生型のある型付きラムダ計算は単に普通の型付きラムダ計算に結合型 (conjunctive type) と F^\leq (F-sub) を加えたものである。 以上の体系はすべて（型のないラムダ計算以外）、「強く正規化 (strongly normalizing)」する。すなわち、全ての計算は停止する。結果としてそれらは論理として一貫しており、uninhabited types がある。しかし、強く正規化しない型付きラムダ計算も存在する。全ての型の型 (Type: Type) を持つ依存型付きラムダ計算は Girard's paradox により正規化しない。この系は最も単純な純粋型システムでもあり、ラムダ・キューブを一般化した形式手法である。明示的な再帰コンビネータを持つ系（Gordon Plotkin の PCF など）も正規化しないが、論理体系として解釈されることを意図していない。実際、PCF (Programming language for Computable Functions) は型付き関数型プログラミング言語であり、型はプログラムが正しく動作することを保証する目的で使われているが、必ずしも停止を保証しない。 型付きラムダ計算はプログラミング言語の新たな型システムの設計で重要な役割を演じている。型付け可能性は一般にプログラミングの好ましい属性を捉え、例えば、プログラムがメモリアクセス違反を起こさないようにするといったことが考えられる。 プログラミングにおいて、強い型付けのプログラミング言語のルーチン（関数、プロシージャ、メソッド）は、型付きラムダ計算と密接に関連している。Eiffelには "inline agent" の記法があり、型付きラムダ式を直接定義して操作できる。例えば、agent (p: PERSON): STRING do Result.
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型システム
型システム（type system）とは、プログラミング言語において、その式などの部分が持つ値を、その種類（型(type)、データ型も参照）に沿って分類し、プログラムが正しく振る舞うこと、といった性質について保証する手法である。型システムは、型理論に基づいており、プログラミング言語の理論において最も確立された軽量形式手法である。.
反射関係
反射関係（はんしゃかんけい、reflexive relation）は、数学における二項関係の一種。二項関係には反射性 (reflexivity) のものと非反射性 (irreflexivity) のものがある。なお、ここでの（二項）関係は X × X という形式であり、集合 X からそれ自身への関係である。.
存在論
存在論（そんざいろん、ontology、Ontologie）は、哲学の一部門。さまざまに存在するもの（存在者）の個別の性質を問うのではなく、存在者を存在させる存在なるものの意味や根本規定について取り組むもので、形而上学ないしその一分野とされ、認識論と並ぶ哲学の主要分野でもある。.
一階述語論理
一階述語論理（いっかいじゅつごろんり、first-order predicate logic）とは、個体の量化のみを許す述語論理 (predicate logic) である。述語論理とは、数理論理学における論理の数学的モデルの一つであり、命題論理を拡張したものである。個体の量化に加えて述語や関数の量化を許す述語論理を二階述語論理（にかいじゅつごろんり、second-order predicate logic）と呼ぶ。それにさらなる一般化を加えた述語論理を高階述語論理（こうかいじゅつごろんり、higher-order predicate logic）という。本項では主に一階述語論理について解説する。二階述語論理や高階述語論理についての詳細は「二階述語論理」「高階述語論理」を参照。.
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二項関係
数学において、二項関係（にこうかんけい、binary relation）あるいは二変数関係 (dyadic relation, 2-place relation) は、集合 の元からなる順序対のあつまりである。別な言い方をすれば、直積集合 の部分集合を、集合 上の二項関係と呼ぶ。あるいはもっと一般に、二つの集合 に対して、 と との間の二項関係とは、直積 の部分集合のことをいう。 二項関係の一つの例は素数全体の成す集合 と整数全体の成す集合 の間の整除関係である。この整除関係では任意の素数 は、 の倍数である任意の整数 に関係を持ち、倍数でない整数には関係しないものとして扱われる。例えば、素数 が関係を持つ整数には などが含まれるが や は含まれない。同様に素数 が関係する整数として などが挙げられるが、 や はそうではない。 二項関係は数学のさまざまな分野で用いられ、不等関係、恒等関係、算術の整除関係、初等幾何学の合同関係、グラフ理論の隣接関係、線型代数学の直交関係などのさまざまな概念が二項関係として定式化することができる。また、写像の概念を特別な種類の二項関係として定義することもできる。二項関係は計算機科学においても重用される。 二項関係はn-項関係 （各 -番目の成分が関係の -番目の始集合 からとられているようなn-組からなる集合）で とした特別の場合である。 ある種の公理的集合論では（集合の一般化としての）類の上の関係を考えることができる。このような拡張は、集合論における元の帰属関係や包含関係の概念（に限った話ではないが）のモデル化を、ラッセルの逆理のような論理矛盾に陥らずに行うために必要である。.
圏論
圏論（けんろん、category theory）は、数学的構造とその間の関係を抽象的に扱う数学理論の 1 つである。 考えている種類の「構造」を持った対象とその構造を反映するような対象間の射の集まりからなる圏が基本的な考察の対象になる。 数学の多くの分野、また計算機科学や数理物理学のいくつかの分野で導入される一連の対象は、しばしば適当な圏の対象たちだと考えることができる。圏論的な定式化によって同種のほかの対象たちとの、内部の構造に言及しないような形式的な関係性や、別の種類の数学的な対象への関連づけなどが統一的に記述される。.
ペール・マルティン＝レーフ
ペール・マルティン＝レーフ (Per Martin-Löf, 1942年 -) はスウェーデンの論理学者、哲学者、数学者。の創案者として知られる。２００９年までストックホルム大学数学部および哲学部教授を務めた。.
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ペアノの公理
ペアノの公理（ペアノのこうり、Peano axioms） とは、自然数全体を公理化したものである。1891年に、ジュゼッペ・ペアノによって定義された。.
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バートランド・ラッセル
3代ラッセル伯爵、バートランド・アーサー・ウィリアム・ラッセル（Bertrand Arthur William Russell, 3rd Earl Russell, OM, FRS、1872年5月18日 - 1970年2月2日）は、イギリスの哲学者、論理学者、数学者であり、社会批評家、政治活動家である。ラッセル伯爵家の貴族であり、イギリスの首相を2度務めた初代ラッセル伯ジョン・ラッセルは祖父にあたる。名付け親は同じくイギリスの哲学者ジョン・スチュアート・ミル。ミルはラッセル誕生の翌年に死去したが、その著作はラッセルの生涯に大きな影響を与えた。生涯に4度結婚し、最後の結婚は80歳のときであった。1950年にノーベル文学賞を受賞している。.
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モンタギュー文法
モンタギュー文法（モンタギューぶんぽう）は、自然言語の意味論へのアプローチの一つ。アメリカ合衆国の論理学者リチャード・モンタギューの名を採って名付けられた。.
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ラッセルのパラドックス
ラッセルのパラドックス（Russell's paradox）とは、素朴集合論において矛盾を導くパラドックスである。バートランド・ラッセルからゴットロープ・フレーゲへの1902年6月16日付けの書簡における、フレーゲの『算術の基本法則』における矛盾を指摘する記述に表れる。これは1903年に出版されたフレーゲの『算術の基本法則』第II巻（Grundgesetze der Arithmetik II）の後書きに収録されている。同じパラドックスはツェルメロが1年先に発見していたが、彼はその発見を公開せず、ヒルベルトやフッサールなどのゲッティンゲン大学の同僚たちだけに知られているだけだった。 ラッセルが型理論（階型理論）を生み出した目的にはこの種のパラドックスを解消するということも含まれていた。.
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プリンキピア・マテマティカ
短縮版『プリンキピア・マテマティカ 56節まで』の表紙 『プリンキピア・マテマティカ』(Principia Mathematica:数学原理)は、アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドとバートランド・ラッセルによって書かれ、1910年から1913年に出版された、数学の基礎に関する全3巻からなる著作である。それは、記号論理学において、明示された公理の一組と推論規則から数学的真理すべてを得る試みである。『プリンキピア』のための主なインスピレーションと動機の1つは論理学に関するフレーゲの初期の仕事で、それがパラドックスをもたらすことをラッセルが発見したのである。 プリンキピアは、数学論理と哲学においてアリストテレスの『オルガノン』以来もっとも重要で独創的な仕事の一つと、広く専門家に考えられている。 モダン・ライブラリーは、この本を20世紀のノンフィクション書籍上位100のリスト(Modern Library 100 Best Nonfiction)の23位に位置づけた。.
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プログラミング言語
プログラミング言語（プログラミングげんご、programming language）とは、コンピュータプログラムを記述するための形式言語である。なお、コンピュータ以外にもプログラマブルなものがあることを考慮するならば、この記事で扱っている内容については、「コンピュータプログラミング言語」（computer programming language）に限定されている。.
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データ型
データ型（データがた、）とは、（コンピュータにおける）データ（値）の種類に関する分類である。データタイプとも。 具体的にいうと、たとえば 0, 1, 2, -42 といったような値は整数型であり、"foo", "Hello" といったような値は文字列型である。プログラミングなどにおいて、まずデータオブジェクトや関数などの「値」について、またさらに、それらに関連付け（束縛）される変数や定数、リテラル、それらを組合せる演算子、さらにそれらからなる式といった構文上の要素の型が、データ型の議論の対象となる。.
アルフレッド・ノース・ホワイトヘッド
アルフレッド・ノース・ホワイトヘッド （Alfred North Whitehead、1861年2月15日 - 1947年12月30日）は、イギリスの数学者、哲学者である。論理学、科学哲学、数学、高等教育論、宗教哲学などに功績を残す。ケンブリッジ大学、ユニバーシティ・カレッジ・ロンドン、インペリアル・カレッジ・ロンドン、ハーバード大学の各大学において、教鞭をとる。哲学者としての彼の業績は、ハーバード大学に招聘されてからが主体であり、その時既に63歳であった。.
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コンパイラ
ンパイラ（英:compiler）とは、コンピュータ・プログラミング言語の処理系（言語処理系）の一種で、高水準言語によるソースコードから、機械語に（あるいは、元のプログラムよりも低い水準のコードに）変換するプログラムである。.
公理型
公理型（英：axiom schema、英複数形：axiom schemata）とは、数理論理学における用語で、公理を一般化した概念である。.
公理的集合論
公理的集合論（こうりてきしゅうごうろん、axiomatic set theory）とは、公理化された集合論のことである。.
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値 (情報工学)
プログラミング言語における値（あたい）について説明する。値は、何らかの式を評価した結果である。式はデータ型を持ち、評価結果は内部的にはビット列になる。データ型が異なれば、同じビット列が異なる値（意味）を持つこともある。例えばあるビット列は整数、浮動小数点数または文字列として解釈されることがある。 いくつかの種類の値はほとんどのプログラミング言語で共通してサポートされている。様々な数値表現などがその例である。一方、あまり広くサポートされていないものもある。Pascalにある集合型などがその例である。.
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真理値
真理値 (しんりち、truth value) は、命題論理などの命題の真偽を示す値である。英語のTrueとFalseから、真に対してT、偽に対してFという記号をあてることもある。論理値 (logical value) も同じ。真と偽という値をとることから真偽値ともいうが、非古典論理などで多値論理における「真らしさ」の値も（真と偽以外の値にもなる）真理値である。 コンピュータプログラミング言語などのデータ型では、真理値のような型として真理値型（真偽値型、ブーリアン型などとも）があるものがある。関係演算子の結果などがブーリアン型であり、さらに論理演算子などで組み合わせることができ、それをif文などの制御構造や、条件演算子などで使用できる。.
領域理論
域理論 （りょういきりろん、domain theory）は、領域 (domain) と呼ばれる特別な種類の半順序集合を研究する数学の分野であり、順序理論の一分野である。 計算機科学の表示的意味論（denotational semantics）を構築するために用いられる。 領域理論は、近似と収束という直観的概念を極めて一般的な枠組で形式化し、位相空間と密接な関係をもつ。 表示的意味論に対する他の重要なアプローチとしては距離空間を用いるものがある。.
論理式
論理式.
議論領域
議論領域（ぎろんりょういき、Domain of discourse）は、演繹、特に一階述語論理で使われる用語である。量化子で扱われる実体の適切な集合を指す。 議論領域という用語は一般に、特定の議論で使われる項全体の集合を指す。特定の議論とはすなわち、任意の1つの関心領域での言語学的または意味論的項の集まりである。モデル理論的な意味論では、議論領域という用語は、モデルが基づく実体集合を指す。 データベースは組織の現実のある面をモデル化したものである。このような現実を便宜的に「議論領域」と呼ぶこともある。.
関数 (数学)
数学における関数（かんすう、、、、、函数とも）とは、かつては、ある変数に依存して決まる値あるいはその対応を表す式の事であった。この言葉はライプニッツによって導入された。その後定義が一般化されて行き、現代的には数の集合に値をとる写像の一種であると理解される。.
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量化
量化（りょうか、Quantification）とは、言語や論理学において、論理式が適用される（または満足される）議論領域の個体の「量」を指定すること。.
自由変数と束縛変数
数学や形式言語に関連する分野（数理論理学と計算機科学）において、自由変数（または自由変項、free variable）は数式や論理式で置換が行われる場所を指示する記法である。この考え方はプレースホルダーやワイルドカードにも関連する。 変数x は、例えば次のように書くと 束縛変数（または束縛変項、bound variable）になる。 あるいは これらの命題では、x の代わりに別の文字を使っても論理的には全く変化しない。しかし、複雑な命題で同じ文字を別の意味で再利用すると混乱が生じる。すなわち、自由変数が束縛されると、ある意味ではその後の数式の構成をサポートする作業に関与しなくなる。 プログラミングにおいては、自由変数とは関数の中で参照される局所変数や引数以外の変数を意味する。.
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自然言語
自然言語（しぜんげんご、natural language）とは、人間によって日常の意思疎通のために用いられる、文化的背景を持って自然に発展してきた言語である。分類として、音声言語と文字言語、口頭言語と書記言語、口語と文語といったような分類があるが、いずれも似ているようだが着目点や対比軸が異なる分類であり、混同してはならない。また、以上のような分類がいずれも当たらない言語もあり、例えば日本手話（「日本語対応手話」とは異なる）がそうである。.
自然数
自然数（しぜんすう、natural number）とは、個数、もしくは順番を表す一群の数のことである。集合論においては、自然数は物の個数を数える基数のうちで有限のものであると考えることもできるし、物の並べ方を示す順序数のうちで有限のものであると考えることもできる。 自然数を 1, 2, 3, … とする流儀と、0, 1, 2, 3, … とする流儀があり、前者は数論などでよく使われ、後者は集合論、論理学などでよく使われる（詳しくは自然数の歴史と零の地位の節を参照）。いずれにしても、0 を自然数に含めるかどうかが問題になるときは、その旨を明記する必要がある。自然数の代わりに非負整数または正整数と言い換えることによりこの問題を避けることもある。 数学の基礎付けにおいては、自然数の間の加法についての形式的な逆元を考えることによって整数を定義する。正の整数ないしは負でない整数を自然数と同一視し、自然数を整数の一部として取扱うことができる。自然数と同様に整数の全体も可算無限集合である。 なお、文脈によっては、その一群に属する個々の数（例えば 3 や 18）を指して自然数ということもある。.
集合
数学における集合 (しゅうごう、set, ensemble, Menge) とは、大雑把に言えばいくつかの「もの」からなる「集まり」である。集合を構成する個々の「もの」のことを元 (げん、; 要素) という。 集合は、集合論のみならず現代数学全体における最も基本的な概念の一つであり、現代数学のほとんどが集合と写像の言葉で書かれていると言ってよい。 慣例的に、ある種の集合が系 (けい、) や族 (ぞく、) などと呼ばれることもある。実際には、これらの呼び名に本質的な違いはないが細かなニュアンスの違いを含むと考えられている。たとえば、方程式系（「相互に連立する」方程式の集合）、集合族（「一定の規則に基づく」集合の集合）、加法族（「加法的な性質を持つ」集合族）など。.
集合論
集合論（しゅうごうろん、set theory, théorie des ensembles, Mengenlehre）は、集合とよばれる数学的対象をあつかう数学理論である。 通常、「集合」はいろいろな数学的対象の集まりを表していると見なされる。これは日常的な意味でのものの集まりやその要素、特定のものが入っているかいないか、という概念を包摂している。現代数学の定式化においては集合論がさまざまな数学的対象を描写する言葉をあたえている。（論理や述語論理とともに）集合論は数学の公理的な基礎付けをあたえ、数学的な対象を形式的に（無定義語の）「集合」と「帰属関係」によって構成することが可能になる。また、集合論の公理として何を仮定するとどんな体系が得られるか、といった集合それ自体の研究も活発に行われている。 集合論における基本的な操作には、あたえられた集合のべき集合や直積集合をとる、などがある。また二つの集合の元同士の関係（二項関係）を通じて定義される順序関係や写像などの概念が集合の分類に重要な役割を果たす。集合論では二つの集合はそれぞれの集合の元の間に全単射が存在するとき濃度が等しいという。そこで集合を濃度の等しさによって類別した各々の同値類のことを濃度という。この定義では濃度は真のクラスになってしまうので、濃度そのものを集合論的な対象として取り扱い難い。選択公理を仮定すると任意の集合は整列可能であることが導かれる。整列集合の順序型を順序同型で類別した各々の同値類と定義してしまうと、それは真のクラスとなってしまう。幸いなことに任意の整列集合は順序数と呼ばれる特別な集合（を帰属関係で順序付けしたもの）と順序同型となる。そのためそれら順序数を整列集合の順序型と定義することができる。また順序数全体 \mathrm（これは真のクラスになる）もまた整列順序付けられている。以上のもとで、集合の濃度を と定義することができる。すなわち濃度というのを特別な順序数として定義するわけである。このようにすることで濃度の定義から真のクラスを追放することができる。ただし選択公理を仮定することなく濃度を定義し取り扱うことはできる。基本的なアイデアは濃度で類別した各々同値類から累積階層の意味で階数が最小なものだけを分出するというものである。詳細はを参照。.
接中辞
接中辞（せっちゅうじ、infix）とは、接辞の一種で、語幹の中に割り込むもの。オーストロネシア語族の言語によく見られる。グロス表記では、角括弧（‹xxx›）で表記される。.
推移関係
推移関係（すいいかんけい、Transitive relation）は、数学における二項関係の一種。集合 X の二項関係 R が推移的であるとは、Xの任意の元 a、b、c について、a と b に R が成り立ち、b と c に R が成り立つとき、a と c にも R が成り立つことをいう。推移的関係とも。 一階述語論理でこれを表すと、次のようになる。.
恒等式
恒等式（こうとうしき、identity）は、恒真な等式、すなわち等号 (.
様相論理
様相論理（ようそうろんり、modal logic）は、いわゆる古典論理の対象でない、様相（modal）と呼ばれる「〜は必然的に真」や「〜は可能である」といった必然性や可能性などを扱う論理である（様相論理は、部分の真理値からは全体の真理値が決定されない内包論理の一種と見ることができる）。 その歴史は古くアリストテレスまで遡ることができるが、形式的な扱いは数理論理学以降、非古典論理としてである。 様相論理では一般に、標準的な論理体系に「～は必然的である」ことを意味する必然性演算子 \Box と、「～は可能である」ことを意味する可能性演算子 \Diamond のふたつの演算子が追加される。.
指示関数
数学において指示関数（しじかんすう、indicator function）、集合の定義関数、特性関数（とくせいかんすう、characteristic function）は、集合の元がその集合の特定の部分集合に属するかどうかを指定することによって定義される関数である。.
指標
指標（しひょう）とは、物事を判断したり評価したりするための目じるしとなるもの。.
文字列
文字列（もじれつ）は、単語や文章のような、文字の連なったもの。ストリング (string)、テキスト (text) という場合もある。コンピュータ、特にプログラミングの分野で用いることが多い。.
意味論
意味論（いみろん、英: semantics）とは、言語学では統語論に対置される分野、数学（とくに数理論理学）では証明論に対置される分野で、それらが中身（意味）に関与せず記号の操作によって対象を扱うのに対し、その意味について扱う分野である。なお、一般意味論というものもあるが、言語の使用に関する倫理を扱うものであり、ありていに言って無関係である。.
数理論理学
数理論理学（mathematische Logik、mathematical logic）は、論理学（形式論理学）の数学への応用の探求ないしは論理学の数学的な解析を主たる目的とする、数学の関連分野である。局所的には数理論理学は超数学、数学基礎論、理論計算機科学などと密接に関係している。数理論理学の共通な課題としては形式体系の表現力や形式証明系の演繹の能力の研究が含まれる。 数理論理学はしばしば集合論、モデル理論、再帰理論、証明論の4つの領域に分類される。これらの領域はロジックのとくに一階述語論理や定義可能性に関する結果を共有している。計算機科学（とくに）における数理論理学の役割の詳細はこの記事には含まれていない。詳細はを参照。 この分野が始まって以来、数理論理学は数学基礎論の研究に貢献し、また逆に動機付けられてきた。数学基礎論は幾何学、算術、解析学に対する公理的な枠組みの開発とともに19世紀末に始まった。20世紀初頭、数学基礎論は、ヒルベルトのプログラムによって、数学の基礎理論の無矛盾性を証明するものとして形成された。クルト・ゲーデルとゲルハルト・ゲンツェンによる結果やその他は、プログラムの部分的な解決を提供しつつ、無矛盾性の証明に伴う問題点を明らかにした。集合論における仕事は殆ど全ての通常の数学を集合の言葉で形式化できることを示した。しかしながら、集合論に共通の公理からは証明することができない幾つかの命題が存在することも知られた。むしろ現代の数学基礎論では、全ての数学を展開できる公理系を見つけるよりも、数学の一部がどのような特定の形式的体系で形式化することが可能であるか（逆数学のように）ということに焦点を当てている。.
整数
数学における整数（せいすう、integer, whole number, Ganze Zahl, nombre entier, número entero）は、0 とそれに 1 ずつ加えていって得られる自然数 (1, 2, 3, 4, …) および 1 ずつ引いていって得られる数 (−1, −2, −3, −4, …) の総称である。 整数は数直線上の格子点として視覚化される 整数の全体からなる集合は普通、太字の Z または黒板太字の \mathbb Z で表す。これはドイツ語 Zahlen（「数」の意・複数形）に由来する。 抽象代数学、特に代数的整数論では、しばしば「代数体の整数環」の元という意味で代数的整数あるいは「整数」という言葉を用いる。有理数全体の成す体はそれ自身が代数体の最も簡単な例であり、有理数体の代数体としての整数環すなわち、「有理数の中で整なもの」の全体の成す環は、本項でいう意味での整数全体の成す環である。一般の「整数」との区別のためにここでいう意味の整数を有理整数 (rational integer) と呼ぶことがある接頭辞「有理（的）」(rational) はそもそも「整数比」であるという意味なので、この呼称は自己循環的にもみえる。しかし、有理整数と呼ぶ場合の「有理」は「有理数の中で」という程度の意味の単なる符牒であって、「整数比」という本来の意味合いに拘るのは徒労である。。.
時相論理
時相論理（Temporal Logic）とは、時間との関連で問題を理解し表現するための規則と表記法の体系である。時相論理では、「私はいつも腹ペコだ」、「私はそのうち腹ペコになる」、「私は何かを食べるまで腹ペコだろう」といった文を表現できる。1950年代末にが提唱した様相論理に基づいた時相論理を特に時制論理（Tense Logic）と呼ぶことがある。が重要な業績を残した。その後、そこから発展し、アミール・プヌーリら計算機科学者や論理学者が研究を進めた。 時相論理はシステムのハードウェアやソフトウェアの要求仕様を記述する方法として形式的検証で利用される。例えば、「要求が発生したら常にリソースへのアクセスがそのうちに承認される。ただし、決して2つの要求を同時に承認してはならない」といった文章は時相論理で表せる。.
