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36 関係: 基数、双線型写像、双直交系、多重集合、宇宙 (数学)、対の公理、対角関手、射影 (集合論)、二項関係、二項演算、余積、微分環、区間 (数学)、ミンコフスキー空間、ラムダ計算、ヒルベルト空間、ベクトル空間、ベクトル束、カジミェシュ・クラトフスキ、ケーリー＝ディクソンの構成法、タプル、Cons (Lisp)、積 (圏論)、空グラフ、点付き集合、特性関数型ゲーム、直積集合、非交和、順序組、自動微分、集合、接束、正の数と負の数、有理数、族 (数学)、数え上げの積の法則。
基数
数学において基数(きすう、cardinal number又はcardinals)とは、集合のカーディナリティ（濃度、大きさ、サイズ）を測るためのものとしての自然数の一般化である。有限集合の濃度(cardinality)は、つまり有限集合の要素の個数は自然数である。無限集合のサイズは、超限基数で記述される。 濃度は全単射をもちいて定義される。2つの集合が等しい濃度を持つとは、その集合の間に全単射が存在するということである。有限集合の場合は、サイズの直感的概念に同意できるだろう。無限集合の場合は、振る舞いは複雑になってくる。ゲオルグ・カントールが示した基礎的な理論は無限集合の濃度は1種類だけではないことを示したのである。特に、実数の集合の濃度は自然数の集合の濃度より真に大きいということを示した（カントールの定理）。また、有限集合の真部分集合と元の集合の濃度が等しくなり得ないのに対し、無限集合の真部分集合の濃度が元の集合の濃度と等しいということは起こりうるのである（デデキント無限も参照）。 基数の超限列が存在する: この列は、有限基数である自然数が最初に並んでいて、その後に整列集合の無限基数であるアレフ･ナンバー (aleph number) が続く。アレフ・ナンバーは順序数によって添字付けられている。選択公理の仮定の下で、この超限列はすべての基数を含んでいる。もし、選択公理が仮定されなければ、アレフ・ナンバーでない無限基数に関して状況はさらに複雑になってくる。 濃度は、集合論の一部のために研究されている。また、組合せ論や抽象代数学、解析学を含めた数学の各分野の道具としても使われる。圏論では、基数は集合の圏の skelton を形成する。.
双線型写像
数学において双線型写像（そうせんけいしゃぞう、）とは、二つのベクトル空間それぞれの元の対に対しての第三のベクトル空間の元を割り当てる写像であって、各引数に関して線型となるようなものを言う。その一つの例が、行列の積である。.
双直交系
数学において、双対性（双線型形式 ⟨,⟩）を持つ位相線型空間の対 E, F に関する双直交系（そうちょっこうけい、; 二重直交系）とは、 を満たす（I は適当な添字集合で、δ はクロネッカーのデルタ）ベクトルの族の対 を言う。E.
多重集合
数学における多重集合（たじゅうしゅうごう、multiset）あるいはバッグ（bag; かばん）は、集合に同じ値の元がいくつも含まれるとき、各元がそれぞれいくつ含まれるかという重複度を考え合わせた集合概念である。非順序対、非順序組 (unordered tuple) ともいう。 クヌースによれば、1970年代に最初に多重集合 (multiset) という言葉を提案したのは、オランダ人数学者のニコラース・ホーバート・ド・ブラン (IPA) であるという クヌースは同書で、多重集合に対して提案された他の名前（例えば,リスト(list)、まとまり(bunch)、バッグ(bag)、堆積(heap)、標本(sample)、重みつき集合(weighted set)、コレクション(collection)、組(suite).など）も提示している。 多重集合の歴史に関するサーベイ論文である。 。しかし、数学における多重集合の概念は、"multiset" という名称がつけられる90年以上も前にすでに使用が認められる。実際、1888年に発表されたリヒャルト・デデキントの有名な論文 "Was sind und was sollen die Zahlen?" （「数とは何か、何であるべきか？」）において、実質的に多重集合の概念が用いられている。.
宇宙 (数学)
数理論理学において、構造 (もしくはモデル) の宇宙（うちゅう、Universe）とは議論領域のことである。 数学、とりわけ集合論や数学基礎論における宇宙とは、特定の状況において考察される実体のすべてを元として含むような類のことである。このアイデアにはいくつものバージョンがあるため、項目を分けて説明する。.
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対の公理
対の公理(ついのこうり、axiom of pairing)は、ZF公理系を構成する公理の一つで、任意の二つの元に対し、それら二つのみを要素とする集合（対、pair）が存在することを主張するものである。.
対角関手
圏論において、積 a\times a が存在する任意の圏 \mathcal の任意の対象 a に対して、 を満たす対角射 (diagonal morphism) が存在する。ただし \pi_k は k 次成分への自然な射影射である。この射の存在は（同型を除いて）積を特徴づける普遍性の結果である。ここでの二項の積への制限は表記の簡単さのためである。対角射は同様に任意の積に対して存在する。集合の圏の対角射の像は、カルテジアン積の部分集合として、定義域上の関係、すなわち等式である。 に対して、対角射は対象 a の元 x 上のその作用によって単純に記述することができる。すなわち、\delta_a(x).
射影 (集合論)
数学の集合論における射影（しゃえい、）あるいは射影写像、特に標準射影は順序組に対してその一つの成分を対応させる写像である。より一般に射影は、集合の添え字付けられた任意の族の直積（デカルト積）上で定義された、元の族から特定の添字をもつ成分を選び出す写像を言う。選択公理を仮定すれば、空でない集合からなる任意の族に関して、射影は必ず全射になる。 射影は、集合論、位相空間論、など様々な分野において、あるいはまた、リレーショナルデータベースにおける演算としても用いられる。場合により、座標函数 や 評価写像 (などと呼ばれることもある。.
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二項関係
数学において、二項関係（にこうかんけい、binary relation）あるいは二変数関係 (dyadic relation, 2-place relation) は、集合 の元からなる順序対のあつまりである。別な言い方をすれば、直積集合 の部分集合を、集合 上の二項関係と呼ぶ。あるいはもっと一般に、二つの集合 に対して、 と との間の二項関係とは、直積 の部分集合のことをいう。 二項関係の一つの例は素数全体の成す集合 と整数全体の成す集合 の間の整除関係である。この整除関係では任意の素数 は、 の倍数である任意の整数 に関係を持ち、倍数でない整数には関係しないものとして扱われる。例えば、素数 が関係を持つ整数には などが含まれるが や は含まれない。同様に素数 が関係する整数として などが挙げられるが、 や はそうではない。 二項関係は数学のさまざまな分野で用いられ、不等関係、恒等関係、算術の整除関係、初等幾何学の合同関係、グラフ理論の隣接関係、線型代数学の直交関係などのさまざまな概念が二項関係として定式化することができる。また、写像の概念を特別な種類の二項関係として定義することもできる。二項関係は計算機科学においても重用される。 二項関係はn-項関係 （各 -番目の成分が関係の -番目の始集合 からとられているようなn-組からなる集合）で とした特別の場合である。 ある種の公理的集合論では（集合の一般化としての）類の上の関係を考えることができる。このような拡張は、集合論における元の帰属関係や包含関係の概念（に限った話ではないが）のモデル化を、ラッセルの逆理のような論理矛盾に陥らずに行うために必要である。.
二項演算
数学において、二項演算（にこうえんざん、binary operation）は、数の四則演算（加減乗除）などの 「二つの数から新たな数を決定する規則」 を一般化した概念である。二項算法（にこうさんぽう）、結合などともいう。.
余積
圏論において、余積（よせき、双対積、双対直積、coproduct）あるいは圏論的和（わ、直和、sum, direct sum）は、集合の直和、位相空間の直和、群の自由積、加群やベクトル空間の直和などを例として含む圏論的構成である。対象の族の余積は本質的に、族の各対象がそこへの射をもつような「最も固有的でない (least specific)」対象である。それは圏論的（直）積の圏論的双対概念であり、これは定義がすべての矢印を逆にすることを除けば積と同じであることを意味する。名前と表記の一見無害な変化にも関わらず、余積は積と劇的に異なり得るし、典型的にはそうなる。.
微分環
数学において、微分環（びぶんかん、differential ring）、微分体（びぶんたい、differential field）、微分多元環（びぶんたげんかん、differntial algebra）は、それぞれ有限個の（加法的または線型な単項演算で積の微分法則（ライプニッツ則）を満足する）を備えた環、体、多元環である。微分環の微分はしばしば 等の記号を用いて表される。微分体の自然な例として、複素数体上の一変数有理関数体 に微分として普通の意味での微分 をとったものを挙げることができる。 そのような代数系自身の研究およびそれら代数系の微分方程式の代数的研究に対する応用を研究する分野を微分代数学 (Differntial Algebra) と呼ぶ。微分環はが導入した。.
区間 (数学)
数学における（実）区間（じつくかん、(real) interval）は、実数からなる集合で、その集合内の任意の二点に対しその二点の間にあるすべての数がその集合に属するという性質を持つものである。例えば、 を満たす数 全体の成す集合は、 と, およびその間の数すべてを含区間である。他の著しい例として、実数全体の成す集合, 負の実数全体の成す集合および空集合などが挙げられる。 実区間は積分および測度論において、「大きさ」「測度」「長さ」などと呼ばれる量を容易に定義できるもっとも単純な集合として重要な役割がある。測度の概念は実数からなるより複雑な集合に対して拡張され、ボレル測度やルベーグ測度といったような概念までにつながっていく。 不確定性や数学的近似および算術的丸めがあっても勝手な公式に対する保証された一定範囲を自動的に与える一般の法としてのを考えるにあたって、区間はその中核概念を成す。 勝手な全順序集合、例えば整数の集合や有理数の集合上でも、区間の概念は定義することができる。.
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ミンコフスキー空間
ミンコフスキー空間（ミンコフスキーくうかん、Minkowski space）とは、非退化で対称な双線型形式を持つ実ベクトル空間である。ドイツの数学者のヘルマン・ミンコフスキーに因んで名付けられている。アルベルト・アインシュタインによる特殊相対性理論を定式化する枠組みとして用いられる。この特定の設定の下では空間に時間を組み合わせた時空を表現するため、物理学の文脈ではミンコフスキー時空とも呼ばれる。.
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ラムダ計算
ラムダ計算（ラムダけいさん、lambda calculus）は、計算模型のひとつで、計算の実行を関数への引数の評価（evaluation）と適用（application）としてモデル化・抽象化した計算体系である。ラムダ算法とも言う。関数を表現する式に文字ラムダ (λ) を使うという慣習からその名がある。アロンゾ・チャーチとスティーヴン・コール・クリーネによって1930年代に考案された。1936年にチャーチはラムダ計算を用いて一階述語論理の決定可能性問題を（否定的に）解いた。ラムダ計算は「計算可能な関数」とはなにかを定義するために用いられることもある。計算の意味論や型理論など、計算機科学のいろいろなところで使われており、特にLISP、ML、Haskellといった関数型プログラミング言語の理論的基盤として、その誕生に大きな役割を果たした。 ラムダ計算は1つの変換規則（変数置換）と1つの関数定義規則のみを持つ、最小の（ユニバーサルな）プログラミング言語であるということもできる。ここでいう「ユニバーサルな」とは、全ての計算可能な関数が表現でき正しく評価されるという意味である。これは、ラムダ計算がチューリングマシンと等価な数理モデルであることを意味している。チューリングマシンがハードウェア的なモデル化であるのに対し、ラムダ計算はよりソフトウェア的なアプローチをとっている。 この記事ではチャーチが提唱した元来のいわゆる「型無しラムダ計算」について述べている。その後これを元にして「型付きラムダ計算」という体系も提唱されている。.
ヒルベルト空間
数学におけるヒルベルト空間（ヒルベルトくうかん、Hilbert space）は、ダフィット・ヒルベルトにその名を因む、ユークリッド空間の概念を一般化したものである。これにより、二次元のユークリッド平面や三次元のユークリッド空間における線型代数学や微分積分学の方法論を、任意の有限または無限次元の空間へ拡張して持ち込むことができる。ヒルベルト空間は、内積の構造を備えた抽象ベクトル空間（内積空間）になっており、そこでは角度や長さを測るということが可能である。ヒルベルト空間は、さらに完備距離空間の構造を備えている（極限が十分に存在することが保証されている）ので、その中で微分積分学がきちんと展開できる。 ヒルベルト空間は、典型的には無限次元の関数空間として、数学、物理学、工学などの各所に自然に現れる。そういった意味でのヒルベルト空間の研究は、20世紀冒頭10年の間にヒルベルト、シュミット、リースらによって始められた。ヒルベルト空間の概念は、偏微分方程式論、量子力学、フーリエ解析（信号処理や熱伝導などへの応用も含む）、熱力学の研究の数学的基礎を成すエルゴード理論などの理論において欠くべからざる道具になっている。これら種々の応用の多くの根底にある抽象概念を「ヒルベルト空間」と名付けたのは、フォン・ノイマンである。ヒルベルト空間を用いる方法の成功は、関数解析学の実りある時代のさきがけとなった。古典的なユークリッド空間はさておき、ヒルベルト空間の例としては、自乗可積分関数の空間 、自乗総和可能数列の空間 、超関数からなるソボレフ空間 、正則関数の成すハーディ空間 などが挙げられる。 ヒルベルト空間論の多くの場面で、幾何学的直観は重要である。例えば、三平方の定理や中線定理（の厳密な類似対応物）は、ヒルベルト空間においても成り立つ。より深いところでは、部分空間への直交射影（例えば、三角形に対してその「高さを潰す」操作の類似対応物）は、ヒルベルト空間論における最適化問題やその周辺で重要である。ヒルベルト空間の各元は、平面上の点がそのデカルト座標（直交座標）によって特定できるのと同様に、座標軸の集合（正規直交基底）に関する座標によって一意的に特定することができる。このことは、座標軸の集合が可算無限であるときには、ヒルベルト空間を自乗総和可能な無限列の集合と看做すことも有用であることを意味する。ヒルベルト空間上の線型作用素は、ほぼ具体的な対象として扱うことができる。条件がよければ、空間を互いに直交するいくつかの異なる要素に分解してやると、線型作用素はそれぞれの要素の上では単に拡大縮小するだけの変換になる（これはまさに線型作用素のスペクトルを調べるということである）。.
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ベクトル空間
数学、特に線型代数学におけるベクトル空間（ベクトルくうかん、vector space）、または、線型空間（せんけいくうかん、linear space）は、ベクトルと呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である。ベクトルには和が定義され、またスカラーと呼ばれる数による積（「スケール変換」）を行える。スカラーは実数とすることも多いが、複素数や有理数あるいは一般の体の元によるスカラー乗法を持つベクトル空間もある。ベクトルの和とスカラー倍の演算は、「ベクトル空間の公理」と呼ばれる特定の条件（後述）を満足するものでなければならない。ベクトル空間の一つの例は、力のような物理量を表現するのに用いられる幾何ベクトルの全体である（同じ種類の任意の二つの力は、加え合わせて力の合成と呼ばれる第三の力のベクトルを与える。また、力のベクトルを実数倍したものはまた別の力のベクトルを表す）。同じ調子で、ただしより幾何学的な意味において、平面や空間での変位を表すベクトルの全体もやはりベクトル空間を成す。 ベクトル空間は線型代数学における主題であり、ベクトル空間はその次元（大雑把にいえばその空間の独立な方向の数を決めるもの）によって特徴づけられるから、その観点からはよく知られている。ベクトル空間は、さらにノルムや内積などの追加の構造を持つこともあり、そのようなベクトル空間は解析学において主に函数をベクトルとする無限次元の函数空間の形で自然に生じてくる。解析学的な問題では、ベクトルの列が与えられたベクトルに収束するか否かを決定することもできなければならないが、これはベクトル空間に追加の構造を考えることで実現される。そのような空間のほとんどは適当な位相を備えており、それによって近さや連続性といったことを考えることができる。こういた位相線型空間、特にバナッハ空間やヒルベルト空間については、豊かな理論が存在する。 歴史的な視点では、ベクトル空間の概念の萌芽は17世紀の解析幾何学、行列論、連立一次方程式の理論、幾何ベクトルの概念などにまで遡れる。現代的な、より抽象的な取扱いが初めて定式化されるのは、19世紀後半、ペアノによるもので、それはユークリッド空間よりも一般の対象が範疇に含まれるものであったが、理論の大半は（直線や平面あるいはそれらの高次元での対応物といったような）古典的な幾何学的概念を拡張することに割かれていた。 今日では、ベクトル空間は数学のみならず科学や工学においても広く応用される。ベクトル空間は線型方程式系を扱うための適当な線型代数学的概念であり、例えば画像圧縮ルーチンで使われるフーリエ展開のための枠組みを提示したり、あるいは偏微分方程式の解法に用いることのできる環境を提供する。さらには、テンソルのような幾何学的および物理学的な対象を、抽象的に座標に依らない で扱う方法を与えてくれるので、そこからさらに線型化の手法を用いて、多様体の局所的性質を説明することもできるようになる。 ベクトル空間の概念は様々な方法で一般化され、幾何学や抽象代数学のより進んだ概念が導かれる。.
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ベクトル束
数学において、ベクトル束（べくとるそく、vector bundle; ベクトルバンドル）は、ある空間 （例えば、 は位相空間、多様体、代数多様体等）により径数付けられたベクトル空間の族を作るという方法で与えられる幾何学的構成である。.
カジミェシュ・クラトフスキ
ミェシュ・クラトフスキ（Kazimierz Kuratowski, 1896年2月2日 - 1980年6月18日）はポーランドの数学者。.
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ケーリー＝ディクソンの構成法
数学におけるケーリー＝ディクソンの構成法（ケーリー・ディクソンのこうせいほう）は、アーサー・ケイリーとレオナード・E・ディクソンにちなんで名づけられた、実数全体の成す体上の多元環の系列を与える方法で、各段階の多元環は直前のものの二倍の次元を持つ。この方法で与えられる各段階の多元環はケーリー＝ディクソン代数として知られる。これらは複素数を拡張するから、超複素数系となっている。 これらの代数はすべて対合（または共役）を持ち、ある元とその共役元との積（場合によってはその平方根）はノルムと呼ばれる。 最初の数段階では、次の代数へ進むごとに、特徴的な代数的性質をひとつひとつ失っていく。 より一般的には、ケーリー＝ディクソンの構成法とは、任意の対合つき代数系をとって倍の次元の対合つき代数系にすることである。.
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タプル
タプルまたはチュープル（tuple）とは、複数の構成要素からなる組を総称する一般概念。 数学や計算機科学などでは通常、順序付けられた対象の並びを表すために用いられる。個別的には、n 個でできた組を英語で「n-tuple」と書き、日本語に訳す場合は通常「n 組」としている。タプルの概念そのものも組と呼ばれる場合がある。なお、 n-tuple は数学のタプルを意味するほか、同様に double、triple などの拡張として倍数詞の表現にも利用される（詳細は「倍#西洋数学における n 倍を表す表現」を参照）。.
Cons (Lisp)
consは、ほとんどのLisp方言における基本的な関数である。cons は、2つの、値もしくは値へのポインタを保持するオブジェクトを構成(construct)する。これによって作られたオブジェクトは、(cons)セル、cons、non-atomic S式(NATS式)、(cons)対などと呼ばれる。 cons の結果のペアの左側(第一要素)は car と呼ばれ、右側(その残り)は cdr と呼ばれる。.
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積 (圏論)
圏論において、考えている圏の二つの（あるいはそれ以上の）対象の（圏論的）積（せき、product）または直積 (direct product) は集合の直積（デカルト積）、群の直積、環の直積、位相空間の直積といった数学の他の分野における構成の背後にある本質を捉えるために考えられた概念である。本質的に対象の族の積は与えられた対象のそれぞれへの射をもつ「最も一般な」対象である。.
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空グラフ
ラフ（英: null graph）は、数学のグラフ理論において、位数0のグラフ、または辺のないグラフ (edgeless graph) を意味する（後者は empty graph とも呼ぶ）。.
点付き集合
数学における点付き集合（てんつきしゅうごう、付点集合、page）あるいは基点付き集合 や根付き集合 は、集合 とその特定の元 との対 を言う。このとき、特定の元 はこの点付き空間の基点 と呼ばれる。 「根付き集合」("rooted set") としてのこの概念はの研究やの研究において自然に生じてくる。 点付き集合の間の射は、基点付き写像 や点付き写像 あるいは基点を保つ写像 と呼ばれ、台となる集合の間の写像であって、一方の基点を他方の基点へ写すものを言う。具体的に、点付き集合 から の間の点付き写像 とは、写像 で を満たすものである。 点付き集合は離散位相を備えた点付き空間と見ることもできるし、一元体上のベクトル空間と見なすこともできる。.
特性関数型ゲーム
特性関数型ゲーム（とくせいかんすうがたゲーム、game of characteristic function form）とは、ゲーム理論における協力ゲームの一部であり、協力ゲームの研究・応用上重要な部分である。特性関数型ゲームは特性関数によって表現される。 効用がen:譲渡可能な協力ゲームでは、個々のプレイヤーへの報酬は示されない。 代わりに、特性関数は各提携 (coalition) への報酬を決定する。 標準的な仮定では、空の（誰も参加しない）提携への報酬はゼロであるとする。 特性関数型の起源は、ジョン・フォン・ノイマンとオスカー・モルゲンシュテルンのゼミナール本である。 同書で、提携を許す標準型ゲームを調査しているときに、提携 C を形成する場合、 C はあたかもその補提携 (N\setminus C) と対決する二人ゲームをプレイしているかのように行動する。C の報酬は特性値である。 今では、標準形ゲームから特性値を導く上述とは異なる複数のモデルが存在するが、 特性関数型ゲームのすべてが標準型ゲームから導かれるわけではない。 形式的には、特性関数型ゲーム（TUゲームとしても知られる)は順序対 (N,v), ここで N はプレイヤーの集合を表し、 v:2^N\longrightarrow\mathbb は特性関数を表す。 引用元.
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直積集合
数学において、集合のデカルト積（デカルト­せき、Cartesian product）または直積（ちょくせき、direct product）、直積集合、または単に積（せき、product）、積集合は、集合の集まり（集合族）に対して各集合から一つずつ元をとりだして組にしたもの（元の族）を元として持つ新たな集合である。 具体的に二つの集合 に対し、それらの直積とはそれらの任意の元 の順序対 全てからなる集合をいう。 では と書くことができる。有限個の集合の直積 も同様のn-組からなる集合として定義されるが、二つの集合の直積を入れ子 (nested) にして、 と帰納的に定めることもできる。.
非交和
集合論において、集合の族の直和 (direct sum) は、以下の緊密に関連した二種類の概念を指して用いられる。.
順序組
数学における順序組（じゅんじょぐみ、ordered tuplet, ordered list etc.）あるいは単に組 とは、通常は有限な長さの列を言う。特に非負整数 に対して、 個の要素や成分などとも呼ばれる元あるいは対象を順番に並べたもは -組 と呼ぶ。.
自動微分
自動微分（じどうびぶん、アルゴリズム的微分とも）とは、プログラムで定義された関数を解析し、偏導関数の値を計算するプログラムを導出する技術である。自動微分は複雑なプログラムであっても加減乗除などの基本的な算術演算や基本的な関数（指数関数・対数関数・三角関数など）のような基本的な演算の組み合わせで構成されていることを利用し、これらの演算に対して連鎖律を繰り返し適用することによって実現される。自動微分を用いることで偏導関数値を少ない計算量で自動的に求めることができる。 自動微分は.
集合
数学における集合 (しゅうごう、set, ensemble, Menge) とは、大雑把に言えばいくつかの「もの」からなる「集まり」である。集合を構成する個々の「もの」のことを元 (げん、; 要素) という。 集合は、集合論のみならず現代数学全体における最も基本的な概念の一つであり、現代数学のほとんどが集合と写像の言葉で書かれていると言ってよい。 慣例的に、ある種の集合が系 (けい、) や族 (ぞく、) などと呼ばれることもある。実際には、これらの呼び名に本質的な違いはないが細かなニュアンスの違いを含むと考えられている。たとえば、方程式系（「相互に連立する」方程式の集合）、集合族（「一定の規則に基づく」集合の集合）、加法族（「加法的な性質を持つ」集合族）など。.
接束
微分幾何学において、可微分多様体 の接束（せっそく、tangent bundle, 接バンドル、タンジェントバンドル) は の接空間の非交和である。つまり、.
正の数と負の数
正の数（せいのすう、positive number）とは、0より大きい実数である。負の数（ふのすう、negative number）とは、0より小さい実数である。.
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有理数
有理数（ゆうりすう、rational number) とは、二つの整数 a, b （ただし b は 0 でない）をもちいて a/b という分数で表せる数のことをいう。b.
族 (数学)
数学における族（ぞく、family）は、添字付けされた元（要素）の（一般には非可算無限個の）集まりで、対、n-組、列などの概念の一般化である。系（けい、collection）と呼ぶこともある。元がどのような対象であるかによって、点族、集合族（集合系）、関数族（関数系）などと呼ばれる。.
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数え上げの積の法則
初等組合せ論における積の法則（せきのほうそく、rule of product）あるいは乗法原理 (multiplication principle) は基本的な（数え上げの基本原理）の一つである。それは、簡単に言えば「ある場合が 通り、別のある場合が 通りあるとき、それらを同時に行う場合は 通りある」ことを述べるものであるJohnston, William, and Alex McAllister.
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