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29 関係: 基数木、単項式順序、局所連結空間、二進法、五十音順、付値、ハッセ図、モノイド、レヴィ゠チヴィタ体、アルファベット順、イデアル商、オンライン整数列大辞典、グレブナー基底、ゴレイ符号、全順序、空文字列、線型連続体、直積順序、順序集合、辞書順、長い直線、IEEE 754、P進閉体、Strcmp、準超実数、数学的帰納法、整礎関係、0.999...、1。
基数木
right 基数木（英: Radix tree）またはパトリシア木（英: Patricia tree）とは、文字列集合を格納するトライ木に基づく特殊化された集合データ構造である。パトリシアトライ（英: Patricia trie）とも。通常のトライ木に比較すると、基数木の辺は単一の文字ではなく文字の並びでラベル付けされる。それは、文字列でもよいし、整数やIPアドレスなどを表すビット列でもよい。辞書式順序を適用できるオブジェクトの並びなら何でもラベルとして使用できる。基数木と言った場合、整数を格納する木構造のみを指すことが多く、パトリシア木といった場合は特に格納するデータを限定しないが、基本的に構造や動作原理は同じである。.
単項式順序
単項式順序（たんこうしきじゅんじょ、monomial order）は、単項式を順序付けるものであって、いくつかの性質を満たすものである。例えば1変数多項式を記述する場合、昇冪の順または降冪の順に並べるのが通常であるが、多変数の場合はそう単純ではなく、多くの並べ方が考えられる。一般の2変数2次多項式は と記述されることが多いが、これは単項式順序の一種である次数付き辞書式順序で並べられている。 単項式順序は、多項式の割り算アルゴリズムやグレブナー基底の理論において重要な役割を果たす。用いる単項式順序の種類によって、アルゴリズムの効率や得られる結果には違いが生じ得る。.
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局所連結空間
位相幾何学や数学の他の分野において、位相空間 X が局所連結（きょくしょれんけつ、locally connected）であるとは、すべての点が、連結開集合のみからなる近傍基を持つことをいう。.
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二進法
二進法（にしんほう）とは、2 を底（てい、基（base）とも）とし、底の冪の和で数を表現する方法である。 英語でバイナリ (binary) という。binaryという語には「二進法」の他に「二個一組」「二個単位」といったような語義もある（例: バイナリ空間分割）。.
五十音順
五十音順（ごじゅうおんじゅん）とは、日本語の仮名文字を順序決めする規則である。あいうえお順とも言う。五十音の「あいうえお」に始まり、「わ（ゐ）（ゑ）を」に至る順序である。五十音に含まれない「ん」は通常「を」のあとに置かれる。 語句を並べる際には、おおよそ、本来の表記に関係なく（五十音のみで）仮名文字表記した場合の辞書式順序となる。つまり、まず1文字目を比較し、1文字目が同じ場合は2文字目を比較し、2文字目までが同じ場合は3文字目を比較し、以下同様である（語句の終わりが来た場合は「あ」より前となる、つまり、あ＜ああ＜あああ）。ただし、五十音以外の濁音・小仮名・長音符等の扱いはやや複雑である。 表記に基づく場合に比べれば発音に近いが、あくまで「仮名文字表記」を比べるため、発音とは一致しない。.
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付値
付値（ふち、valuation、賦値、附値とも）とは、単位元 1 を持つ環 R と G に対して、以下の3条件を満たす写像 v: R → G ∪ である。.
ハッセ図
ハッセ図（ハッセず、英: Hasse diagram）は、数学における有限半順序集合を単純に図示する方法のひとつで、半順序のを描いたものである。具体的には有限半順序集合 (S, ≤) があるとき、S の個々の元を頂点とし、x < y で、かつ x < z < y となるような z が存在しない場合にのみ x から y に上向きの線（辺）を描く（ここで二項関係 < は全ての x について (x, x) という元を ≤ から除くことで得られる）。 この場合、「 y は x をする」または「 y は x の immediate successor（直接の後続）である」という。さらに、各辺が両端の頂点以外を通らないように頂点を配置する必要がある。このような図（頂点にはラベルが付属するものとする）は半順序を一意に特定し、任意の有限な半順序では推移簡約が一意に定まる。ただし、図における元の配置の仕方は様々なものが考えられ、ひとつの順序集合に対して見た目の異なるハッセ図が多数存在することになる。 ハッセ図はドイツの数論学者ヘルムート・ハッセ（1898年–1979年）に因んで名付けられている。これはハッセが部分体や拡大体がなす半順序集合を図示するために効果的に活用したからである。しかし、ハッセが最初にこの図を使ったわけではなく、少なくとも では既にこの図が使われている。ハッセ図は半順序集合を手で図示する技法として生まれたが、最近ではグラフ描画技法を使って自動的に描くことができる。 「ハッセ図」という言葉は、個々のグラフの描画とは関係なく、抽象概念としての有向非循環グラフの推移簡約を指すこともある。ただし、本項目ではこの意味では使わない。.
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モノイド
数学、とくに抽象代数学における単系（たんけい、monoid; モノイド）はひとつの二項演算と単位元をもつ代数的構造である。モノイドは単位元をもつ半群（単位的半群）であるので、半群論の研究対象の範疇に属する。 モノイドの概念は数学のさまざまな分野に現れる。たとえば、モノイドはそれ自身が「ただひとつの対象をもつ圏」と見ることができ、したがって「集合上の写像とその合成」といった概念を捉えたものと考えることもできる。モノイドの概念は計算機科学の分野でも、その基礎付けや実用プログラミングの両面で広く用いられる。 モノイドの歴史や、モノイドに一般的な性質を付加した議論などは半群の項に譲る。.
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レヴィ゠チヴィタ体
数学におけるレヴィ゠チヴィタ体（レヴィ-チヴィタたい、Levi-Civita field）は、トゥーリオ・レヴィ゠チヴィタに名を因む、非アルキメデス順序体—ある種の無限大量と無限小量を含む数体系—である。レヴィ゠チヴィタ体の各元は有理数全てを亙る変数 に対する実係数の形式級数 \sum_ a_q\varepsilon^q \quad(a_q\in\R) として与えられる。ここに、 は有理数全体の成す集合を表し、 は正の無限小と解釈されるべきものである。 ただし、係数列 の台 は左有限集合—任意の有理数に対し、それより小さい元は有限個しか含まない—でなければならない。この制約条件はこの体における乗法および除法が一意に定義可能であるようにするために必要である。この体における順序関係は、係数列に対する辞書式順序に従って定められ、これは直観的には を無限小とするという仮定をおくことと同値である。 実数全体の成す順序体 は、定数項のみからなる級数— 以外の全ての係数が の級数—としてレヴィ゠チヴィタ体に埋め込まれる。.
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アルファベット順
アルファベット順（）とは、複数の文字列を、アルファベット（ラテン文字）の順によって並べたものである。ABC順とも言う。 アルファベットは、その文字により、また言語により、各文字の順序が伝統的に決まっている。したがって、多くの事象を並べるにあたって、アルファベット順は非常にわかりやすく、また説明を要しない方法である。ただし同じ文字でも、言語によって順序が異なる場合がある。また、オランダ語のように、その一部で順序が一定しない言語もある。 アルファベット順では、まず文字列の1字目を比べて、その文字の順序が先であるか後であるかによって、文字列同士の順序を決定する。もし1字目が同じであれば、2字目を比べ、その文字の順序が先であるか後であるかによって、文字列同士の順序を決定する。このとき、どちらかに2字目がなければ（1字の文字列であれば）そちらが先になる。2字目も同じであれば同様に3字目を、3字目も同じであれば同様に4字目を、というように比べて、順序を決定する。 アルファベットを唱えるときにはダイアクリティカルマークの付いた文字や合字をアルファベットの最後に並べるのが通例の言語であっても、アルファベット順に文字列を並べるときにはダイアクリティカルマークを無視したり、合字を分割して考えたりするものが多い。合字についての特殊な例外にオランダ語がある。.
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イデアル商
抽象代数学において、I と J が可換環 R のイデアルのとき、それらの イデアル商（ideal quotient） (I: J) とは集合 である。すると (I: J) も R のイデアルである。イデアル商は商と見ることができる、なぜならば IJ \subset K であることと I \subset K: J であることが同値だからだ。イデアル商は準素分解の計算に役立つ。また代数幾何において差集合の記述で現れる（下記参照）。 (I: J) はその表記により コロンイデアル（colon ideal）と呼ばれることがある。分数イデアルの文脈では、分数イデアルのインバースに関連した概念がある。.
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オンライン整数列大辞典
ンライン整数列大辞典（オンラインせいすうれつだいじてん、On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, 以下 OEIS）は、無料で利用可能な整数列（各項が整数である数列）のオンラインデータベースである。 2018年3月時点で30万を超える整数列の情報が収められており、この種のデータベースとしては最大のものである。英単語や数列の一部分を入力することにより検索ができる。各々の項目は数列の名前に始まり、由来、参考文献、公式、キーワードなどの情報を含む。その他、数列を一定の規則で変換した音楽を聞くことができるといった遊び心もあり、数学の専門家から数学パズル愛好者まで幅広い利用者の興味を集めている。 コンテンツは基本的に全て英語である（各言語版も用意されているが、一部のごく簡単なメッセージが翻訳されているに過ぎない）。.
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グレブナー基底
レブナー基底（グレブナーきてい、Gröbner basis）は、多変数多項式の簡約化が一意に行える多項式の集合である。多変数の連立代数方程式の解を求める際などに利用される（#計算例参照）。 グレブナー基底を求めるアルゴリズムとしては、ブッフベルガーアルゴリズム（Buchberger's algorithm）があり、数式処理の分野での連立代数方程式の解法として使われている。また、可換環論、代数幾何、微分方程式論、整数計画問題などに出てくる様々な数学的対象物を構成するための基礎となっている。.
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ゴレイ符号
レイ符号（Golay code）は、数学の散在型単純群の理論に基づく符号の種類である。名前の由来はスイスの数学者。.
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全順序
数学における線型順序（せんけいじゅんじょ、linear order）、全順序（ぜんじゅんじょ、total order）または単純順序（たんじゅんじゅんじょ、simple order）は、推移的、反対称かつ完全な二項関係を言う。集合と全順序を組にしたものは、全順序集合 (totally ordered set), 線型順序集合 (linearly ordered set), 単純順序集合 (simply ordered set) あるいは鎖 (chain) と呼ばれる。 即ち、集合 X が関係 ≤ によって全順序付けられるとき、X の任意の元 a, b, c に対して、以下の条件 が満足される。 反対称性によって a < b でも b < a でもあるような不確定な状態は排除される。完全性を持つ関係は、その集合の任意の二元がその関係でであることを意味する。これはまた、元を直線に並べた図式によってその集合が表せるということでもあり、それは「線型」順序の名の由来である。また完全性から反射性 (a ≤ a) が出るから、全順序は半順序の公理を満たす。半順序は（完全性の代わりに反射性のみが課されるという意味で）全順序よりも弱い条件である。与えられた半順序を拡張して全順序をえることは、半順序のと呼ばれる。.
空文字列
形式言語理論における空文字列（くうもじれつ・からもじれつ、empty string）またはヌル文字列（null stringKernighan and Ritchie, C, p.38）とは、長さが0の一意な文字列であり、文字列における空集合である。主にコンピュータ、特にプログラミング言語において用いられる用語である。.
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線型連続体
数学の順序理論の分野において、線型連続体(せんけいれんぞくたい、linear continuum)とは実数直線を一般化したものである。 正確には、線型連続体とは、上に有界な非空部分集合が上限をもつという意味で“ギャップ”を欠いており、稠密順序づけられた-つまり任意の二元の間に元が存在するような-空でない全順序集合S のことである。 さらに記号的にいうと 上限性質とは、いかなる空でない上に有界な部分集合は上限を持つということである。順序位相が与えられた順序集合が連結であるか否かを確かめるために使われる点で、線型連続体は特にトポロジーの分野で重要である。.
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直積順序
数学において、二つの順序集合 A と B が与えられたとき、そのデカルト積 A × B に対して、一つの半順序を以下のように導入することが出来る。 A × B 内の与えられた二つのペア (a1,b1) および (a2,b2) に対して、a1 ≤ a2 および b1 ≤ b2 が成り立つとき、そしてそのときに限り と定義する。 この順序は直積順序（ちょくせきじゅんじょ、）と呼ばれる。A × B 上の他の順序として、辞書式順序がある。 直積順序を伴うデカルト積は、単調函数を射とする半順序集合の圏における積である。.
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順序集合
数学において順序集合（じゅんじょしゅうごう、ordered set）とは「順序」の概念が定義された集合の事で、「順序」とは大小、高低、長短等の序列に関わる概念を抽象化したものである。ただし、順序集合内の2つの元, に順序関係が定まっている（「比較可能」である）必要はなく、両者が「比較不能」であってもよい。 比較不能のケースを許容していることを強調して順序集合の事を半順序集合（はんじゅんじょしゅうごう、partially ordered set, poset）ともいう。一方、半順序集合の中で比較不能のケースがないものを特に全順序集合 という。（「半順序」という言葉が「全順序」の対義語ではない事に注意。全順序集合も半順序集合の一種である。） 全順序集合の簡単な例は整数の集合や実数の集合で、通常の大小比較を順序とみなしたものがある。 一方、全順序ではない半順序集合の例としては、正の整数全体の集合に整除関係で順序を入れたものや、（2つ以上元を含む）集合の冪集合において、包含関係を順序とみなしたものがある。例えば2元集合 において と はいずれも他方を包含していないので S の冪集合は全順序ではない。 実生活に近い例では、「AさんはBさんの子孫である」という事を「A＜B」という大小関係とみなす事で人間全体の集合を半順序集合とみなせる。AさんとBさんはどちらも他方の子孫でない事もありうる（兄弟同士、叔父と甥、赤の他人等）ので、この順序集合は全順序ではない。.
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辞書順
辞書順（じしょじゅん）.
長い直線
位相幾何学における長い直線（ながいちょくせん、long line） もしくはアレキサンドロフ直線（アレキサンドロフちょくせん、Alexandroff line）は、局所的には実数直線によく似ているが、大域的には「もっと長い」位相空間である。 長い直線は多様体の公理のうち、第二可算公理以外の全ての公理を満たす。（第二可算公理も満たす一次元多様体は R と S1 のみである）。.
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IEEE 754
IEEE 754（あいとりぷるいー754、IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic: 直訳すると「浮動小数点数算術標準」）は、浮動小数点数の計算で最も広く採用されている標準規格であり、多くのプロセッサなどのハードウェア、またソフトウェア（コンピュータ・プログラム）に実装されている。多くのコンピュータ・プログラミング言語ないしその処理系でも、浮動小数点数処理の一部または全部が IEEE 754 になっている。IEEE 754 が制定される前に成立したC言語などは、仕様上はIEEE 754 が必須となっていないものの、IEEE 754対応の演算命令を使える環境下では、それをそのまま利用して浮動小数点数演算を実装することが多い。一方で、JavaやC#など、言語仕様として IEEE 754 を必須としているものもある。 21世紀に入った後に改定され、2008年8月に制定された IEEE 754-2008 がある。これには、1985年の IEEE 754 制定当初の規格であるIEEE 754-1985、ならびに基数非依存の浮動小数点演算の標準規格 IEEE 854-1987 の両者がほぼすべて吸収されている。IEEE 754-2008 は正式に制定されるまでは、IEEE 754rと呼ばれた。 正式な規格名は、IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic (ANSI/IEEE Std 754-2008)である。ISO/IEEEのPSDO（パートナー標準化機関）合意文書に基づき、JTC1/SC 25 を通して国際規格 ISO/IEC/IEEE 60559:2011 として採用され、公表されている。 この標準規格は以下のことを定義している。.
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P進閉体
数学における -進閉体（pしんへいたい、p-adically closed field）は、ちょうど形式的に実な体が実閉であることの p-進的な対応物として、適当な拡大性質で閉じている。この概念は が導入した。.
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Strcmp
strcmpは二つの文字列を比べる標準Cライブラリ関数である。 C言語の標準Cライブラリにおける、文字列操作関数群 string.h で定義されている。ストリングコンペア、ストリングコンプなどと呼ばれることが多い。.
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準超実数
準超実数 (super­real number, super-real number).
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数学的帰納法
数学的帰納法（すうがくてききのうほう、mathematical induction）は自然数に関する命題 が全ての自然数 に対して成り立っている事を証明するための、次のような証明手法である自然数の定義は を含む流儀とそうでない流儀があるが、ここでは後者を採用した。。.
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整礎関係
数学において、二項関係が整礎（せいそ、well-founded）であるとは、真の無限降下列をもたないことである。.
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0.999...
無限に 9 の続く無限小数 数学における循環十進小数 （ の前の 9 の個数は多少増減させて のようにも書く。あるいは他にも,, など多様な表記がある）は、実数として数の「イチ」であると示すことができる。言葉を変えれば、記号 "0.999⋯" と "1" は同じ数を表している。これが等しいことの証明は、実数論の展開、背景にある仮定、歴史的文脈、対象となる聞き手などに合ったレベルで、各種段階のが相応に考慮された、多様な定式化がある例えば、最初の節に挙げる「代数的証明」は「ただしい」証明だが、その証明の正当性は後の節に記す解析学的手法である極限の概念によって保証される。同様にそれら解析学的証明を「ただしい」証明たらしめているのは実数の特質に他ならない。しかし普通は、実数の公理にまでいちいち遡らずにいくつかの性質を「認めて」、そこで切り上げるのである。もちろん実数の代替となる体系において、実数と異なる性質に基づけば、それら「証明」はそのどこかが崩され、「まちがった」証明となり得る。。 任意の でない有限小数（を末尾に無限個の 0 を付けて無限小数と見たもの）は、それと値が等しい、末尾に無限個の 9 が連なる双子の表示（例えば と）を持つ。ふつうは有限小数表示が好まれることで、それが一意的な表示であるとの誤解に繋がり易い。同じ現象は、任意の別の底に関する位取り記数法や、あるいは同様の実数の表示法でも発生する。 と の等価性は、実数の体系（これは解析学ではもっとも一般的に用いられる体系である）に 0 でない無限小が存在しないことと深く関係している。一方、超実数の体系のように 0 でない無限小を含む別の数体系もある。そのような体系の大半は、標準的な解釈のもとで式 の値は に等しくなるが、一部の体系においては記号 "" に別の解釈を与えて よりも無限小だけ小さいようにすることができる。 等式 は数学者に長く受け入れられ、一般の数学教育の一部であったにも拘らず、これを十分ものと見做して、疑念や拒絶反応を示す学徒もいる。このような懐疑論は、「この等式を彼らに納得させることがいかに難しいか」が数学教育の様々な研究の主題となることに正当性を与える程度に当たり前に存在している。.
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1
一」の筆順 1（一、いち、ひと、ひとつ）は、最小の正の整数である。0 を自然数に含めない流儀では、最小の自然数とも言える。整数の通常の順序において、0 の次で 2 の前の整数である。1 はまた、実数を位取り記数法で記述するための数字の一つでもある。 「無」を意味する 0 に対して、1 は有・存在を示す最原初的な記号なので、物事を測る基準単位、つまり数や順序を数える際の初めである。英語の序数詞では、1st、first となる。ラテン語では unus（ウーヌス）で、接頭辞 uni- はこれに由来する。.
