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173 関係: 基本群、基本類、半単純環、単位円、単純リー群、可微分多様体、同値類、多元数、多重線型代数、大統一理論、媒介変数、学問の一覧、対称群、対称性 (物理学)、対数微分法、小林俊行、小林昭七、山辺英彦、局所コンパクト群、局所コンパクト群における格子、岩波講座 基礎数学、上半平面、三角行列、三次元球面、一重項状態、幾何学、幾何学賞、幾何化予想、交代行列、二次形式、代数的構造、代数群、位相同型、位相多様体、位相群、佐藤・テイト予想、体積形式、微分同相写像、チャーン・ヴェイユ準同型、チャーン・サイモンズ理論、チャージ (物理学)、ハイゼンベルグ群、ポワンカレの上半平面モデル、ポアンカレ群、モーレー・カルタンの微分形式、モジュラー形式、ヤングの定理、ヤン–ミルズ方程式と質量ギャップ問題、ヤン＝ミルズ理論、ユークリッドの運動群、...、ユニタリ群、ユニタリ表現、ラングランズ・プログラム、ラウル・ボット、リー (小惑星26955番)、リー代数、リー代数の表現、リー微分、リー・トロッター積公式、リー群の分解、リー群の表現、リー環のコホモロジー、リー環の指数写像、リー環の拡大、ルート系、ループ代数、ローレンツ群、ワイル群、ボロノイ図、ヒルベルトの23の問題、ヒレル・ファステンバーグ、フレーバー (素粒子)、フレシェ空間、フロー (数学)、フィールズ賞、ホップ代数、ベーテ格子、ベクトル空間、分類空間、アティヤ＝ボットの不動点定理、アフィン群、アイゼンシュタイン級数、イリヤ・ピアテツキー＝シャピロ、ウィルソンループ、ウェイト (表現論)、エポニム (数学)、エリ・カルタン、エニオン、オイラー類、カルタンの定理 (リー群)、ガロア理論、キリング形式、ゲルマン行列、ゲージ理論、ゲージ群、コンパクト群、シューアの補題、シューア多項式、シンプレクティック同相写像、シンプレクティック簡約化、スピノール、スピン群、スピン角運動量、セルバーグ跡公式、ソフス・リー、冪零群、円周群、内部自己同型、商群、八元数、回転 (数学)、回転群、四元数、球函数に対するプランシュレルの定理、等質空間、簡約群、線型代数学、群 (数学)、群作用、群論、環 (数学)、物理学に関する記事の一覧、特殊ユニタリ群、特殊線型群、直交群、E、E8、E8 (数学)、階数、随伴表現、非可換調和解析、非線型シグマモデル、表現 (数学)、表現論、行列の対数、行列要素、行列指数関数、被覆空間、複素多様体、調和解析、超球面、跡 (線型代数学)、部分多様体、関手、量子力学の数学的定式化、量子群、離散空間、離散群、S-双対、WZWモデル、接続 (主束)、接続 (幾何学)、接続形式、接束、格子 (数学)、極大トーラス、正則表現 (数学)、正則行列、河田敬義、指標理論、指数関数、有限単純群の分類、有限群、昇降演算子、斜交ベクトル空間、斜交群、斜交行列、数学原論、数学における統一理論、数学の年表、数学者の一覧、数論力学、曲率形式。 インデックスを展開 (123 もっと) »
基本群
数学、特に代数トポロジーにおいて、基本群（きほんぐん、fundamental group）とは、ある固定された点を始点と終点にもつふたつのループが互いに連続変形可能かを測る点付き位相空間に付帯する群である。直観的には、それは位相空間にある穴についての情報を記述している。基本群はホモトピー群の最初で最も単純な例である。基本群は位相不変量である。つまり同相な位相空間は同じ基本群を持っている。 基本群は被覆空間の理論を用いて研究することができる。なぜなら、基本群は元の空間に付帯する普遍被覆空間の被覆変換群に一致するからである。基本群のアーベル化は、その空間の第一ホモロジー群と同一視することできる。位相空間が単体複体に同相のとき、基本群は群の生成子と関係式のことばで明示的に記述することができる。 基本群はアンリ・ポアンカレによって1895年に論文"Analysis situs"で定義された。ベルンハルト・リーマンとポアンカレとフェリックス・クラインの仕事でリーマン面の理論において基本群の概念が現れた。基本群は閉曲面の位相的な完全な分類を提供するだけでなく、複素函数のモノドロミー的性質の記述もする。.
基本類
数学において、基本類(fundamental class)は、向きづけられた多様体 M に付随するホモロジー類 であり、ホモロジー群 H_r(M;\mathbf)\cong\mathbf の生成子に対応する。基本類は、多様体の適切な三角分割の最高次数の単体の向きと考えることができる。 H_r(M;\mathbf)\cong\mathbf.
半単純環
数学、特に代数学において、環 A が A-加群として半単純加群、すなわち、非自明な部分加群をもたない A-加群の直和であるとき、A を半単純環という。これは、同型の違いを除いて、（可換とは限らない）体上の全行列環の有限個の直積である。 この概念は数学の多くの分野において現れる。例えば、線型代数学、数論、、リー群論、リー環論が挙げられる。これは例えば、の証明に役立つ。 半単純多元環の理論はシューアの補題とアルティン・ウェダーバーンの定理を基盤としている。.
単位円
数学において単位円（たんいえん、unit circle）とは、半径が 1 の円のことである。解析幾何学（いわゆる“座標幾何”）では特に原点（すなわち x 軸と y 軸の交点） O(0, 0) を中心とするものをいう。これは、原点からの距離が 1 であるような点の全体が描く軌跡のことと言っても同じことである。 単位円はしばしば S1 で表される（これは n 次元の球面 (sphere) という概念の n.
単純リー群
群論において、単純リー群 (simple Lie group) は連結非可換リー群 G であって非自明な連結正規部分群を持たないものである。 単純リー環 (simple Lie algebra) は非可換リー環であってイデアルが 0 と自身しかないものである。単純リー環の直和は半単純リー環と呼ばれる。 単純リー群の同値な定義がから従う：連結リー群はリー環が単純であれば単純である。重要な技術的点は、単純リー群は離散的な正規部分群を含むかもしれず、したがって単純リー群であることは抽象群として単純であることとは異なるということである。 単純リー群は多くのを含む。古典型リー群は球面幾何学、射影幾何学、フェリックス・クラインのエルランゲンプログラムの意味で関連する幾何学の群論的支柱を提供する。どんなよく知られた幾何学にも対応しない可能性もいくつか存在することが単純リー群のの過程で現れた。これらの例外群 (exceptional group) により数学の他の分野や当時の理論物理学の多くの特別な例や configuration が説明される。 単純リー群の概念は公理的観点からは十分であるが、の理論のようなリー理論の応用において、幾分一般的な概念である半単純および簡約リー群がもっと有用であることが証明されている。とくに、すべての連結は簡約であり、一般の簡約群の表現の研究は表現論の主要な分野である。.
可微分多様体
数学において、可微分多様体（かびぶんたようたい、differentiable manifold）、あるいは微分可能多様体（びぶんかのうたようたい）は、局所的に十分線型空間に似ており微積分ができるような多様体である。任意の多様体は、チャート（座標近傍、局所座標）の集まり、アトラス（座標近傍系、局所座標系）、によって記述することができる。各座標近傍は微積分の通常のルールが適用する線型空間の中にあるから、各々のチャートの中で考えるときには微積分学のアイデアを適用できる。チャートが適切に両立可能であれば（すなわち1つのチャートから別のチャートへの変換が微分可能であれば）、1つのチャートでなされた計算は任意の他の微分可能なチャートにおいても有効である。 フォーマルに言えば、可微分多様体は大域的に定義されたを持つ位相多様体である。任意の位相多様体にはアトラスの同相写像と線型空間上の標準的な微分構造を用いて局所的に微分構造を与えることができる。同相写像によって誘導された局所座標系上の大域的な微分構造を誘導するためには、アトラスのチャートの共通部分上での合成が対応する線型空間上の微分可能な関数でなければならない。言い換えると、チャートの定義域が重なっているところでは、各チャートによって定義された座標はアトラスのすべてのチャートによって定義された座標に関して微分可能であることが要求される。様々なチャートによって定義された座標を互いに結びつける写像を変換関数 (transition map/遷移写像/座標変換) と呼ぶ。 微分可能性は文脈によって連続微分可能、k 回微分可能、滑らか、正則といった異なる意味を持つ。さらに、抽象的な空間にそのような可微分構造を誘導できることによって微分可能性の定義を大域的な座標系なしの空間に拡張することができる。微分構造によって大域的に微分可能な接空間、微分可能な関数、微分可能なテンソル場やベクトル場を定義することができる。可微分多様体は物理においても非常に重要である。特別な種類の可微分多様体は古典力学、一般相対論、ヤン・ミルズ理論といった物理理論の基礎をなす。可微分多様体に対して微積分を展開することが可能である。これによって exterior calculus （外微分法/外微分学）のような数学的機構が導かれる。可微分多様体上の微積分の研究は微分幾何学と呼ばれる。.
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同値類
数学において，ある集合 の元が（同値関係として定式化される）同値の概念を持つとき，集合 を同値類（どうちるい，equivalence class）たちに自然に分割できる．これらの同値類は，元 と が同じ同値類に属するのは と が同値であるとき，かつそのときに限るものとして構成される． フォーマルには，集合 と 上の同値関係 が与えられたとき，元 の における同値類は， に同値な元全体の集合 である．「同値関係」の定義から同値類は S の分割をなす．この分割，同値類たちの集合，を の による商集合 (quotient set) あるいは商空間 (quotient space) と呼び， と表記する． 集合 が（群演算や位相のような）構造を持ち，同値関係 がこの構造と適切に両立するように定義されているとき，商集合はしばしばもとの集合から類似の構造を引き継ぐ．例としては，線型代数学における商空間，位相空間論における商空間，，等質空間，商環，，など．.
多元数
数学における多元数（たげんすう、hyper­complex number; 超複素数）は、実数体上の単位的多元環の元を表す歴史的な用語である。多元数の研究は19世紀後半に現代的な群の表現論の基盤となった。.
多重線型代数
数学における多重線型代数（たじゅうせんけいだいすう、multilinear algebra）とは、線型空間における多重線型性 を扱う代数学の分野。多重線型性は典型的には線型環における積の構造に現れている。 を –代数とするとき、自然数 に対し、 上で定義された 変数写像 はある変数以外の変数を固定して一変数の写像と見なしたときにK –線型写像を定めている。より一般に 上のベクトル空間 上の 変数写像についてもある変数以外の変数を固定して一変数写像と見なしたときに 線型写像になっているようなものを考えることができるが、このような写像は多重線型写像 とよばれる。多重線型写像は何らかの意味でベクトルの「積」を表していると考えられる。 多重線型性を捉える基本的な対象としてテンソル代数（てんそるだいすう、）、対称代数（たいしょうだいすう、）、外積代数（がいせきだいすう、）が挙げられる。テンソル代数におけるテンソル積によって、ベクトルの積として最も一般的なものが定式化される。また、対称積や外積によって一定の付加的な条件を満たすような積が捉えられる。.
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大統一理論
大統一理論（だいとういつりろん、grand unified theory, GUT）とは、電磁相互作用、弱い相互作用と強い相互作用を統一する理論である。幾つかのモデルが作られているが、未完成の理論である。 電磁相互作用と弱い相互作用の統一は電弱統一理論（ワインバーグ＝サラム理論）としてシェルドン・グラショウ、スティーヴン・ワインバーグ、アブドゥ・サラムにより完成されている。.
媒介変数
数学において媒介変数（ばいかいへんすう、パラメータ、パラメタ、parameter）とは、主たる変数（自変数）あるいは関数に対して補助的に用いられる変数のことである。なおこの意味でのパラメータは助変数（じょへんすう）とも呼び、また古くは径数（けいすう）とも訳された（後者はリー群の一径数部分群（1-パラメータ部分群）などに残る）。母数と呼ぶこともある。 媒介変数の役割にはいくつかあるがその主なものとして、主たる変数たちの間に陰に存在する関係を記述すること、あるいはいくつもの対象をひとまとまりのものとして扱うことなどがある。前者では関数の媒介変数表示とか陰関数などとよばれるもの、後者では集合族とか数列などが一つの例である。後者の意味を持つ媒介変数はしばしば文字の肩や斜め下に本文より少し小さな文字 (script style) で書かれ、添字 (index) と呼ばれる。.
学問の一覧
学問の一覧（がくもんのいちらん）は、大学・大学院レベルで学ばれる学問分野を分類したものである。それぞれの分野には下位分野があり「（例）物理学→素粒子物理学」、この下位分野にはそれぞれ学術雑誌、学会があることが多い。 学問の分類には図書分類法のような分類法がなく、日本とアメリカ、ヨーロッパなど地域や教育機関ごとに差異がある。例えば法学を社会科学に含める場合もあればそうでない場合もある。 今日ますます各学問に分野横断的な傾向が強まるなかで、ある学問を単一の分野に分類することが困難な場合が多くなっている（学際研究）。.
対称群
対称群（たいしょうぐん、）とは、「ものを並べ替える」という操作を元とする群である。この場合の「ものを並べ替える」操作のことを置換（ちかん、）という。数学の議論の様々な場面で「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてを調べる」ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。置換のうちで特別なものだけを集めて得られる群は置換群（ちかんぐん、）と呼ばれる。置換群が空間 の変換群として与えられているとき、 の元 の置換は で与えられる の部分群の分だけ潰れているが、これは のなかに と「同じ」元が複数含まれている場合に対応しており、 の中でこれらを区別することができれば の元の置換から対称群 が回復される。.
対称性 (物理学)
対称性ラベルを示す面心立方格子構造の第一ブリュアンゾーン 物理学における対称性（たいしょうせい、symmetry）とは、物理系の持つ対称性 — すなわち、ある特定の変換の下での、系の様相の「不変性」である。.
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対数微分法
微分積分学において、対数微分法 (logarithmic differentiation) あるいは対数をとることによる微分 (differentiation by taking logarithms) は関数 f の対数導関数を用いるすることによって関数を微分するために使われる手法である このテクニックは関数自身よりもむしろ関数の対数を微分する方が簡単な場合にしばしば実行される。これは通常、対象の関数がたくさんの積からなっており対数によってそれが（微分するのがはるかに簡単な）ばらばらの和になるような場合において起こる。それはまた変数や関数のベキである関数に適用するときにも有用である。対数微分は、チェイン・ルールだけでなく、積を和に、商を差に変えるために対数（とくに自然対数、すなわち底が ''e''の対数）の性質に依存している。ほとんどすべての微分可能な関数の微分において、これらの関数が 0 でないならば、少なくとも部分的には、原理を実行することができる。.
小林俊行
小林 俊行 （こばやし としゆき、1962年9月 - ）は、日本の数学者。東京大学教授。理学博士（1990年）。大阪府大阪市出身。.
小林昭七
小林 昭七（こばやし しょうしち、1932年1月4日 - 2012年8月29日 ）は、日本の数学者。カリフォルニア大学バークレー校名誉教授。研究領域は、リーマン多様体、複素多様体およびリー群。.
山辺英彦
山辺 英彦（やまべ ひでひこ、1923年8月22日 - 1960年11月20日）は、日本の数学者。兵庫県芦屋市出身。山辺武彦、レイの五男として生まれる。神戸一中、第三高等学校をへて、1944年東京帝国大学入学、1947年に東京大学卒業。その後大阪大学に行く。1949年大阪大学助手、1951年講師。1952年から2年間プリンストン高等研究所研究員。1954年、大阪大学から理学博士号を取得。1954年ミネソタ大学助教授を経て、1957年准教授。1958年大阪大学教授。1959年再びミネソタ大学。1960年ノースウェスタン大学教授。同年11月くも膜下出血で死去。 山辺は、位相群、リー群の構造を研究しヒルベルトの第5問題の解決に貢献したことで知られる。その後、偏微分方程式、力学系、微分幾何学の研究に移る。微分幾何学では共形幾何学における変分問題である「山辺の問題」が有名である。また山辺不変量、山辺フロー、山辺定数などに名を残す。.
局所コンパクト群
数学において、局所コンパクト群 (locally compact group) とは、位相空間として局所コンパクトかつハウスドルフな位相群 G である。数学で現れる群の多くの例は局所コンパクトでありそのような群はハール測度と呼ばれる自然な測度を持っているから局所コンパクト群は重要である。これによって G 上のボレル可測関数の積分を定義することができフーリエ変換や L^p 空間といった標準的な解析学の概念を一般化することができる。 有限群の表現論の結果の多くは群上平均化することによって証明される。コンパクト群に対しては、これらの証明の修正は正規化されたに関して平均を取ることによって類似の結果をもたらす。一般の局所コンパクト群では、そのような技術が使えるとは限らない。得られる理論は調和解析の中心的な部分である。局所コンパクトアーベル群の表現論はポントリャーギン双対によって記述される。.
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局所コンパクト群における格子
リー理論およびその周辺分野において、局所コンパクト位相群における格子（こうし、lattice）とは、離散的部分群であって、それによる商空間が有限な不変測度を持つようなものをいう。特別な場合として、局所コンパクト群 Rn の場合を考えると、通常の幾何学的な概念としての格子が得られ、このときの格子の代数的構造や全ての格子全体における幾何はどちらも比較的よく知られている。1950年代から1970年代に掛けて得られた、ボレル、ハリシュ＝チャンドラ、ジョージ・モストウ、玉川、M.S.ラグナータン、マーグリス、ジマーらによる格子に関する深い結果は、理論の例を与えるとともに冪零リー群や局所体上の半単純代数群に対する理論への大きな一般化を与えた。1990年代には、ハイマン・バスやルボツキーによって樹状格子 (tree lattices) の研究が始められ、今もなお活発に研究されている。.
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岩波講座 基礎数学
岩波講座 基礎数学(いわなみこうざ きそすうがく)とは、岩波書店から分冊形式で出版された数学書のシリーズ。これらの内いくつかは、後に岩波基礎数学選書(いわなみきそすうがくせんしょ)シリーズとして、一冊本として、一部修正されて再版された。.
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上半平面
数学、とくにリーマン幾何学あるいは（局所）コンパクト群の調和解析において上半平面（じょうはんへいめん、upper half plane）は、虚部が正である複素数全体の成す集合をいう。上半平面は連結な開集合であり、それがリーマン球面に埋め込まれているとみなしたとき、その閉包を閉上半平面と呼ぶ。閉上半平面は上半平面に実軸と無限遠点を含めたものである。（開いた）上半平面を慣例的に H や H あるいは \mathfrak と記す（このとき、下半平面は H− や H− などと書かれ、対比的に上半平面を H+ などと記すこともある）。上半平面は、リー群の表現論やロバチェフスキーの双曲幾何学などの舞台として数論・表現論的、幾何学的に重要な役割を果たす。 または.
三角行列
数学の一分野線型代数学における三角行列（さんかくぎょうれつ、triangular matrix）は特別な種類の正方行列である。正方行列が またはであるとは主対角線より「上」の成分がすべて零となるときに言い、同様にまたはとは主対角線より「下」の成分がすべて零となるときに言う。三角行列は上半または下半三角となる行列のことを言い、また上半かつ下半三角となる行列は対角行列と呼ぶ。 三角行列に関する行列方程式は解くことが容易であるから、それは数値解析において非常に重要である。LU分解アルゴリズムにより、正則行列が下半三角行列 と上半三角行列 との積 に書くことができるための必要十分条件は、その行列の首座小行列式 (leading principal minor) がすべて非零となることである。.
三次元球面
数学における三次元（超）球面（さんじげんきゅうめん、3-sphere; 3-球面）あるいはグローム (glome) は、通常の球面の高次元版である超球面の特別の場合である。四次元ユークリッド空間内の三次元球面は、固定された一点を「中心」として等距離にある点全体の成す点集合として定義することができる。通常の球面（つまり、二次元球面）が三次元の立体である球体の境界を成すのと同様、三次元球面は四次元の立体である四次元球体の境界となる三次元の幾何学的対象である。三次元球面は、三次元多様体の一つの例を与える。.
一重項状態
量子力学において、一重項（いちじゅうこう、singlet）とは、総スピンが0の量子状態を指す。この状態では、スピン成分の値は0しか許されない。 スピン1/2の粒子が2つあるとき、三重項と呼ばれる総スピンが1の状態が3通りと、一重項と呼ばれる総スピンが0の状態が1通り存在しうる。理論物理学においては一重項とは、一次元表現（例えばスピン0の粒子）のことを指すことが多い。また、2つ以上の粒子が相互作用しあう系において、総角運動量がゼロの状態のことを一重項と呼ぶ場合もある。一重項やそれ以外の多重項は、粒子集団の総スピンが重要となる原子物理学や原子核物理学において頻繁に表われる。 単一の電子はスピン1/2を持ち、回転操作に対して、つまりリー群SU(2) のとして変換する。この電子状態のスピンは 作用素 \vec^2 を状態に作用させることで得られ、必ず \hbar^2 \, (1/2) \, (1/2 + 1).
幾何学
最先端の物理学でも用いられるカラビ-ヤウ多様体の一種。現代幾何学では図も書けないような抽象的な分野も存在する。 幾何学（きかがく、）は、図形や空間の性質について研究する数学の分野である広辞苑第六版「幾何学」より。イエズス会マテオ・リッチによる geometria の中国語訳である。以前は geometria の冒頭の geo- を音訳したものであるという説が広く流布していたが、近年の研究により否定されている。 もともと測量の必要上からエジプトで生まれたものだが、人間に認識できる図形に関する様々な性質を研究する数学の分野としてとくに古代ギリシャにて独自に発達しブリタニカ国際大百科事典2013小項目版「幾何学」より。、これらのおもな成果は紀元前300年ごろユークリッドによってユークリッド原論にまとめられた。その後中世以降のヨーロッパにてユークリッド幾何学を発端とする様々な幾何学が登場することとなる。 幾何学というとユークリッド幾何学のような具体的な平面や空間の図形を扱う幾何学が一般には馴染みが深いであろうが、対象や方法、公理系などが異なる多くの種類の幾何学が存在し、現代においては微分幾何学や代数幾何学、位相幾何学などの高度に抽象的な理論に発達・分化している。 現代の日本の教育では、体系的な初等幾何学はほぼ根絶されかけたが、近年、中・高の数学教育で線型幾何/代数幾何を用いない立体を含む、本格的な綜合幾何は見直されつつある。.
幾何学賞
幾何学賞（きかがくしよう）は、日本数学会幾何学分科会が授与している賞。1987年に創設された。 広い意味での幾何学（微分幾何、トポロジー、代数幾何など）において目覚しい業績をあげた人物、または長年にわたり幾何学に貢献した人物に贈られる。毎年2件以内。共同研究も受賞業績に含まれる。.
幾何化予想
幾何化予想（きかかよそう、Geometrization conjecture）は、1982年にアメリカの数学者ウィリアム・サーストンによって提出された「コンパクト3次元多様体は、幾何構造を持つ8つの部分多様体に分解される」という命題。位相幾何学と微分幾何学を結びつけるものでありミレニアム懸賞問題にも挙げられていたポアンカレの予想問題の解法の過程として思いつかれた。2003年、グリゴリー・ペレルマンによるリッチフローを用いた証明が示され、現在ではその証明が基本的に正しいものとされている。これにより、およそ100年にわたり未解決だった3次元ポアンカレ予想が証明されることになった。.
交代行列
線型代数学において、交代行列（こうたいぎょうれつ、alternative matrix）、歪対称行列（わいたいしょうぎょうれつ、skew-symmetric matrix）または反対称行列（はんたいしょうぎょうれつ、antisymmetric matrix, antimetric matrix; 反称行列）は、正方行列 であってその転置 が自身の 倍となるものをいう。すなわち、転置に対して反対称性を持つ行列は交代行列である。交代行列とは逆に、転置に対して対称な行列は対称行列と呼ばれる。本項において（何も言わなければ）、係数体の標数 は でない と仮定する。標数が のとき、任意のスカラーは自身を反数として持つので、任意の歪対称行列は対称行列の概念に一致する。歪対称行列に付随する双線型形式は歪対称形式であり、標数 のときは対称形式になる。一方、付随する双線型形式が交代形式であるような行列を「交代行列」と呼べば、標数 のとき「交代行列」は歪対称（.
二次形式
数学における二次形式（にじけいしき、quadratic form) は、いくつかの変数に関する次数が 2 の斉次多項式である。たとえば は変数 x, y に関する二次形式である。 二次形式は数学のいろいろな分野（数論、線型代数学、群論（直交群）、微分幾何学（リーマン計量）、微分位相幾何学（四次元多様体の交叉形式）、リー理論（キリング形式）など）で中心的な位置を占める概念である。.
代数的構造
数学において代数的構造（だいすうてきこうぞう、algebraic structure）とは、集合に定まっている算法（演算ともいう）や作用によって決まる構造のことである。代数的構造の概念は、数学全体を少数の概念のみを用いて見通しよく記述するためにブルバキによって導入された。 また、代数的構造を持つ集合は代数系（だいすうけい、algebraic system）であるといわれる。すなわち、代数系というのは、集合 A とそこでの算法（演算の規則）の族 R の組 (A, R) のことを指す。逆に、具体的なさまざまな代数系から、それらが共通してもつ原理的な性質を抽出して抽象化・公理化したものが、代数的構造と呼ばれるのである。 なお、分野（あるいは人）によっては代数系そのもの、あるいは代数系のもつ算法族のことを代数的構造とよぶこともあるようである。 後者は、代数系の代数構造とも呼ばれる。 現代では、代数学とは代数系を研究する学問のことであると捉えられている。.
代数群
代数幾何学において，代数群（だいすうぐん，algebraic group, あるいは群多様体，group variety）とは，代数多様体であるような群であって，積と逆元を取る演算がその多様体上の正則写像によって与えられるものである． 圏論のことばでは，代数群は代数多様体の圏におけるである．.
位相同型
位相同型 （いそうどうけい、homeomorphic）、あるいは同相（どうそう）とは、2つの位相空間が位相空間として等しいことを表す概念である。 例えば、球の表面と湯飲みの表面とはある「連続」な双方向の移し方で互いに移し合うことができるので同相であり、また穴が1つ開いたドーナツの表面 (トーラス) と持ち手がひとつあるマグカップの表面も同じく同相である。よって球の表面と湯のみの表面は位相幾何学的に全く同一の性質を持ち、ドーナツの表面とマグカップの表面も同一の性質を持つ。しかし、球面とトーラスとはこのような写し方が存在しないので同相とはならない。（直観的には、連続的な変形によって穴の個数が変化することはないということである。） ここで連続な写し方とは、直観的には近いところを近いところに写すような写し方を意味する。.
位相多様体
位相幾何学という数学の分野において，位相多様体（いそうたようたい，topological manifold）とは，以下に定義される意味で実 次元空間に局所的に似ている（分離空間でもある）位相空間である．位相多様体は数学全般に応用を持つ位相空間の重要なクラスをなす． 「多様体」は位相多様体を意味することもあるし，より多くは，追加の構造を持った位相多様体を指す．例えば可微分多様体は可微分構造を備えた位相多様体である．任意の多様体は，単に追加の構造を忘れることによって得られる，台となる位相多様体を持つ．多様体の概念の概観はその記事に与えられている．この記事は純粋に多様体の位相的側面に焦点を当てる．.
位相群
数学における位相群（いそうぐん、topological group）は、位相の定められた群であって、そのすべての群演算が与えられた位相に関して連続となるという意味において代数構造と位相構造が両立する。したがって位相群に関して、群としての代数的操作を行ったり、位相空間として連続写像について扱ったりすることができる。位相群のは、連続対称性を調べるのに利用でき、例えば物理学などにも多くの応用を持つ。 文献によっては、本項に言うところの位相群を連続群と呼び、単に「位相群」と言えば位相空間として T2（ハウスドルフの分離公理）を満たす連続群すなわちハウスドルフ位相群を意味するものがある。.
佐藤・テイト予想
佐藤・テイト予想(Sato–Tate conjecture)とは、楕円曲線 E と素数 p にたいして定まるある実数 θp の分布に関する予想である。もう少し正確には、有理数体上定義された楕円曲線 E を一つ固定したとき、各素数 p での還元 Ep は有限体 Fp 上の楕円曲線となるが、その楕円曲線 Ep の点の数が p を動かしたときある決まった分布になるというものである。.
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体積形式
微分可能多様体(differentiable manifold)上の体積形式(volume form)とは、多様体上至る所 0 とはならない最高次数の微分形式のことである。特に、次元が n の多様体 M 上では、体積形式は至る所 0 にはならない直線束 \Omega^n(M).
微分同相写像
数学において、微分同相写像（びぶんどうそうしゃぞう、diffeomorphism）は滑らかな多様体の同型写像である。それは1つの可微分多様体を別の可微分多様体に写す可逆関数であって、関数と逆関数が両方滑らかであるようなものである。.
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チャーン・ヴェイユ準同型
チャーン・ヴェイユ準同型(Chern–Weil homomorphism)はチャーン・ヴェイユ理論の基本構成であり、微分可能多様体 M に対して M のド・ラームコホモロジーと M の曲率を関連付けている。つまり、（微分）幾何学とトポロジーの関連づけを意味する。1940年代以来の陳省身とアンドレ・ヴェイユの理論は、特性類の理論での重要なステップである。この理論はガウス-ボネの定理の一般化でもある。 \mathbb K により実数 もしくは 複素数 を表すことにする。G は実もしくは複素リー群でリー代数 \mathfrak g を持っているとする。 で、\mathfrak g の上の \mathbb K に値を持つ多項式のベクトル空間の代数を表すとする。\mathbb K(\mathfrak g^*)^ を G の随伴作用の下で次の条件を満たす \mathbb K(\mathfrak g^*) の固定点のなす部分代数とする。すべての f\in\mathbb K(\mathfrak g^*)^.
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チャーン・サイモンズ理論
チャーン・サイモンズ理論（Chern–Simons theory）は3次元のシュワルツタイプの位相場理論であり、エドワード・ウィッテンによって発展した。この名前は作用がチャーン・サイモンズ 3-形式を積分した値に比例するからである。 凝縮系物性論では、チャーン・サイモンズ理論は状態のとして表される。数学では、ジョーンズ多項式のように結び目不変量や の不変量の計算に使われている。 特に、チャーン・サイモンズ理論は、理論のゲージ群と呼ばれる単純リー群 G と理論のレベルと呼ばれる作用にかける定数の数値により特徴付けられる。作用はゲージ変換に依存しているが、量子場理論の分配函数として、レベルが整数であり、ゲージが3-次元時空の全ての境界でゼロとなるときにうまく定義される。.
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チャージ (物理学)
物理学において、チャージ (荷量、charge) は電磁気学における電荷および磁荷や量子色力学における色荷などの種々の物理量を一般化した概念である。チャージは保存された量子数と関連している。.
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ハイゼンベルグ群
ハイゼンベルク群 (Heisenberg group) とは、次のような3次の実正方行列がなす群のことをいい、リー群の一種である。 A.
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ポワンカレの上半平面モデル
非ユークリッド幾何学におけるポワンカレ半平面模型（はんへいめんもけい、Poincaré half-plane model）は、上半平面（以下 H と記す）にポワンカレ計量と呼ばれる計量をあわせて考えたもので、二次元双曲幾何学のモデルを形成する。 名称はアンリ・ポワンカレに因むものだが、そもそもはベルトラミが、クライン模型・（リーマンによる）ポワンカレ円板模型とともに、双曲幾何学がユークリッド幾何学にであることを示すために用いたものである。円板模型と半平面模型とは共形写像のもとで同型である。.
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ポアンカレ群
ポアンカレ群（ポアンカレぐん、Poincaré group）とは、ポアンカレ変換の為す変換群。10次元のノンコンパクトリー群である。.
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モーレー・カルタンの微分形式
数学において、モーレー・カルタンの微分形式 あるいはMaurer–Cartan 形式とは、リー群の上に自然に定められ、群構造の無限小近似を与える1次微分形式のことである。エリ・カルタンによる動標構の理論の中で大きな役割を果たし、この理論に貢献のあった (Ludwig Maurer) とともにその名前が付けられている。 リー群 G の Maurer–Cartan 形式は G のリー環に値をとる微分形式である。このリー環は G の単位元における接ベクトル空間 TeG と同一視できるため、Maurer–Cartan 形式は G の各点 g における接空間 TgG から TeG への写像と見なすことができる。この見方に立つと、Maurer–Cartan 形式は g における接ベクトル X に対して、左から g−1 をかけることで定まる G 上の微分同相による像 を対応させるもの、として定義することができる。.
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モジュラー形式
モジュラー形式は、モジュラー群という大きな群についての対称性をもつ上半平面上の複素解析的函数である。歴史的には数論で興味をもたれる対象であり、現代においても主要な研究対象である一方で、代数トポロジーや弦理論などの他分野にも現れる。 モジュラー函数（modular function）: ここでいうモジュラー函数以外にも、「モジュラー函数」という術語はいくつか別の意味で用いられることがあるので注意が必要である。例えば、ハール測度の理論に現れる群の共軛作用から定まる函数 Δ(g) もモジュラー函数と呼ばれることがあるが、別な概念である。は重さ 0 、つまりモジュラー群の作用に関して不変であるモジュラー形式のことを言う。そしてそれゆえに、直線束の切断としてではなく、モジュラー領域上の函数として理解することができる。また、「モジュラー函数」はモジュラー群について不変なモジュラー形式であるが、無限遠点で f(z) が正則性を満たすという条件は必要ない。その代わり、モジュラー函数は無限遠点では有理型である。 モジュラー形式論は、もっと一般の場合である保型形式論の特別な場合であり、従って現在では、離散群の豊かな理論のもっとも具体的な部分であると見ることもできる。.
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ヤングの定理
ヤングの定理（ヤングのていり、Young's theorem）は、ある条件の下で多変数関数に対する偏微分の順序を交換できることを述べる定理である（下記参照）。ヤングの定理はしばしば二階導関数の対称性（symmetry of second derivatives）、または混合微分の等価性（equality of mixed partials）とも呼ばれる。 変数の関数 について、 に関する偏導関数を のように下付きの添え字 で表せば、二階導関数の対称性とは、二階の偏導関数 とは、関数 が を満たすことをいう。このとき関数 の二階導関数 が成す行列（ヘッセ行列）は 次対称行列を成す。 偏微分方程式の文脈では、それはシュワルツの可積分条件（Schwarz integrability condition）と呼ばれる。\arctan\; y/x.
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ヤン–ミルズ方程式と質量ギャップ問題
ヤン–ミルズ方程式の存在と質量ギャップ問題（ヤン–ミルズほうていしきのそんざいとしつりょうぎゃっぷもんだい、Yang–Mills existence and mass gap）とは、量子色力学および数学上の未解決問題である。2000年、アメリカ合衆国のクレイ数学研究所はミレニアム懸賞問題の一つとしてこの問題に100万ドルの懸賞金をかけた。.
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ヤン＝ミルズ理論
ヤン＝ミルズ理論（－りろん、Yang-Mills theory）は、1954年に楊振寧とロバート・ミルズによって提唱された非可換ゲージ場の理論のことであるYang and Mills (1954)。 なお、その少し前にヴォルフガング・パウリStraumann, N: "On Pauli's invention of non-abelian Kaluza-Klein Theory in 1953" eprint arXiv.gr.
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ユークリッドの運動群
数学におけるユークリッド群（ユークリッド-ぐん、Euclidean group）あるいは運動群 (motion group) は、ユークリッド空間のを言う。その元はユークリッド距離に付随する等距変換であり、合同変換あるいはユークリッドの運動 (motion) と呼ばれる。ユークリッドの運動群の研究は、少なくとも二次元や三次元の場合については極めて古く、群の概念が発するよりもずっと以前から（従ってもちろん群としてでなく、もっと陰伏的な形で）よく調べられている。 -次元ユークリッド空間の運動群は や などとも表される。; 三次元までの等長変換についての概観 は の任意の元が螺旋変位であることを主張する。.
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ユニタリ群
n 次のユニタリ群(ユニタリぐん、unitary group) U(n) とは、n 次ユニタリ行列のなす群のことである。演算は行列の積で与えられる。 ユニタリ群は一般線型群の部分群である。.
ユニタリ表現
数学において、群 のユニタリ表現（unitary representation）とは、複素ヒルベルト空間 上の の線型表現 であって、 が任意の に対してユニタリ作用素となるようなものである。一般論は が局所コンパクト（ハウスドルフ）位相群であり表現がである場合にはよく発展している。 理論は1920年代から量子力学において広く応用されており、とくにヘルマン・ワイルの1928年の本 に影響を受けている。応用において有用な特定の群だけでなく任意の群 に対してユニタリ表現の一般論を構成したパイオニアの1人はであった。.
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ラングランズ・プログラム
ラングランズプログラム（Langlands program） 代数的整数論におけるガロア群の理論を、局所体およびそのアデール上で定義された代数群の表現論および保型形式論に結び付ける非常に広汎かつ有力な予想網である。同プログラムは により提唱された。.
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ラウル・ボット
ラウル・ボット ラエル・ボット（Raoul Bott, 1923年9月24日 - 2005年12月20日）はハンガリーの数学者。.
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リー (小惑星26955番)
リー (26955 Lie) は、小惑星帯にある小惑星である。パオロ・G・コンバ (P. G. Comba) がアリゾナ州のプレスコット天文台 (Prescott) で発見した。 ノルウェーの数学者で、リー群・リー環の理論の創始者であるソフス・リー (Marius Sophus Lie) に因んで命名された。なお日本語で「リー」と表記される小惑星は他に2つ（954 Li と 3155 Lee）あり、前者は発見者であるカール・ラインムートの妻から、後者は南北戦争の南部連合軍司令官ロバート・E・リーから命名された。.
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リー代数
数学において、リー代数、もしくはリー環日本語ではしばしば Lie algebra のことをリー環と呼ぶが、後述の Lie ring はより一般的な概念である。本項ではこの2つの用語を区別して用いる。は、「リー括弧積」（リーブラケット、Lie bracket）と呼ばれる非結合的な乗法 を備えたベクトル空間である。 の概念を研究するために導入された。"Lie algebra" という言葉は、ソフス・リーに因んで、1930年代にヘルマン・ワイルにより導入された。古い文献では、無限小群 (infinitesimal group) という言葉も使われている。 リー代数はリー群と密接な関係にある。リー群とは群でも滑らかな多様体でもあるようなもので、積と逆元を取る群演算がであるようなものである。任意のリー群からリー代数が生じる。逆に、実数あるいは複素数上の任意の有限次元リー代数に対し、対応する連結リー群がによる違いを除いて一意的に存在する（）。このによってリー群をリー代数によって研究することができる。.
リー代数の表現
数学の一分野である表現論では、リー代数の表現(リーだいすうのひょうげん、representation of a Lie algebra)は、リー代数を行列の集合（ベクトル空間の準同型）として記述する方法である。この方法により、リーブラケットは交換子により与えられる。 考え方はリー群の表現の考え方と密接に関連する。大まかには、リー代数の表現は、リー群の表現の微分した形であり、一方、リー群の普遍被覆の表現は、リー代数の表現の積分した形である。 リー代数の表現の研究で、リー代数に付随する普遍包絡代数と呼ばれる特別な環は、決定的役割を果たす。この環の構成の普遍性は、リー代数の表現の圏が、この普遍包絡代数上の加群の圏と同じであることを言っている。.
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リー微分
数学においてリー微分（りーびぶん、Lie derivative）は、多様体 M 上のテンソル場全体の成す多元環上に定義される微分（導分とも）の一種である。ソフス・リーにちなんで名づけられた。M 上のリー微分全体の成すベクトル空間は次で定義されるリー括弧積 について無限次元のリー環を成す。リー微分は M 上の流れ（flow; フロー、activeen な微分同相写像）の無限小生成作用素としてベクトル場によって表される。もう少し別な言い方をすれば、リー群論の方法の直接の類似物ではあるが、M 上の微分同相写像全体の成す群は付随するリー環構造（もちろんそれはリー微分全体のなすリー環のことだが）を持つということができる。.
リー・トロッター積公式
数学において、ソフス・リー (Sophus Lie, 1875) にちなんで名づけられたリーの積公式 (Lie product formula) は、任意の実あるいは複素正方行列, に対して、 が成り立つという定理である。ここで は の行列指数関数を表す。リー・トロッターの積公式 (Lie–Trotter product formula) およびトロッター・加藤の定理 (Trotter–Kato theorem) はこれをある種の非有界線型作用素, に拡張する。.
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リー群の分解
数学において、線型代数群（線型リー群や各種行列群）の各種分解（ぶんかい、decompositions）は、行列群やそれに付随する各種の対象に関する構造（それがどのように部分群から構成されるのか）を調べるのに用いられる。 これらの分解は、リー群やリー環の表現論における本質的・技術的な道具であるとともに、それらの群や付随する等質空間の代数トポロジーの研究などにも用いられる。リー群の方法論を用いることが20世紀数学の標準的な手法の一つとなったことにより、現在では多くの現象をこれらの分解に帰着して論じることができる。このような方法論は、リー群、リー環から代数群特に ''p''-進群といった行列群に等しく適用することができるが、これらを統一的な理論として集約することは容易でない。.
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リー群の表現
数学や理論物理学では、リー群の表現の考え方は、連続対称性の研究で重要な役割を果たす。 そのような表現は、対応する「無限小」リー代数の表現研究で使用する基本的なツールであることが良く知られている。物理学の文献では、リー群の表現とリー代数の表現との間の違いを強調しないこともある。 Chapter 2.
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リー環のコホモロジー
数学において，リー環のコホモロジー（Lie algebra cohomology）とは，リー環に対するコホモロジー論である．それは によって，コンパクトリー群の位相空間としてのコホモロジーの代数的構成を与えるために，定義された．上の論文では，と呼ばれる鎖複体がリー環上の加群に対して定義され，そのコホモロジーが普通の意味で取られる．.
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リー環の指数写像
リー群論において、指数写像（しすうしゃぞう、exponential map）は、リー群のリー環から局所的な群構造を取り出せるような、リー環からリー群への写像である。指数写像の存在はリー環のレベルでリー群を研究することの主要な正当性の1つである。 解析学の通常の指数関数は G が正の実数の乗法群（そのリー環は実数全体のなす加法群）のときの指数写像という特別な場合である。リー群の指数写像は通常の指数関数の性質と類似の多くの性質を満たすが、しかしながら、多くの重要な面において異なりもする。.
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リー環の拡大
リー群論，リー環論，およびそれらの表現論において，リー環の拡大 (Lie algebra extension) とは，与えられたリー環 を別のリー環 によって「拡大」することである．拡大はいろいろな方法で生じる．2つのリー環の直和を取ることによって得られる自明な拡大 (trivial extension) がある．別の種類の拡大は分裂拡大 (split extension) や中心拡大 (central extension) である．拡大は，例えばからリー環を作るときに，自然に生じる．そのようなリー環は中心電荷を持つ． ｗ 有限次元単純リー環上の多項式ループ代数から始めて，2つの拡大，中心拡大と微分による拡大を施すと，untwisted アファインカッツ・ムーディ代数に同型なリー環を得る．中心拡大したループ代数を用いて2次元時空のを構成できる．ヴィラソロ代数はヴィット代数の普遍中心拡大である． 中心拡大は物理学で必要とされる，なぜならば量子化された系の対称性を表す群は通常古典的な対称変換群の中心拡大であり，同様に量子系の対応する symmetry リー環は一般に古典的な symmetry algebra の中心拡大であるからである．カッツ・ムーディ代数は統一超弦理論の対称変換群であると予想されている．中心拡大されたリー環は場の量子論，特に共形場理論，弦理論とM理論において，支配的な役割を果たす． 後半の大部分はリー環の拡大が実際有用である分野である数学と物理学双方での応用の背景資料に割かれている．かっこつきリンク，（背景資料），はそれが有益であろうところで提供される．.
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ルート系
数学において，ルート系（root system，système de racines）とはある幾何学的な性質を満たすユークリッド空間のベクトルの配置である．これはリー群やリー環の理論において基本的な概念である．リー群（や代数群のような類似物）やリー環は20世紀の間に数学の多くの部分で重要になってきたから，ルート系の一見すると特別な性質に反してそれらは多くの分野に応用される．さらに，ディンキン図形によるルート系の分類体系は（のような）リー理論とあからさまなつながりの全くない数学の分野において現れる．最後に，ルート系はにおけるように，それ自身重要である．.
ループ代数
数学において，ループ代数 (loop algebra) とは，ある種のリー環であり，特に理論物理学において興味を持たれる．.
ローレンツ群
ヘンドリック・アントーン・ローレンツ (1853–1928) 物理学および数学において、ローレンツ群 (Lorentz group) は、（重力を除いた）全ての古典的な設定における物理現象を説明する基礎となる、ミンコフスキー時空上の全てのローレンツ変換が成す群である。ローレンツ群の名前はオランダ人物理学者ヘンドリック・ローレンツに因む。 ローレンツ変換の下では、次の法則および等式が不変に保たれる。.
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ワイル群
数学、特にリー環の理論において、ルート系 のワイル群（Weyl group）は、ルート系のの部分群である。具体的には、ルートに直交する超平面に関する鏡映によって生成される部分群のことで、そのようなものとしてである。抽象的には、ワイル群はであり、その重要な例である。 半単純リー群、半単純リー環、線型代数群、などのワイル群はその群あるいは環のルート系のワイル群である。 名前はヘルマン・ワイル (Hermann Weyl) にちなむ。.
ボロノイ図
ボロノイ図（ボロノイず、Voronoi diagram）は、ある距離空間上の任意の位置に配置された複数個の点（母点）に対して、同一距離空間上の他の点がどの母点に近いかによって領域分けされた図のことである。特に二次元ユークリッド平面の場合、領域の境界線は、各々の母点の二等分線の一部になる。母点の位置のみによって分割パターンが決定されるため、母点に規則性を持たせれば美しい図形を生み出すことが可能。.
ヒルベルトの23の問題
ヒルベルトの23の問題（ヒルベルトの23のもんだい、）は、ドイツ人の数学者であるダフィット・ヒルベルトによりまとめられた、当時未解決だった23の数学問題である。ヒルベルト問題 とも呼ばれる。 1900年8月8日に、パリで開催されていた第2回国際数学者会議 (ICM) のヒルベルトの公演で、23題の内10題（問題1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21, 22）が公表され、残りは後に出版されたヒルベルトの著作で発表された。.
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ヒレル・ファステンバーグ
ヒレル・ファステンバーグ（Hillel Furstenberg、ヘブライ語:הלל (הארי) פורסטנברג、1935年-）はイスラエルの数学者。全米科学アカデミーの会員。 数論やリー群の他、確率論やエルゴード理論の研究でも知られる。研究者になってすぐ、素数の無限性をトポロジーを使って証明し注目を集めた。彼は1970年代初頭に、双曲線リーマン面上のホロサイクルの固有のエルゴード性を証明した。1977年には、Szemerédi理論をエルゴード理論に基づいて再構築し、証明した。リーマン対称空間上のファステンバーグ境界やファステンバーグコンパクト化は彼の名前に由来している。.
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フレーバー (素粒子)
素粒子物理学において、フレーバー (flavour, flavor) とはクォークとレプトンの種類を意味する。また、これらの素粒子の種類を分類する量子数としても定義される。.
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フレシェ空間
数学の関数解析学周辺分野におけるフレシェ空間（フレシェくうかん、Fréchet spaces）は、モーリス・フレシェに名を因む、位相空間の一種である。フレシェ空間は（ノルムの導く距離に関して完備なノルム付き線型空間である）バナッハ空間を一般化するもので、平行移動不変距離関数に関して完備な局所凸空間を言う。バナッハ空間との違いは、その距離がノルムから生じるものでなくともよいことである。 フレシェ空間の位相構造は、バナッハ空間のと比べてノルムがない分だけより複雑なものではあるけれども、ハーン・バナッハの定理や開写像定理、バナッハ・シュタインハウスの定理などの関数解析学における重要な結果の多くが、フレシェ空間においてもやはり成り立つ。 無限回微分可能関数の成す空間などは、フレシェ空間の典型例である。.
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フロー (数学)
数学においてフロー（）は、流体における粒子の動きの概念を定式化したものである。工学や物理学を含む自然科学の分野に普遍的に現れるものとなっている。またその概念は、常微分方程式の研究において基本的なものとなっている。直感的に、フローはある点の時間についての連続的な動きを表すものと見なすことが出来る。より正式に、フローはある集合上の実数に関する群作用である。 、すなわちベクトル場によって決定されるフローの概念は、微分位相幾何学やリーマン幾何学、リー群の分野に現れる。ベクトルフローの具体例として、測地フローやハミルトンフロー、リッチフロー、、が挙げられる。フローはまた、確率変数や確率過程のシステムに対して定義されることもあり、力学系の研究に現れる。それらの内で最も有名なものは、ベルヌーイフローであるかも知れない。.
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フィールズ賞
フィールズ賞（フィールズしょう）は、若い数学者のすぐれた業績を顕彰し、その後の研究を励ますことを目的に、カナダ人数学者ジョン・チャールズ・フィールズ (John Charles Fields, 1863–1932) の提唱によって1936年に作られた賞のことである。.
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ホップ代数
数学において，ホップ代数（ホップだいすう，Hopf algebra）は，に因んで名づけられた代数的構造であり，同時に（単位的結合）代数かつ（余単位的余結合的）余代数であり，これらの構造の整合性により双代数になっており，さらにある性質を満たすを備えたものである．ホップ代数の表現論は特に見事である，なぜならば整合的な余積，余単位射，対合射の存在により，表現のテンソル積，自明表現，双対表現を構成できるからである． ホップ代数は，その起源であり の概念と関係する代数的位相幾何学，の理論，群論（群環の概念によって），そして多数の他の場所で，自然に生じ，おそらく双代数の最もよく知られた種類となっている．ホップ代数はそれ自身も研究されていて，一方では例の特定のクラスが，他方では分類問題が，多く研究されている．それらは物性物理学や量子的場の理論から弦理論まで多様な応用を持つ． 定理 (ホップ) を標数 0 の体上の有限次元次数付き余可換ホップ代数とする．このとき は（代数として）奇数次の生成元による自由外積代数である．.
ベーテ格子
ベーテ格子あるいはケイリー樹 (ケイリーグラフ(Cayley graph)の一種)は、1935年にハンス・ベーテによって導入された無限サイズの木グラフで、 各ノードはz個のノードに隣接している。ここでzは配位数と呼ばれる。ベーテ格子は根つき木で、根ノードのまわりに殻があって、その殻に他のノードが配置されている。根ノードは格子の原点とも呼ばれる。k番目の殻にあるノード数は で与えられる。根ノードの隣接ノード数をz − 1とするベーテ格子の定義もある。 特有のトポロジカルな構造により、この格子上における格子モデルの統計力学は厳密に解けることがよくある。厳密解はベーテ近似と関係している。.
ベクトル空間
数学、特に線型代数学におけるベクトル空間（ベクトルくうかん、vector space）、または、線型空間（せんけいくうかん、linear space）は、ベクトルと呼ばれる元からなる集まりの成す数学的構造である。ベクトルには和が定義され、またスカラーと呼ばれる数による積（「スケール変換」）を行える。スカラーは実数とすることも多いが、複素数や有理数あるいは一般の体の元によるスカラー乗法を持つベクトル空間もある。ベクトルの和とスカラー倍の演算は、「ベクトル空間の公理」と呼ばれる特定の条件（後述）を満足するものでなければならない。ベクトル空間の一つの例は、力のような物理量を表現するのに用いられる幾何ベクトルの全体である（同じ種類の任意の二つの力は、加え合わせて力の合成と呼ばれる第三の力のベクトルを与える。また、力のベクトルを実数倍したものはまた別の力のベクトルを表す）。同じ調子で、ただしより幾何学的な意味において、平面や空間での変位を表すベクトルの全体もやはりベクトル空間を成す。 ベクトル空間は線型代数学における主題であり、ベクトル空間はその次元（大雑把にいえばその空間の独立な方向の数を決めるもの）によって特徴づけられるから、その観点からはよく知られている。ベクトル空間は、さらにノルムや内積などの追加の構造を持つこともあり、そのようなベクトル空間は解析学において主に函数をベクトルとする無限次元の函数空間の形で自然に生じてくる。解析学的な問題では、ベクトルの列が与えられたベクトルに収束するか否かを決定することもできなければならないが、これはベクトル空間に追加の構造を考えることで実現される。そのような空間のほとんどは適当な位相を備えており、それによって近さや連続性といったことを考えることができる。こういた位相線型空間、特にバナッハ空間やヒルベルト空間については、豊かな理論が存在する。 歴史的な視点では、ベクトル空間の概念の萌芽は17世紀の解析幾何学、行列論、連立一次方程式の理論、幾何ベクトルの概念などにまで遡れる。現代的な、より抽象的な取扱いが初めて定式化されるのは、19世紀後半、ペアノによるもので、それはユークリッド空間よりも一般の対象が範疇に含まれるものであったが、理論の大半は（直線や平面あるいはそれらの高次元での対応物といったような）古典的な幾何学的概念を拡張することに割かれていた。 今日では、ベクトル空間は数学のみならず科学や工学においても広く応用される。ベクトル空間は線型方程式系を扱うための適当な線型代数学的概念であり、例えば画像圧縮ルーチンで使われるフーリエ展開のための枠組みを提示したり、あるいは偏微分方程式の解法に用いることのできる環境を提供する。さらには、テンソルのような幾何学的および物理学的な対象を、抽象的に座標に依らない で扱う方法を与えてくれるので、そこからさらに線型化の手法を用いて、多様体の局所的性質を説明することもできるようになる。 ベクトル空間の概念は様々な方法で一般化され、幾何学や抽象代数学のより進んだ概念が導かれる。.
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分類空間
数学、特にホモトピー論では、位相群 G の分類空間(classifying space) BG は、G のにより空間 EG の商空間である（つまり、すべてのホモトピー群が自明となるような位相空間）。分類空間は、パラコンパクトな多様体上の任意の G 主バンドルが、主バンドル EG → BG の(pullback bundle)と同型となる性質を持つ。 離散群(discrete group) G に対し、BG は、大まかには、弧状連結な位相空間 X であり、X の基本群が G と同型となり、X の高次ホモトピー群が自明となる、つまり、BG は(Eilenberg-Maclane space)、または K(G,1) となる。, Theorem 2 For a discrete group G, BG is, roughly speaking, a path-connected topological space X such that the fundamental group of X is isomorphic to G and the higher homotopy groups of X are trivial, that is, BG is an Eilenberg-Maclane space, or a K(G,1).-->.
アティヤ＝ボットの不動点定理
数学におけるアティヤ＝ボットの不動点定理（アティヤ＝ボットのふどうてんていり、）とは、1960年代にマイケル・アティヤとラウル・ボットによって証明された定理で、滑らかな多様体 M に対するレフシェッツの不動点定理の一般化として、M 上の楕円型複体を扱うものである。これはベクトル束上の楕円型微分作用素の系で、元々のレフシェッツの不動点定理において現れる滑らかな微分形式から構成されるド・ラーム複体を一般化するものである。.
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アフィン群
数学において、アフィン群（アフィン-ぐん、affine group）あるいは一般アフィン群（いっぱん-アフィン-ぐん、general affine group）は、体 K 上のアフィン空間からそれ自身への正則アフィン変換の全体の成す群である。アフィン変換群とも。 アフィン群は K が実または複素（あるいは四元）数体であるとき、リー群を成す。.
アイゼンシュタイン級数
アイゼンシュタイン級数(Eisenstein series)は、ドイツの数学者ゴットホルト・アイゼンシュタイン(Gotthold Eisenstein)にちなみ、直接書き下すことができる無限級数展開を持つ特別なモジュラ形式である。元来はモジュラ群に対して定義されていたアイゼンシュタイン級数は、保型形式の理論へ一般化することができる。.
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イリヤ・ピアテツキー＝シャピロ
イリヤ・ピアテツキー＝シャピロ イリヤ・ピアテツキー＝シャピロ（Ilya Piatetski-Shapiro, Илья Иосифович Пятецкий-Шапиро Iľja Iosifovič Pjateckij-Šapiro, 1929年3月30日 - 2009年2月21日）はロシア、イスラエルの数学者。ピアテスキー・シャピロとも。専門は保型形式、表現論。.
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ウィルソンループ
ージ理論では、ウィルソンループ(Wilson loop)（ケネス・ウィルソン(Kenneth G. Wilson)に因む）は、ゲージ不変な観測量を与えられたループのゲージ接続の(holonomy)から得る。古典論では、ウィルソンループの集まりは、ゲージ変換を同一視したゲージ接続を再構成する十分な情報を構成する。 --> 場の量子論では、ウィルソンループ観測量の定義は、フォック空間上の「(bona fide)」作用素である。（実際、(Haag's theorem)は、フォック空間は相互作用のある QFT に対しては存在しないという定理がある。）この定義は、数学的にはデリケートな問題であり、通常はフレーミングを持つ各々のループを備えた繰り込みが要求される。ウィルソン作用素の作用は、量子場の基本励起を作り出すことを解釈され、量子場はループへ局所化される。このようにして、マイケル・ファラデェー(Michael Faraday)の「フラックスチューブ」は量子電磁気場の基本励起となる。 ウィルソンループは、1970年代に量子色力学 (QCD) の非摂動的定式化の試み、少なくとも QCD の強い相互作用の領域を扱う一連の変数記法として導入された。ウィルソンループは、クォークの閉じ込めの問題を解くことを意図し考案されたが、今日、未解決のままである。 強い相互作用を持つ量子場理論は、基本的な非摂動的励起をもっているという事実は、(Alexander Polyakov)により、最初の弦理論を定式化するために提唱された。これは時空での基本量子のループの伝播を記述している。 ウィルソンループはループ量子重力理論の定式化で重要な役割を果たすが、そこでは、スピンネットワークに取って変わられ（後日、(spinfoam)となった）、ウィルソンループの一種の一般化となっている。 素粒子物理学と弦理論において、ウィルソンループ、特にコンパクト多様体の非可縮なループの周りのウィルソンループは、ウィルソンライン(Wilson lines)とよく言われる。 The problem of confinement, which Wilson loops were designed to solve, remains unsolved to this day.
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ウェイト (表現論)
表現論という数学の分野において，体 上の代数 のウェイト（weight）とは， から へのである，あるいは同じことだが， の 上の1次元表現である．それは群のの代数の類似である．しかしながら，概念の重要性は，リー環の表現への，したがって代数群やリー群の表現への，その応用から生じる．この文脈では，表現のウェイトは固有値の概念の一般化であり，対応する固有空間はウェイト空間と呼ばれる．.
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エポニム (数学)
ポニム（eponym）は、既に存在する事物の名（とくに人名）にちなんで二次的に命名された言葉のことである。元となった人名などのことを名祖（なおや、eponymous）という。 この項では数学の分野でのエポニムを挙げる。.
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エリ・カルタン
エリ・カルタン（Élie Joseph Cartan, 1869年4月9日 - 1951年5月6日）はフランスの数学者。リー群、微分幾何学に大きな業績を残した。数学界の巨人のひとり。 イゼール県ドロミューで、父親は鍛冶屋、母は絹織物工で、幼時より非凡な才能を示し、記憶力は抜群であった。 高等師範学校にすすみ、碩学エミール・ピカールなどの講義をうける。ソルボンヌ大学も通い、グルサやエルミートの講義などに感激した。 25歳の時に出した学位論文「有限次元連続変換群の構造について」は学者としての地位を約束するものであった。この論文によりみとめられ、1894年、モンペリエ大学の講師に任命される。 その後、40歳でパリ大学の講師に任命される。研究は多岐におよび、対称空間の発見、接続の概念の提唱など基本的な重要な仕事をした。リー群論、スピノル理論、連続群論、微分幾何学、積分不変式など。 子供は4人、3男1女、長男アンリは関数論の専門家、次男ジャンは作曲家だが夭逝、三男ルイは物理学者、長女のエレーヌは数学教師とのことである。 690409 -690409 Category:フランスの数学者 Category:微分幾何学者 Category:王立協会外国人会員 Category:フランス科学アカデミー会員 Category:モンペリエ大学の教員 Category:イゼール県出身の人物 Category:数学に関する記事 Category:1869年生 Category:1951年没.
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エニオン
ニオン (anyon) は、二次元の系においてのみ現れる粒子である。これは、フェルミ粒子およびボース粒子の概念を一般化したものである。.
オイラー類
数学において、特に代数トポロジーにおいて、レオンハルト・オイラー(Leonhard Euler)の名前のついたオイラー類(Euler class)は、(oriented)実ベクトルバンドルの特性類である。他の特性類と同様に、オイラー類は、ベクトルバンドルがどれくらい「ツイストしている」かを測る。オイラー類は古典的概念であるオイラー標数を、滑らかな多様体の接バンドルの場合へ一般化したものである。 本記事を通して、E → X は向き付けられた、(rank) r の実ベクトルバンドルである。.
カルタンの定理 (リー群)
数学において、リー群論の3つの結果が、エリ・カルタンにちなんで、カルタンの定理 (Cartan's theorem) と呼ばれている。.
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ガロア理論
ア理論（ガロアりろん、Galois theory）は、代数方程式や体の構造を "ガロア群" と呼ばれる群を用いて記述する理論。1830年代のエヴァリスト・ガロアによる代数方程式の冪根による可解性などの研究が由来。ガロアは当時、まだ確立されていなかった群や体の考えを方程式の研究に用いていた。 ガロア理論によれば、“ガロア拡大”と呼ばれる体の代数拡大について、拡大の自己同型群の閉部分群と、拡大の中間体との対応関係を記述することができる。.
キリング形式
数学において、 (Wilhelm Killing) の名に因むキリング形式 (Killing form) とは、リー群とリー環の理論において基本的な役割を果たす対称双線型形式である。.
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ゲルマン行列
ルマン行列（ゲルマンぎょうれつ, Gell-Mann matrices）とは、3次特殊ユニタリ群 の無限小変換の生成子をなす8つの複素行列の組。 に付随するリー代数の標準的な基底として、用いられる。ゲルマン行列はハドロンの分類において、対称性に基づくを提唱した米国の物理学者マレー・ゲルマンによって、導入された。.
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ゲージ理論
ージ理論（ゲージりろん、gauge theory）とは、連続的な局所変換の下でラグランジアンが不変となるような系を扱う場の理論である。.
ゲージ群
ージ群（げーじぐん）はゲージ変換に付随する群。 群の存在は対称性、すなわち保存量の存在を示唆している。 大統一理論においてそのゲージ群は SU3 × SU2 × U1を含んでいなければならず、その最小模型である SU5 モデルは陽子崩壊の予言に失敗しており排除されている。.
コンパクト群
数学において，コンパクト（位相）群とは位相がコンパクトな位相群である．コンパクト群は離散位相をいれた有限群の自然な一般化であり，重要な性質が持ち越される．コンパクト群は群作用と表現論に関してよく理解された理論を持つ． 以下では常に群はハウスドルフと仮定する．.
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シューアの補題
数学において、シューアの補題（シューアのほだい、Schur's lemma）とは、群の表現や代数の表現に関する基本的できわめて有用な定理である。群の場合には、シューアの補題は M と N が群 G の有限次元既約表現加群であり、φ が群の作用と可換な M から N への線型写像とすると、φ は可逆であるか、または φ.
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シューア多項式
数学において、シューア多項式(- たこうしき、英：Schur Polynomial)とは、自然数の分割でパラメトライズされたあるn変数対称多項式のことをいう。イサイ・シューアにちなんで名付けられたこの対称多項式は、基本対称多項式や完全対称多項式の一般化である。 表現論において、シューア多項式は、一般線型群の既約表現の指標である。シューア多項式は、すべての対称多項式からなる空間の基底となっている。2つのシューア多項式の積は、シューア多項式の非負整数係数一次結合に展開できる。この係数は、リトルウッド・リチャードソン則によって組合せ論的に記述される。さらに一般に2つの分割に対して定義される歪シューア多項式もシューア多項式と似た性質を持つことが知られている。.
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シンプレクティック同相写像
数学では、シンプレクティック同相(symplectomorphism)（あるいは、シンプレクティック写像(symplectic map)とも言う）は、シンプレクティック多様体のカテゴリでの同型のことを言う。古典力学では、シンプレクティック同相は、体積保存する写像で、相空間のシンプレクティック構造を保存する相空間の間の写像変換である。古典力学では正準変換と呼ばれる。.
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シンプレクティック簡約化
ンプレクティック簡約化とは、マースデンとワインシュタインによって示された「シンプレティック多様体の自由度低減定理」のこと。 これは解析力学におけるネーターの定理の一般化であるともみられる。.
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スピノール
数学および物理学におけるスピノル（spinor; スピノール、スピナー）は、特に直交群の理論に於いて空間ベクトルの概念を拡張する目的で導入された複素ベクトル空間の元である。これらが必要とされるのは、与えられた次元における回転群の全体構造を見るためには余分の次元を必要とするからである。 もっと形式的に、スピノルは与えられた二次形式付きベクトル空間から、代数的なあるいは量子化の手続きを用いることで構成される幾何学的な対象として定義することもできる。与えられた二次形式は、スピノルのいくつかことなる型を記述するかも知れない。与えられた型のスピノル全体の成す集合は、それ自身回転群の作用を持つ線型空間であるが、作用の符号について曖昧さがある。それゆえに、スピノル全体の空間は回転群のを導く。符号の曖昧さは、スピノル全体の空間を、スピン群 Spin(n) のある線型表現と見なすことによって除くこともできる。この形式的な観点では、スピノルについての多くの本質的で代数的な性質が（空間幾何での話に比べて）よりはっきり見て取れるが、もとの空間幾何との繋がりはわかりにくい。他にも、複素係数の使用が最小限に押さえられる。 一般のスピノルは、1913年にエリ・カルタンによって発見された。後に、スピノルは、電子や他のフェルミ粒子の内在する角運動量、即ちスピン角運動量の性質を研究するために、量子力学に適用された。今日、スピノルは物理学の様々な分野で用いられている。古典的に、が非相対論的な電子のスピンを記述するのに用いられた。ディラック方程式では、相対論的な電子の量子状態を数学的に記述する際に、ディラック・スピノルが必須となる。場の量子論では、相対論的な多粒子系の状態は、スピノルで記述される。 数学、殊に微分幾何学およびにおいて、スピノルが発見されて以来、代数的位相幾何学・微分位相幾何学、斜交幾何学、ゲージ理論、複素代数幾何、指数定理、および特殊ホロノミー などに対して幅広い応用がなされている。.
スピン群
数学 において、 スピン群（スピンぐん、spin group） Spin(n) は特殊直交群 SO(n) の二重被覆であり、従って、以下に記すリー群の短完全系列が存在する。 n > 2 に対し、Spin(n) は単連結であり、よって SO(n) の普遍被覆である。 従って、リー群 Spin(n) の次元は n(n − 1)/2 と特殊直交群と同じであり、リー環も特殊直交群のものと同じである。 Spin(n) は、クリフォード多元環 Cℓ(n) の乗法可逆元からなる部分群として構成できる。 n 次元実ユークリッド空間 Rn の標準的正値 2 次形式に対するクリフォード多元環および偶クリフォード多元環を夫々 Cℓ(n)、Cℓ0(n) と書く。 Cℓ(n) の乗法可逆元全体 Cℓ(n)× は乗法群になり、Cℓ0(n) の乗法可逆元全体 Cℓ0(n)× はその部分群になる。 X∈Cℓ(n)× に対して、 は Cℓ(n) の内部自己同型である。 一般クリフォード群 は、Cℓ(n)× の部分群で、特殊クリフォード群 も部分群である。 Cℓ(n) の主逆自己同型を J と書くとき、X∈Γ(n) のノルム は Cℓ(n) の中心の可逆元である。 準同型としてのノルム写像 ν の Γ0(n) への制限の核 Ker(ν|Γ0(n)) は、Spin(n) になる。.
スピン角運動量
ピン角運動量（スピンかくうんどうりょう、spin angular momentum）は、量子力学上の概念で、粒子が持つ固有の角運動量である。単にスピンとも呼ばれる。粒子の角運動量には、スピン以外にも粒子の回転運動に由来する角運動量である軌道角運動量が存在し、スピンと軌道角運動量の和を全角運動量と呼ぶ。ここでいう「粒子」は電子やクォークなどの素粒子であっても、ハドロンや原子核や原子など複数の素粒子から構成される複合粒子であってもよい。 「スピン」という名称はこの概念が粒子の「自転」のようなものだと捉えられたという歴史的理由によるものであるが、現在ではこのような解釈は正しいとは考えられていない。なぜなら、スピンは古典極限 において消滅する為、スピンの概念に対し、「自転」をはじめとした古典的な解釈を付け加えるのは全くの無意味だからであるランダウ＝リフシッツ小教程。 量子力学の他の物理量と同様、スピン角運動量は演算子を用いて定義される。この演算子(スピン角運動量演算子)は、スピンの回転軸の方向に対応して定義され、 軸、 軸、 軸方向のスピン演算子をそれぞれ\hat_x,\hat_y,\hat_z と書き表す。これらの演算子の固有値（＝これら演算子に対応するオブザーバブルを観測したときに得られる値）は整数もしくは半整数である値 を用いて、 と書き表せる。値 は、粒子のみに依存して決まり、スピン演算子の軸の方向には依存せずに決まる事が知られている。この を粒子のスピン量子数という。 スピン量子数が半整数 になる粒子をフェルミオン、整数 になる粒子をボゾンといい、両者の物理的性質は大きく異る(詳細はそれぞれの項目を参照)。2016年現在知られている範囲において、.
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セルバーグ跡公式
ルバーグ跡公式 (Selberg trace formula) とは、 で導入された、二乗可積分函数の空間 L2(G/Γ) 上の G のユニタリ表現の指標の表現である。ここに G はリー群で Γ は余有限 (cofinite) な離散群とする。指標は、G 上のある函数のトレースにより与えられる。 Γ がな場合とは、離散的な和へ表現が分解するときのことを言う。ここで、跡公式とは、有限群の誘導表現の指標の(Frobenius formula)の拡張である。Γ が実数 G.
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ソフス・リー
マリウス・ソフス・リー（Marius Sophus Lie, 1842年12月17日 - 1899年2月18日）は、ノルウェーの数学者 日本数学会編、『岩波数学辞典 第4版』、岩波書店、2007年、項目「リー」より。ISBN 978-4-00-080309-0 C3541 。.
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冪零群
群論における冪零群（べきれいぐん、nilpotent group）は、「ほとんど」アーベルな群である。この概念は、冪零群が可解群となるという事実に裏打ちされ、有限冪零群に対して位数が互いに素な二元は可換となる。有限冪零群はさらにでさえある。冪零群の概念の創始は1930年代におけるロシア人数学者の業績に帰せられる。 冪零群はガロワ理論において、また群の分類理論において、用いられる。あるいはまた、リー群の分類においても顕著である。 冪零あるいは降中心列・昇中心列といった用語は、（導来群を作る操作を、リー括弧積で代用した類似概念を用いて）リー環の理論においても用いられる（冪零リー環の項を参照）。.
円周群
数学における円周群（えんしゅうぐん、circle group; 円群）は の複素数（単位複素数）全体（つまり複素数平面上の単位円）\mathbb T.
内部自己同型
抽象代数学において、内部自己同型写像 (inner automorphism) は、ある操作をして、次に別の操作をして、次に最初の操作の逆をするような写像である。記号では、f^ \circ g \circ f (X) のように書ける。最初の行動と後に続くその逆の行動は、全体として得る結果を変えることもあれば（「傘をさして、雨の中を歩いて、傘をとじる」というのは単に「雨の中を歩く」のとは異なる結果になる）、変えないこともある（「左手の手袋を外し、右手の手袋を外し、左手の手袋をつける」のは「右手の手袋のみを外す」のと同じ結果になる）。 より正確には、群 の内部自己同型写像 は、 の任意の元 に対し によって定義される写像である。ここで a は G の与えられた固定された元であり、群の元の作用は右に起こると考える（なのでこれを読むとすれば「a かける x かける a−1」ということになる）。 元 を一つ固定して考えるとき、元 を の による共軛 (conjugate) （あるいは は によって と共軛である）と言い、 から を得る操作 を の による共役変換 (conjugation) または相似変換 (similarity transformation) と呼ぶ（共役類も参照）。また適当な によって の形に書けるような元を総称して の共軛元 (conjugate element) と呼ぶ。 1 つの元による共役が別の 1 つの元を変えない場合（上の「手袋」の場合）と共役によって新しい元が得られる場合（「傘」の場合）を区別することはしばしば興味の対象となる。 事実、 と言うことと と言うことは同値である。したがって、恒等写像でない内部自己同型の存在と個数は、群における交換法則の成り立たなさを測るようなものである。.
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商群
数学において，商群（しょうぐん，quotient group, factor group）あるいは剰余群，因子群とは，群構造を保つ同値関係を用いて，大きい群から似た元を集めて得られる群である．例えば，n を法とした加法の巡回群は，整数から，差が の倍数の元を同一視し，そのような各類（合同類と呼ばれる）に1つの実体として作用する群構造を定義することによって得られる．群論と呼ばれる数学の分野の一部である． 群の商において，単位元の同値類はつねにもとの群の正規部分群であり，他の同値類たちはちょうどその正規部分群の剰余類たちである．得られる商は と書かれる，ただし はもとの群で は正規部分群である．（これは「（ジーモッドエヌ）」と読まれる．"mod" は modulo の略である．） 商群の重要性の多くはその準同型との関係に由来する．第一同型定理は任意の群 の準同型による像はつねに のある商と同型であると述べている．具体的には，準同型 による の像は と同型である，ただし は の核 を表す． 商群の双対概念は部分群であり，これらが大きい群から小さい群を作る2つの主要な方法である．任意の正規部分群 は，大きい群から部分群 の元の間の差異を除去して得られる，対応する商群を持つ．圏論では，商群は商対象の例であり，これは部分対象の双対である．商対象の他の例は，商環，商線型空間，商位相空間，商集合を参照．.
八元数
数学における八元数（はちげんすう、octonions; オクトニオン）の全体は実数体上のノルム多元体で、ふつう大文字アルファベットの O を使って、太字の O（あるいは黒板太字の 𝕆）で表される。実数体上のノルム多元体はたった四種類であり、O のほかは、実数の全体 R, 複素数の全体 C, 四元数の全体 H しかない。O はこれらノルム多元体の中で最大のもので、実八次元、これは H の次元の二倍である（O は H を拡大して得られる）。八元数の全体 O における乗法は非可換かつ非結合的だが、弱い形の結合性である冪結合律は満足する。 より広く調べられ利用されている四元数や複素数に比べれば、八元数についてはそれほどよく知られているわけではない。にもかかわらず、八元数にはいくつも興味深い性質があり、それに関連して（例外型リー群が持つような）例外的な構造もいくつも備えている。加えて、八元数は弦理論などといった分野に応用を持っている。 八元数は、ハミルトンの四元数の発見に刺激を受けたジョン・グレイヴスによって1843年に発見され、グレイヴスはこれを octaves と呼んだ。それとは独立にケイリーも八元数を発見しており、八元数のことをケイリー数、その全体をケイリー代数と呼ぶことがある。.
回転 (数学)
平面における点 ''O'' の周りでの回転 初等幾何学および線型代数学における回転（かいてん、rotation）は、平面あるいは空間において固定された一点の周りでの剛体の運動を記述する。回転は、不動点を持たない平行移動とは違うし、剛体を「裏返し」にしてしまう鏡映とも異なる。回転を含めたこれらの変換は等距変換、即ちこれらの変換の前後で二点間の距離を変えない。 回転を考える際には基準系を知ることが重要であり、全ての回転はある特定の基準系に対するものとして記述される。一般に、ある座標系に関する剛体の任意の直交変換に対し、その逆変換が存在して、それを基準系に施すと剛体はもとと同じ座標にいることになる。例えば二次元の座標上の1点を定めて剛体を置いた時、1点を軸として剛体を時計回りに回すことと、剛体を動かさず1点を軸として座標を反時計回りに回すことは等価である。.
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回転群
（n 次の）回転群（かいてんぐん、rotation group）あるいは特殊直交群（とくしゅちょっこうぐん、special orthogonal group）とは、n行n列の直交行列であって、行列式が1のもの全体が行列の乗法に関してなす群をいう。SO(n) と書く。 SO(n) はコンパクトリー群であり、n.
四元数
数学における四元数（しげんすう、quaternion（クォターニオン））は複素数を拡張した数体系である。四元数についての最初の記述は、1843年にアイルランドの数学者ウィリアム・ローワン・ハミルトンによってなされ、三次元空間の力学に応用された。四元数の特徴は、二つの四元数の積が非可換となることである。ハミルトンは、四元数を三次元空間内の二つの有向直線の商として定義した。これは二つのベクトルの商と言っても同じである。四元数をスカラーと三次元のベクトルとの和として表すこともできる。 一般に、四元数は の形に表される。ここで、 a, b, c, d は実数であり、i, j, k は基本的な「四元数の単位」である。 四元数は純粋数学のみならず応用数学、特に3Dグラフィクスやコンピュータビジョンにおいてでも用いられる。これはオイラー角や回転行列あるいはそれらに代わる道具などとともに、必要に応じて利用される。 現代数学的な言い方をすれば、四元数の全体は実数体上四次元の結合的ノルム多元体を成し、またそれゆえに非可換整域となる。歴史的には四元数の体系は、最初に発見された非可換多元体である。四元数全体の成すこの代数は、ハミルトンに因んで H（あるいは黒板太文字でユニコードの Double-Struck Capital H, U+210D, ）と書かれる。またこの代数を、クリフォード代数の分類に従って というクリフォード代数として定義することもできる。この代数 は解析学において特別な位置を占めている。というのも、フロベニウスの定理に従えば は実数の全体 を真の部分環として含む有限次元可除環の二種類しかないうちの一つ（もう一つは複素数の全体 ）だからである。 従って、単位四元数は三次元球面 上の群構造を選んだものとして考えることができて、群 を与える。これは に同型、あるいはまた の普遍被覆に同型である。.
球函数に対するプランシュレルの定理
数学における球函数に対するプランシュレルの定理（プランシュレンのていり、Plancherel theorem for spherical functions）は半単純リー群の表現論における重要な結果で、最終形はハリッシュ＝チャンドラによる。この定理は、古典調和解析に属する実数の加法群の表現論におけるプランシュレルの公式およびフーリエ変転公式の、非可換調和解析における自然な一般化であり、微分方程式論とも同様に近しい相互関係を持つ。 「球函数に対するプランシュレルの定理」は、半単純リー群に対する一般のプランシュレルの定理（これもハリッシュ＝チャンドラが示した）の、帯球函数に対する特別の場合である。プランシュレルの定理は、対応付けられた対称空間 X 上のラプラス作用素に対する球対称函数 (radial function) の固有函数展開を与えるものであり、また L2(X) 上の正則表現の、既約表現への直積分分解をも与えるものである。双曲空間の場合には、これらの展開はメーラー、ワイル、フォックによる既知の結果として知られていた。 主要な参考文献として、網羅的な教科書 にこの主題に関する話題がほとんど全て載っている。.
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等質空間
数学、とくにリー群、代数群、位相群の理論において、群 の等質空間（とうしつくうかん、homogeneous space）は、 が推移的に作用するような空でない多様体あるいは位相空間 である。 の元は の対称変換 (symmetry) と呼ばれる。特別な場合は、問題の が空間 の自己同型群であるときである――ここで「自己同型群」は、微分同相群、あるいはの意味である。この場合 が等質空間であるとは、直感的には が、等長写像（リジッド幾何学）、微分同相写像（微分幾何学）、あるいは同相写像（位相幾何学）の意味において、各点で局所的に同じに見えるということである。著者によっては の作用が忠実である（非単位元は非自明に作用する）ことを要求するが、本記事ではそうしない。したがって、 上のある「幾何学的構造」を保ち を単一の G-軌道にすると考えられるような の への群作用が存在する。.
簡約群
数学における簡約群（reductive group）とは冪単根基が自明となる代数閉体上の代数群のことである。代数的トーラスや一般線形群など任意の半単純代数群は簡約となる。一般の代数体上の場合には、代数閉包上で冪単根基が自明となるような滑らかなアフィン代数群を簡約代数群と呼ぶ。ここで代数閉包への移行は、定義体が有限体上の関数体などの不完全体（imperfect field）となる場合に必要である。（必ずしも完全でない）体 k 上の代数群で k-冪単根基が自明となるものは:en:pseudo-reductive groupと呼ばれる。簡約群の名称は線形表現の完全可約性から来ており、標数0の代数群の表現に対して成り立つ性質である。（これは代数群としての表現にのみ適応される。離散群としての有限次元表現は標数0の場合でさえ必ずしも完全可約にならない。）Haboushの定理は、幾何学的簡約性と呼ばれるより弱い条件が正標数の場合の簡約群に対しても成立していることを示す。 G ≤ GLn を滑らかなk-閉部分群としたとき、k 上の n 次元アフィン空間への作用が既約であるならば G は簡約である。 そのため GLn 及び SLn は簡約である（後者はより強く半単純となる）。.
線型代数学
線型代数学（せんけいだいすうがく、linear algebra）とは、線型空間と線型変換を中心とした理論を研究する代数学の一分野である。現代数学において基礎的な役割を果たし、幅広い分野に応用されている。また、これは特に行列・行列式・連立一次方程式に関する理論を含む。線形などの用字・表記の揺れについては線型性を参照。 日本の大学においては、多くの理系学部学科で解析学（微分積分学）とともに初学年から履修する。なお、高校教育においては平成27年度からの新課程では行列の分野が除外されている。.
群 (数学)
数学における群（ぐん、group）とは最も基本的と見なされる代数的構造の一つである。群はそれ自体興味深い考察対象であり、群論における主要な研究対象となっているが、数学や物理学全般にわたってさまざまな構成に対する基礎的な枠組みを与えている。.
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群作用
数学における群作用（ぐんさよう、group action）は、群を用いて物体の対称性を記述する方法である。.
群論
群論（ぐんろん、group theory）とは、群を研究する学問。 群の概念は抽象代数学における中心的な概念。 環・体・ベクトル空間などは、演算や公理が付与された群と看做すことができる。 群論の方法は代数学の大部分に強い影響を与えている。 線形代数群とリー群の理論は群論の一分野。 特に発展を遂げており、独自の適用範囲を持っている。 結晶や、水素原子などの構造の多くは、対称性の群(symmetry group)で表現できる。このように、群論は、物理学や化学の中に多くの実例・応用例がある。 1960年代～80年代に発表された総計1万ページを超える論文によって、完全な有限単純群の分類が達成された。これは多くの数学者の共同作業の賜物であり、20世紀の数学の最も重要な業績の一つ。.
環 (数学)
数学における環（かん、ring）は、台集合に「加法」（和）および「乗法」（積）と呼ばれる二種類の二項演算を備えた代数系になっており、最もよく知られた環の例は、整数全体の成す集合に自然な加法と乗法を考えたものである（これは乗法が可換だから可換環の例でもある）。ただし、それが環と呼ばれるためには、環の公理として、加法は可換で、加法と乗法はともに結合的であって、乗法は加法の上に分配的で、各元は加法逆元をもち、加法単位元が存在すること、が全て要求される。従って、台集合は加法のもと「加法群」と呼ばれるアーベル群を成し、乗法のもと「乗法半群」と呼ばれる半群であって、乗法は加法に対して分配的であり、またしばしば乗法単位元を持つ乗法に関しては半群となることのみを課す（乗法単位元の存在を要求しない）こともある。定義に関する注意節を参照。なお、よく用いられる環の定義としていくつか流儀の異なるものが存在するが、それについては後述する。 環について研究する数学の分野は環論として知られる。環論学者が研究するのは（整数環や多項式環などの）よく知られた数学的構造やもっと他の環論の公理を満足する多くの未だよく知られていない数学的構造のいずれにも共通する性質についてである。環という構造のもつ遍在性は、数学の様々な分野において同時多発的に行われた「代数化」の動きの中心原理として働くことになった。 また、環論は基本的な物理法則（の根底にある特殊相対性）や物質化学における対称現象の理解にも寄与する。 環の概念は、1880年代のデデキントに始まる、フェルマーの最終定理に対する証明の試みの中で形成されていった。他分野（主に数論）からの寄与もあって、環の概念は一般化されていき、1920年代のうちにエミー・ネーター、ヴォルフガング・クルルらによって確立される。活発に研究が行われている数学の分野としての現代的な環論では、独特の方法論で環を研究している。すなわち、環を調べるために様々な概念を導入して、環をより小さなよく分かっている断片に分解する（イデアルをつかって剰余環を作り、単純環に帰着するなど）。こういった抽象的な性質に加えて、環論では可換環と非可換環を様々な点で分けて考える（前者は代数的数論や代数幾何学の範疇に属する）。特に豊かな理論が展開された特別な種類の可換環として、可換体があり、独自に体論と呼ばれる分野が形成されている。これに対応する非可換環の理論として、非可換可除環（斜体）が盛んに研究されている。なお、1980年代にアラン・コンヌによって非可換環と幾何学の間の奇妙な関連性が指摘されて以来、非可換幾何学が環論の分野として活発になってきている。.
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物理学に関する記事の一覧
物理学用語の一覧。物理学者名は含まない。;他の物理学関係の一覧.
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特殊ユニタリ群
次の特殊ユニタリ群（とくしゅユニタリぐん、special unitary group） とは、行列式が1の 次ユニタリ行列の為す群の事である。群の演算は行列の積で与えられる。 特殊ユニタリ群 はユニタリ群 の部分群であり、さらに一般線型群 の部分群である。 特殊ユニタリ群は素粒子物理学において、電弱相互作用のワインバーグ＝サラム理論や強い相互作用の量子色力学、あるいはそれらを統合した標準模型や大統一理論などに出てくる。.
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特殊線型群
数学において、 体 上の次数 の特殊線型群（とくしゅせんけいぐん、special linear group）とは、 行列式が である 次正方行列のなす集合に、通常の行列の積と逆行列の演算が入った群である。この群は、行列式 の核として得られる、一般線型群 の正規部分群である。 ここで は の乗法群（つまり、 から を除いた集合）を表す。 特殊線型群の元は「特殊な」もの、つまりある多項式が定める一般線型群の部分代数多様体、である（行列式は多項式であることに注意）。.
直交群
数学において、 次元の直交群（ちょっこうぐん、orthogonal group）とは、 次元ユークリッド空間上のある固定された点を保つような距離を保つ変換全体からなる群であり、群の演算は変換の合成によって与える。 と表記する。同値な別の定義をすれば、直交群とは、元が の実直交行列であり、群の積が行列の積によって与えられるものをいう。直交行列とは、逆行列がもとの行列の転置と等しくなるような行列のことである。 直交行列の行列式は か である。 の重要な部分群である特殊直交群 は行列式が である直交行列からなる。この群は回転群ともよばれ、例えば次元 2 や 3 では、群の元が表す変換は（2次元における）点や（3次元における）直線のまわりの通常の回転である。低次元ではこれらの群の性質は幅広く研究されている。 用語「直交群」は上の定義を一般化して、体上のベクトル空間における非退化な対称双線型形式や二次形式基礎体の標数が でなければ、対称双線型形式と二次形式のどちらを使っても同値である。を保つような、可逆な線形作用素全体からなる群を表すことがある。特に、体 上の 次元ベクトル空間 上の双線型形式がドット積で与えられ、二次形式が二乗の和で与えられるとき、これに対応する直交群 は、群の元が 成分 直交行列で群の積を行列の積で定めるものである。これは一般線形群 の部分群であって、以下の形で与えられる。 ここで は の転置であり、 は単位行列である。.
E
Eは、ラテン文字（アルファベット）の5番目の文字。小文字は e 。ギリシャ文字のΕ（エプシロン）に由来し、キリル文字のЕに相当する。.
E8
E8.
E8 (数学)
E8 E8とは、248次元, 階数8の例外型単純リー群である。は、2007年 "An Exceptionally Simple Theory of Everything" において、E8の幾何構造に基づく万物の理論を発表している。.
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階数
記載なし。
随伴表現
リー群のリー環上への随伴表現（ずいはんひょうげん、adjoint representation）とは、リー群の元をリー環のある種の線型変換として表したものをいう。.
非可換調和解析
数学の一分野としての非可換調和解析（ひかかんちょうわかいせき、noncommutative harmonic analysis）は、フーリエ解析における結果を可換とは限らない位相群に対するものへ拡張することを研究する。局所コンパクト可換群の調和解析においては、フーリエ級数やフーリエ変換の基本構造などを含む深い理論（ポントリャーギン双対性）が知られているので、非可換調和解析の主要な行動原理としては、それらの理論を任意の局所コンパクト群 G に対する理論へ拡張することを考えるのが普通である。コンパクト群の場合には、1920年代以降ピーター・ワイルの定理により定性的に理解されていて、それは一般に有限群とその指標理論の類似対応物となっている。 故に非可換調和解析の主な課題は、G がコンパクトでも可換でもないような局所コンパクト群の場合である。そういった群の中には興味深い例として、多くのリー群および ''p''-進体上の代数群などが含まれる。これらは数理物理学、および当代の数論（特に保型表現論）においても興味深くよく応用される。 期待すべきことはフォンノイマンの基本的な仕事の結果として知られる。即ちフォンノイマンは、G のフォンノイマン群環が I-型ならば、G のユニタリ表現としての L2(G) は既約表現の直積分に分解されることを示した。これはつまり、ユニタリ表現の同型類全体の成す集合（にを入れたユニタリ双対群）で径数付けられることを意味する。プランシュレルの定理の類似は、ユニタリ双対群上の測度であるプランシュレル測度をそれによる直積分をとることと同一視することによって抽象的に与えられる（ポントリャーギン双対性の場合、プランシュレル測度は G の双対群上のあるハール測度に一致するので、従ってその正規化だけが問題である）。一般の局所コンパクト群の場合、あるいは可算離散群の場合でさえも、そのフォンノイマン群環は必ずしも I-型とは限らず、そして G の正則表現が（ユニタリかつ完全可約であったとしても）既約表現の言葉で書けないことが起こり得る。例えば無限対称群がそうで、そのフォンノイマン群環は、超有限 II1-型因子環になる。更なる理論ではプランシュレル測度は離散と連続の部分に分解される。半単純群および可解リー群のクラスに対しては、非常に詳しい理論が得られている。.
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非線型シグマモデル
場の量子論において、非線型シグマモデル (nonlinear σ model) は、対象多様体と呼ばれる非線型多様体 T 上に値をとるスカラー場 である。非線型シグマモデルは により導入され、彼らのモデルの中の σ と呼ばれるスピンを持たないメソンに対応する場に因んで命名された。.
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表現 (数学)
数学における表現（ひょうげん、representation, Darstellung）とは、ある体系に対してそれを類型的に書き表すことのできる数理モデルを構成すること、あるいは構成されたモデルそのもののことを言う。公理によって定義される抽象空間、たとえばユークリッド空間のようなものに座標を入れて数の組からなる空間 Rn と見なしたり、たとえば抽象群のようなものをある具体的な空間上の変換群として表すような、扱いやすさ・具体性を増すようなものが通常は扱われる。 線型写像の行列による表現（行列表現）や、群の置換による表現（置換表現）などは典型的な表現の例である。とくに、ガロア理論（ガロアの逆問題）はガロア群を根の置換として表すという意味で表現の理論の一つであるということができる。また ''p'' 進数の概念は類体論の研究において代数関数の類似物として有理数を“表現”することによってクルト・ヘンゼルが得たものである。 構成される表現は多くの場合、もとの体系に対して何らかの意味で「潰れている」。潰れていない表現は忠実 (faithful) であるとか同型的 (isomorphic) であるなどという。忠実な表現はもちろん重要であるが、一般にはある体系の表現の全体というものを考えることによってもとの体系を「復元」することが興味の対象となる。したがって、表現の分類によってもとの体系を特徴付けることが、表現に関する理論の研究の大きな指針の一つとなる。あるいは表現の仕方に依らずに決まる性質を抽出することによって元の体系の分類を与えるようなことも考えられる。 一般に表現論と呼ばれる分野では、典型的に群や環などといった代数系（一般にはリー群やリー環のような位相を伴う系）の線型空間・射影空間あるいはもっと一般の加群などにおける表現（線型表現・射影表現）が取り扱われる。これはつまり、作用を持つ加群の理論である。そこでは抽象的な群・環を線型写像の成す群・環として、とくに有限次元空間における表現はさらに行列によって、書き表されることになり、古典群と呼ばれる一般線型群の代数的な部分群・商群たちやその上の調和解析が、関数解析学や組合せ論などの言葉を用いて展開される。線型表現などでは特に、空間に係数が考えられるため、係数の取替えによる類似の議論や類似物の構成がしばしば行われるが、標数 0 の場合の通常表現や正標数の場合のモジュラー表現などを比較すると、それらの様子は大きく変わってくる。.
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表現論
表現論（ひょうげんろん、representation theory）とは、ベクトル空間の線型変換として代数構造を表現することにより研究し、代数構造上の加群を研究する数学の一分野である。本質的には、表現は抽象的な代数的構造を、その元と演算を行列と行列の和や行列の積で記述することで、より具体的にする。この記述で扱われる代数的対象は、群や結合代数やリー代数がある。これらの中で最も優れているものは、歴史的にも最初に現れた群の表現論であり、群の演算が群の要素が行列の積により正則行列で表現されている。 Classic texts on representation theory include and.
行列の対数
数学において、行列の対数（Logarithm of a matrix）とは、行列の指数関数を施したとき与えられた行列と一致するようなもう一つの行列をいう。つまり行列の対数函数は、スカラー変数スカラー値の対数函数の一般化であり、また行列の指数関数のある意味での逆関数を与えるものとなる。必ずしも全ての行列がその対数を持つわけではなく、また対数を持つ場合であっても複数の行列を対数として持ち得る。対数を持つ行列は何らかのリー群に属し、かつ、その対数はそのリー群に付随するリー代数の元に対応するため、行列の対数函数の研究はにつながる。.
行列要素
数学における行列要素（ぎようれつようそ、matrix element）、成分 (matrix entry) あるいは係数 (matrix coefficient) は、群上の特別な形の函数で、その群の線型表現と付加的なデータに依存するものである 有限群に対する行列要素は、その群の元の特定の表現に関する作用に対応する行列の成分として表すことができる。 リー群の表現の行列要素は、特殊函数論と緊密な関係を持ち、理論の大部分を統一的に扱う方法を与える。行列要素の増加性質は、局所コンパクト群（特に簡約実および -進群）の既約表現の分類において重大な役割を持つ。行列要素を用いた方法論は、モジュラー形式の概念に莫大な一般化をもたらした。別な方向では、ある種の力学系の持つが、適当な行列要素の性質によって制御される。.
行列指数関数
線型代数学における行列の指数関数（ぎょうれつのしすうかんすう、matrix exponential; 行列乗）は、正方行列に対して定義されるで、通常の（実または複素変数の）指数関数に対応するものである。より抽象的には、行列リー群とその行列リー代数の間の対応関係（指数写像）を行列の指数函数が記述する。 実または複素行列 の指数関数 または は、冪級数 で定義される -次正方行列である。この級数は任意の に対して収束するから、行列 の指数関数は well-defined である。 が 行列のとき、-乗 は 行列であり、その唯一の成分は の唯一の成分に対する通常の指数関数に一致する。これらはしばしば同一視される。この意味において行列の指数函数は、通常の指数函数の一般化である。.
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被覆空間
数学、特に代数トポロジーにおいて、被覆写像(covering map)あるいは被覆射影(covering projection)とは、位相空間 C から X への連続全射 p のうち、 X の各点が p により「均一に被覆される」開近傍をもつものをいう。厳密な定義は追って与える。このとき C を被覆空間(covering space)、X を底空間(base space)と呼ぶ。この定義は、すべての被覆写像は局所同相であることを意味する。 被覆空間はホモトピー論、調和解析、リーマン幾何学、微分幾何学で重要な役割を果たす。たとえば、リーマン幾何学では、分岐は、被覆写像の考え方の一般化である。また、被覆写像はホモトピー群、特に基本群の研究とも深く関係する： X が十分によい位相空間であれば、X の被覆の同値類の集合と 基本群 π1(X) の共役な部分群の類全体との間に全単射が存在する（被覆の分類定理）。 from a topological space, C, to a topological space, X, such that each point in X has an open neighbourhood evenly covered by p (as shown in the image); the precise definition is given below.
複素多様体
微分幾何学で複素多様体（ふくそたようたい、complex manifold）とは、多様体上の各点の開近傍が、Cn の中の単位開円板への正則な座標変換を持つ多様体のことを言う。座標変換が正則である場合には、Cn の中で、コーシー・リーマンの方程式の制約を受ける。 複素多様体という言葉は、上の意味で可積分複素多様体として特徴づけることができる。 One must use the open unit disk in Cn as the model space instead of Cn because these are not isomorphic, unlike for real manifolds.
調和解析
数学の一分野としての調和解析（ちょうわかいせき、Harmonic analysis）は、関数や信号を基本波の重ね合わせとして表現することに関わるもので、フーリエ級数やフーリエ変換及びその一般化について研究する分野である。19世紀から20世紀を通じて、調和解析の扱う主題は広く、応用も信号処理、量子力学、神経科学など多岐にわたる。 「調和 (harmonic)」の語は、もとは物理的な固有値問題から来たもので、（楽器の弦における調和振動の周波数のように）周波数が他の周波数の整数倍となっているような波を意図したものであるが、現在ではその原義を超えて一般化した使い方をされる。 上の古典フーリエ変換は未だ活発な研究の成されている領域であり、特により一般の緩増加超関数などの対象についてのフーリエ変換に関心が持たれる。例えば、シュワルツ超関数 に適当な仮定を課すときに、それらの仮定を のフーリエ変換に関する仮定に翻訳することを考えることができる。はその一例である。ペイリー・ウィーナーの定理からすぐに従うことに、 がコンパクト台を持つ非零超関数（これにはコンパクト台を持つ関数ももちろん含まれる）ならばそのフーリエ変換がコンパクト台を持つことは起こりえない。これは調和解析的な設定のもとでの非常に初等的な形の不確定性原理と言うことができる（フーリエ級数の収束も参照）。 フーリエ級数はヒルベルト空間論の文脈でも有効に調べられており、調和解析と関数解析学とを結ぶものとなっている。.
超球面
数学において、 次元球面（-じげんきゅうめん、n-sphere, n 球面）は普通の球面の ''n'' 次元空間への一般化である。任意の自然数 n に対して、半径 r の n 次元球面は中心点から距離 r にある (n + 1) 次元ユークリッド空間における点の集合として定義される。ここで半径 r は任意の正の実数でよい。したがって、原点を中心とする n 次元球面は によって定義される。これは (n + 1) 次元ユークリッド空間内に存在する n 次元多様体である。 特に：.
跡 (線型代数学)
数学、特に線型代数学における行列の跡（せき、trace; トレース、Spur; シュプール）あるいは対角和（たいかくわ）は行列の主対角成分の総和である。それは基底変換に関して不変であり、また固有値の総和（固有値和）に等しい。即ち、行列の跡は行列の相似を除いて定まり、したがって一般に行列に対応する線型写像の跡として定義することができる。 行列の跡は、正方行列に対してのみ定義されることに注意せよ。この語は（この同じ数学的対象を意味する）ドイツ語のSpurからの翻訳借用である。.
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部分多様体
部分多様体（submanifold）とは多様体 M の部分集合 S であって、それ自体も多様体構造を持つものを指す。このとき、包含写像 i: S → M の性質によって、部分多様体はいくつかの種類に分けられる。.
関手
圏論における関手（かんしゅ、functor）は、圏から圏への構造と両立する対応付けである。関手によって一つの数学体系から別の体系への組織的な対応が定式化される。関手は「圏の圏」における射と考えることもできる。 関手の概念の萌芽はエヴァリスト・ガロアによる群を用いた代数方程式の研究に見ることができる。20世紀はじめのエミー・ネーターらによる加群の研究において拡大加群などさまざまな関手的構成が蓄積された。20世紀半ばの代数的位相幾何学において実際に関手が定義され、図形から様々な「自然な」代数的構造を取り出す操作を定式化するために利用された。ここでは（基本群のような）代数的対象が位相空間から導かれ、位相空間の間の連続写像は基本群の間の代数的準同型を導いている。その後アレクサンドル・グロタンディークらによる代数幾何学の変革の中でさまざまな数学的対象の関手による定式化が徹底的に追求された。.
量子力学の数学的定式化
本項では相対論的効果を考えない量子力学の数学的定式化（りょうしりきがくのすうがくてきていしきか）を厳密に述べる。本項では量子力学に対する最低限の知識を仮定する。.
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量子群
数学と理論物理学において、用語量子群（りょうしぐん、quantum group）は付加構造を持った様々な種類の非可換代数を指す。一般に、量子群はある種のホップ代数である。ただ1つの包括的な定義があるわけではなく、広範に類似した対象の族がある。 用語「量子群」は最初量子可積分系の理論において現れた。ウラジーミル・ドリンフェルト (Володи́мир Дрі́нфельд) と神保道夫によってホップ代数のある特定のクラスとして定義されたのだった。同じ用語は古典リー群あるいはリー環を変形したあるいはそれに近い他のホップ代数に対しても用いられる。例えば、ドリンフェルトと神保の仕事の少し後にによって導入された、量子群の `bicrossproduct' のクラスである。 ドリンフェルトのアプローチでは、量子群は補助的なパラメーター q あるいは h に依存したホップ代数として生じる。この代数は、q.
離散空間
数学の位相空間論周辺分野における離散空間（りさんくうかん、discrete space）は、その点がすべてある意味で互いに「孤立」しているような空間で、位相空間（またはそれと同様の構造）の非常に単純で極端な例の一つを与える。.
離散群
数学において，位相群 の離散部分群（りさんぶぶんぐん，discrete subgroup）とは，部分群 であって， の開被覆で任意の開部分集合が の元をちょうどひとつ含むようなものが存在するものである．言い換えると， の における部分空間位相は離散位相である．例えば，整数の全体 は実数の全体 （標準的な距離位相をいれる）の離散部分群であるが，有理数の全体 は離散部分群ではない．離散群とは離散位相を備えた位相群である． 任意の群には離散位相を与えることができる．離散空間からの任意の写像は連続であるから，離散群の間の位相的準同型はちょうどその群の間の群準同型である．したがって，群の圏と離散群の圏の間には同型がある．離散群はしたがってその（抽象）群と同一視できる． 位相群あるいはリー群に「自然に逆らって」離散位相を入れると有用な場合がある．例えばの理論やリー群の群コホモロジーにおいてである． 離散は距離空間の任意の点に対して等長変換のもとでの点の像の集合が離散集合であるような等長変換群である．離散は離散等長変換群である対称変換群である．.
S-双対
論物理学では、S-双対(S-duality)は、2つの物理理論の等価のことで、この物理理論は場の量子論でも弦理論でもよい。S-双対は、計算することが難しい理論をより計算し易い理論に結びつけるので、理論物理で計算する際に有益である。Frenkel 2009, p.2 場の量子論では、S-双対性は、古典電磁気学で良く知られた事実、すなわち、電場と磁場の交換の下にマクスウェルの方程式の不変であると言う事実を一般化したものである。場の量子論で最も早く知られたS-双対の例の一つは、(Montonen-Olive duality)で、N.
WZWモデル
論物理学および数学において、ベス・ズミノ・ウィッテンモデル (Wess–Zumino–Witten (WZW) model) とは、アフィン・カッツ・ムーディ代数が解となるような単純な共形場理論モデルのことを言う。WZWモデルと省略されたり、ベス・ズミノ・ノヴィコフ・ウィッテンモデル(Wess–Zumino–Novikov–Witten model)とも言う。命名は(Julius Wess)、、セルゲイ・ノヴィコフ(Sergei Novikov)とエドワード・ウィッテン(Edward Witten)による 。.
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接続 (主束)
数学における接続（せつぞく）とは、多様体上に定められた様々なファイバー束について、ファイバーの間の平行移動を与える微分方程式的な概念である。この項では特にリー群を構造群とする主束の接続について解説する。 主束の接続を決めることは、束の全空間の接空間のなかで構造群の作用によって不変な「水平な方向」を定めること同じである。したがって、主束の接続はシャルル・エーレスマンによって導入された エーレスマン接続の特別なものと見なすことができる。 主束上に接続が与えられると、構造群の線形表現に付随するベクトル束に対してベクトル束の接続・共変微分を誘導することができる。また、リーマン多様体のレヴィ・チビタ接続など多くの幾何学的に重要な概念が主束の接続として定式化されている。.
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接続 (幾何学)
微分幾何学において、接続（せつぞく、connection）の考え方により、曲線や曲線の族にそって平行で整合性を持つデータの移動の考え方を詳しく示すことができる。 現代の幾何学には多くの種類の接続の考え方があり、移動したいデータが何であるかに依存する。例えば、アフィン接続は接続の最も基本的なタイプであるが、この接続はある曲線に沿ってある点から別な点へ多様体の接ベクトルを移動することを意味する。アフィン接続は、典型的には共変な微分形式として与えられ、ベクトル場の方向微分、つまり与えられた方向へのベクトル場の無限小移動をとることを意味する。 現代の幾何学では接続は非常に重要である。大きな理由は、接続によりある点での局所幾何学と別な点での局所幾何学を比較することが可能となるからである。微分幾何学は、接続の考え方のいくつかの変形を持っている。大きなグループ分けをすると 2つのグループがあり、局所の理論と無限小の理論である。局所理論は、やの考え方に最初から関係する。無限小の理論は、幾何学的なデータの微分と関係する。このように、共変微分は多様体上のベクトル場を他のベクトル場に沿った微分として特定することである。は、微分形式やリー群を使い接続の理論をある側面から定式化する方法である。は、許される場の運動方向を特定することによるファイバーバンドル、あるいは主バンドルでの接続のことを言う。は、ベクトルバンドルへ一般化したときの接続である。（本記事では、ベクトルバンドルについて接続を考えるとき、「Koszul接続」という単語を用いることとする．） さらに接続は、曲率や捩れテンソルような、幾何学的不変量をうまく定式化することにも使われる（曲率テンソルや曲率形式も参照）。.
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接続形式
数学、特に微分幾何学では、接続形式(connection form)は、微分形式や(moving frame)のことばを使うことにより、接続のデータを構成する方法である。 歴史的には、接続形式はエリ・カルタン(Élie Cartan)により20世紀の前半に導入された。これは彼の動標構の方法の一部であり、彼の主要な動機であった。接続形式は標構(frame)（座標系）の選択に依存するので、テンソル的な対象ではない。接続形式の様々な一般化や再解釈がカルタンの一連の初期の仕事で定式化された。特に、主バンドル上の接続は、テンソル的な対象として接続形式の自然な再解釈を持っている。他方、接続形式は抽象的な主バンドル上というよりは、むしろ微分可能多様体(differentiable manifold)上に定義された微分形式であるという利点を持っている。従って、テンソル性がないにもかかわらず、それらの計算の実行が比較的容易なため、接続形式は使われ続けている。 また、物理学でも、接続形式は(gauge covariant derivative)を通して、ゲージ理論の脈絡で広く使われている。 接続形式は、微分形式の行列のなすベクトルバンドルの各々の基底に結びついている。接続形式は、基底変換でレヴィ・チヴィタ接続のクリストッフェル記号と同一な方法で、変換写像(transition functions)の外微分である変換をする。接続形式の主なテンソル的な不変量は、接続形式の曲率形式である。接バンドルとベクトルバンドルを同一視する(solder form)があるときは、別の不変量があり、捩れ率形式と言われる。多くの場合、接続形式は、ベクトルバンドルに構造群がリー群であるファイバーバンドルの構造を付加したものと考えられる。.
接束
微分幾何学において、可微分多様体 の接束（せっそく、tangent bundle, 接バンドル、タンジェントバンドル) は の接空間の非交和である。つまり、.
格子 (数学)
数学における、特に初等幾何学および群論における、n-次元空間 Rn 内の格子（こうし、lattice）とは、実ベクトル空間 Rn を生成するような Rn の離散部分群をいう。すなわち、Rn の任意の格子は、ベクトル空間としての基底から、その整数係数線型結合の全体として得られる。ひとつの格子は、その基本領域あるいはによる正多面体空間充填 (regular tiling) と見ることもできる。 格子には多くの顕著な応用があり、純粋数学では特にリー環論、数論および群論に関係がある。応用数学でいえば、まず暗号理論において、いくつかの格子問題の計算が困難であることに起因する符号理論に関連する。また、物理科学においてもいくつかのやり方で応用があり、例えば物質科学および固体物理学では、「格子」は結晶構造の「枠組み」の同義語であり、結晶において原子や分子が隣接して占める正多面体状の三次元的な空間配列を意味する。より一般に、物理学において格子モデルが（しばしば計算物理の手法を用いて）研究される。.
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極大トーラス
の数学的理論において特別な役割はトーラス部分群によって、とくに極大トーラス (maximal torus) 部分群によって果たされる。 コンパクトリー群 G のトーラス (torus) とは G のコンパクト連結可換部分リー群（したがって標準的なトーラス Tn に同型）である。極大トーラス (maximal torus) はそのような部分群の中で極大なものである。すなわち、T を含む任意のトーラス T′ に対して T.
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正則表現 (数学)
数学、特に群の表現論において、群 G の正則表現（せいそくひょうげん、regular representation）とは、G の G 自身への移動による群作用によって与えられる線型表現を言う。 左移動により与えられる左正則表現 (left regular representation) λ と右移動の逆により与えられる右正則表現 (right regular representation) ρ がある。.
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正則行列
正則行列（せいそくぎょうれつ、regular matrix）、非特異行列（ひとくいぎょうれつ、non-singular matrix）あるいは可逆行列（かぎゃくぎょうれつ、invertible matrix）とは行列の通常の積に関する逆元を持つ正方行列のこと、言い換えると逆行列が存在する行列のことである。 ある体上の同じサイズの正則行列の全体は一般線型群と呼ばれる群を成す。多項式の根として定められる部分群はあるいは行列群と呼ばれる代数群の一種で、その表現論が代数的整数論などに広い応用を持つ幾何学的対象である。.
河田敬義
河田 敬義（かわだ ゆきよし、1916年1月15日 - 1993年10月28日）は、日本の数学者。東京大学名誉教授、第6代統計数理研究所所長。理学博士。.
指標理論
数学，特に群論において，群の表現の指標（しひょう，character）は，群の各元に対応する行列のトレースを対応させる写像である．指標は表現の本質的な情報をより凝縮された形で持っている．ゲオルク・フロベニウスは最初に，指標のみに基づいて，表現の明示的な行列表示は用いずに，を発展させた．これは有限群の複素表現はその指標によって（同型を除いて）決定されるから可能である．正標数の体上の表現，いわゆる「モジュラー表現」の場合には，状況はより繊細であるが，はこの場合にも指標の強力な理論を発展させた．有限群の構造に関する多くの深い定理はモジュラー表現の指標を用いる．.
指数関数
実解析における指数関数（しすうかんすう、exponential function）は、冪における指数 を変数として、その定義域を主に実数の全体へ拡張して定義される初等超越関数の一種である。対数関数の逆関数であるため、逆対数 と呼ばれることもある。自然科学において、指数関数は量の増加度に関する数学的な記述を与えるものとして用いられる（や指数関数的減衰の項を参照）。 一般に、 かつ なる定数 に関して、（主に実数の上を亙る）変数 を へ送る関数は、「a を'''底'''とする指数函数」と呼ばれる。「指数関数」との名称は、与えられた底に関して冪指数を変数とする関数であることを示唆するものであり、冪指数を固定して底を独立変数とする冪関数とは対照的である。 しばしば、より狭義の関数を意図して単に「指数関数」と呼ぶこともある。そのような標準的な (the) 指数関数（あるいはより明示的に「自然指数関数」）はネイピア数 を底とする関数 である。これを のようにも書く。この関数は、導関数が自分自身に一致するなど、他の指数関数と比べて著しい性質を持つ。底 を他の底 に取り換えるには自然対数 を用いて、等式 を適用すればよいから、以下本項では主に自然指数関数について記述し、多くの場合「指数関数」は自然指数関数の意味で用いる。.
有限単純群の分類
有限単純群の分類 とは、数学において全ての有限単純群を4つの大まかなクラスへと分類する定理である。 これらの群は、全ての有限群を構成する基本的な要素として見ることが出来る。 この分類定理の証明は、主に1955年から2004年に渡り出版された、100以上の著者により数百の学術誌において書かれた、計1万5000ページ以上もの成果の集大成である。 (d.1992) と、らは、この証明を整理し見通しよく改訂した「第2世代の証明」の出版を開始している。.
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有限群
数学および抽象代数学において、有限群(ゆうげんぐん、finite group)とは台となっている集合Gが有限個の元しか持たないような群のことである。20世紀の間数学者は、特に有限群のや、可解群や冪零群 の理論などといった、有限群の理論のさまざまな面を深く研究していた。全ての有限群の構造の完全な決定は余りに遠大な目標だった: あり得る構造の数はすぐに圧倒的に大きくなった。しかし、単純群の完全な分類という目標は達成された。つまり任意の有限群の「組み立て部品」は現在では完全に知られている(任意の有限群は組成列を持つ)。 20世紀の後半には、シュヴァレーやといった数学者によってや関連する群の有限類似の理解が深まった。それらの群の族の一つには有限体上の一般線型群がある。 有限群は、ある数学的・物理的対象の構造を保つ変換が有限個しかない場合に、その対象の対称性を考えるときに出て来る群である。他方で、""を扱っているようにもみなせるリー群の理論は、関連するワイル群の影響を強く受ける。有限次ユークリッド空間に作用する鏡映によって生成される有限群も存在する。それゆえ、有限群の特性は、理論物理学や化学などの分野で役目を持つ。.
昇降演算子
量子力学において、昇降演算子（しょうこうえんざんし、ladder operator）とは、演算子として表現される物理量の固有状態を、異なる固有値を持つ別の固有状態に写す演算子。特に固有値を増加させる演算子は上昇演算子（じょうしょうえんざんし、raising operator）、固有値を減少させる演算子は下降演算子（かこうえんざんし、lowering operator）と呼ばれる。ある物理量に対応する昇降演算子を構成することで、全ての固有状態を調べ上げることが可能となる。昇降演算子が応用される代表的な例としては、量子力学における角運動量、アイソスピン、調和振動子が挙げられる。昇降演算子を用いて、固有状態を求めることは、交換関係で規定されるリー代数の既約表現を構成することに対応する。特に最高ウェイト状態を用いたリー代数の表現は、昇降演算子と密接に関連する。一方、位置座標によって、状態ベクトルを座標表示すれば、昇降演算子は同種の系列である特殊関数同士を結びつける。こうした特殊関数に作用する昇降演算子はリー代数、リー群の表現論により、統一的に扱うことができる。.
斜交ベクトル空間
数学において、斜交ベクトル空間（しゃこうべくとるくうかん、）（シンプレクティックベクトル空間ともいう）とは、斜交形式（しゃこうけいしき、 シンプレクティック形式とも）と呼ばれる非退化反対称双線型形式 を備えたベクトル空間 のことである。 斜交形式の定義を明示的に書くと、以下を満たす双線形形式 である。.
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斜交群
数学において、斜交群（しゃこうぐん、symplectic group）またはシンプレクティック群は、極めて密接に関連するが、異なる 2 つの群を意味し得る。 この記事では、この二つの群を Sp(2n, F) および Sp(n) と記す。 前者と区別するため、後者は屡、コンパクト斜交群と呼ばれる。 多くの筆者が若干異なる記号を使う傾向にあるが、それは、2 の因数だけ異なる。 ここでの記号は、群を表現するために使う行列の大きさに合わせることとする。.
斜交行列
数学において、斜交行列（しゃこうぎょうれつ、symplectic matrix：シンプレクティック行列）は、2n×2n の行列 M （要素は、典型的には実数または複素数）であって、以下の条件を満たすものをいう。 ここで、 tM は M の転置を意味し、Ω はある固定された非特異な反対称行列である。 Ω は、一般的には区分行列（block matrix） となる様に選ぶ。ここで、In は n×n 次の単位行列である。 Ω の行列式は +1 であり、逆行列は Ω−1.
数学原論
数学原論（すうがくげんろん、Éléments de mathématique）は、数学者集団ニコラ・ブルバキ による数学に関するである。2016年現在11の部門からなり、各部門が1つあるいは複数の章に分かれている。最初の巻はエルマン (Hermann) 書店によって1939年から、はじめは小冊子の形で、後に合本として、出版された。編集者との意見の相違から、出版は1970年代にCCLSに代わり、1980年代にはマソン (Masson) 書店に代わった。2006年からは、シュプリンガー・フェアラーク (Springer Verlag) がすべての分冊を再出版している。（なお和訳は絶版である。） 書名の奇妙な "mathématique" は意図的なものであり、通常使われる複数形が示唆するかもしれないことに反し、数学は統一されているという著者の信条を表している。逆に、ブルバキの『数学史』（Éléments d'histoire des mathématiques, 数学史原論）は複数形を用いており、ブルバキ以前には数学はばらばらな分野の集まりであったが、構造の現代的な概念によって統一できるようになったことを示している。 最初の6部門は論理的な順序に従っている。他の部門は初めの6部門に述べられていたことは用いるが、順序立ってはいない。.
数学における統一理論
数学の統一理論（すうがくのとういつりろん、unified theory of mathematics）に到達するためのいくつかの試みが歴史的に行われてきた。は、すべての主題（科目）は一つの理論に収まるべきであるという明確な展望を抱いている。.
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数学の年表
本項目は、純粋数学と応用数学の歴史に関する年表である。.
数学者の一覧
本項は数学者の一覧（すうがくしゃのいちらん）である。数学の歴史を彩る、世界の有名な数学者を生年順に並べている。 主として数学史において既に評価が定まった過去の数学者を一覧し、近現代の数学者についてはその「有名な」を保証するため、次の基準に基づいて選んである。.
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数論力学
数論力学（すうろんりきがく、Arithmetic dynamics）は、数学における力学系と数論という二つの領域を融合した分野である。 is a field that amalgamates two areas of mathematics, dynamical systems and number theory.--> 離散力学とは、古典的には複素平面や実直線の自己写像の反復合成の研究のことである。数論力学は、多項式や有理函数の繰り返しの適用の下で、整数点、有理点、-進点、あるいは、代数的点の数論的な性質を研究することである。数論力学の基本的な目標は、数論的な性質をその基礎にある幾何学的な構造のことばで記述することにある。 p-adic, and/or algebraic points under repeated application of a polynomial or rational function.
曲率形式
微分幾何学では、曲率形式(curvature form)は、主バンドル上の接続形式の曲率を記述する。リーマン幾何学では、曲率形式は、リーマン曲率テンソルの代行物か一般化と考えることができる。.
