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26 関係: 単射、反射関係、上界、一様空間、二項関係、ハウスドルフ空間、ツォルンの補題、フィルター、フィルター (数学)、列 (数学)、列型空間、アンリ・カルタン、コンパクト空間、コーシー列、写像、全順序、積分法、第一可算的空間、距離空間、自然数、集合、推移関係、有向集合、最小の非可算順序数、1922年、1937年。
単射
数学において、単射あるいは単写（たんしゃ、injective function, injection）とは、その値域に属する元はすべてその定義域の元の像として唯一通りに表されるような写像のことをいう。一対一（いったいいち、）の写像ともいう。似ているが一対一対応は全単射の意味で使われるので注意が必要である。.
反射関係
反射関係（はんしゃかんけい、reflexive relation）は、数学における二項関係の一種。二項関係には反射性 (reflexivity) のものと非反射性 (irreflexivity) のものがある。なお、ここでの（二項）関係は X × X という形式であり、集合 X からそれ自身への関係である。.
上界
上界（じょうかい）.
一様空間
一様空間（いちようくうかん、uniform space）は数学の一分野である位相空間論の概念で、一様連続性、一様収束性、完備性、一様被覆といった性質の定式化が可能になる条件を抽象する事で得られたものである。 一様空間は距離空間と位相空間の中間の強さを持つ概念であり、距離空間は自然に一様空間とみなせ、一様空間は自然に位相空間とみなせる。また擬距離空間や位相群なども一様空間とみなせる。 一様空間は距離空間と位相群を一般化する概念であるので、解析学における議論の多くの基盤を与えるものとなっている。 一様構造と位相構造の概念的な違いは、一様空間においては点の近さや相対的な近さといったようなある種の概念が定式化できるというようなことにある。つまり、「点 x の点 a への近さは、点 y の点 bへの近さよりも近い」といったような考察は一様空間において意味を成すのである。対する一般の位相空間では、部分集合 A, B が与えられれば、「点 x が集合 A にどれほどでも近い（x が A の閉包に属する）」とか「集合 A は集合 B よりも小さい近傍である」といったようなことは言える。しかし点の近さの概念や相対的な近さといったようなものは、位相構造のみでは記述することができない。.
二項関係
数学において、二項関係（にこうかんけい、binary relation）あるいは二変数関係 (dyadic relation, 2-place relation) は、集合 の元からなる順序対のあつまりである。別な言い方をすれば、直積集合 の部分集合を、集合 上の二項関係と呼ぶ。あるいはもっと一般に、二つの集合 に対して、 と との間の二項関係とは、直積 の部分集合のことをいう。 二項関係の一つの例は素数全体の成す集合 と整数全体の成す集合 の間の整除関係である。この整除関係では任意の素数 は、 の倍数である任意の整数 に関係を持ち、倍数でない整数には関係しないものとして扱われる。例えば、素数 が関係を持つ整数には などが含まれるが や は含まれない。同様に素数 が関係する整数として などが挙げられるが、 や はそうではない。 二項関係は数学のさまざまな分野で用いられ、不等関係、恒等関係、算術の整除関係、初等幾何学の合同関係、グラフ理論の隣接関係、線型代数学の直交関係などのさまざまな概念が二項関係として定式化することができる。また、写像の概念を特別な種類の二項関係として定義することもできる。二項関係は計算機科学においても重用される。 二項関係はn-項関係 （各 -番目の成分が関係の -番目の始集合 からとられているようなn-組からなる集合）で とした特別の場合である。 ある種の公理的集合論では（集合の一般化としての）類の上の関係を考えることができる。このような拡張は、集合論における元の帰属関係や包含関係の概念（に限った話ではないが）のモデル化を、ラッセルの逆理のような論理矛盾に陥らずに行うために必要である。.
ハウスドルフ空間
数学におけるハウスドルフ空間（ハウスドルフくうかん、Hausdorff space）とは、異なる点がそれらの近傍によって分離できるような位相空間のことである。これは分離空間(separated space)またはT2 空間とも呼ばれる。位相空間についてのさまざまな分離公理の中で、このハウスドルフ空間に関する条件はもっともよく仮定されるものの一つである。ハウスドルフ空間においては点列（あるいはより一般に、フィルターやネット）の極限の一意性が成り立つ。位相空間の理論の創始者の一人であるフェリックス・ハウスドルフにちなんでこの名前がついている。ハウスドルフによって与えられた位相空間の公理系にはこのハウスドルフ空間の公理も含まれていた。.
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ツォルンの補題
集合論においてツォルンの補題（ツォルンのほだい、Zorn's lemma）またはクラトフスキ・ツォルンの補題（クラトフスキ・ツォルンのほだい）とは次の定理をいう。; 命題 (Zorn の補題) この定理は数学者マックス・ツォルンとカジミェシュ・クラトフスキに因む。.
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フィルター
フィルター（フィルタ、filter）とは、与えられた物の特定成分を取り除く（あるいは弱める）作用をする機能をもつものである。またその作用をフィルタリングと呼ぶ。.
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フィルター (数学)
フィルター (filter) とは半順序集合の特別な部分集合のことである。実際には半順序集合として、特定の集合の冪集合に包含関係で順序を入れた物が考察されることが多い。フィルターが初めて用いられたのは一般位相幾何学の研究であったが、現在では順序理論や束の理論でも用いられている。順序理論的な意味でのフィルターの双対概念はイデアルである。 類似の概念として1922年にエリアキム・H・ムーアとH.L.スミスによって導入されたネットの概念がある。.
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列 (数学)
数学において列（れつ、sequence）とは、粗く言えば、対象あるいは事象からなる集まりを「順序だてて並べる」ことで、例えば「Ａ，Ｂ，Ｃ」は３つのものからなる列である。狭義にはこの例のように一列に並べるものを列と呼ぶが、広義にはそうでない場合（すなわち半順序に並べる場合）も列という場合がある（例：有向点列）。集合との違いは順番が決まっている事で、順番を変更したものは別の列であるとみなされる。たとえば列「Ａ，Ｂ，Ｃ」と列「Ｂ，Ｃ，Ａ」は異なる列である。 数を並べた列を数列、（何らかの空間上の）点を並べた列を点列、文字を並べた列を文字列（あるいは語）という。このように同種の性質○○を満たすもののみを並べた場合にはその列を「○○列」という言い方をするが、異なる種類のものを並べた列も許容されている。 列の構成要素は、列の要素あるいは項（こう、term）と呼ばれ、例えば「Ａ，Ｂ，Ｃ」には３つの項がある。項の個数をその列の項数あるいは長さ (length, size) という。項数が有限である列を有限列（ゆうげんれつ、finite sequence）と、そうでないものを無限列（むげんれつ、infinite sequence）と呼ぶ。（例えば正の偶数全体の成す列 (2, 4, 6,...) ）。.
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列型空間
数学の位相空間論関連分野における列型空間（れつけいくうかん、れつがたくうかん、sequential space; 列状空間、列性空間）とは、開集合と閉集合が点列の収束で特長づけられる位相空間のことである。この空間上で定義された関数の連続性もまた、点列の収束性で特長づけられる。しかし列型空間であっても閉包の概念は点列の収束で特長づけられるとは限らず、これが可能な列型空間をフレシェ・ウリゾーン空間という。 位相空間が列型空間である必要十分条件はその空間が第一可算公理を満たす空間の商空間となることである。 空間にこうした可算性に関する条件が必要となるのは点列の概念がそもそも可算な全順序列として定義されているからであり、点列から可算性と全順序性の束縛を外した概念である有向点族の概念を用いれば空間に仮定を置くことなく収束で位相構造を特長づけられる。 任意の列型空間は可算緊密性を持つ。.
アンリ・カルタン
アンリ・ポール・カルタン（Henri Paul Cartan、1904年7月8日 - 2008年8月13日）は、フランスの数学者。数学者エリ・カルタンの長男。ニコラ・ブルバキの創始者のひとり。 1904年ナンシー生まれ。1929年高等師範学校卒業。リール大学準教授を経て、1938年からストラスブール大学教授、1940年からソルボンヌ大学教授を務めた。アメリカ、ドイツなどでも教え、1975年までパリ第11大学で教鞭を執った。2008年にパリで104歳という長寿を全うした。 多変数複素関数論、ホモロジー代数に業績を残した。このうち多変数複素関数論では岡潔の業績を層の概念を用いて整理し、多くの数学者に受け入れられるようにした。 Category:フランスの数学者 040708 -040708 Category:ウルフ賞数学部門受賞者 Category:ブルバキ Category:フランス科学アカデミー会員 Category:日本学士院客員 Category:王立協会外国人会員 Category:ロシア科学アカデミー外国人会員 Category:パリ大学の教員 Category:ストラスブール大学の教員 Category:リール大学の教員 Category:ナンシー出身の人物 Category:長寿の人物 Category:数学に関する記事 Category:1904年生 Category:2008年没.
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コンパクト空間
数学において、コンパクト（compact）は位相空間の性質である。詳細は後述するがコンパクト性の定義それ自身は直観性に乏しいものであり、証明を容易にする為のいわば操作的なものである。しかし距離空間であればより直観的な言葉でいいかえる事ができ、特に有限次元のユークリッド空間においては有界閉集合であることとコンパクト集合であることとは同値になる。したがってコンパクトの概念はユークリッド空間における有界閉集合の概念を一般の位相空間に拡張したものとしてとらえる事ができる。 なお無限次元では有界閉集合はコンパクトとは限らず、例えばヒルベルト空間内の（縁を含んだ）単位球体は有界かつ閉集合であるがコンパクトではない（距離位相を入れた場合）。 ブルバキでは、ここでいう定義を満たす位相空間を準コンパクト（quasi-compact）と呼び、さらにハウスドルフの分離公理を満たすものをコンパクトであると呼んでいる。距離空間など多くの空間ではハウスドルフの分離公理が満たされるので両者の概念は一致するが、一般には注意が必要である。.
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コーシー列
解析学におけるコーシー列（コーシーれつ、Cauchy sequence）は、数列などの列で、十分先のほうで殆ど値が変化しなくなるものをいう。基本列（きほんれつ、fundamental sequence）、正則列（せいそくれつ、regular sequence）、自己漸近列（じこぜんきんれつ）などとも呼ばれる。実数論において最も基本となる重要な概念の一つである。 各 ''n'' に対して順番に縦軸上にプロットしたコーシー列の例。 ''x''''n''.
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写像
写像（しゃぞう、mapping, map）とは、二つの集合が与えられたときに、一方の集合の各元に対し、他方の集合のただひとつの元を指定して結びつける対応のことである。函数（関数）、変換、作用素、射などが写像の同義語として用いられることもある。 ブルバキに見られるように、写像は集合とともに現代数学の基礎となる道具の一つである。現代的な立場では、「写像」と（一価の）「函数」は論理的におなじ概念を表すものと理解されているが、歴史的には「函数」の語は解析学に出自を持つものであり、一部には必ずしも写像でないものも函数の名の下におなじ範疇に扱われる（多価函数参照）。文献によっては「数の集合（大抵の場合実数体 または複素数体 の部分集合）を終域に持つ写像」をして特に「函数」と呼び、「写像」はより一般の場合に用いる。函数、二項関係、対応の各項も参照のこと。.
全順序
数学における線型順序（せんけいじゅんじょ、linear order）、全順序（ぜんじゅんじょ、total order）または単純順序（たんじゅんじゅんじょ、simple order）は、推移的、反対称かつ完全な二項関係を言う。集合と全順序を組にしたものは、全順序集合 (totally ordered set), 線型順序集合 (linearly ordered set), 単純順序集合 (simply ordered set) あるいは鎖 (chain) と呼ばれる。 即ち、集合 X が関係 ≤ によって全順序付けられるとき、X の任意の元 a, b, c に対して、以下の条件 が満足される。 反対称性によって a < b でも b < a でもあるような不確定な状態は排除される。完全性を持つ関係は、その集合の任意の二元がその関係でであることを意味する。これはまた、元を直線に並べた図式によってその集合が表せるということでもあり、それは「線型」順序の名の由来である。また完全性から反射性 (a ≤ a) が出るから、全順序は半順序の公理を満たす。半順序は（完全性の代わりに反射性のみが課されるという意味で）全順序よりも弱い条件である。与えられた半順序を拡張して全順序をえることは、半順序のと呼ばれる。.
積分法
積分法（せきぶんほう、integral calculus）は、微分法と共に微分積分学で対を成す主要な分野である。 実数直線上の区間 [a, b] 上で定義される実変数 x の関数 f の定積分 (独: bestimmte Integral, 英: definite integral, 仏: intégrale définie) は、略式的に言えば f のグラフと x-軸、および x.
第一可算的空間
数学の位相空間論において、第一可算空間（だいいちかさんくうかん、first-countable space）とは、"第一可算公理"を満たす位相空間のこと。位相空間 X が第一可算公理を満たすとは「各点 x が高々可算な近傍からなる基本近傍系（局所基）をもつこと」を指す。すなわちx の可算個の開近傍 U1, U2, …で以下の性質を満たすものが存在するということである：x の任意の近傍 V に対しあるi\in\mathbb が存在し、Vは Uiを部分集合として含む。.
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距離空間
距離空間（きょりくうかん、metric space）とは、距離関数（きょりかんすう）と呼ばれる非負実数値関数が与えられている集合のことである。 古代より、平面や空間、地上の 2 点間の離れ具合を表す尺度である距離は測量や科学、数学において重要な役割を果たしてきた。1906年にモーリス・フレシェは、様々な集合の上で定義された関数の一様連続性の概念を統一的に研究した論文 において、ユークリッド空間から距離の概念を抽出して用い、距離空間の理論を築いた。 平面 R2 の上の 2 点 P1.
自然数
自然数（しぜんすう、natural number）とは、個数、もしくは順番を表す一群の数のことである。集合論においては、自然数は物の個数を数える基数のうちで有限のものであると考えることもできるし、物の並べ方を示す順序数のうちで有限のものであると考えることもできる。 自然数を 1, 2, 3, … とする流儀と、0, 1, 2, 3, … とする流儀があり、前者は数論などでよく使われ、後者は集合論、論理学などでよく使われる（詳しくは自然数の歴史と零の地位の節を参照）。いずれにしても、0 を自然数に含めるかどうかが問題になるときは、その旨を明記する必要がある。自然数の代わりに非負整数または正整数と言い換えることによりこの問題を避けることもある。 数学の基礎付けにおいては、自然数の間の加法についての形式的な逆元を考えることによって整数を定義する。正の整数ないしは負でない整数を自然数と同一視し、自然数を整数の一部として取扱うことができる。自然数と同様に整数の全体も可算無限集合である。 なお、文脈によっては、その一群に属する個々の数（例えば 3 や 18）を指して自然数ということもある。.
集合
数学における集合 (しゅうごう、set, ensemble, Menge) とは、大雑把に言えばいくつかの「もの」からなる「集まり」である。集合を構成する個々の「もの」のことを元 (げん、; 要素) という。 集合は、集合論のみならず現代数学全体における最も基本的な概念の一つであり、現代数学のほとんどが集合と写像の言葉で書かれていると言ってよい。 慣例的に、ある種の集合が系 (けい、) や族 (ぞく、) などと呼ばれることもある。実際には、これらの呼び名に本質的な違いはないが細かなニュアンスの違いを含むと考えられている。たとえば、方程式系（「相互に連立する」方程式の集合）、集合族（「一定の規則に基づく」集合の集合）、加法族（「加法的な性質を持つ」集合族）など。.
推移関係
推移関係（すいいかんけい、Transitive relation）は、数学における二項関係の一種。集合 X の二項関係 R が推移的であるとは、Xの任意の元 a、b、c について、a と b に R が成り立ち、b と c に R が成り立つとき、a と c にも R が成り立つことをいう。推移的関係とも。 一階述語論理でこれを表すと、次のようになる。.
有向集合
数学における有向集合（ゆうこうしゅうごう、directed set）、有向前順序集合 (directed preordered set) あるいはフィルター付き集合 (filtered set) とは、空でない集合 A と反射的かつ推移的な二項関係（つまり前順序）≤ との組 (A, &le) であって、さらに任意の二元が上界を持つ、すなわち A の任意の元 a, b に対して、A の元 c で a ≤ c かつ b ≤ c を満たすものが必ず存在するものをいう。 有向集合は空でない全順序集合の一般化、すなわち任意の全順序集合は有向集合となるが、一方で必ずしも全ての半順序集合が有向集合となるわけではない。位相空間論において有向集合は列の概念を一般化する有向点族（ネット）の概念を定義するのに用いられ、それにより解析学で用いられる様々な極限の概念を統一的に扱うことが可能になる。有向集合から抽象代数学あるいはもっと一般の圏論における直極限の概念が生じる。.
最小の非可算順序数
最小の非可算順序数（）ω1の存在は、選択公理によらずに示すことができる（ハルトークス数を参照）。ω1は極限順序数で、すべての可算な順序数を含む非可算集合である。ときに Ω とも表記される。その濃度は最小の非可算基数 ℵ1 に等しい。.
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1922年
記載なし。
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1937年
記載なし。
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