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単集合

索引 単集合

数学における単集合(たんしゅうごう、singleton; 単元集合、単項集合、一元集合)あるいは単位集合()は、唯一の元からなる集合である。一つ組 (1-tuple) や単項列 (a sequence with one element) と言うこともできる。 例えば、 という集合は単集合である。.

25 関係: 単位元同値始対象と終対象対の公理位相幾何学位相空間圏 (数学)バートランド・ラッセル列 (数学)アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドアイバーソンの記法クラス (集合論)タプル写像公理的集合論空集合群 (数学)自明群集合集合の圏T1空間正則性公理濃度 (数学)指示関数数学

単位元

数学、とくに抽象代数学において、単位元(たんいげん, )あるいは中立元(ちゅうりつげん, )は、二項演算を備えた集合の特別な元で、ほかのどの元もその二項演算による単位元との結合の影響を受けない。.

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同値

同値(どうち)または等価(とうか)とは、2つの命題が共に真または共に偽のときに真となる論理演算である。 英語ではequivalence (EQ)。「if and only if」を略して、iff ともいう。否定排他的論理和 (XNOR) に等しい。 演算子記号は ⇔、↔、≡、.

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始対象と終対象

数学の抽象的な分野である圏論において、圏 の始対象(したいしょう、initial object, coterminal object)とは、 の任意の対象 に対してちょうど一つの射 が存在するような の対象 のことを指す。圏 の終対象(しゅうたいしょう、final object, terminal object)とは、始対象の双対概念であり、 の任意の対象 に対してちょうど一つの射 が存在するような の対象 のことを指す。 始対象でも終対象でもあるような対象は零対象(れいたいしょう、ゼロたいしょう、zero object, null object)と呼ばれる。点付き圏 とは零対象を持つ圏を言う。.

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対の公理

対の公理(ついのこうり、axiom of pairing)は、ZF公理系を構成する公理の一つで、任意の二つの元に対し、それら二つのみを要素とする集合(対、pair)が存在することを主張するものである。.

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位相幾何学

一つの面と一つの辺を持つメビウスの帯は位相幾何学で研究される対象の一種である。 自明な結び目)を三次元で描いたもの 数学の一分野、位相幾何学(いそうきかがく、topology, トポロジー)は、その名称がτόπος(「位置」「場所」)と (「言葉」「学問」) に由来し、「位置の学問」を意味している。 トポロジーは、何らかの形(かたち。あるいは「空間」)を連続変形(伸ばしたり曲げたりすることはするが切ったり貼ったりはしないこと)しても保たれる性質(または位相不変量)に焦点を当てたものである。位相的性質において重要なものには、連結性およびコンパクト性などが挙げられる。 位相幾何学は、空間、次元、変換といった概念の研究を通じて、幾何学および集合論から生じた分野である。このような考え方は、17世紀に「位置の幾何」(geometria situs)および「位置の解析」(analysis situs)を見越したゴットフリート・ライプニッツにまで遡れる。レオンハルト・オイラーの「ケーニヒスベルクの七つの橋」の問題および多面体公式がこの分野における最初の定理であるというのが定説となっている。用語 topology は19世紀にによって導入されたが、位相空間の概念が起こるのは20世紀の最初の10年まで待たねばならない。20世紀中ごろには、位相幾何学は数学の著名な一分野となっていた。 位相幾何学には様々な分科が存在する。.

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位相空間

数学における位相空間(いそうくうかん, topological space)とは、集合にある種の情報(位相、topology)を付け加えたもので、この情報により、連続性や収束性といった概念が定式化可能になる。 位相空間論は位相空間の諸性質を研究する数学の分野である。.

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圏 (数学)

数学の一分野である圏論において中核的な概念を成す圏(けん、category)は、数学的構造を取り扱うための枠組みであり、数学的対象をあらわす対象とそれらの間の関係を表す射の集まりによって与えられる。圏はそれ自体、群に類似した代数的構造として理解することができる 二つの圏が等しい(相等)とは、それらの対象の集まりが等しく、かつそれら対象の間の射の集まりが等しく、さらにそれら射の対の結合の仕方が相等となることを言う。圏論の目的に照らせば、圏がまったく相等しいことは非常に強すぎる条件であり(それよりも緩いでさえ強すぎる)、圏同値がしばしば考慮される(二つの圏が同値であるとは、大まかに言えば圏の相等において等式で与えられる関係を、それぞれの圏における同型で置き換えたものとして与えられる)。 圏論が初めて現れるのは Eilenberg–Mac Lane, "General Theory of Natural Equivalences" (1945) と題された論文である。古典的だが今もなお広く用いられる教科書として、マクレーンの がある。.

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バートランド・ラッセル

3代ラッセル伯爵、バートランド・アーサー・ウィリアム・ラッセル(Bertrand Arthur William Russell, 3rd Earl Russell, OM, FRS、1872年5月18日 - 1970年2月2日)は、イギリスの哲学者、論理学者、数学者であり、社会批評家、政治活動家である。ラッセル伯爵家の貴族であり、イギリスの首相を2度務めた初代ラッセル伯ジョン・ラッセルは祖父にあたる。名付け親は同じくイギリスの哲学者ジョン・スチュアート・ミル。ミルはラッセル誕生の翌年に死去したが、その著作はラッセルの生涯に大きな影響を与えた。生涯に4度結婚し、最後の結婚は80歳のときであった。1950年にノーベル文学賞を受賞している。.

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列 (数学)

数学において列(れつ、sequence)とは、粗く言えば、対象あるいは事象からなる集まりを「順序だてて並べる」ことで、例えば「A,B,C」は3つのものからなる列である。狭義にはこの例のように一列に並べるものを列と呼ぶが、広義にはそうでない場合(すなわち半順序に並べる場合)も列という場合がある(例:有向点列)。集合との違いは順番が決まっている事で、順番を変更したものは別の列であるとみなされる。たとえば列「A,B,C」と列「B,C,A」は異なる列である。 数を並べた列を数列、(何らかの空間上の)点を並べた列を点列、文字を並べた列を文字列(あるいは語)という。このように同種の性質○○を満たすもののみを並べた場合にはその列を「○○列」という言い方をするが、異なる種類のものを並べた列も許容されている。 列の構成要素は、列の要素あるいは項(こう、term)と呼ばれ、例えば「A,B,C」には3つの項がある。項の個数をその列の項数あるいは長さ (length, size) という。項数が有限である列を有限列(ゆうげんれつ、finite sequence)と、そうでないものを無限列(むげんれつ、infinite sequence)と呼ぶ。(例えば正の偶数全体の成す列 (2, 4, 6,...) )。.

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アルフレッド・ノース・ホワイトヘッド

アルフレッド・ノース・ホワイトヘッド (Alfred North Whitehead、1861年2月15日 - 1947年12月30日)は、イギリスの数学者、哲学者である。論理学、科学哲学、数学、高等教育論、宗教哲学などに功績を残す。ケンブリッジ大学、ユニバーシティ・カレッジ・ロンドン、インペリアル・カレッジ・ロンドン、ハーバード大学の各大学において、教鞭をとる。哲学者としての彼の業績は、ハーバード大学に招聘されてからが主体であり、その時既に63歳であった。.

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アイバーソンの記法

アイバーソンの記法はケネス・アイバーソンにちなんで名づけられた記法。Pが真ならば1で偽ならば0である。.

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クラス (集合論)

集合論及びその応用としての数学におけるクラスまたは類(るい、class)は、集合(または、しばしば別の数学的対象)の集まりで、それに属する全ての元が共通にもつ性質によって紛れなく定義されるものである。「クラス」の正確な定義は、議論の基礎となる文脈に依存する。例えば、ツエルメロ=フレンケル集合論 (ZF) ではクラスは厳密には存在しないが、他の集合論(たとえば、ノイマン=ベルナイス=ゲーデル集合論 (NBG))では、「クラス」の概念は公理化されている(NBG の例だと、別の量 (entity) の要素にならないような量としてクラスが定義される)。 (どのような定式化を選んだとしても)「全ての集合の集まり」はクラスである。(ZF では厳密な言い方ではないが)このクラスだが集合でないようなものは真のクラス (proper class) と呼ばれ、集合となるようなクラス(つまり集合)は小さいクラス (small class) とも呼ばれる。例えば、全ての順序数からなるクラスや全ての集合からなるクラスは、多くの形式体系において真のクラスである。 集合論以外の文脈では「クラス」を「集合」の同義語として使うこともある。この用法はクラスと集合が現代的な集合論の用語法に基づく区別をされていなかった時代からある。19世紀以前の多くの"クラス"に関する議論は集合のことを指していた、もしくはもっと曖昧な概念をさしていた。この意味でのクラスは「級」という訳語を当てることがある(たとえば滑らかさのクラスの C1-級など)。.

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タプル

タプルまたはチュープル(tuple)とは、複数の構成要素からなる組を総称する一般概念。 数学や計算機科学などでは通常、順序付けられた対象の並びを表すために用いられる。個別的には、n 個でできた組を英語で「n-tuple」と書き、日本語に訳す場合は通常「n 組」としている。タプルの概念そのものも組と呼ばれる場合がある。なお、 n-tuple は数学のタプルを意味するほか、同様に double、triple などの拡張として倍数詞の表現にも利用される(詳細は「倍#西洋数学における n 倍を表す表現」を参照)。.

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写像

写像(しゃぞう、mapping, map)とは、二つの集合が与えられたときに、一方の集合の各元に対し、他方の集合のただひとつの元を指定して結びつける対応のことである。函数(関数)、変換、作用素、射などが写像の同義語として用いられることもある。 ブルバキに見られるように、写像は集合とともに現代数学の基礎となる道具の一つである。現代的な立場では、「写像」と(一価の)「函数」は論理的におなじ概念を表すものと理解されているが、歴史的には「函数」の語は解析学に出自を持つものであり、一部には必ずしも写像でないものも函数の名の下におなじ範疇に扱われる(多価函数参照)。文献によっては「数の集合(大抵の場合実数体 または複素数体 の部分集合)を終域に持つ写像」をして特に「函数」と呼び、「写像」はより一般の場合に用いる。函数、二項関係、対応の各項も参照のこと。.

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公理的集合論

公理的集合論(こうりてきしゅうごうろん、axiomatic set theory)とは、公理化された集合論のことである。.

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空集合

集合(くうしゅうごう、empty set)は、要素を一切持たない集合の事である。公理的集合論において、空集合は公理として存在を仮定される場合と、他の公理から存在が導かれる場合がある。空集合を表す記号として、∅ または \emptyset、 がある。記号 ∅ はノルウェー語等で用いられるアルファベット Ø に由来しており、形の似ているギリシャ文字φ, Φ(ファイ)とは全く関係がない。.

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群 (数学)

数学における群(ぐん、group)とは最も基本的と見なされる代数的構造の一つである。群はそれ自体興味深い考察対象であり、群論における主要な研究対象となっているが、数学や物理学全般にわたってさまざまな構成に対する基礎的な枠組みを与えている。.

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自明群

数学において、自明群、自明な群 (trivial group)、単位群 はただ1つの元からなる群である。すべてのそのような群は同型であるので、英語などではしばしば定冠詞をつけて the trivial group などと呼ばれる。自明群のただ1つの元は単位元であるので普通 0, 1, e のように文脈に応じて表記される。群の演算が ∗ であれば によって定義される。 同様に定義される自明モノイド (trivial monoid) もまた群である。その唯一の元がそれ自身の逆元でありしたがって自明群と同じであるからである。 自明群を空集合と混同してはならない。(これは元を全くもたず、単位元を欠くため、群にはなりえない。) 任意の群 G が与えられると、単位元のみからなる部分集合は、それ自身が自明群である G の部分群であり、G の自明な部分群 (trivial subgroup) と呼ばれる。また、G 自身も明らかに G の部分群であるので、G も自明な部分群と呼ばれることがあるが、これは著者によって異なるので注意が必要である。群によってはこれら以外にも自明に部分群になるものがあるが、それらは自明な部分群とは呼ばれない。 "G は非自明な真の部分群をもたない" (G has no nontrivial proper subgroups) という言い回しが意味するのは、G のすべての部分群は自明群 および群 G 自身であるということである。.

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集合

数学における集合 (しゅうごう、set, ensemble, Menge) とは、大雑把に言えばいくつかの「もの」からなる「集まり」である。集合を構成する個々の「もの」のことを元 (げん、; 要素) という。 集合は、集合論のみならず現代数学全体における最も基本的な概念の一つであり、現代数学のほとんどが集合と写像の言葉で書かれていると言ってよい。 慣例的に、ある種の集合が系 (けい、) や族 (ぞく、) などと呼ばれることもある。実際には、これらの呼び名に本質的な違いはないが細かなニュアンスの違いを含むと考えられている。たとえば、方程式系(「相互に連立する」方程式の集合)、集合族(「一定の規則に基づく」集合の集合)、加法族(「加法的な性質を持つ」集合族)など。.

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集合の圏

数学の一分野である圏論において、集合の圏(しゅうごうのけん、category of sets)Set (あるいは \mathcal などとも書く) は、その対象の成す類が集合全体の成す類であるような圏である。ただし、対象の間の射の類は、集合 に対して を任意の写像とするとき、 の形に書ける三つ組全体の成す集合によって与えられる。.

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T1空間

数学の位相空間論周辺分野における T1-空間(T1-くうかん、T1 space)は、相異なる二点を選べば必ず、その各々の点がもう一方の点を含まない開近傍を持つ位相空間を言う。同じことが位相的に識別可能な二点についてのみ成り立つ場合は R0-空間と言う。条件 T1 および R0 は分離公理の例である。.

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正則性公理

正則性公理(せいそくせいこうり、axiom of regularity)は、別名基礎の公理(きそのこうり、axiom of foundation) とも呼ばれ、ZF公理系を構成する公理の一つで、1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された。選択公理と同様、様々な同値な命題が存在する。.

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濃度 (数学)

数学、とくに集合論において、濃度(のうど)あるいは基数(きすう)(cardinal number, cardinality, power)とは、集合の「元の個数」という概念を拡張したものである。有限集合については、濃度は「元の個数」の同意語に過ぎない。。。.

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指示関数

数学において指示関数(しじかんすう、indicator function)、集合の定義関数、特性関数(とくせいかんすう、characteristic function)は、集合の元がその集合の特定の部分集合に属するかどうかを指定することによって定義される関数である。.

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数学

数学(すうがく、μαθηματικά, mathematica, math)は、量(数)、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.

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