目次
21 関係: 双対、双模倣性、始対象と終対象、射 (圏論)、余代数、圏論、バラエティ (普遍代数学)、データ構造、オートマトン、オブジェクト指向プログラミング、ストリーム (プログラミング)、再帰、状態遷移系、無限、遅延評価、関手、F代数、様相論理、準同型、有限集合、数学。
- 余代数
- 圏論
双対
双対（そうつい、dual, duality）とは、互いに対になっている2つの対象の間の関係である。2つの対象がある意味で互いに「裏返し」の関係にあるというようなニュアンスがある（双対の双対はある意味で "元に戻る"）。また、2つのものが互いに双対の関係にあることを「双対性がある」などとよぶ。双対は数学や物理学をはじめとする多くの分野に表れる。 なお読みについて、双対を「そうたい」と読む流儀もあり「相対 (relative)」と紛らわしい。並行して相対を「そうつい」と読む流儀もある。一般には「双対」を「そうつい」、「相対」を「そうたい」と呼び分ける場合が多いようである。 双対の具体的な定義は、双対関係の成立している対象の種類によって様々に与えられる。
見る F余代数と双対
双模倣性
双模倣性（そうもほうせい、Bisimulation）とは、理論計算機科学における複数の状態遷移系の間の同値関係を意味する。そのようなシステムは、互いに他のシステムの動作をシミュレートできるという意味で同じ動作が可能である。 直感的に言えば、同じ動作をする2つのシステムは「双模倣的」である。その意味で観察者から見て両システムは区別できない。 クリプキモデルは（ラベル付き）状態遷移系の特殊ケースであるため、双模倣性は様相論理学の概念とも言える。
見る F余代数と双模倣性
始対象と終対象
数学の抽象的な分野である圏論において、圏 の始対象（したいしょう、initial object, coterminal object）とは、 の任意の対象 に対してちょうど一つの射 が存在するような の対象 のことを指す。圏 の終対象（しゅうたいしょう、final object, terminal object）とは、始対象の双対概念であり、 の任意の対象 に対してちょうど一つの射 が存在するような の対象 のことを指す。 始対象でも終対象でもあるような対象は零対象（れいたいしょう、ゼロたいしょう、zero object, null object）と呼ばれる。点付き圏 とは零対象を持つ圏を言う。
見る F余代数と始対象と終対象
射 (圏論)
数学の多くの分野において、型射あるいは射（しゃ、morphism; モルフィズム）は、ある数学的構造を持つ数学的対象から別の数学的対象への「構造を保つ」写像の意味で用いられる（準同型）。この意味での射の概念は現代的な数学のあらゆる場所で繰り返し生じてくる。例えば集合論における射は写像であり、線型代数学における線型写像、群論における群準同型、位相空間論における連続写像、… といったようなものなどがそうである。 圏論における射はこのような概念を広く推し進め、しかしより抽象的に扱うものである。考える数学的対象は集合である必要はないし、それらの間の関係性である射は写像よりももっと一般の何ものかでありうる。
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余代数
余代数（よだいすう、coalgebra）とは、単位元を持つ結合代数に対して、圏の双対をとったものをいう。
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圏論
圏論（けんろん、）は、数学的構造とその間の関係を抽象的に扱う数学理論の 1 つである。サミュエル・アイレンベルグ と ソーンダース・マックレーンとによって代数的位相幾何学の基本的仕事の中で20世紀中ごろに導入された。圏論において考察の対象となる圏は対象とその間の射からなる構造であり、集合とその間の写像、あるいは要素とその間の関係（順序など）が例として挙げられる。 数学の多くの分野、また計算機科学や数理物理学のいくつかの分野で導入される一連の対象は、しばしば適当な圏の対象たちだと考えることができる。圏論的な定式化によって同種のほかの対象たちとの、内部の構造に言及しないような形式的な関係性や、別の種類の数学的な対象への関連づけなどが統一的に記述される。
見る F余代数と圏論
バラエティ (普遍代数学)
バラエティ（Variety）もしくは等式クラスとは 普遍代数学において定められた恒等式の集合を満足するシグネチャを備えたすべての代数的構造のクラスを指す。例えば群はある代数のバラエティを成し、アーベル群や環、モノイド等もまた同様である。バーコフの定理によれば同一のシグネチャをもつ代数的構造がバラエティであるとは、その構造が同型写像の像、部分代数と直積をとる操作で閉じた系をなしていることである。圏論の文脈では同型写像を備えた代数のバラエティが圏を形成し一般には有限項代数的圏と呼ぶ。 余バラエティとは与えられたシグネチャを備えたすべての余代数的構造が構成するクラスである。
データ構造
データ構造（データこうぞう、data structure）とは、コンピュータプログラミングでの、データの集まりの形式化された構成である。格納された各データの参照や修正といった管理を容易にするための構成である。一定の関係性を持たせたデータ型のコレクションであり、データ値に適用するための関数や手続きも格納されることがある。データの代数的構造とも言われる。
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オートマトン
オートマトン (単数形: automaton, 複数形: オートマタ（ ）) とは、自動人形などとも呼ばれる「オートマタ」と同じ語であるが、計算理論において、計算モデルに関して有限オートマトンなどの総称として使われる。また特に「オートマトン理論」と呼ばれる分野では、計算機械のうち計算可能性の点でチューリングマシンよりも制限されているものを特に指して言うこともある。
見る F余代数とオートマトン
オブジェクト指向プログラミング
オブジェクト指向プログラミング（オブジェクトしこうプログラミング、, OOP）とは、「オブジェクト」という概念に基づいたプログラミングパラダイムの一つである。 OOPでは、相互に作用するオブジェクトを組み合わせてプログラムを設計する。 OOPの方法として、クラスベースOOPとプロトタイプベースOOPがある。 クラスベースOOPでは、オブジェクトが属する集合としてクラスを定義し、クラス定義からそのインスタンスとしてオブジェクトを生成する。 プロトタイプベースOOPでは既存のオブジェクト（プロトタイプ）を複製し、プロトタイプの複製に変更を加えることで様々な対象を表すオブジェクトを生成する。 広く使われているプログラミング言語の多く、例えばC++やJavaやPythonなどは、マルチパラダイムであるが、程度の差はあれ、オブジェクト指向プログラミングをサポートしており、大抵は命令型や手続き型プログラミングとの組み合わせで用いられる。
ストリーム (プログラミング)
ストリーム（stream）とは、データを、比較的小さい単位が連続したものと捉え、上流から下流へ「流れるもの」とみなし、そのデータの入出力・送受信（途中段階を含む）を最小限の滞留とさせ低遅延処理となるように扱う形態を指す。またその操作のための抽象データ型を指す。 処理内部では適切なデータ分割・バッファリングが行われる。 入力ストリーム (input stream) を利用してデータの読み出しを行ない、出力ストリーム (output stream) を利用してデータの書き込みを行なう。対照的な概念としては、保管・永続化されたデータ形態（ファイル、データベースなど）がある。 メモリバッファの入出力を扱うもの、ネットワーク通信を扱うものなどさまざまなものがある。ファイルの入出力（読み書き）に対しては、ストリームとの変換を行う仕組みが用意される。
再帰
再帰（さいき、Recursion, Recursive）とは、ある物事について記述する際に、記述しているもの自体への参照が、その記述中にあらわれることをいう。 再帰は言語学から論理学に至る様々な分野で使用されている。最も一般的な適用は数学と計算機科学で、定義されている関数がそれ自身の定義の中で参照利用されている場合を言う。
見る F余代数と再帰
状態遷移系
状態遷移系（じょうたいせんいけい、State Transition System）とは、理論計算機科学での計算の研究に使用される抽象機械の一種。状態遷移系は状態群と状態間の遷移から構成される。 状態と遷移が有限個の状態遷移系は有向グラフで表すことができる。 また、状態遷移系は「ラベル付き」と「ラベル無し」の2種類に分類することができる。
見る F余代数と状態遷移系
無限
無限（むげん、infinity、∞）とは、限りの無いことである。 「限界を持たない」というだけの単純に理解できそうな概念である一方で、有限な世界しか知りえないと思われる人間にとって、無限というものが一体どういうことであるのかを厳密に理解することは非常に難しい問題を含んでいる。このことから、しばしば哲学、数学、論理学や自然科学などの一部の分野において考察の対象として無限という概念が取り上げられ、そして深い考察が得られている。 本項では、数学などの学問分野において、無限がどのように捉えられ、どのように扱われるのかを記述する。
見る F余代数と無限
遅延評価
遅延評価（ちえんひょうか、lazy evaluation）や必要呼び（ひつようよび、call-by-need）は評価戦略の一種類であり、非正格な関数型言語で使用もされる。対義語は先行評価（eager evaluation）。
見る F余代数と遅延評価
関手
圏論における関手（かんしゅ、functor）は、圏から圏への構造と両立する対応付けである。関手によって一つの数学体系から別の体系への組織的な対応が定式化される。関手は「圏の圏」における射と考えることもできる。
見る F余代数と関手
F代数
数学の特に圏論におけるF-代数（エフだいすう、F-algebra）は、（自己）関手 F に従って定義される構造の一つで、リストや木構造のようなプログラミングで使われるデータ構造を表現するのに利用できる。 ''F''-始代数は、数学的帰納法の原理を捉えたものと考えることができる。文脈上紛れの虞が無い場合は、函手 F を明示するための接頭辞 F- を省略して単に代数ということがある。 F-代数は ''F''-余代数の双対である。
見る F余代数とF代数
様相論理
様相論理（ようそうろんり、modal logic）は、いわゆる古典論理の対象でない、様相（modal）と呼ばれる「〜は必然的に真」や「〜は可能である」といった必然性や可能性などを扱う論理である（様相論理は、部分の真理値からは全体の真理値が決定されない内包論理の一種と見ることができる）。 その歴史は古くアリストテレスまで遡ることができるが、形式的な扱いは数理論理学以降、非古典論理としてである。 様相論理では一般に、標準的な論理体系に「～は必然的である」ことを意味する必然性演算子Boxと、「～は可能である」ことを意味する可能性演算子Diamondのふたつの演算子が追加される。
見る F余代数と様相論理
準同型
代数学において、二つの代数系が準同型（じゅんどうけい、homomorphic）であるとは、それらの間に数学的構造を保つ写像である準同型写像（じゅんどうけいしゃぞう、homomorphism) があることを意味する。 構造がまったく同じであることを表すときは、代わりに同型（どうけい、isomorphic）および同型写像（どうけいしゃぞう、isomorphism）という術語を用いる。 構造により、等長・等距、同相や射型などといった特定の術語が用いられることがある。
見る F余代数と準同型
有限集合
数学において、集合が有限（ゆうげん、finite）であるとは、自然数 n を用いて という形にあらわされる集合との間に全単射が存在することをいう（ただしここでは、n。
見る F余代数と有限集合
数学
数学（すうがく）とは、数・量・図形などに関する学問であり、理学の一種。「算術・代数学・幾何学・解析学・微分法・積分法などの総称」とされる。 数学は自然科学の一種にも、自然科学ではない「形式科学」の一種にも分類され得る。
見る F余代数と数学
参考情報
余代数
- F余代数
- 余代数
- 双代数
- 準フロベニウスリー代数
圏論
- AB5 圏
- Catamorphism
- F代数
- F余代数
- Kan拡張
- アブストラクト・ナンセンス
- オペラド
- ガロア圏
- グロタンディーク宇宙
- ザイフェルト–ファン・カンペンの定理
- スタック (層理論)
- デカルトモノイド圏
- モデル圏
- モナド (圏論)
- モノイド
- 余像
- 余核
- 像 (圏論)
- 単射的対象
- 双対 (圏論)
- 反対圏
- 可換図式
- 圏 (数学)
- 圏同値
- 圏論
- 圏論の基礎
- 埋め込み (数学)
- 始代数
- 対角射
- 射影被覆
- 普遍性
- 束 (位相幾何学)
- 核 (圏論)
- 点付き集合
- 箙 (数学)
- 自己準同型環
- 豊穣圏
- 部分圏