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43 関係: ほとんど (数学)、半ノルム、単集合、可換環、可測関数、同値、同値類、同値関係、実数直線、完備距離空間、密着空間、中線定理、位相同型、位相空間、位相空間論、ノルム線型空間、ハウスドルフ空間、ルベーグ積分、ヒルベルト空間、ベクトル空間、分離公理、アンドレイ・コルモゴロフ、ザリスキー位相、商位相空間、積位相、素イデアル、環のスペクトル、順序集合、複素平面、解析学、距離空間、近傍 (位相空間論)、開集合、量子力学、離散空間、零写像、Lp空間、T1空間、極大イデアル、概型、有限、数学、数学的構造。
ほとんど (数学)
数学において、ほとんど (almost) という語は、ある厳密な意味で用いられる専門用語のひとつである。主に「測度 0 の集合を除いて」という意味であるが、それ単体で用いることはあまりなく、「ほとんど至るところで(almost everywhere)」「ほとんど全ての(almost all)」などの決まり文句でひとつの意味を形成する。.
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半ノルム
2 の半ノルムになる 数学の特に線型代数学および函数解析学における半ノルム（はんのるむ、semi­norm, semi-norm; セミノルム）は、ベクトル空間上で定義される絶対斉次劣加法的函数で、正定値と制約しないことによるノルムの一般化である。 半ノルムの値は非負かつ符号反転に関して対称であり、函数として かつ凸である。 各半ノルムには、適当な剰余類をとる商構成に誘導されるノルムが付随する。半ノルムからなる族を用いて、局所凸線型空間を定義することができる。.
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単集合
数学における単集合（たんしゅうごう、singleton; 単元集合、単項集合、一元集合）あるいは単位集合（）は、唯一の元からなる集合である。一つ組 (1-tuple) や単項列 (a sequence with one element) と言うこともできる。 例えば、 という集合は単集合である。.
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可換環
数学、特に抽象代数学の一分野である環論における可換環（かかんかん、commutative ring）は、その乗法が可換であるような環をいう。可換環の研究は可換環論あるいは可換代数学と呼ばれる。 いくつか特定の種類の可換環は以下のようなクラスの包含関係にある。.
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可測関数
数学の、特に測度論の分野における可測関数（かそくかんすう、）とは、（積分論を展開する文脈として自然なものである）可測空間の間の、構造を保つ写像である。具体的に言えば、可測空間の間の関数が可測であるとは、各可測集合に対するその原像が可測であることを言う（これは位相空間の間の連続関数の定義の仕方と似ている）。 この定義は単純なようにも見えるが、σ-代数も併せて考えているということに特別な注意が払われなければならない。特に、関数 f: R → R がルベーグ可測であるといったとき、これは実際には f\colon (\mathbb, \mathcal) \to (\mathbb, \mathcal) が可測関数であることを意味する。すなわち、その定義域と値域は、同じ台集合上で異なる σ-代数を持つものを表している（ここで \mathcal はルベーグ可測集合全体の成す σ-代数であり、\mathcal は R 上のボレル集合族である）。結果として、ルベーグ可測関数の合成は必ずしもルベーグ可測とはならない。 慣例では、特に断りの無い限り、位相空間にはその開部分集合全体により生成されるボレル代数が与えられるものと仮定される。最もよくある場合だと、この空間として実数全体あるいは複素数全体からなる空間をとる。例えば、実数値可測関数とは、各ボレル集合の原像が可測となるような関数を言う。複素数値可測関数も同様に定義される。実用においては、ボレル集合族に関する実数値可測関数のみを指して可測関数という語を使用するものもある。関数の値が R や C の代わりに無限次元ベクトル空間に取られるのであれば、弱可測性やボホナー可測性などの、可測性に関する他の定義が用いられることが普通である。 確率論の分野において、σ-代数はしばしば、利用可能な情報すべてからなる集合を表し、ある関数（この文脈では確率変数）が可測であるとは、それが利用可能な情報に基づいて知ることの出来る結果（outcome）を表すことを意味する。対照的に、少なくとも解析学の分野においては、ルベーグ可測でない関数は一般に病的であると見なされる。.
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同値
同値（どうち）または等価（とうか）とは、2つの命題が共に真または共に偽のときに真となる論理演算である。 英語ではequivalence (EQ)。「if and only if」を略して、iff ともいう。否定排他的論理和 (XNOR) に等しい。 演算子記号は ⇔、↔、≡、.
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同値類
数学において，ある集合 の元が（同値関係として定式化される）同値の概念を持つとき，集合 を同値類（どうちるい，equivalence class）たちに自然に分割できる．これらの同値類は，元 と が同じ同値類に属するのは と が同値であるとき，かつそのときに限るものとして構成される． フォーマルには，集合 と 上の同値関係 が与えられたとき，元 の における同値類は， に同値な元全体の集合 である．「同値関係」の定義から同値類は S の分割をなす．この分割，同値類たちの集合，を の による商集合 (quotient set) あるいは商空間 (quotient space) と呼び， と表記する． 集合 が（群演算や位相のような）構造を持ち，同値関係 がこの構造と適切に両立するように定義されているとき，商集合はしばしばもとの集合から類似の構造を引き継ぐ．例としては，線型代数学における商空間，位相空間論における商空間，，等質空間，商環，，など．.
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同値関係
数学において、同値関係（どうちかんけい、equivalence relation）は反射的、対称的かつ推移的な二項関係を言う。これらの性質の帰結として、与えられた集合において、一つの同値関係はその集合を同値類に分割（類別）する。 同値関係にあることを表す記法は文献によって様々に用いられるけれども、与えられた集合上の同値関係 に関して二元 が同値であることを "" や "" で表すのがもっともよく用いられる記法である。 に関して同値であることを明示する場合には、"" や "" あるいは "" などと書かれる。.
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実数直線
数学における実数直線（じっすうちょくせん、real line, real number line）は、その上の各点が実数であるような直線である。つまり、実数直線とは、すべての実数からなる集合 を、幾何学的な空間（具体的には一次元のユークリッド空間）とみなしたものということである。この空間はベクトル空間（またはアフィン空間）や距離空間、位相空間、測度空間あるいは線型連続体としてみることもできる。 単に実数全体の成す集合としての実数直線は記号 (あるいは黒板太字の ℝ) で表されるのがふつうだが、それが一次元のユークリッド空間であることを強調する意味で と書かれることもある。 本項では の位相幾何学的、幾何学的あるいは実解析的な側面に焦点を当てる。もちろん実数の全体は一つの体として代数学でも重要な意味を持つが、その文脈での が直線として言及されるのは稀である。そういった観点を含めた の詳細は実数の項を参照のこと。.
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完備距離空間
位相空間論あるいは解析学において、距離空間 M が完備（かんび、complete）またはコーシー空間（コーシーくうかん、Cauchy space）であるとは、M 内の任意のコーシー点列が M に属する極限を持つ（任意のコーシー点列が収束する）ことを言う。 直観的に言えば、空間が完備であるというのは（その内側や境界において）点を追いかけると「空間からはみ出してしまう」ということが起きないということである。例えば、有理数全体の成す集合 Q は完備でないが、これは例えば 2 の正の平方根は、それに収束する有理コーシー数列が構成できるにも拘らず、有理数ではないので Q からははみ出してしまう（後述）。「こういった抜けを全て埋めてしまう」という考えは後述するように、空間の完備化 (completion) として常に可能である。.
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密着空間
数学の位相空間論周辺分野における密着空間（みっちゃくくうかん、indiscrete space）は、直観的にはその空間の全ての点が「一塊に密着」していてどの点も位相的な意味で区別できないような位相空間である。密着空間の位相は、開集合系が空集合と空間全体のみからなる自明な位相 (trivial toppology) であり、これをしばしば密着位相 (indiscrete topology) とも呼ぶ。密着空間を、任意の二点間の距離が 0 であるような距離函数に関する擬距離空間と考えることができる。.
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中線定理
中線定理（ちゅうせんていり、parallelogram law）とは、幾何学において、三角形の中線の長さと辺の長さの関係を表す定理である。パップスの定理と知られているが、実はアポロニウスが発見した定理である。.
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位相同型
位相同型 （いそうどうけい、homeomorphic）、あるいは同相（どうそう）とは、2つの位相空間が位相空間として等しいことを表す概念である。 例えば、球の表面と湯飲みの表面とはある「連続」な双方向の移し方で互いに移し合うことができるので同相であり、また穴が1つ開いたドーナツの表面 (トーラス) と持ち手がひとつあるマグカップの表面も同じく同相である。よって球の表面と湯のみの表面は位相幾何学的に全く同一の性質を持ち、ドーナツの表面とマグカップの表面も同一の性質を持つ。しかし、球面とトーラスとはこのような写し方が存在しないので同相とはならない。（直観的には、連続的な変形によって穴の個数が変化することはないということである。） ここで連続な写し方とは、直観的には近いところを近いところに写すような写し方を意味する。.
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位相空間
数学における位相空間（いそうくうかん, topological space）とは、集合にある種の情報（位相、topology）を付け加えたもので、この情報により、連続性や収束性といった概念が定式化可能になる。 位相空間論は位相空間の諸性質を研究する数学の分野である。.
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位相空間論
数学における位相空間論（いそうくうかんろん、general topology; 一般位相幾何学）または点集合トポロジー（てんしゅうごうトポロジー、point-set topology; 点集合論的位相幾何）は、位相空間の性質やその上に定義される構造を研究対象とする位相幾何学の一分野である。位相幾何学のほかの分野が多様体などの特定の構造や具体的な構造を前提とすることと異なり、現れる位相空間としては病的なものも含めた極めて広範かつ一般のものを扱い、その一般論を形成するのが位相空間論の主目的である。.
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ノルム線型空間
数学におけるノルム線型空間（ノルムせんけいくうかん、normed vector space; ノルム付きベクトル空間、ノルム付き線型空間）または短くノルム空間は、ノルムの定義されたベクトル空間を言う。 各成分が実数の、二次元あるいは三次元のベクトルからなる空間では、直観的にベクトルの「大きさ」（長さ）の概念が定義できる。この直観的アイデアを任意有限次元の実数ベクトル空間 に拡張するのは容易い。ベクトル空間におけるそのようなベクトルの大きさは以下のような性質を持つ.
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ハウスドルフ空間
数学におけるハウスドルフ空間（ハウスドルフくうかん、Hausdorff space）とは、異なる点がそれらの近傍によって分離できるような位相空間のことである。これは分離空間(separated space)またはT2 空間とも呼ばれる。位相空間についてのさまざまな分離公理の中で、このハウスドルフ空間に関する条件はもっともよく仮定されるものの一つである。ハウスドルフ空間においては点列（あるいはより一般に、フィルターやネット）の極限の一意性が成り立つ。位相空間の理論の創始者の一人であるフェリックス・ハウスドルフにちなんでこの名前がついている。ハウスドルフによって与えられた位相空間の公理系にはこのハウスドルフ空間の公理も含まれていた。.
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ルベーグ積分
数学において、一変数の非負値関数の積分は、最も単純な場合には、その関数のグラフと 軸の間の面積と見なすことができる。ルベーグ積分（ルベーグせきぶん、Lebesgue integral）は、より多くの関数を積分できるように拡張したものである。ルベーグ積分においては、被積分関数は連続である必要はなく、至るところ不連続でもよいし、関数値として無限大をとることがあってもよい。さらに、関数の定義域も拡張され、測度空間と呼ばれる空間で定義された関数を被積分関数とすることもできる。 数学者は長い間、十分滑らかなグラフを持つ非負値関数、例えば有界閉区間上の連続関数、に対しては、「曲線の下部の面積」を積分と定義できると理解しており、多角形によって領域を近似する手法によってそれを計算した。しかしながら、より不規則な関数を考える必要が、例えば解析学や確率論において極限を考えるときに生じたため、より注意深い近似の手法が適切な積分を定義するために必要なことが明らかとなった。また、局所コンパクト群のような、実数直線よりも一般の空間上で積分をしたいことがある。ルベーグ積分はこの重要な仕事をするために必要な正しい抽象化を与える。例えば、フーリエ級数などの関数列の極限として表される関数に対して、積分と極限操作が可換となるかどうかをリーマン積分で考えると非常に繊細な議論が必要だが、ルベーグ積分では、積分と極限操作の交換が可能であるための簡単な十分条件が分かっている。 ルベーグ積分は実解析と呼ばれる数学の分野に属する確率論や、他の多くの数理科学分野において、重要な役割を果たす。ルベーグ積分という名前は、その積分を導入した数学者アンリ・ルベーグ (Henri Lebesgue, 1875–1941) に由来している。それはまたの中枢部でもある。 ルベーグ積分 (Lebesgue integration) という用語は、カラテオドリに始まる一般の測度に関する関数の積分の一般論を意味することもあるし、ルベーグ測度に関して実数直線の部分集合上定義された関数を積分するという特定の場合を意味することもある。.
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ヒルベルト空間
数学におけるヒルベルト空間（ヒルベルトくうかん、Hilbert space）は、ダフィット・ヒルベルトにその名を因む、ユークリッド空間の概念を一般化したものである。これにより、二次元のユークリッド平面や三次元のユークリッド空間における線型代数学や微分積分学の方法論を、任意の有限または無限次元の空間へ拡張して持ち込むことができる。ヒルベルト空間は、内積の構造を備えた抽象ベクトル空間（内積空間）になっており、そこでは角度や長さを測るということが可能である。ヒルベルト空間は、さらに完備距離空間の構造を備えている（極限が十分に存在することが保証されている）ので、その中で微分積分学がきちんと展開できる。 ヒルベルト空間は、典型的には無限次元の関数空間として、数学、物理学、工学などの各所に自然に現れる。そういった意味でのヒルベルト空間の研究は、20世紀冒頭10年の間にヒルベルト、シュミット、リースらによって始められた。ヒルベルト空間の概念は、偏微分方程式論、量子力学、フーリエ解析（信号処理や熱伝導などへの応用も含む）、熱力学の研究の数学的基礎を成すエルゴード理論などの理論において欠くべからざる道具になっている。これら種々の応用の多くの根底にある抽象概念を「ヒルベルト空間」と名付けたのは、フォン・ノイマンである。ヒルベルト空間を用いる方法の成功は、関数解析学の実りある時代のさきがけとなった。古典的なユークリッド空間はさておき、ヒルベルト空間の例としては、自乗可積分関数の空間 、自乗総和可能数列の空間 、超関数からなるソボレフ空間 、正則関数の成すハーディ空間 などが挙げられる。 ヒルベルト空間論の多くの場面で、幾何学的直観は重要である。例えば、三平方の定理や中線定理（の厳密な類似対応物）は、ヒルベルト空間においても成り立つ。より深いところでは、部分空間への直交射影（例えば、三角形に対してその「高さを潰す」操作の類似対応物）は、ヒルベルト空間論における最適化問題やその周辺で重要である。ヒルベルト空間の各元は、平面上の点がそのデカルト座標（直交座標）によって特定できるのと同様に、座標軸の集合（正規直交基底）に関する座標によって一意的に特定することができる。このことは、座標軸の集合が可算無限であるときには、ヒルベルト空間を自乗総和可能な無限列の集合と看做すことも有用であることを意味する。ヒルベルト空間上の線型作用素は、ほぼ具体的な対象として扱うことができる。条件がよければ、空間を互いに直交するいくつかの異なる要素に分解してやると、線型作用素はそれぞれの要素の上では単に拡大縮小するだけの変換になる（これはまさに線型作用素のスペクトルを調べるということである）。.
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ベクトル空間
数学、特に線型代数学におけるベクトル空間（ベクトルくうかん、vector space）、または、線型空間（せんけいくうかん、linear space）は、ベクトルと呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である。ベクトルには和が定義され、またスカラーと呼ばれる数による積（「スケール変換」）を行える。スカラーは実数とすることも多いが、複素数や有理数あるいは一般の体の元によるスカラー乗法を持つベクトル空間もある。ベクトルの和とスカラー倍の演算は、「ベクトル空間の公理」と呼ばれる特定の条件（後述）を満足するものでなければならない。ベクトル空間の一つの例は、力のような物理量を表現するのに用いられる幾何ベクトルの全体である（同じ種類の任意の二つの力は、加え合わせて力の合成と呼ばれる第三の力のベクトルを与える。また、力のベクトルを実数倍したものはまた別の力のベクトルを表す）。同じ調子で、ただしより幾何学的な意味において、平面や空間での変位を表すベクトルの全体もやはりベクトル空間を成す。 ベクトル空間は線型代数学における主題であり、ベクトル空間はその次元（大雑把にいえばその空間の独立な方向の数を決めるもの）によって特徴づけられるから、その観点からはよく知られている。ベクトル空間は、さらにノルムや内積などの追加の構造を持つこともあり、そのようなベクトル空間は解析学において主に函数をベクトルとする無限次元の函数空間の形で自然に生じてくる。解析学的な問題では、ベクトルの列が与えられたベクトルに収束するか否かを決定することもできなければならないが、これはベクトル空間に追加の構造を考えることで実現される。そのような空間のほとんどは適当な位相を備えており、それによって近さや連続性といったことを考えることができる。こういた位相線型空間、特にバナッハ空間やヒルベルト空間については、豊かな理論が存在する。 歴史的な視点では、ベクトル空間の概念の萌芽は17世紀の解析幾何学、行列論、連立一次方程式の理論、幾何ベクトルの概念などにまで遡れる。現代的な、より抽象的な取扱いが初めて定式化されるのは、19世紀後半、ペアノによるもので、それはユークリッド空間よりも一般の対象が範疇に含まれるものであったが、理論の大半は（直線や平面あるいはそれらの高次元での対応物といったような）古典的な幾何学的概念を拡張することに割かれていた。 今日では、ベクトル空間は数学のみならず科学や工学においても広く応用される。ベクトル空間は線型方程式系を扱うための適当な線型代数学的概念であり、例えば画像圧縮ルーチンで使われるフーリエ展開のための枠組みを提示したり、あるいは偏微分方程式の解法に用いることのできる環境を提供する。さらには、テンソルのような幾何学的および物理学的な対象を、抽象的に座標に依らない で扱う方法を与えてくれるので、そこからさらに線型化の手法を用いて、多様体の局所的性質を説明することもできるようになる。 ベクトル空間の概念は様々な方法で一般化され、幾何学や抽象代数学のより進んだ概念が導かれる。.
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分離公理
数学の位相空間論周辺分野において、考えたい種類の位相空間を割り出すための様々な制約条件が知られている。そういった制約のうちのいくつかが分離公理（ぶんりこうり、separation axioms）と呼ばれる条件によって与えられる。に因んで、チホノフの分離公理とも呼ばれる。 分離公理が「公理」であるのは、位相空間に関する概念を定義するときに、これらの条件を余分な公理として追加して、位相空間がどのようなものかによってより制限された概念を得るという意味においてのみである。現代的なアプローチでは、きっぱりと位相空間を公理化してしまってから位相空間の「種類」について述べるという形になっているが、「分離公理」の語が定着している。いくつかの分離公理に "T" が付くのは「分離公理」を意味するドイツ語の Trennungsaxiom に由来する。 分離公理に関する用語の正確な意味は時とともに変化してきた。特に、古い文献を参照する際には、そこで述べられているそれぞれの条件の定義が、自分がそうだと思っている語の意味と一致しているかどうか確認しておくべきである。.
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アンドレイ・コルモゴロフ
アンドレイ・ニコラエヴィッチ・コルモゴロフ（Андре́й Никола́евич Колмого́ров, Andrey Nikolaevich Kolmogorov, 1903年4月25日 - 1987年10月20日）はロシアの数学者であり、確率論および位相幾何学の大きな発展に寄与した。彼以前の確率論はラプラスによる「確率の解析的理論」に基づく古典的確率論が中心であったが、彼が「測度論に基づく確率論」「確率論の基礎概念（1933年）」で公理主義的確率論を立脚させ、現代確率論の始まりとなった。 初期には直観論理やフーリエ級数に関する研究を行っており、乱流や古典力学に関する研究成果もある。また彼はアルゴリズム情報理論の創始者でもある。なお、イズライル・ゲルファント、ウラジーミル・アーノルドをはじめ、コルモゴロフには数多くの弟子がいる。.
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ザリスキー位相
代数幾何学と可換環論において、ザリスキ位相は代数多様体に定義される位相であり、最初はオスカー・ザリスキによって導入された。ザリスキ位相は可換環の素イデアル全体の集合に対しても定義され、その環のスペクトルと呼ばれる。 ザリスキ位相によって、基礎体が位相体でないときでさえ、代数多様体の研究に位相空間論の道具を使うことができるようになる。このような手法はスキーム論の基本的な考えの1つであり、多様体 (manifold) が局所座標系（実アファイン空間の開部分集合）を貼り合わせて構成されるのと同じように、一般の代数多様体はアファイン多様体を貼り合わせて構成される。 代数多様体のザリスキ位相は、多様体の代数的部分集合の全体を閉集合系とする位相である。複素数体上の代数多様体の場合には、ザリスキ位相は通常の位相よりも粗く、任意の代数的集合は通常の位相でも閉集合であるが、逆は一般には正しくない。 可換環の素イデアル全体の集合へのザリスキ位相の一般化は、代数閉体上定義されたアファイン多様体の点全体と多様体の正則関数環の極大イデアル全体との間の1:1対応を確立するヒルベルトの零点定理から従う。この定理より、可換環の極大イデアル全体の集合上のザリスキ位相は、ある与えられたイデアルを含む極大イデアルの全体を閉集合とし、かつそのような集合のみが閉集合である、と定めればよいことが示唆される。グロタンディークのスキーム論のもう1つの基本的な考えは、極大イデアルに対応する普通の点のみならず、すべての（既約）代数多様体、これは素イデアルに対応する、をも点として考えることである。したがって、可換環の素イデアル全体の集合（スペクトル）上のザリスキ位相は、ある固定されたイデアルを含むような素イデアル全体の集合の全体を閉集合系とする位相である。.
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商位相空間
位相空間論およびそれに関連する数学の各分野において、等化空間（とうかくうかん、identification space）または商位相空間（しょういそうくうかん、quotient topological space）あるいは単に商空間 (quotient space) とは、直観的には与えられた空間のある種の点の集まりを「貼合せ」("gluing together") あるいは同一視してしまうことによって得られる新しい空間である。ただし、ここで貼合わせられるべき点の集まりというのは、何らかの同値関係によって決定される。 このような商空間構成は、与えられた位相空間から新たな空間を構成する方法の一つとして広く用いられる。.
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積位相
位相幾何学とその周辺において、積空間（せきくうかん、product space）とは位相空間の族の直積に積位相 (product topology) と呼ばれるを入れた空間のことである。この位相は他の、もしかするとより明らかな、と呼ばれる位相とは異なる。箱位相も積空間に与えることができ、有限個の空間の直積では積位相と一致する。しかしながら、積位相は位相空間の圏における圏論的積であるという意味で「正しい」位相である。（一方箱位相は細かすぎる。）これが積位相が「自然」であるという意味である。.
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素イデアル
素イデアル（prime ideal）は、環のイデアルで、ある条件を満たすものである。歴史的には、素数（素元）の概念の拡張としてデデキントによって代数体の整数環に対して定義された。整数環（一般に）のすべてのゼロでない（整）イデアルは、素イデアルの有限個の積として（順序を除いて）一意的に書ける（イデアル論の基本定理）。スキームの理論は、図形の上の関数の成す環から下の空間を構成するという idea がもとになっているが、その時に、その環の素イデアルひとつひとつが、下の空間の点に対応する。.
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環のスペクトル
抽象代数学と代数幾何学において，可換環 のスペクトル とは， のすべての素イデアルからなる集合である．通常ザリスキー位相と構造層をともに考え，それにより は局所環付き空間である．この形の局所環付き空間はアフィンスキームと呼ばれる．.
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順序集合
数学において順序集合（じゅんじょしゅうごう、ordered set）とは「順序」の概念が定義された集合の事で、「順序」とは大小、高低、長短等の序列に関わる概念を抽象化したものである。ただし、順序集合内の2つの元, に順序関係が定まっている（「比較可能」である）必要はなく、両者が「比較不能」であってもよい。 比較不能のケースを許容していることを強調して順序集合の事を半順序集合（はんじゅんじょしゅうごう、partially ordered set, poset）ともいう。一方、半順序集合の中で比較不能のケースがないものを特に全順序集合 という。（「半順序」という言葉が「全順序」の対義語ではない事に注意。全順序集合も半順序集合の一種である。） 全順序集合の簡単な例は整数の集合や実数の集合で、通常の大小比較を順序とみなしたものがある。 一方、全順序ではない半順序集合の例としては、正の整数全体の集合に整除関係で順序を入れたものや、（2つ以上元を含む）集合の冪集合において、包含関係を順序とみなしたものがある。例えば2元集合 において と はいずれも他方を包含していないので S の冪集合は全順序ではない。 実生活に近い例では、「AさんはBさんの子孫である」という事を「A＜B」という大小関係とみなす事で人間全体の集合を半順序集合とみなせる。AさんとBさんはどちらも他方の子孫でない事もありうる（兄弟同士、叔父と甥、赤の他人等）ので、この順序集合は全順序ではない。.
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複素平面
複素平面 数学において、数平面（すうへいめん、Zahlenebene）あるいは複素数­平面（ふくそすう­へいめん、Komplexe Zahlenebene, complex plane）は、数直線あるいは実数直線 (real line) を実軸 (real axis) として含む。 が実数であるとき、複素数 を単に実数の対とみなせば、平面の直交座標 の点に対応付けることができる。xy-平面上の y-軸は純虚数の全体に対応し、虚軸 (imaginary axis) と呼ばれる。-平面上の点 に複素数 を対応させるとき、-平面とも言う。 1811年頃にガウスによって導入されたため、ガウス平面 (Gaussian plane) とも呼ばれる。一方、それに先立つ1806年に も同様の手法を用いたため、アルガン図 (Argand Diagram) とも呼ばれている。さらに、それ以前の1797年の の書簡にも登場している。このように複素数の幾何的表示はガウス以前にも知られていたが、今日用いられているような形式で複素平面を論じたのはガウスである。三者の名前をとってガウス・アルガン平面、ガウス・ウェッセル平面などとも言われる。 英語名称 complex plane を「直訳」して複素平面と呼ぶことも少なくないが、ここにいう complex は「複素数上の—」という意味ではなく複素数そのものを意味している（複素数の全体を "the complexes" と呼んだり、" is a complex" などのような用例のあることを想起せよ）。したがって、語義に従った complex plane の直訳は「複素数平面」と考えるべきである（実数全体の成す real line についても同様であり、これは通例「実数直線」と訳され、実直線は多少異なる意味に用いられる）。.
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解析学
解析学（かいせきがく、英語：analysis, mathematical analysis）とは、極限や収束といった概念を扱う数学の分野である 日本数学会編、『岩波数学辞典 第4版』、岩波書店、2007年、項目「解析学」より。ISBN978-4-00-080309-0 C3541 。代数学、幾何学と合わせ数学の三大分野をなす。 数学用語としての解析学は要素還元主義とは異なっており、初等的には微積分や級数などを用いて関数の変化量などの性質を調べる分野と言われることが多い。これは解析学がもともとテイラー級数やフーリエ級数などを用いて関数の性質を研究していたことに由来する。 例えばある関数の変数を少しだけずらした場合、その関数の値がどのようにどのぐらい変化するかを調べる問題は解析学として扱われる。 解析学の最も基本的な部分は、微分積分学、または微積分学と呼ばれる。また微分積分学を学ぶために必要な数学はprecalculus(calculusは微積分の意、接頭辞preにより直訳すれば微積分の前といった意味になる)と呼ばれ、現代日本の高校1、2年程度の内容に相当する。また解析学は応用分野において微分方程式を用いた理論やモデルを解くためにも発達し、物理学や工学といった数学を用いる学問ではよく用いられる数学の分野の一つである。 解析学は微積分をもとに、微分方程式や関数論など多岐に渡って発達しており、現代では確率論をも含む。 現代日本においては解析学の基本的分野は概ね高校2年から大学2年程度で習い、進度の差はあれ世界中の高校や大学等で教えられている。.
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距離空間
距離空間（きょりくうかん、metric space）とは、距離関数（きょりかんすう）と呼ばれる非負実数値関数が与えられている集合のことである。 古代より、平面や空間、地上の 2 点間の離れ具合を表す尺度である距離は測量や科学、数学において重要な役割を果たしてきた。1906年にモーリス・フレシェは、様々な集合の上で定義された関数の一様連続性の概念を統一的に研究した論文 において、ユークリッド空間から距離の概念を抽出して用い、距離空間の理論を築いた。 平面 R2 の上の 2 点 P1.
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近傍 (位相空間論)
平面上の集合 ''V'' が点 ''p'' の近傍であるのは、''p'' を中心とする小さな円板が ''V'' に含まれるときである。 矩形の頂点に対して、その矩形は近傍でない。 数学の位相空間論周辺分野でいう近傍（きんぼう、neighbourhood, neighborhood）は位相空間の基本概念の一つで、直観的に言えば与えられた点を含む集合で、その点を少しくらい動かしてもその集合から外に出ないようなものをいう。 近傍の概念は開集合と内部の概念と密接な関連がある。.
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開集合
開集合（かいしゅうごう、open set）は、実数直線の開区間の考えを一般化した抽象的な概念である。最も簡単な例は距離空間におけるものであり、開集合をその任意の点に対しそれを（元として）含む開球を（部分集合として）含むような集合（あるいは同じことだが境界点を全く含まないような集合）として定義できる。例えば、数直線上で不等式 2 < x < 5 によって定まる開区間は開集合である。この場合の境界とは数直線上の点 2 と 5 であって、不等式を 2 ≤ x ≤ 5 としたものや 2 ≤ x < 5 としたものは、境界を含んでいるので開集合ではない。また、 2 < x < 5 によって定まる開区間内のどの点に対しても、その点の開近傍として十分小さなものを選べば、それがもとの開区間に含まれるようにできる。 しかしながら、開集合は一般にはとても抽象的になりうる（詳しくは位相空間の項を参照されたい）。開集合とは全体集合を形成する基本要素達のようなものであり、位相の特殊な定義の仕方によっては、例えば実数において（普通の意味での）境界上を含む集合が“開集合”と呼ばれることになる場合もある。極端な例では、すべての部分集合を開集合としたり（離散位相）、開集合は空集合と空間全体だけとしたり（密着位相）することもできる。.
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量子力学
量子力学（りょうしりきがく、quantum mechanics）は、一般相対性理論と同じく現代物理学の根幹を成す理論として知られ、主として分子や原子、あるいはそれを構成する電子など、微視的な物理現象を記述する力学である。 量子力学自身は前述のミクロな系における力学を記述する理論だが、取り扱う系をそうしたミクロな系の集まりとして解析することによって、ニュートン力学に代表される古典論では説明が困難であった巨視的な現象についても記述することができる。たとえば量子統計力学はそのような応用例の一つである。従って、生物や宇宙のようなあらゆる自然現象もその記述の対象となり得る。 代表的な量子力学の理論として、エルヴィン・シュレーディンガーによって創始された、シュレーディンガー方程式を基礎に置く波動力学と、ヴェルナー・ハイゼンベルク、マックス・ボルン、パスクアル・ヨルダンらによって構成された、ハイゼンベルクの運動方程式を基礎に置く行列力学がある。ただしこの二つは数学的に等価である。 基礎科学として重要で、現代の様々な科学や技術に必須な分野である。 たとえば科学分野について、太陽表面の黒点が磁石になっている現象は、量子力学によって初めて解明された。 技術分野について、半導体を利用する電子機器の設計など、微細な領域に関するテクノロジーのほとんどは量子力学を基礎として成り立っている。そのため量子力学の適用範囲の広さと現代生活への影響の大きさは非常に大きなものとなっている。一例として、パソコンや携帯電話、レーザーの発振器などは量子力学の応用で開発されている。工学において、電子工学や超伝導は量子力学を基礎として展開している。.
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離散空間
数学の位相空間論周辺分野における離散空間（りさんくうかん、discrete space）は、その点がすべてある意味で互いに「孤立」しているような空間で、位相空間（またはそれと同様の構造）の非常に単純で極端な例の一つを与える。.
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零写像
数学における零写像（れいしゃぞう、ゼロしゃぞう、zero mapping）は、零元を持つ適当な代数系への写像であって、その定義域の全ての元を終域の零元へ写すものを言う。殊に、解析学における零函数 (zero function) は、変数の値によらず函数値が常に零となるような函数を言う。より一般に、線型代数学におけるベクトル空間の間の零（線型）写像 (zero map) または零（線型）作用素 (zero operator) は、全てのベクトルを零ベクトルに写す。 零写像は多くの性質を満足し、数学において例や反例としてしばしば用いられる。零写像は斉次線型微分方程式や積分方程式などの数学の一連の問題において、自明なになる。.
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Lp空間
数学の分野における Lp 空間（エルピーくうかん、Lp space）とは、有限次元ベクトル空間に対する p-ノルムの自然な一般化を用いることで定義される関数空間である。アンリ・ルベーグの名にちなんでルベーグ空間としばしば呼ばれる が、 によると初めて導入されたのは とされている。Lp 空間は関数解析学におけるバナッハ空間や、線型位相空間の重要なクラスを形成する。物理学や統計学、金融、工学など様々な分野で応用されている。.
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T1空間
数学の位相空間論周辺分野における T1-空間（T1-くうかん、T1 space）は、相異なる二点を選べば必ず、その各々の点がもう一方の点を含まない開近傍を持つ位相空間を言う。同じことが位相的に識別可能な二点についてのみ成り立つ場合は R0-空間と言う。条件 T1 および R0 は分離公理の例である。.
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極大イデアル
の極大左イデアル（きょくだいひだりいである、maximal left ideal）とは、 以外の左イデアルの中で（集合の包含関係に関して）極大なもののことである。すなわち、左イデアル を真に含む左イデアルが しかないときに を の極大左イデアルという。極大右イデアルおよび極大両側イデアルも同様に定義される。これらのイデアルは（環が 0 でなく単位元をもつとき）ツォルンの補題によって存在が保証される。可換環においては、左・右・両側の区別はない。唯一の極大左イデアルをもつ環は局所環と呼ばれる。.
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概型
数学における概型あるいはスキーム (scheme) とは、可換環に対して双対的に構成される局所環付き空間である。二十世紀半ばにアレクサンドル・グロタンディークによって導入され、以降の代数幾何学において任意標数の代数多様体を包摂し、係数の拡大や図形の「連続的」な変形を統一的に取り扱えるような図形の概念として取り扱われている。さらに、今まで純代数的な対象として研究されてきた環についてもそのアフィンスキームを考えることである種の幾何的対象として、多様体との類推にもとづく研究手法を持ち込むことが可能になる。このため特に数論の分野ではスキームが強力な枠組みとして定着している。 スキームを通じて圏論的に定義される様々な概念は大きな威力を発揮するが、その一方で、古典的な代数幾何においては点とみなされなかった既約部分多様体のようなものまでがスペクトルの「点」になってしまう。このためヴェイユ・ザリスキ流の代数幾何学（これ自体大幅な形式化によって前の世代の牧歌的なイタリア流代数幾何に引導を渡すものだったのだが）を習得して研究していた同時代の学者たちからは戸惑いのこもった反発を受けた。.
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有限
有限(ゆうげん、finite)とは、無限ではないことである。.
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数学
数学（すうがく、μαθηματικά, mathematica, math）は、量（数）、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.
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数学的構造
数学における構造（こうぞう、mathematical structure）とは、ブルバキによって全数学を統一的に少数の概念によって記述するために導入された概念である。集合に、あるいは圏の対象に構造を決めることで、その構造に対する準同型が構造を保つ写像として定義される。数学の扱う対象は、基本的には全て構造として表すことができる。.
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