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17 関係: 伊藤の補題、マルチンゲール、マルコフ性、ハル・ホワイト・モデル、リスク中立確率、ブラック–ダーマン–トイ・モデル、フビニの定理、フォワードレート、フォワードカーブ、ホー・リー・モデル、利子、ウィーナー過程、エコノメトリカ、コーネル大学、ショートレートモデル、無裁定価格理論、LIBORマーケットモデル。
伊藤の補題
伊藤の補題（いとうのほだい、Itō's/Itô's lemma）は、確率微分方程式の確率過程に関する積分を簡便に計算するための方法である。伊藤清が考案した。.
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マルチンゲール
率論において、マルチンゲールとは確率過程の性質の一つであり、過去の情報に制限して計算した期待値と未来の期待値が同一になる性質である。 この性質は公平な賭け事を行っているときの持ち金の変遷に現れるものだと考えられており、マルチンゲールという名前も賭けにおける戦略からとられたものである。 数学的には、情報というのは情報増大系であたえられ、未来における期待値はこの情報による条件付期待値となる。.
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マルコフ性
マルコフ性（マルコフせい、英: Markov property）とは、確率論における確率過程の持つ特性の一種で、その過程の将来状態の条件付き確率分布が、現在状態のみに依存し、過去のいかなる状態にも依存しない特性を持つことをいう。すなわち、過去の状態が与えられたとき、現在の状態（過程の経路）は条件付き独立である。マルコフ性のある確率過程をマルコフ過程と呼び、主に以下のような種類がある。.
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ハル・ホワイト・モデル
数理ファイナンスにおいて、ハル・ホワイト・モデル（）とは、将来の利子率のモデルの一つである。 同モデルは、将来の利子率の時間的変動の数学的記述を比較的単刀直入に樹形または格子に変換でき、 そのため、バミューダ・オプション（オプション期間中に複数の期日を設定し、この期日のうちのいずれかでのみ権利を行使できるオプション）の様な金利オプションを同モデルで評価することができる。 ハル・ホワイト・モデルの原型は、ジョン・ハル（John Hull）とアラン・ホワイト（Alan White）により 1990年に記述された。 同モデルは、今日の市場でも依然として良く使われている。.
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リスク中立確率
リスク中立確率（リスクちゅうりつかくりつ、risk-neutral probability）とは、金融経済学や数理ファイナンス、金融工学などにおいて、金融資産の理論的な価格を決定するために用いられる仮想上の確率である。確率測度であることを強調して、リスク中立確率測度（risk-neutral probability measure）やリスク中立測度（risk-neutral measure）と呼ばれたり、またその数学的特性から同値マルチンゲール測度（equivalent martingale measure）と呼ばれることもある。リスク中立確率の下では全ての資産価格が（局所）マルチンゲールとなる。多くの資産価格理論において中核的な役割を果たしており、確率的割引ファクターや無裁定価格理論などとも深く関連する重要な概念である。.
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ブラック–ダーマン–トイ・モデル
ブラック–ダーマン–トイ・モデル（Black–Derman–Toy model, BDT）とは、数理ファイナンスにおいて、、スワップション、もしくは他の金利デリバティブの価格付けに用いられるポピュラーなショートレートモデルの一つである。ブラック–ダーマン–トイ・モデルは1ファクターモデルである。つまり、単一の確率的ファクター、ショートレートが全ての利子率の将来の変動を決定する。利子率の平均回帰的性向と対数正規分布を組み合わせた最初のモデルであり、今日でも広く使われている。 ブラック–ダーマン–トイ・モデルはフィッシャー・ブラック、エマニュエル・ダーマン、（ビル・トイ）によって導入された。さらに、1980年代にゴールドマン・サックスの社内で発展し、1990年に Financial Analysts Journal で発表された。ブラック–ダーマン–トイ・モデルの発展についての自伝はエマニュエル・ダーマンのメモワール "My Life as A Quant: Reflections on Physics and Finance" に記されている。 ブラック–ダーマン–トイ・モデルの下で、二項価格評価モデルを用いることにより、利子率の現在の期間構造（イールドカーブ）と金利キャップのボラティリティ構造（それぞれのキャプレットについてのブラック・モデルにおける価格によるインプライド・ボラティリティ）に合うようにモデルのパラメーターをカリブレーションすることができる。キャリブレートされた格子を用いることでより複雑な利子率に反応する証券や金利デリバティブのバリュエーションが可能になる。 最初は格子価格モデルとしてブラック–ダーマン–トイ・モデルは発展したが、以下の連続確率微分方程式に従うことが示されている。 ショートレートのボラティリティが定数（時間について独立）ならば（定数のボラティリティを \sigma\, と表す）、ブラック–ダーマン–トイ・モデルは以下のようになる。 ブラック–ダーマン–トイ・モデルが一般的であり続けている一つの理由が、"標準的な"求根アルゴリズム - 例えばニュートン法（）もしくは二分法 - をキャリブレーションに非常に簡単に適用できるからである。繰り返すが、ブラック–ダーマン–トイ・モデルは元々アルゴリズムとして表現されたものであり、やマルチンゲールなどは使われていない。.
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フビニの定理
数学においてフビニの定理（フビニのていり、）とは、 によって導入された、逐次積分による二重積分の計算が可能となるための条件に関する一結果である。すなわち、次のような計算が可能となる。 この結果、は逐次積分において変えることが可能となる。フビニの定理は、ある二変数函数が可積分であれば、上記のような二回の繰り返しの積分は等しいことを意味する。 によって導入されたトネリの定理（Tonelli's theorem）も同様のものであるが、その定理が適用される函数は可積分ではなくとも非負であればよい。.
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フォワードレート
フォワードレート（forward rate）とは、債券の将来のイールドであり、イールドカーブを用いて計算される。例えば、3か月物米国債の今から6か月後のイールドはフォワードレートである。.
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フォワードカーブ
フォワードカーブ（forward curve）とは、現在において契約できる将来の資金引渡しや支払い契約の価格のグラフである。フォワードカーブは価格の期間構造を表している。.
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ホー・リー・モデル
ホー・リー・モデル（英：Ho-Lee model）とは、数理ファイナンスにおいて短期利子率の時間的変動を記述する無裁定期間構造モデルの一つである。 このモデルは、トマス・S・Y・ホー（Thomas S. Y. Ho） と サンビン･リー（Sang-Bin Lee）により、1986 年に債券価格の二項格子モデルとして導入され、その後以下のとおり連続期間極限モデルに拡張された。 ここで、σ は短期利子率の瞬間的な標準偏差を表す定数、θ(t) は期間構造の初期状態を表す関数、 Wt は無作為な市場リスク因子をモデル化したウィーナー過程である。 同モデルは、市場データに較正可能なモデルの中で最も単純なものであり、平均回帰性を有しない。.
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利子
利子（りし、interest）とは、貸借した金銭などに対して、ある一定利率で支払われる対価。 利息（りそく）と利子は通常同じ意味で使われるが、借りた場合に支払うものを利子、貸した場合に受け取るものを利息と使い分けることがある。また、銀行預金では利息と呼ぶ（ゆうちょ銀行では利子と呼ぶ）。法律用語としては利息を用いるのが通常である。 米の貸し借りの対価として支払われる「利子米（利米）」のように利子は金銭以外で支払われる場合もある。このような実物を対価とする利子を実物利子、金銭を対価とする利子を貨幣利子あるいは金利と呼ぶ。.
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ウィーナー過程
一次元ウィーナー過程の一例 数学におけるウィーナー過程（ウィーナーかてい、Wiener process）は、ノーバート・ウィーナーの名にちなんだ連続時間確率過程である。ウィーナー過程はブラウン運動の数理モデルであると考えられ、しばしばウィーナー過程自身をブラウン運動と呼ぶ。最もよく知られるレヴィ過程（右連続かつ定常な独立増分確率過程）の一つであり、純粋数学、応用数学、経済学、物理学などにおいてしばしば現れる。.
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エコノメトリカ
ノメトリカ（Econometrica）は経済学の論文誌。計量経済学会（Econometric Society）がブラックウェル出版社を通して発行している。1933年創刊。国際的に最も権威ある経済学雑誌とみなされている。.
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コーネル大学
ーネル大学（Cornell University）は、米国の私立大学でありアイビー・リーグを構成する一校である。特に機械工学、生命科学、物理学、建築学、造園学、コンピュータ工学、経営学、医学、農学分野は著名である。世界における大学ランキングでは、Webometrics Ranking of World Universitiesで2015年度は5位にランクされ:en、またノーベル賞の全部門で受賞者を輩出する等、研究・教育の両面において世界最高水準を保持している。 大自然に恵まれたキャンパス内には湖や滝があり、全米一美しいと言われている。またバラエティに富んだ高い品質の学食を提供することでも知られ、Princeton Reviewで2016年には全米３位にランクインされた。.
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ショートレートモデル
ョートレートモデル（short-rate model）とは、金利デリバティブの文脈において、通常 r_t \, と書かれるショートレートの将来の変動を記述する事によって将来の利子率の変動を表す数理モデルである。.
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無裁定価格理論
無裁定価格理論(むさいていかかくりろん、no arbitrage pricingまたはarbitrage-free pricing)とは、裁定取引が存在しないことを仮定して商品の価格付けを行う理論のことである。特に金融市場における派生証券の価格付けに関して言及され、金融経済学、数理ファイナンス、金融工学においては重要な位置を占める理論である。本項では金融商品に対する無裁定価格理論を取り扱う。.
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LIBORマーケットモデル
LIBORマーケットモデル（ライボーマーケットモデル、LIBOR market model）とは、利子率のモデルである 。開発者の名前を取ってBGMモデル（Brace–Gatarek–Musielaモデル、Brace–Gatarek–Musiela model, BGM model）とも呼ばれる。LIBORマーケットモデルは利子率デリバティブの価格付けに用いられる。特にバミューダ・スワプション、ラチェット債のキャップとフロアー、ターゲット型リダンプション債（TRANs）、自動キャップ、ゼロクーポン・スワプション、コンスタント・マチュリティ・スワップ（CMS）、スプレッドオプションなど様々なデリバティブに応用されている。LIBORマーケットモデルでは、ショートレートや（ヒース–ジャロー–モートン・フレームワークのように）瞬間的フォワードレートというよりは、フォワードレート（またはフォワードLIBOR）の集まりがモデル化される。このようなモデル化の利点は市場で直接観測可能なデータからモデル化されることであり、取引契約と自然にリンクしたボラティリティを持つことである。それぞれのフォワードレートはフォワード測度の下で対数正規分布となるようにモデル化される。つまり、利子率のキャップについてのブラック方程式を導くブラック・モデルとなる。この式はインプライドボラティリティの点でキャップの価格が市場において標準的に値付けられることを意味しており、ゆえに"マーケットモデル"と呼ばれる。LIBORマーケットモデルは異なるテナーや満期によって張られた異なるフォワードレートについてのフォワードLIBORの変動の集まりとしてみなすことができる。それぞれのフォワードレートは標準的な満期についての利子率キャプレットのブラック公式と整合的になっている。同じ価格測度、例えば単一の推奨満期についてのフォワード測度の下で異なるフォワードレートの変動を表すことが出来る。その場合、フォワードレートは一般的にその測度の下では対数正規分布に従わない。よってモンテカルロ法やfrozen driftの仮定などの近似法といった数値的な方法が必要になる。.
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