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78 関係: 単項式、多様体の射、対称代数、小平の埋め込み定理、小平次元、小平消滅定理、射影空間、層係数コホモロジー、三角行列、一般線型群、一意化定理、一意分解環、幾何学的不変式論、交叉理論、代数多様体、代数多様体の函数体、代数多様体の特異点、代数幾何学、代数幾何学と解析幾何学、代数的閉体、代数的整数論、代数群、引き戻し (圏論)、位相空間、体上有限生成環の理論、ネータースキーム、ポアンカレ双対、モジュライ空間、ヤコビ多様体、リーマン・ロッホの定理、リウヴィルの定理 (解析学)、レフシェッツ超平面定理、ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理、ヒルベルト多項式、ヒルベルトスキーム、ピカール群、テイト予想 (代数幾何学)、ニールス・アーベル、ホッジ予想、ホッジ理論、ベズーの定理、アーベル多様体、アフィン多様体、オイラー標数、ケーラー多様体、ケーラー微分、ザリスキー位相、シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア、セール双対性、冪零元、...、剰余環、因子 (代数幾何学)、固有写像、素イデアル、環のスペクトル、直和、直線束、複素多様体、複素数、豊富な直線束、超楕円曲線、超曲面、離散付値環、連接層、K3曲面、楕円曲線、標準環、標準束、標準模型、次数付き環、正則ベクトル束、正則関数、有理型関数、斉次多項式、斉次座標環、既約成分、整閉整域、整拡大。 インデックスを展開 (28 もっと) »
単項式
数学における単項式（たんこうしき、monomial）とは、大ざっぱに言えばただひとつの項しかもたない多項式のことをいう。単項式は多項式（あるいは形式冪級数）の項として、一般の多項式（形式冪級数）を構成する構成ブロックの役割を果たす。"polynomial"（多項式）という単語は「多数」を意味する接頭辞 "poly-" に（「部分」を意味する）ギリシャ語 "νομός" (nomós) を足したものに由来するので、monomial（単項式）は理論上は "mononomial" と呼ばれるべきであり、"monomial" は "mononomial" の語中音消失である。.
多様体の射
代数幾何学においてアフィン多様体の間の正則写像（せいそくしゃぞう、regular map）とは、それが多項式によって与えられる写像であることを言う。陽に書けば、 がそれぞれアフィン多様体 の（あるいは代数的集合）であるとき、 から への正則写像 は、各 が座標環 （I は X を定義するイデアル）に属するものとして、 なる形に書ける。ゆえに像 は に含まれる（つまり、 の定義方程式を満たす）。 より一般に、抽象代数多様体間の写像 が一点 において正則 (regular at a point)とは、 の近傍 と の近傍 が存在して、制限写像 が と との 上の写像として正則となることを言う。さらに が の任意の点において正則であるとき、 は正則 (regular) であるという。 代数多様体間の射は、その始域と終域にザリスキー位相を入れたとき連続でなければならない。より厳密に、抽象代数多様体をある種の局所環付き空間として定義するとき（例えば射影多様体に対する「環付き構造」は射影多様体の項を参照せよ）、この定義のもとでの代数多様体間の射とは台とする局所環付き空間の間の射のことを言う（故にたとえばこの射は定義により連続になる）。 となる特別の場合を考えるとき、正則写像 は正則函数 (regular function) と呼ばれ、これは微分幾何におけるスカラー函数に対応するものである。即ち、スカラー函数が一点 において正則 (regular) となるのは、 の適当な近傍においてそれが有理函数（つまり多項式の商）に書けて、かつその分母が において消えていないときに限られる。正則函数環（つまり、座標環あるいはより抽象的に構造層の大域切断の環）はアフィン代数幾何において基本的対象である。一方、連結射影多様体上の正則函数は定数しかない（これは複素解析におけるリウヴィルの定理の類似とみなせる）から、射影代数幾何では（正則函数ではなくて）直線束（あるいは因子）の大域切断を考えるのが普通である。 事実として、既約代数曲線 上の函数体 を取ると、この函数体に属する任意の函数 は から 上の射影直線への射として実現することができる。その像 は一点か、さもなくば射影直線全体である（これはの帰結である）。つまり、 が実際に定数なのでない限り、 は のどこかの点において値が となることを認めなければならない。いま、 のそのような（値が となる）点における振る舞いは、そのほかの点におけるよりも（ある意味で）悪くはならない。つまり、 は射影直線上にとった無限遠点として、それはメビウス変換によってどこでも好きなところに移すことができる。しかし幾何学的な必要により、函数の終域を（射影直線ではなく）アフィン直線に限らねばならないとすれば、有限な値しかとれないので、不十分である。 上の有理函数が正則であるための必要十分条件は、それが極を持たぬことである。これはハルトークスの拡張定理の類似である。 正則写像は定義によりアフィン多様体の圏における射である。特にアフィン多様体の間の正則写像は、その座標環の間の環準同型に反変的に一対一対応する。 逆もまた正則であるような正則写像は双正則（そうせいそく、biregular）であるといい、代数多様体の圏における同型射である。代数多様体間の射で台となる位相空間の間の同相となるものは必ずしも同型射ではない（反例はフロベニウス射 t \mapsto t^p で与えられる）。他方、 が双射双有理かつ の終域が正規代数多様体ならば は双正則である（参照）。 正則および双正則は非常に強い条件（射影空間上の定数でない正則函数は存在しない）から、それより弱い条件であるや双有理写像が同じくらいよく用いられる。 が代数多様体の間の射ならば、 の像はその閉包の稠密開集合を含む（を参照）。 複素代数多様体の間の正則写像は（複素解析的な意味での）正則写像 (holomorphic map) である（実際には少し差異があって、本項に言う代数幾何的な意味で正則 (regular) となるのは特異点が除去可能であるような有理型写像なのであるが、実用上はこの差異は無視されるのが普通）。特に、複素数平面の中への正則写像は、まさに通常の（複素解析的な意味の）正則函数に他ならない。.
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対称代数
数学において、体 K 上のベクトル空間 V 上で定義される対称代数（たいしょうだいすう、symmetric algebra）S(V) あるいは Sym(V) は、V を含む K 上の自由可換単位的結合代数である。 対称代数の元は、座標の取り方に依らず V の元を不定元とする多項式に対応する。このとき、対称代数の双対 S(V&lowast) の元は V 上の多項式（函数）に対応する。 対称代数と V 上の対称テンソル空間とを混同してはならない。.
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小平の埋め込み定理
数学において、小平の埋め込み定理（こだいらのうめこみていり、Kodaira embedding theorem）は、コンパクトなケーラー多様体の中で、複素数体上の非特異射影多様体を特徴付ける。要するに小平の埋め込み定理は、ちょうどどんな複素多様体が斉次多項式により定義されるのかを言っている． 小平邦彦の結果は、ホッジ計量を持つコンパクトケーラー多様体 M は、ある十分に大きい次元 N の複素射影空間の中へ複素解析的に埋め込む事ができるという定理である。ここに、ホッジ計量を持つとは、ケーラー形式 ω により定義される 2 次のコホモロジー類が整係数コホモロジーであることを意味する。M が代数多様体として埋め込まれるという事実は、周の定理によりコンパクト性から従う。ホッジ計量を持つケーラー多様体は、（にちなみ）ホッジ多様体と呼ばれることもある。従って、小平の結果は、ホッジ多様体は射影的であると述べている。逆、すなわち射影多様体はホッジ多様体であることは、より基本的であり、以前から知られていた。.
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小平次元
代数幾何学では、小平次元 (Kodaira dimension)（標準次元 (canonical dimension) とも呼ばれる） κ(X) で射影多様体 X の標準モデル (canonical model) の大きさを測る。 は、セミナー Shafarevich 1965 で、代数曲面のある数値的不変量を記号 κ として導入した。飯高茂(Shigeru Iitaka) は、で、この数値的不変量を拡張し、高次元の多様体の小平次元を定義した（このときは標準次元の名称）。後日 で、小平邦彦の名前にちなんで「小平次元」とした。.
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小平消滅定理
数学では、小平消滅定理(Kodaira vanishing theorem)は、複素多様体論と複素代数幾何学の基本的な結果であり、インデックス q が 0 である層係数コホモロジー群が、自動的に 0 となる一般的な条件を記述する定理である。q が 0 のインデックスの群の意味は、普通は、次元、つまり、の数が、であることであり、リーマン・ロッホの定理を使い計算することができる。.
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射影空間
射影空間（しゃえいくうかん、projective space） とは、その次元が n であるとき、(n + 1)個の「数」の比全体からなる空間の事をさす。比を構成する「数」をどんな体（あるいは環）にとるかによって様々な空間が得られる。非ユークリッド幾何学のひとつである射影幾何学がその概念の端緒であるが、射影空間は位相幾何学、微分幾何学、代数幾何学など幾何学のあらゆる分野にわたって非常に重要な概念である。.
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層係数コホモロジー
数学において、層コホモロジー (sheaf cohomology) は、アーベル群の層に関連する層の理論の一面であり、ホモロジー代数を用いて、層 F の大域切断の具体的な計算を可能とする。数値的な領域での幾何学的な問題の記述として、層コホモロジーの理論は、重要な幾何学的な不変量の次元を計算することへ有用なツールとして使うことができる。 1950年以後の数年間で急速に発展した層コホモロジーは、リーマン・ロッホの定理のより古典的な方法や代数幾何学の(linear system of divisors)の解析や多変数複素函数論やホッジ理論へ結びついた。層コホモロジー群のランク、もしくは次元は、幾何学的なデータの新しい情報源になったり以前の研究の新しい解釈を与えたりする。.
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三角行列
数学の一分野線型代数学における三角行列（さんかくぎょうれつ、triangular matrix）は特別な種類の正方行列である。正方行列が またはであるとは主対角線より「上」の成分がすべて零となるときに言い、同様にまたはとは主対角線より「下」の成分がすべて零となるときに言う。三角行列は上半または下半三角となる行列のことを言い、また上半かつ下半三角となる行列は対角行列と呼ぶ。 三角行列に関する行列方程式は解くことが容易であるから、それは数値解析において非常に重要である。LU分解アルゴリズムにより、正則行列が下半三角行列 と上半三角行列 との積 に書くことができるための必要十分条件は、その行列の首座小行列式 (leading principal minor) がすべて非零となることである。.
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一般線型群
数学において、一般線型群（いっぱんせんけいぐん、general linear group）とは線型空間上の自己同型写像のなす群のこと。あるいは基底を固定することで、正則行列のなす群のことを指すこともある。.
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一意化定理
一意化定理(uniformization theorem)とは、すべての単連結リーマン面は、開円板、複素平面、リーマン球面の 3つのうちのひとつに共形同値であるという定理である。特に、単連結リーマン面は(constant curvature)のリーマン計量を持つ。この定理は普遍被覆リーマン面を楕円型（正の曲率、正の曲がった曲率をもつ）、放物型（平坦）、双曲型(負曲率）として分類する。 一意化定理はリーマンの写像定理の平面の固有な単連結開部分集合から、任意の単連結はリーマン面への一般化である。 一意化定理は、任意の連結である第二可算の面の同様な結果、定数曲率のリーマン計量を与えることができることを意味している。.
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一意分解環
数学における一意分解環（いちいぶんかいかん、unique factorization domain,UFD; 一意分解整域）あるいは素元分解環（そげんぶんかいかん）は、大雑把に言えば整数に対する算術の基本定理の如くに（特別の例外を除く）各元が素元（あるいは既約元）の積に一意的に書くことができるような可換環のことである。ブルバキの語法にしたがってしばしば分解環 (anneau factriel) とも呼ばれる。 環のクラスの中で、一意分解環は以下のような包含関係に位置するものである。.
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幾何学的不変式論
数学では、幾何学的不変式論(Geometric invariant theory)（もしくは、GIT）は、代数幾何学でモジュライ空間を構成に使用する目的で、群作用による商を構成する方法である。幾何学的不変論は、デヴィッド・マンフォード(David Mumford)により、1965年、古典的(invariant theory)での論文 のアイデアを使って開発された。 幾何学的不変式論は、代数多様体（もしくは、スキーム）上の群 G による群作用を研究し、合理的な性質を持つスキームとして G による X の「商」を構成するテクニックをもたらす。動機の一つは、代数幾何学でのモジュライ空間を、マークされた対象をパラメトライズするスキームの商として構成することにあった。1970年代と1980年代には、シンプレクティック幾何学や(equivariant topology)と相互作用しながら発展し、(instanton)や(monopoles)のような微分幾何学での対象のモジュライ空間の構成に使われた。.
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交叉理論
数学では、交叉理論(intersection theory)（もしくは、交点理論）は、代数幾何学では代数多様体の上ので部分多様体の交叉についての分野で、 代数トポロジーではコホモロジー環の中の交叉の計算についての分野である。多様体の理論は古くからあり、曲線のベズーの定理や(elimination theory)に起源を持つ。他方、トポロジー理論では、交叉理論はより手短に定義形式へたどり着く。.
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代数多様体
代数多様体（だいすうたようたい、algebraic variety）は、最も簡略に言えば、多変数の連立多項式系の解集合として定義される図形と述べる事が出来る。代数幾何学の最も主要な研究対象であり、デカルトによる座標平面上の解析幾何学の導入以来、多くの数学者が研究してきた数学的対象である。主にイタリア学派による射影幾何学的代数多様体、代数関数論およびその高次元化に当たるザリスキおよびヴェイユによる付値論的抽象代数多様体などの基礎付けがあたえられたが、20世紀後半以降はより多様体論的な観点に立脚したスキーム論による基礎付けを用いるのが通常である。 本項では、スキーム論的な観点に立ちつつ、スキーム論を直接用いず代数多様体を定義しその性質について述べる。また議論を簡潔にするのため特に断らない限り体 k は代数的閉体であると仮定する（体 k が代数的閉であるという条件を除去するために必要な考察についてはスキーム論へ向けてを参照）。.
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代数多様体の函数体
代数幾何学では、代数多様体 V の函数体(function field)は、V 上の有理函数と解釈される対象から構成される。古典的な代数幾何学では、函数体は多項式の比であり、(complex algebraic geometry)では、函数体は有理型函数とその高次元類似である。現代の代数幾何学では、函数体は環の商体の元である。.
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代数多様体の特異点
代数幾何学という数学の分野において、代数多様体 V の特異点 (singular point of an algebraic variety) は、この点において多様体の接空間をきちんと決められないという幾何学的な意味で'特別な'（つまり特異な）点 P である。実数体上定義された多様体の場合には、この概念は非の概念を一般化する。代数多様体の特異でない点を正則 (regular) という。特異点を全く持たない代数多様体を非特異 (non singular) あるいは滑らか (smooth) という。 例えば、方程式 の定める平面代数曲線（）は、原点 (0,0) で自己交叉し、したがって原点は曲線の二重点である。それは特異である、なぜならばただ1つの接線がそこで正しく定義されないからである。 より一般に F を滑らかな関数として陰関数 で定義される平面曲線がある点で特異であるとは、F のテイラー級数のその点でのが少なくとも 2 であるということである。 その理由は、微分学において、そのような曲線の点 (x0, y0) における接線は、左辺がテイラー展開の一次の項であるような方程式 によって定義されることである。したがって、この項が0であれば、接線は通常の方法では定義できない。接線はそもそも存在しない、あるいは、特別な定義をしなければならない。 一般に超曲面 に対して特異点 (singular point) はすべての偏微分が同時に消えるような点である。いくつかの多項式の共通零点として定義される一般の代数多様体 V に対しては、V の点 P が特異点であるとは多項式の一次の偏微分のヤコビ行列が P において多様体の他の点の行列のランクよりも低いランクをもつということである。 特異でない V の点を非特異 (non-singular) あるいは正則 (regular) という。たいていの点は非特異であるということは次のような意味で常に正しい。非特異点全体は空でない開集合をなす。 （実係数の多項式で定義された多様体の実座標の点の集合である）実多様体の場合には、多様体 (variety) はすべての正則点の近くで多様体 (manifold) である。しかし実多様体 (variety) は多様体 (manifold) であり特異点をもつかもしれないことを注意することは重要である。例えば方程式 y^3 + 2 x^2 y - x^4.
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代数幾何学
代数幾何学（だいすうきかがく、algebraic geometry）とは、多項式の零点のなすような図形を代数的手法を用いて（代数多様体として）研究する数学の一分野である。大別して、「多変数代数函数体に関する幾何学論」「射影空間上での複素多様体論」とに分けられる。前者は代数学の中の可換環論と関係が深く、後者は幾何学の中の多様体論と関係が深い。20世紀に入って外観を一新し、大きく発展した数学の分野といわれる。 ルネ・デカルトは、多項式の零点を曲線として幾何学的に扱う発想を生みだしたが、これが代数幾何学の始まりとなったといえる。例えば、x, y を実変数として "x2 + ay2 − 1" という多項式を考えると、これの零点のなす R2 の中の集合は a の正、零、負によってそれぞれ楕円、平行な2直線、双曲線になる。このように、多項式の係数と多様体の概形の関係は非常に深いものがある。 上記の例のように、代数幾何学において非常に重要な問題として「多項式の形から、多様体を分類せよ」という問題が挙げられる。曲線のような低次元の多様体の場合、分類は簡単にできると思われがちだが、低次元でも次数が高くなるとあっという間に分類が非常に複雑になる。 当然、次元が上がると更に複雑化し、4次元以上の代数多様体についてはあまり研究は進んでいない。 2次元の場合、多様体に含まれる(−1)カーブと呼ばれる曲線を除外していくことにより、特殊な物をのぞいて極小モデルと呼ばれる多様体が一意に定まるので、2次元の場合の分類問題は「極小モデルを分類せよ」という問題に帰着される。 3次元の場合も同じように極小モデルを分類していくという方針が立てられたが、3次元の場合は、その極小モデルが一意に定まるかどうかが大問題であった。 しかし、1988年森重文により3次元多様体の極小モデル存在定理が証明され、以降「森のプログラム」と呼ばれるプログラムに沿って分類が強力に推し進められている。 19世紀中期に、ベルンハルト・リーマンがアーベル関数論の中で双有理同値など代数幾何学の中心概念を生み出し、19世紀後半には、イタリアの直観的な代数幾何学が発展した（代数幾何学のイタリア学派）。20世紀前半には、アンドレ・ヴェイユ、オスカー・ザリスキによって、抽象的な代数幾何学の研究が進められ、1950年代以降はグロタンディークのスキーム論によって代数幾何学全体が大きく書き直された。.
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代数幾何学と解析幾何学
数学において、代数幾何学と解析幾何学（、略称: GAGA）は密接な関係にある。代数幾何学は代数多様体を研究するのに対して、解析幾何学は複素多様体やより一般的に多変数の（複素）解析函数のゼロ点で局所的に定義されたを扱う。これら2つの深い関係は、代数的なテクニックを解析空間へ適用したり、逆に解析的テクニックを代数多様体へ適用したりする上で応用されている。.
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代数的閉体
数学において、体 が代数的に閉じているまたは代数的閉体（だいすうてきへいたい、; 代数閉体）であるとは、一次以上の任意の 係数変数多項式が 上に根を持つこと、あるいは同じことであるが、一次以上の任意の 係数一変数多項式が一次多項式の積として書けることである。 代数学の基本定理は、複素数体 が代数的閉体であることを主張する定理である。一方で、有限体 、有理数体 や実数体 は代数的閉体ではない。.
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代数的整数論
代数的整数論（だいすうてきせいすうろん、algebraic number theory）は数論の一分野であり、抽象代数学の手法を用いて、整数や有理数、およびそれらの一般化を研究する。数論的な問題は、代数体やその整数環、有限体、関数体のような代数的対象の性質のことばで記述される。これらの性質は、例えば環において一意分解が成り立つかとか、イデアルの性質、体のガロワ群などであるが、ディオファントス方程式の解の存在のような、数論において極めて重要な問題を解決することができる。.
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代数群
代数幾何学において，代数群（だいすうぐん，algebraic group, あるいは群多様体，group variety）とは，代数多様体であるような群であって，積と逆元を取る演算がその多様体上の正則写像によって与えられるものである． 圏論のことばでは，代数群は代数多様体の圏におけるである．.
引き戻し (圏論)
圏論という数学の分野において，引き戻し（ひきもどし，pullback），あるいはファイバー積 (fiber/fibre/fibered product)，デカルトの四角形 (Cartesian square) とは，共通の終域を持つ2つの射, からなる図式の極限である．引き戻しはしばしば と書かれ，2つの自然な射, を備えている．2つの射の引き戻しが存在するとは限らないが，存在すれば2つの射から本質的に一意に定義される．多くの状況において， は，元 と の対 であって なるものからなるものと直観的に考えることができる．一般の定義には普遍性が用いられ，このことを本質的な理由として，引き戻しは2つの与えられた射を可換四角形に適合させる「最も一般の」方法である． 引き戻しの双対概念は (pushout) である．.
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位相空間
数学における位相空間（いそうくうかん, topological space）とは、集合にある種の情報（位相、topology）を付け加えたもので、この情報により、連続性や収束性といった概念が定式化可能になる。 位相空間論は位相空間の諸性質を研究する数学の分野である。.
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体上有限生成環の理論
体上有限生成環 (たいじょうゆうげんせいせいかん; finitely generated ring over a field）とは、ある（可環な）体 k 上有限個の元で生成される可換環の事を言う。k 上の多項式環 k の剰余環として得られる環といっても同じである。体上有限生成環は、可換環論的見地からはネーター環の重要な例でありヴォルフガング・クルルらによるネーター環のイデアル論のひな形であった。また体上有限生成環の理論は代数幾何学におけるアフィン代数多様体の理論、すなわち、代数多様体の局所理論と本質的に等価である点からも重要である。本項では、ネーターの正規化補題 (Noether normalization lemma)、有限生成整域の次元論、ヒルベルトの零点定理 (Hilbert's Nullstellensatz) について説明する。.
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ネータースキーム
代数幾何学において、ネータースキーム (noetherian scheme) は A_i をネーター環として開アフィン部分集合 \operatorname A_i による有限被覆をもつスキームである。より一般に、スキームが局所ネーター (locally noetherian) であるとは、それがネーター環のスペクトルによって被覆されるということである。したがって、スキームがネーターであることと局所ネーターかつ準コンパクトであることは同値である。ネーター環と同様、概念はエミー・ネーター (Emmy Noether) にちなんで名づけられている。 局所ネータースキームにおいて、\operatorname A が開アフィン部分集合であれば、A はネーター環であるということを示すことができる。特に、\operatorname A がネータースキームであることと A がネーター環であることは同値である。X を局所ネータースキームとする。このとき局所環 \mathcal_ はネーター環である。 ネータースキームはネーター位相空間である。しかし逆は一般には間違いである。例えば、非ネーター付値環のスペクトルを考えよ。 定義はに拡張する。.
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ポアンカレ双対
数学において，ポワンカレ双対性定理は，多様体のホモロジー群とコホモロジー群の構造に関する基本的な結果である．名前はアンリ・ポワンカレにちなむ．定理の主張は以下のようである． を 次元の向き付けられた閉多様体（コンパクトかつ境界を持たない）とすると， の 次コホモロジー群はすべての整数 に対して 次ホモロジー群と同型である： ポワンカレ双対性は，係数環に関して向きを取る限り，任意の係数環に対して成り立つ．特に，すべての多様体は 2 を法として一意的な向き付けを持つので，ポワンカレ双対性は向きの仮定なしに 2 を法として成り立つ．.
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モジュライ空間
代数幾何学では、モジュライ空間（moduli space）とは（普通、スキーム、もしくは(algebraic stack)）空間の点が、決められた種類の代数幾何学的な対象を表す点となっている、もしくは、そのような対象と(isomorphism class)を表現している点からなる幾何学的な空間のことを言う。そのような空間はしばしば分類問題の解として現れる。注目している対象の集まり（例えば、決められた種数を持つ滑らかな代数曲線のような）へ幾何学的空間の構造を与えることができると、出来上がる空間に座標を導入することで対象をパラメータ化することができる。この脈絡では、「モジュラス」という用語は「パラメータ」と同じような意味に使われる。モジュライ空間は、初期には、対象の空間というよりはパラメータの空間として理解されていた。.
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ヤコビ多様体
数学において、種数 g の非特異代数曲線 C のヤコビ多様体 (Jacobian variety) J(C) とは、次数が 0 の直線束のモジュライ空間を言う。ヤコビ多様体は、C のピカール群の単位元の連結成分であり、従って、アーベル多様体である。.
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リーマン・ロッホの定理
リーマン・ロッホの定理（リーマン・ロッホのていり、Riemann–Roch theorem）とは、複素解析学や代数幾何学などで用いられる、閉リーマン面上の複素解析と曲面の種数とを結びつける定理である。特定の位数の零点と極をもつ有理型関数空間の次元計算に役立つ。 まず、ベルンハルト・リーマンがでリーマンの不等式(Riemann's inequality)を証明した。そして短い間ではあったが、リーマンの学生であったグスタフ・ロッホが、で決定的な形に到達した。その後、この定理は代数曲線上や高次元代数多様体に一般化され、さらにそれを超えた一般化もなされている。.
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リウヴィルの定理 (解析学)
リウヴィルの定理（Liouville's theorem）は、有界な整関数は定数関数に限るということを主張する複素解析の定理である。ジョゼフ・リウヴィルにちなむ。整関数とは複素平面全体において正則（複素微分可能）な関数をいう。有界であるとは、ある実定数 が存在して、任意の複素数 に対して となることをいう。.
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レフシェッツ超平面定理
数学では、特に代数幾何学や代数トポロジーでは、レフシェッツの超平面定理(Lefschetz hyperplane theorem)は、代数多様体の形と部分多様体の形の間のある関係についてのステートメントであり、この定理は、射影空間に埋め込まれた多様体 X と(hyperplane section) Y に対し、X のホモロジー、コホモロジー、ホモトピー群は、Y のそれらをも決定するという定理である。この種類の結果は、最初に複素代数多様体のホモロジー群に対し、ソロモン・レフシェッツ(Solomon Lefschetz)により言明された。同様の結果が、正の標数でも、他のホモロジー、コホモロジー理論で、ホモトピー群に対して発見されている。なお、レフシェッツ超平面定理のことを弱レフシェッツ定理(Weak Lefschetz Theorem)とも言う。.
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ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理
ヒルツェブルフ・リーマン・ロッホの定理(Hirzebruch–Riemann–Roch theorem)とは、1954年にフリードリッヒ・ヒルツェブルフ(Friedrich Hirzebruch)により証明された高次元の複素代数多様体に対するリーマン・ロッホの定理の一般化である。この定理のさらなる一般化としておよびアティヤ＝シンガーの指数定理がある。.
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ヒルベルト多項式
可換環論における次数環あるいは次数加群のヒルベルト多項式（ヒルベルトたこうしき、Hilbert polynomial）は、その（次数環あるいは次数加群の）斉次成分の次元の増加率を測る一変数多項式である。次数付き可換環 S のヒルベルト多項式の次数および最高次係数は、射影代数多様体 Proj ''S'' の次数および次元に関係がある。.
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ヒルベルトスキーム
代数幾何学では、ヒルベルトスキーム(Hilbert scheme)とは、(Chow variety)を精密化したある射影空間（より一般的には射影スキーム）の閉部分スキームのパラメータ空間であるスキームである。ヒルベルトスキームは、ヒルベルト多項式に対応する(closed subscheme)の共通点を持たない合併である。ヒルベルトスキームの基本理論は、により開発された。は、非射影多様体はヒルベルトスキームを必ずしも持たないことを示している。.
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ピカール群
数学では、環付き空間 X のピカール群(Picard group)は Pic(X) と書き、テンソル積である群作用を持つ X 上の可逆層（もしくは、直線束）の同型類のなす群である。この構成は、因子類群やイデアル類群の構成の大域的なバージョンであり、代数幾何学や複素多様体の理論でよく使われる。 ピカール群は、層コホモロジー群 としても定義することができる。 整スキーム(integral scheme)に対して、ピカール群はカルティエ因子の類群と同型であることを示すことができる。複素多様体に対し、指数層系列は、ピカール群の基本的な情報を与える。 エミール・ピカール (Émile Picard) の理論、特に代数曲線の因子の理論から、ピカールの名前がついている。.
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テイト予想 (代数幾何学)
数論および代数幾何学において、テイト予想（テイトよそう、Tate conjecture）は、ジョン・テイト (John Tate) による1963年の予想であり、代数多様体上の代数的サイクルをより計算可能な不変量であるエタールコホモロジー上のガロワ加群のことばで記述するものであった。テイト予想は代数的サイクルの理論において中心的な問題である。予想はホッジ予想の数論的類似物と考えることができる。.
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ニールス・アーベル
ニールス・ヘンリック・アーベル（Niels Henrik Abel、1802年8月5日 - 1829年4月6日）はノルウェーの数学者である。.
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ホッジ予想
ホッジ予想（ホッジよそう、Hodge conjecture）は、代数幾何学の大きな未解決問題であり、非特異複素多様体と部分多様体の代数トポロジーに関連している。ホッジ予想は、複素解析多様体のあるホモロジー類（ホッジ類）は、代数的なド・ラームコホモロジー類であろう、つまり、部分多様体のホモロジー類のポアンカレ双対の和として表されるようなド・ラームコホモロジー類であろうという予想である。この定式化は、スコットランドの数学者(William Vallance Douglas Hodge)により、1930年から1940年のド・ラームコホモロジーの記述を、複素多様体の場合に存在する余剰な構造を含む記述へと拡張する仕事の結果として得られた。1950年の米国のマサチューセッツ州ケンブリッジで行われた、国際数学者会議でホッジが提起すると、ホッジ予想は非常に注目をあびるようになった。クレイ数学研究所は、ミレニアム懸賞問題の一つとして、解決者に対して100万ドルの懸賞金を支払う事を約束している。.
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ホッジ理論
数学におけるホッジ理論（ホッジりろん、Hodge theory ）とは可微分多様体 上の微分形式に関する理論である。特に、 上のリーマン計量に付随する（一般化された）ラプラス作用素に関する偏微分方程式論をもちいて得られる 上の実係数コホモロジー群の性質のことをいう。 1930年代にによってド・ラームコホモロジーの拡張として開発され、3つのレベルで大きな応用を持っている。.
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ベズーの定理
2つの三次曲線は9つの点で交わる ベズーの定理（ベズーのていり、Bézout's theorem）は、2つの平面代数曲線の交点の個数に関する、代数幾何学における定理である。おおまかには、m 次の曲線と n 次の曲線は mn 個の交点を持つ、という内容である。ただし、複素数の範囲（一般には基礎体の代数閉包）で考えること、無限遠点を考慮に入れた射影平面で考えること、「重複」して交わっている場合を適切に扱うことが必要であり、また、2つの曲線が共通成分を持つような特殊な場合は除かなければならない。定理には18世紀のフランスの数学者、エティエンヌ・ベズーの名が冠されているが、後述のように、厳密な証明を与えたのは別人である。.
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アーベル多様体
数学において、特に代数幾何学や複素解析や数論では、アーベル多様体(abelian variety)は、射影代数多様体であり、また正則函数(regular function)により定義することのできる群法則を持つ代数群でもある代数多様体を言う。アーベル多様体は、代数幾何の最も研究されている対象であり、同時に代数幾何学や数論やそれ以外の他の分野の研究の不可欠な道具である。 アーベル多様体は、任意の体に係数を持つ方程式により定義することができる。従って、多様体はその体の上で定義されると言う。歴史的には、最初研究されたアーベル多様体は複素数体上で定義された多様体であった。そのようなアーベル多様体はまさに複素射影空間へ埋め込むことができ複素トーラスであることが判明している。代数体上に定義されたアーベル多様体は、特別であり、数論の観点から重要である。環の局所化のテクニックは、数体上に定義されたアーベル多様体から有限体上や様々な局所体上に定義されたアーベル多様体を自然に導く。 アーベル多様体は代数多様体のヤコビ多様体（ピカール多様体のゼロ点の連結成分として）自然に現れてくる。アーベル多様体の群法則は必然的に可換となり、多様体は非特異となる。楕円曲線のアーベル多様体は次元が 1 である。アーベル多様体は小平次元が 0 である。.
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アフィン多様体
代数幾何学において，代数閉体 上のアフィン多様体とは， 次元アフィン空間 において， 係数の 変数の多項式の素イデアルを生成する有限族の零点集合である．素イデアルを生成するという条件を外したときの集合は（アフィン）代数的集合と呼ばれる．アフィン多様体のザリスキ開部分多様体はと呼ばれる． が素イデアル によって定義されるアフィン多様体のとき，商環 は の座標環と呼ばれる．この環はちょうど 上のすべての体の射|正則関数がなす集合である．言い換えると， の構造層の大域切断の空間である．はアフィン多様体のコホモロジー的特徴づけを与える．定理により代数多様体がアフィンであることと がすべての と 上のすべての準連接層 に対して成り立つことは同値である（cf.
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オイラー標数
イラー標数（オイラーひょうすう、）とは、位相空間のもつある種の構造を特徴付ける位相不変量のひとつ。オイラーが多面体の研究においてこの不変量を用いたことからこの名がある。オイラー数と呼ばれることもあるが、オイラー数は別の意味で使われることも多い。.
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ケーラー多様体
数学、特に微分幾何学において、ケーラー多様体（Kähler manifold）とは、複素構造、リーマン構造、シンプレクティック構造という３つが互いに整合性を持つ多様体である。ケーラー多様体 X 上には、ケーラーポテンシャルが存在し、X の計量に対応するレヴィ・チヴィタ接続が、標準直線束上の接続を引き起こす。 滑らかな射影代数多様体はケーラー多様体の重要な例である。小平埋め込み定理により、正の直線束を持つケーラー多様体は、常に射影空間の中へ双正則に埋め込むことができる。 ケーラー多様体の名前はドイツ人数学者エーリッヒ・ケーラー (Erich Kähler) にちなんでいる。.
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ケーラー微分
数学において、ケーラー微分 (Kähler differential) は微分形式の任意の可換環やスキームへの応用を提供する。.
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ザリスキー位相
代数幾何学と可換環論において、ザリスキ位相は代数多様体に定義される位相であり、最初はオスカー・ザリスキによって導入された。ザリスキ位相は可換環の素イデアル全体の集合に対しても定義され、その環のスペクトルと呼ばれる。 ザリスキ位相によって、基礎体が位相体でないときでさえ、代数多様体の研究に位相空間論の道具を使うことができるようになる。このような手法はスキーム論の基本的な考えの1つであり、多様体 (manifold) が局所座標系（実アファイン空間の開部分集合）を貼り合わせて構成されるのと同じように、一般の代数多様体はアファイン多様体を貼り合わせて構成される。 代数多様体のザリスキ位相は、多様体の代数的部分集合の全体を閉集合系とする位相である。複素数体上の代数多様体の場合には、ザリスキ位相は通常の位相よりも粗く、任意の代数的集合は通常の位相でも閉集合であるが、逆は一般には正しくない。 可換環の素イデアル全体の集合へのザリスキ位相の一般化は、代数閉体上定義されたアファイン多様体の点全体と多様体の正則関数環の極大イデアル全体との間の1:1対応を確立するヒルベルトの零点定理から従う。この定理より、可換環の極大イデアル全体の集合上のザリスキ位相は、ある与えられたイデアルを含む極大イデアルの全体を閉集合とし、かつそのような集合のみが閉集合である、と定めればよいことが示唆される。グロタンディークのスキーム論のもう1つの基本的な考えは、極大イデアルに対応する普通の点のみならず、すべての（既約）代数多様体、これは素イデアルに対応する、をも点として考えることである。したがって、可換環の素イデアル全体の集合（スペクトル）上のザリスキ位相は、ある固定されたイデアルを含むような素イデアル全体の集合の全体を閉集合系とする位相である。.
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シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア
ュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア（Springer Science+Business Media, Springer）は、科学（Science）、技術（Technology、工学など）、医学（Medicine）、すなわちSTM関連の書籍、電子書籍、査読済みジャーナルを出版するグローバル企業である。シュプリンガーはまた、"SpringerLink"（「シュプリンガー・リンク」） 、"SpringerProtocols"（「」） 、"SpringerImages"（「シュプリンガー・イメージ」） 、"SpringerMaterials"（「シュプリンガー・マテリアル」） などいくつかの科学データベース・サービスのホスティングも行っている。 出版物には、参考図書（Reference works、レ（リ）ファレンス・ワークス）、教科書、モノグラフ（Monograph）、（Proceedings）、叢書など多数が含まれる。また、シュプリンガー・リンクには45,000以上のタイトルが自然科学など13の主題・テーマで集められており、それらは電子書籍として利用可能である。シュプリンガーはSTM分野の書籍に関しては世界最大の出版規模を持ち、ジャーナルでは世界第2位である（第1位はエルゼビア）。 多数のインプリントや、20ヶ国に約55の発行所（パブリッシング・ハウス）、5,000人以上の従業員を抱え、毎年約2,000のジャーナル、7,000以上の新書（これにはSTM分野だけではなく、B2B分野のものも含まれる）を発刊している。シュプリンガーはベルリン、ハイデルベルク、ドルトレヒト、ニューヨークに主要オフィスを構える。近年成長著しいアジア市場のために、アジア地域本部を香港に置いており、2005年8月からは北京に代表部を設置している 。 2015年5月、シュプリンガー・サイエンス+ビジネスメディアとマクミラン・サイエンス・アンド・エデュケーションの大半の事業の合併が、欧州連合や米国司法省などの主要な公正競争監視機関により承認された。新会社の名称は「シュプリンガー・ネイチャー（Springer Nature）」。.
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セール双対性
代数幾何学という数学の分野において，セール双対性（セールたいしょうせい、Serre duality）は， 次元の非特異射影代数多様体 （あるいはより一般的にベクトル束やさらに連接層）に関する双対性である．それはコホモロジー群 が別のもの の双対空間である述べている． 滑らかなコンパクト複素多様体 上の正則ベクトル束 に対する場合は，主張は であり， は射影的である必要はない．.
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冪零元
数学において、環 R の元 x はある正の整数 n が存在して xn.
剰余環
数学の一分野、環論における商環（しょうかん、quotient ring）、剰余環（じょうよかん、factor ring）あるいは剰余類環（じょうよるいかん、residue class ring）とは、群論における剰余群や線型代数学における商線型空間に類似した環の構成法およびその構成物である。すなわち、はじめに環 R とその両側イデアル I が与えられたとき、剰余環 R/I と呼ばれる新しい環が、I の全ての元が零元に潰れる（I による違いを「無視」するともいえる）ことで得られる。 注意: 剰余環は商環とも呼ばれるけれども、整域に対する商体（分数の体）と呼ばれる構成とは異なるし、全商環（商の環、これは環の局所化の一種）とも異なる。.
因子 (代数幾何学)
因子（いんし; divisor）とは、代数幾何学や複素幾何学において、代数多様体（または複素解析空間）の余次元1の部分多様体の形式的有限和のことをいう。因子は、代数多様体や解析空間上の有理関数あるいは有理型関数の極や零点の分布を表すために用いられる（概説参照）。線形同値な因子の空間である線形系を考えることは、射影空間への有理写像を考えることと1対1に対応しているので、代数多様体（または複素解析空間）の代数幾何的な性質・情報を取り出すときに欠かせない概念である。.
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固有写像
数学において、位相空間の間のある函数が固有写像（こゆうしゃぞう、）であるとは、コンパクト部分集合に対するその逆像がコンパクトであることをいう。代数幾何学において、類似の概念はと呼ばれる。.
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素イデアル
素イデアル（prime ideal）は、環のイデアルで、ある条件を満たすものである。歴史的には、素数（素元）の概念の拡張としてデデキントによって代数体の整数環に対して定義された。整数環（一般に）のすべてのゼロでない（整）イデアルは、素イデアルの有限個の積として（順序を除いて）一意的に書ける（イデアル論の基本定理）。スキームの理論は、図形の上の関数の成す環から下の空間を構成するという idea がもとになっているが、その時に、その環の素イデアルひとつひとつが、下の空間の点に対応する。.
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環のスペクトル
抽象代数学と代数幾何学において，可換環 のスペクトル とは， のすべての素イデアルからなる集合である．通常ザリスキー位相と構造層をともに考え，それにより は局所環付き空間である．この形の局所環付き空間はアフィンスキームと呼ばれる．.
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直和
数学における直和（ちょくわ、）は、既知の数学的対象を「貼り合わせ」て同じ種類の対象を新たに作り出す操作の一種で、歴史的経緯から対象によってやや異なる意味で用いられるが、大雑把には集合論的、代数学的、圏論的用法に大別できる。またいずれの用法においても、直和を取る対象が全て一つの大きな対象の部分となっている場合（内部直和、構造的直和）と、そのようなものを仮定しない場合（外部直和、構成的直和）を区別することができる（場合によってはそれらの記述は見かけ上大きく異なる）が、それらの間に自然な同型があるため理論上区別して扱わないこともある。そのような自然同型は、しばしば圏論的直和（あるいは双積）の普遍性によって捉えることができる。 直和を表すのに用いられる記号には \oplus, \coprod などがある。.
直線束
数学における直線束（ちょくせんそく、line bundle; 線束）は、空間の点から点へ動いていく直線の概念を表すものである。例えば、平面上の曲線は各点において接線を持つが、これらを構造化する方法によって接束が得られる。より厳密に、代数幾何学および微分位相幾何学における直線束は階数 のベクトル束として定義される。 一次元の実直線束（冒頭に述べたようなもの）と一次元の複素直線束は異なる。 正則実行列全体の成す空間の位相は、（正および負の実数をそれぞれ一点に縮めた）にホモトピー同値だが、 正則複素行列の空間のホモトピー型は円周である。 従って、実直線束はホモトピー論的には、二点繊維を持つファイバー束としての二重被覆も同然である。これは可微分多様体上のになる（実際これは、直線束が行列式束（接束の最高次外冪）の特別の場合であることからわかる）。メビウスの帯は円周の二重被覆（偏角を θ ↦ 2θ にする写像）に対応し、これを二点繊維を持つものとして見ることもできるが、このとき単位区間でも実数直線でもデータとしては同値である。 複素直線束の場合には、実はこれはでもあることが分かる。よく知られたものとして、例えば球面から球面へのがある。.
複素多様体
微分幾何学で複素多様体（ふくそたようたい、complex manifold）とは、多様体上の各点の開近傍が、Cn の中の単位開円板への正則な座標変換を持つ多様体のことを言う。座標変換が正則である場合には、Cn の中で、コーシー・リーマンの方程式の制約を受ける。 複素多様体という言葉は、上の意味で可積分複素多様体として特徴づけることができる。 One must use the open unit disk in Cn as the model space instead of Cn because these are not isomorphic, unlike for real manifolds.
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複素数
数学における複素数（ふくそすう、complex number）は、実数の対 と と線型独立な（実数ではない）要素 の線型結合 の形に表される数（二元数: 実数体上の二次拡大環の元）で、基底元 はその平方が になるという特別な性質を持ち虚数単位と呼ばれる。 複素数全体の成す集合を太字の あるいは黒板太字で と表す。 は、実数全体の成す集合 と同様に、可換体の構造を持ち、とくに を含む代数閉体を成す。複素数体はケイリー–ディクソン代数（四元数、八元数、十六元数など）の基点となる体系であり、またさまざまな超複素数系の中で最もよく知られた例である。 複素数の概念は、一次元の実数直線を二次元の複素数平面に拡張する。複素数は自然に二次元平面上に存在すると考えることができるから、複素数全体の成す集合上に自然な大小関係（つまり全順序）をいれることはできない。すなわち は順序体でない。 ある数学的な主題や概念あるいは構成において、それが複素数体を基本の体構造として考えられているとき、そのことはしばしばそれら概念等の名称に（おおくは接頭辞「複素-」を付けることで）反映される。例えば、複素解析、複素行列、複素（係数）多項式、複素リー代数など。.
豊富な直線束
代数幾何学では、非常に豊富な直線束(very ample line bundle)は、基礎となる代数多様体や多様体 M から射影空間への埋め込みを行う設定に充分な大域的切断があるバンドルのことを言う。豊富な直線束(ample line bundle)はバンドルのある正のべきが非常に豊富となるときを言う。大域的に生成された層(globally generated sheaves)とは、射影空間への射を定義することに充分な切断を持つ層のことを言う。 M into projective space.
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超楕円曲線
代数幾何学では、超楕円曲線(hyperelliptic curve)は、次の形の方程式で与えられる代数曲線である。 ここに、f(x) は n 個の異なった根を持つ次数 n > 4 の多項式である。超楕円函数(hyperelliptic function)は、そのような曲線上の、もしくは曲線上のヤコビ多様体上の函数体の元である。これらの 2つの概念は楕円曲線の場合には一致するが、しかし、現在のケースでは異なっている。図 1 は、 としたときの、C: y^2.
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超曲面
幾何学における超曲面（ちょうきょくめん、）とは、超平面の概念の一般化である。n 次元の包絡多様体（）M を考える。このとき、n − 1 次元の任意の M の部分多様体は、超曲面である。また、超曲面のは 1 である。 代数幾何学において、n次元射影空間における超曲面は、純粋に n − 1 次元の代数的集合に属するものである。したがってそれは、における斉次多項式である単一の関数 F.
離散付値環
抽象代数学において、離散付値環（りさんふちかん、discrete valuation ring、略して DVR）とは、ちょうど1つの0でない極大イデアルをもつ単項イデアル整域（PID）である。 このことは DVR は次の同値な条件のうち1つを満たす整域 R であることを意味する。.
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連接層
数学では、特に代数幾何学や複素多様体やスキームの理論では、連接層(れんせつそう、英: coherent sheaf)とは、底空間の幾何学的性質に密接に関連する、扱いやすい性質をもった特別な層である。 連接層は有限ランクのベクトルバンドルや局所自由層の一般化とみなすことができる。ベクトルバンドルとは違い、連接層のなす圏は、や余核や有限の直和といった操作で閉じている｢素晴らしい｣圏である。準連接層(じゅんれんせつそう、英：quasi-coherent sheaf)は連接層における有限性の仮定をはずしたもので、ランク無限の局所自由層を含んでいる。 代数幾何学や複素解析の多くの結果や性質が、連接層、準連接層やそれらのコホモロジーのことばで定式化される。.
K3曲面
数学において、K3曲面 (K3 surface) とは、不正則数が で、自明な標準バンドルを持っているという複素解析的、もしくは代数的な滑らかな最小完備曲面をいう。 エンリケス・小平の曲面の分類では、それらは小平次元がゼロの曲面の 4つのクラスのうちの一つである。 K3曲面は、複素トーラスとともに 2次元のカラビ・ヤウ多様体である。ほとんどの複素K3曲面は代数的ではない。このことは、K3曲面を多項式により定義される曲面として射影空間へ埋め込むことができないことを意味する。K3曲面はラマヌジャンが1910年代に発見したが未発表に終わり、後に が再発見して、3人の代数幾何学者（クンマー、ケーラー、小平邦彦）と当時未踏峰だったK2に因みK3曲面と名付けた。.
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楕円曲線
数学における楕円曲線（だえんきょくせん、elliptic curve）とは種数 の非特異な射影代数曲線、さらに一般的には、特定の基点 を持つ種数 の代数曲線を言う。 楕円曲線上の点に対し、積に関して、先述の点 を単位元とする（必ず可換な）群をなすように、積を代数的に定義することができる。すなわち楕円曲線はアーベル多様体である。 楕円曲線は、代数幾何学的には、射影平面 の中の三次の平面代数曲線として見ることもできる。より正確には、射影平面上、楕円曲線はヴァイエルシュトラス方程式あるいはヴァイエルシュトラスの標準形 により定義された非特異な平面代数曲線に双有理同値である（有理変換によってそのような曲線に変換される）。そしてこの形にあらわされているとき、 は実は射影平面の「無限遠点」である。 また、の標数が でも でもないとき、楕円曲線は、アフィン平面上次の形の式により定義された非特異な平面代数曲線に双有理同値である。 非特異であるとは、グラフが尖点を持ったり、自分自身と交叉したりはしないということである。この形の方程式もヴァイエルシュトラス方程式あるいはヴァイエルシュトラスの標準形という。係数体の標数が や のとき、上の式は全ての非特異を表せるほど一般ではない（詳細な定義は以下を参照）。 が重根を持たない三次多項式として、 とすると、種数 の非特異平面曲線を得るので、これは楕円曲線である。が次数 でとすると、これも種数 の平面曲線となるが、しかし、単位元を自然に選び出すことができない。さらに一般的には、単位元として働く有理点を少なくとも一つ持つような種数 の代数曲線を楕円曲線と呼ぶ。例えば、三次元射影空間へ埋め込まれた二つの二次曲面の交叉は楕円曲線である。 楕円関数論を使い、複素数上で定義された楕円曲線はトーラスのへの埋め込みに対応することを示すことができる。トーラスもアーベル群で、実はこの対応は群同型かつ位相的に同相にもなっている。したがって、位相的には複素楕円曲線はトーラスである。 楕円曲線は、数論で特に重要で、現在研究されている主要な分野の一つである。例えば、アンドリュー・ワイルズにより（リチャード・テイラーの支援を得て）証明されたフェルマーの最終定理で重要な役割を持っている（モジュラー性定理とフェルマーの最終定理への応用を参照）。また、楕円曲線は、楕円暗号(ECC) や素因数分解への応用が見つかっている。 楕円曲線は、楕円ではないことに注意すべきである。「楕円」ということばの由来については楕円積分、楕円関数を参照。 このように、楕円曲線は次のように見なすことができる。.
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標準環
数学では、（非特異な）代数多様体や複素多様体 V の 多重標準環(pluricanonical ring)は、次の標準バンドル K のベキの切断の次数付き環である。 この n 番目の次数の要素（n\geq 0 に対して)は、 であり、すなわち、標準バンドル K の n 番目のテンソル積 Kn の切断の空間である。 0 番目の次数の要素 R_0 は自明なバンドルの切断で、V が射影的なときは 1 次元である。この次数付き環により定義された射影多様体を V の 標準モデル(canonical model)といい、標準モデル の次元を小平次元と言う。 V 上のラインバンドル L に似たような環を定義することができ、この類似な次元を 飯高次元 と言う。もし飯高次元が多様体の次元に等しいときに、ラインバンドルは 大きい と言う。.
標準束
数学において，体上の 次元非特異代数多様体 の標準束（ひょうじゅんそく，canonical bundle）とは，直線束, すなわち 上の余接束 の 次外冪である． 複素数体上，それは 上の正則 形式の行列式束である．これは 上のセール双対性に対する dualising object である．それはまた可逆層と考えることもできる． 標準類 (canonical class) とは標準束を生じる 上の のである――それは 上のの同値類であり，それに属する任意の因子を標準因子 (canonical divisor) と呼んでよい．反標準 (anticanonical) 因子は を任意の標準因子として因子 のことである． 反標準束 (anticanonical bundle) は対応する である． の反標準束が豊富であるとき， はファノ多様体と呼ばれる． \omega_D.
標準模型
標準模型（ひょうじゅんもけい、、略称: SM）とは、素粒子物理学において、強い相互作用、弱い相互作用、電磁相互作用の3つの基本的な相互作用を記述するための理論のひとつである。標準理論（ひょうじゅんりろん）または標準モデル（ひょうじゅんモデル）とも言う。.
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次数付き環
数学、特に抽象代数学において、次数付き環（じすうつきかん、graded ring; 次数付けられた環）あるいは次数環とは R_i R_j \subset R_ を満たすアーベル群 R_i の直和として表すことのできる環のことである。多項式環の斉次多項式への分解を一般化した概念である。添え字集合は通常非負の整数の集合か整数の集合であるが、任意のモノイドあるいは群でもよい。直和分解は通常次数化（gradation）あるいは次数付け（grading）と呼ばれる。 次数（付き）加群（graded module）は同様に定義される（正確な定義は下を見よ）。これは次数付きベクトル空間の一般化である。次数付き環でもあるような次数付き加群は次数付き代数（graded algebra）と呼ばれる。次数付き環は次数付き Z-代数と見なすこともできる。 結合性は次数付き環の定義において重要でない（実は全く使われない）。したがってこの概念は非結合的多元環に対しても適用できる。例えば、を考えることができる。.
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正則ベクトル束
数学において，正則ベクトル束（せいそくベクトルそく，holomorphic vector bundle）とは，複素多様体 上の複素ベクトル束であって，全空間 が複素多様体であり射影 が正則であるようなものである．基本的な例は複素多様体の正則接束とその双対正則余接束である．正則直線束 (holomorphic line bundle) は階数が 1 の正則ベクトル束である． セールの GAGA により，複素射影多様体 （複素多様体と見る）上の正則ベクトル束の圏は， 上の（すなわち階数が有限の局所自由層）の圏と同値である．.
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正則関数
複素解析において、正則関数（せいそくかんすう、regular analytic function）あるいは整型函数（せいけいかんすう、holomorphic function）とは、ガウス平面あるいはリーマン面上のある領域の全ての点で微分可能であるような複素変数のことである。.
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有理型関数
複素解析において、有理型関数（ゆうりけいかんすう、ゆうりがたかんすう、meromorphic function）あるいは、関数が有理型（ゆうりけい、）であるとは、複素数平面あるいは連結リーマン面のある領域で定義され、その中で極（仮性特異点）以外の特異点を持たない解析関数（特異点以外では正則な関数）のことを指す。 有理型関数は正則関数の商として表すことができ、その分母となる正則関数の零点が元の有理型関数の極となる（分母は定数関数 0 ではない）。.
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斉次多項式
数学において、斉次多項式（せいじたこうしき、homogeneous polynomial）あるいは同次多項式（どうじたこうしき）、あるいは略して斉次式、同次式とは、非零項がすべて同じ次数であるような多項式のことである。例えば、x^5 + 2 x^3 y^2 + 9 x y^4 は2変数の5次の斉次多項式である。各項の指数の和は常に5だからである。多項式 x^3 + 3 x^2 y + z^7 は斉次ではない。項によって指数の和が異なるからである。多項式が斉次であることと斉次関数を定義することは同値である。（代数的）形式 ((algebraic) form) とは、斉次多項式によって定まる関数のことである。binary form とは二変数の形式である。形式はベクトル空間上定義される、任意の基底上座標の斉次関数として表せる関数でもある。 0次多項式は常に斉次である。これは単に係数の体や環の元であり、通常定数やスカラーと呼ばれる。1次の形式は線型形式である。2次の形式は二次形式である。幾何学において、ユークリッド距離は二次形式の平方根である。 斉次多項式は数学や物理学のいたるところであらわれる。斉次多項式は代数幾何学において基本的な役割を果たす。射影代数多様体は斉次多項式のある集合の共通零点全体の集合として定義されるからである。.
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斉次座標環
代数幾何学において、与えられた次元 N の射影空間の部分多様体として与えられる代数多様体 V の斉次座標環（せいじざひょうかん、homogeneous coordinate ring）R は定義によって商環 ただし I は V を定義する斉次イデアル、K は V がそれ上定義されているような代数的閉体、そして は N + 1 変数 Xi の多項式環である。したがって多項式環は射影空間自身の斉次座標環であり、変数は（射影空間の下にあるベクトル空間の）与えられた基底の選択のである。基底の選択はこの定義が intrinsic でないことを意味するが、対称代数を使ってそのようにすることができる。.
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既約成分
数学、とりわけ代数幾何学において、既約成分 (irreducible component) の概念は方程式 XY.
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整閉整域
可換環論において、整閉整域（せいへいせいいき、Integrally closed domain）とは、商体の中で整閉な整域のことである。すなわち、整域 A の商体 K の元 x がモニックな多項式関係 x^n+a_x^+\cdots+a_0.
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整拡大
可換環論において、可換環 B とその部分環 A について、B の元 b が A 係数のモニック多項式の根であるとき、b は A 上整である（integral over A）という。B のすべての元が A 上整であるとき、B は A 上整である、または、B は A の整拡大（integral extension）であるという。 本記事において、環とは単位元をもつ可換環のこととする。.
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