目次
代数的な元
体論において、可換体 K の拡大体 L の元は、K 係数の 0 でない多項式 が存在してその根となっているときに、K 上代数的であると言う。K 上代数的でない元は K 上超越的であると言う。 これは代数的数と超越数の概念の一般化である。代数的数は有理数体 Q の拡大体 C の元であって、Q 上代数的な複素数である。したがって sqrt は Q 上代数的な実数であって、自然対数の底 e や円周率πは Q 上超越的な実数である。Q 上超越的な複素数は存在するが、すべての複素数 a+bi は実数体 R 上代数的である。なぜなら (X - a)2+b2 の根だからである。
見る 代数的と代数的な元
代数的数
代数的数（だいすうてきすう、algebraic number）とは、複素数であって、有理数係数（あるいは同じことだが、分母を払って、整数係数）の 0 でない一変数多項式の根（すなわち多項式の値が 0 になる値）となるものをいう。全ての有理数と、その整数冪根は代数的数である。実数や複素数には代数的数でないものも存在し、そのような数は超越数と呼ばれる。例えば π や e は超越数である。ほとんどすべての複素数は超越数である（#集合論的性質）。
見る 代数的と代数的数
代数関数
数学において、代数関数（だいすうかんすう、algebraic function）は（多項式関数係数）多項式方程式の根として定義できる関数である。大抵の場合、代数関数は（和、差、積、商、分数冪）のみでできる有限項の式に表すことができ、例えば などが典型的である。しかし、（エヴァリスト・ガロワとニールス・アーベルによって証明されたように）そのような有限表式に書けない代数関数もある。例えば、 によって定義される関数がそのような例である。 代数関数を定義する多項式方程式の係数多項式として、有理数体 上の多項式を考え、「Q 上代数的な関数」について述べることがかなり多い。そのような代数的関数を有理点において評価した値は代数的数を与える。
見る 代数的と代数関数
代数拡大
抽象代数学において、体の拡大 は次を満たすときに代数的（algebraic）であると言う。 のすべての元は 上代数的である、すなわち、 のすべての元は 係数のある でない多項式の根である。代数的でない体の拡大、すなわち超越元を含む場合は、超越的 (transcendental) と言う。 例えば、体の拡大, すなわち有理数体の拡大としての実数体は、超越的であるのに対し、体の拡大 や は代数的である。ここで は複素数体である。 すべての超越拡大は無限次元の拡大である。言い換えるとすべての有限次拡大は代数的ということになる。しかしながら逆は正しくない。無限次代数拡大が存在する。例えば、代数的数体は有理数体の無限次代数拡大である。
見る 代数的と代数拡大