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105 関係: お・り・が・み、停止性問題、吉永良正、大岡昇平、存在論的、郵便的―ジャック・デリダについて、定理、完全性、巨大基数、帰納的分離不能対、世紀末ウィーン、世紀末ウィーン年表、一階述語論理、平等主義、床屋のパラドックス、人工知能の歴史、二階述語論理、弁証法、形式主義 (数学)、形式体系、後期クイーン的問題、マックス・ニューマン、チャイティンの定数、チューリングマシン、ネルソン・グッドマン、ポール・ベナセラフ、メタ理論、リシャールのパラドックス、レーヴェンハイム–スコーレムの定理、レイモンド・スマリヤン、ロッサーの定理、ロビンソン算術、プリンキピア・マテマティカ、ヒルベルト・プログラム、デイヴィッド・ドイッチュ、ダグラス・ホフスタッター、到達不能基数、命題、アラン・チューリング、アルフレト・タルスキ、アルゴリズム情報理論、エポニム (数学)、エプシロン・ノート、オルガノン、カリーのパラドックス、カントールの対角線論法、ギジェルモ・マルティネス、クルト・ゲーデル、グレゴリー・チャイティン、グッドスタインの定理、ゲーデルの加速定理、...、ゲーデルの完全性定理、ゲーデル数、コルモゴロフ複雑性、ゴールドバッハの予想、シミュレーション仮説、ジャック・ブーヴレス、ジョン・バークリー・ロッサー、ジョン・フォン・ノイマン、スチュワート・ハメロフ、サミュエル・R・ディレイニー、再帰理論、公理、創造的集合と生産的集合、矛盾許容論理、理論計算機科学、理性、理性主義、符号、第一原理、算術の超準モデル、真実、結城浩、田中一之、無矛盾、無限、証明論、高橋昌一郎、論理学、論理学の歴史、論理主義 (数学)、論証、超数学、関係代数 (数学)、量化、自己言及のパラドックス、自己検証理論、自動定理証明、自動推論、逆数学、Ω無矛盾、ZFCから独立な命題の一覧、東浩紀、決定可能性、有限集合、有限演算、数学、数学基礎論、数学の年表、数学の哲学、数学史、数学ガール、数学ソフトウェア、数学的宇宙仮説、数学者の一覧、数理論理学。 インデックスを展開 (55 もっと) »
お・り・が・み
『お・り・が・み』は、林トモアキによる日本のライトノベル。イラストは2C＝がろあ〜が担当している。角川スニーカー文庫（角川書店）より、2004年6月から2006年7月まで全7巻が刊行された。このうち「天の門」のみWEBラジでラジオドラマ化されている。 ストーリー上の時系列順に、林トモアキの『お・り・が・み』（完結）、『戦闘城塞マスラヲ』（完結）、『レイセン』（完結）、『ミスマルカ興国物語』（刊行中）は、世界観を共有している。.
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停止性問題
計算可能性理論において停止(性)問題（ていしせいもんだい・ていしもんだい、halting problem）は、あるチューリング機械（≒コンピュータプログラム・アルゴリズム）が、そのテープのある初期状態（≒入力）に対し、有限時間で停止するか、という問題。アラン・チューリングが1936年、停止性問題を解くチューリング機械が存在しない事をある種の対角線論法のようにして証明した。すなわち、そのようなチューリング機械の存在を仮定すると「自身が停止すると判定したならば無限ループを行い、停止しないと判定したならば停止する」ような別のチューリング機械が構成でき、矛盾となる。.
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吉永良正
吉永 良正（よしなが よしまさ、1953年（昭和28年）1月3日東京出版の執筆者紹介 - ）は日本のサイエンスライター、作家、翻訳家、教育家。専門は科学論・科学哲学大東文化大学の教員紹介。大東文化大学文学部教育学科准教授みすず書房の執筆者紹介。.
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大岡昇平
大岡 昇平（おおおか しょうへい、1909年（明治42年）3月6日 - 1988年（昭和63年）12月25日）は、日本の小説家・評論家・フランス文学の翻訳家・研究者。.
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存在論的、郵便的―ジャック・デリダについて
『存在論的、郵便的―ジャック・デリダについて』は、東浩紀の著作である。『批評空間』(Ⅱ-3,7,11,15-17)に連載されたのち、1998年10月、一般書として新潮社から書籍化され出版され、1999年に博士論文として東京大学に提出された、東浩紀最初の本格的な哲学書である。1999年サントリー学芸賞（思想・歴史部門）受賞作品。.
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定理
定理（ていり、theorem）とは、数理論理学および数学において、証明された真なる命題をいう。 文脈によっては公理も定理に含む。また、数学においては論説における役割等から、補題（ほだい、lemma）あるいは補助定理（ほじょていり、helping theorem）、系（けい、corollary）、命題（めいだい、proposition）などとも呼ばれることがある。ここでの「命題」と冒頭文に言う命題とは意味が異なることに注意。 一般的に定理は、まずいくつかの条件を列挙し、次にその下で成り立つ結論を述べるという形をしている。例えば、次は代数学の基本定理の述べ方の1つである。 ある一定の条件（公理系）下で定理を述べそれを証明すること、というのが数学という分野の中心的な研究の形態である。 数学の多くの分野には、各々「基本定理」という名で呼ばれる中心的な定理が存在している。なお定理という名称と証明という手続きは、数学のみならず、物理や工学においても使用される。.
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完全性
数理論理学における完全性（かんぜんせい、completeness）には二つの意味がある。.
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巨大基数
巨大基数的性質（きょだいきすうてきせいしつ、large cardinal property）とは、数学の集合論における超限基数が有するある種の性質。この性質を持つ基数は、その名の通り、一般に大変「大きい」（例えば、α.
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帰納的分離不能対
計算可能性理論において帰納的分離不能対（きのうてきぶんりふのうつい、recursively inseparable pair)とは自然数の集合の対で帰納的集合によって分離できないものをいう(Monk 1976, p. 100)。この概念は計算理論におけるΠ1集合と関係が深い。帰納的分離不能対はゲーデルの不完全性定理とも関係する。.
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世紀末ウィーン
世紀末ウィーン（せいきまつウィーン）とは、19世紀末、史上まれにみる文化の爛熟を示したオーストリア＝ハンガリー帝国の首都ウィーン、およびそこで展開された多様な文化事象の総称である。特にユダヤ系の人々の活躍がめざましい。広義には20世紀世界に大きな影響を与えた政治的・経済的諸事象や学芸における諸潮流を含み、。 ダナエ』1907-08年 ウィーン宮廷歌劇場 1869年築.
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世紀末ウィーン年表
世紀末ウィーン年表では、世紀末ウィーンに関連する年表を記す。人名の次の（ ）はウィーン以外の生地、没地をさす。 Category:年表 Category:ウィーンの歴史.
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一階述語論理
一階述語論理（いっかいじゅつごろんり、first-order predicate logic）とは、個体の量化のみを許す述語論理 (predicate logic) である。述語論理とは、数理論理学における論理の数学的モデルの一つであり、命題論理を拡張したものである。個体の量化に加えて述語や関数の量化を許す述語論理を二階述語論理（にかいじゅつごろんり、second-order predicate logic）と呼ぶ。それにさらなる一般化を加えた述語論理を高階述語論理（こうかいじゅつごろんり、higher-order predicate logic）という。本項では主に一階述語論理について解説する。二階述語論理や高階述語論理についての詳細は「二階述語論理」「高階述語論理」を参照。.
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平等主義
平等主義（びょうどうしゅぎ、、égalitarisme）は、特定の資格・能力・責任・義務を有する範疇内の人間達、もしくは全ての人間（万人）が、法的・政治的・経済的・社会的に公平・同等に扱われるようになることを志向する思想・信条・主張のこと。 自由主義などと共に、近代における人権概念を支える主要な柱である一方、人権概念そのものが、そもそも平等主義に立脚している（そうでなければ、「人権」という概念そのものが成立しない）という点で、平等主義は近代社会思想における他の一切の思想・信条・主張に対して優越しており、近代政治社会思想の根幹を成している。 また、当然のことながら、民主制と不可分な関係にある。.
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床屋のパラドックス
床屋のパラドックス（とこやのパラドックス）は、数理論理学と集合論における重要なパラドックスである。.
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人工知能の歴史
人工知能 (AI) の歴史は、古代の神話、物語、噂などから始まる。名匠が人工物に知性または意識を与えたという話である。はAIの起源について「神を人の手で作り上げたいという古代人の希望」だと記している。 現代AIの種子は、人間の思考過程を記号の機械的操作として説明することを試みた古典的哲学者らが育んだ。その延長線上で1940年代、数学的推論の抽象的本質に基づいたマシン、プログラム可能なデジタルコンピュータが発明された。この装置とその背後にある考え方に触発され、一握りの科学者が電子頭脳を構築する可能性を真剣に議論しはじめることになった。 AI研究が学問分野として確立したのは、1956年夏にダートマス大学のキャンパスで開催された会議がきっかけである。その会議の参加者がリーダーとしてその後のAI研究を牽引することになった。彼らの多くは人間と同程度に知的なマシンが彼らの世代のうちに出現するだろうと予測し、そのビジョンを実現させるための数百万ドルの資金を与えられた。結局、彼らがそのプロジェクトの困難さを見くびっていたことが明らかになる。1973年、の批判と議会からの圧力に応えて、アメリカおよびイギリス政府は人工知能関連の目標不明な研究への出資を止めた。7年後、日本の行政機関の夢想的発案により政府や企業が500億円以上の資金をAI研究に注ぎ込んだが、80年代末には投資者らは幻滅し、再び出資を撤収した。このようなブームと不況のサイクル、「AIの冬」と夏が繰り返されてきた。大胆にも、今でも並外れた予測をする人々がいる。 官僚やベンチャー・キャピタリストの間では評判の激しい変動があったにもかかわらず、AI研究は進展し続けた。1970年代には解決不可能と思われていた問題も解が見つかり、製品にも応用されるようになっていった。しかし、第一世代のAI研究者らの楽観的予測に反して、強いAIを持つマシンの構築は実現していない。思考する機械の研究に触媒的作用を及ぼした1950年の有名な論文で、アラン・チューリングは「我々はほんの少し前しか見ることができない」と認めていた。「しかし」と彼は続けている。「我々はしなければならない多くのことが見えている.
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二階述語論理
二階述語論理（にかいじゅつごろんり、second-order predicate logic）あるいは単に二階論理（にかいろんり、second-order logic）は、一階述語論理を拡張した論理体系であり、一階述語論理自体も命題論理を拡張したものである。二階述語論理もさらに高階述語論理や型理論に拡張される。 一階述語論理と同様に議論領域（ドメイン）の考え方を使う。ドメインとは、量化可能な個々の元の集合である。一階述語論理では、そのドメインの個々の元が変項の値となり、量化される。例えば、一階の論理式 ∀x (x ≠ x + 1) では、変項 x は任意の個体を表す。二階述語論理は個体の集合を変項の値とし、量化することができる。例えば、二階の論理式 ∀S ∀x (x ∈ S ∨ x ∉ S) は、個体の全ての集合 S と全ての個体 x について、x が S に属するか、あるいは属さないかのどちらかであるということを主張している。最も一般化された二階述語論理は関数の量化をする変項も含んでいる（詳しくは後述）。.
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弁証法
弁証法（べんしょうほう、διαλεκτική、dialectic）とは、哲学の用語であり、現代において使用される場合、ヘーゲルによって定式化された弁証法、及びそれを継承しているマルクスの弁証法を意味することがほとんどである。それは、世界や事物の変化や発展の過程を本質的に理解するための方法、法則とされる（ヘーゲルなどにおいては、弁証法は現実の内容そのものの発展のありかたである）。しかし、弁証法という用語が指すものは、哲学史においてヘーゲルの登場よりも古く、ギリシア哲学以来議論されているものであり、この用語を使う哲学者によってその内容は多岐にわたっている。したがって「弁証法＝ヘーゲルの弁証法的論理学」としてすべてを理解しようとするのは誤りである。.
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形式主義 (数学)
数学における形式主義（）とは、数学における命題を少数の記号によって表し、証明において使われる推論を純粋に記号の操作と捉える考え方のことを指す。.
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形式体系
形式体系（けいしきたいけい、Formal System）は、数学のモデルに基づいた任意の well-defined な抽象思考体系と定義される。エウクレイデスの『原論』は史上初の形式体系とされることが多く、形式体系の特徴をよく表している。その論理的基盤による体系の命題と帰結の関係（論理包含）は、他の抽象モデルを何らかの基盤とする体系から形式体系を区別するものである。形式体系は大きな理論や分野（例えばユークリッド幾何学）の基盤またはそのものとなることが多く、現代数学では証明論やモデル理論などと同義に扱われる。ただし形式体系は必ずしも数学的である必然性はなく、例えばスピノザの『エチカ』はエウクレイデスの『原論』の形式を模倣した哲学（倫理学）書である。 形式体系には形式言語があり、その形式言語は基本的な記号（シンボル）で構成される。形式言語の文（式）は公理群を出発点として、所定の構成規則（推論規則）に従って発展する。従って形式体系は基本的な記号群の有限の組み合わせを通して構築された任意個の数式で構成され、その組み合わせは公理群と構成規則群から作り出される。 数学における形式体系は以下の要素から構成される.
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後期クイーン的問題
後期クイーン的問題（こうきクイーンてきもんだい、「後期クイーン問題」とも）は、推理作家のエラリー・クイーンが著した後期作品群に典型的に見られる。。.
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マックス・ニューマン
マクスウェル・ハーマン・アレグザンダー・ニューマン（Maxwell Herman Alexander Newman、1987年2月7日 - 1984年2月22日）はイギリスの数学者で暗号解読者。通称はマックス・ニューマン (Max Newman)。第二次世界大戦中は電子計算機Colossusの構築につながる仕事をし、マンチェスター大学で王立協会計算機研究所を創設し、同研究所で1948年に世界初のプログラム内蔵式電子計算機 Manchester Small-Scale Experimental Machine が生まれた。.
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チャイティンの定数
チャイティンの定数（チャイティンのていすう、Chaitin's constant）は、計算機科学の一分野であるアルゴリズム情報理論の概念で、非形式的に言えば無作為に選択されたプログラムが停止する確率を表した実数である。グレゴリー・チャイティンの研究から生まれた。停止確率（ていしかくりつ、Halting probability）とも。 停止確率は無限に多数存在するが、Ω という文字でそれらをあたかも1つであるかのように表すのが普通である。Ω はプログラムを符号化する方式に依存するので、符号化方式を特定せずに議論する場合は Chaitin's construction と呼ぶことがある。 個々の停止確率は正規かつ超越的な実数であり、計算不可能である。つまりその各桁を列挙するアルゴリズムは存在しない。.
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チューリングマシン
チューリングマシン (Turing Machine) は計算模型のひとつで、計算機を数学的に議論するための単純化・理想化された仮想機械である。.
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ネルソン・グッドマン
ネルソン・グッドマン(Nelson Goodman、1906年8月7日 - 1998年11月25日)はアメリカの哲学者。認識論、言語哲学、美学などで業績を残した。1951年の著書「The Structure of Appearance」では師のC.I.ルイスから継承した議論を展開し、そのなかでクオリアに関する研究の先鞭をつけたことでも知られる。.
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ポール・ベナセラフ
ポール・ベナセラフ (Paul Benacerraf, 1931年 -) は、アメリカ合衆国の哲学者。現代の数学の哲学を代表する研究者の一人。.
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メタ理論
メタ理論（メタりろん、metatheory）とは、理論についての理論のことである。あらゆる研究領域はそれぞれ、何らかのメタ理論を共有しており、それは明示された正しい理論である場合もあればそうでないこともある。より厳密な特定の意味で使用される場合、メタ理論は数学や数理論理学における「数学理論についての数学理論」のことを指す。 下記はメタ理論的な言明の例である。 メタ理論的探求は、科学哲学の研究対象であることが多い。また、個別科学のメタ理論はその個別科学自身によっても取り扱われる。.
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リシャールのパラドックス
リシャールのパラドックス（リシャールの逆説、Richard's paradox）はパラドックスのひとつ。 0から1までの実数をひとつ明確に定義する日本語の文をリシャール文と呼ぶことにし、このようなリシャール文を全て並べることを考える。 日本語の文字種は明らかに有限であるから、有限のあらゆる正の自然数 n に対して、字数 n のリシャール文は高々有限個(しばしば 0 個)存在する。 よって、リシャール文をその字数の順に、字数が同じもの同士は辞書順に並べることにすれば、あらゆるリシャール文を一列に並べて、自然数で番号付けができるはずである。 さて、次の文によってある実数を定義する: この文は 0 から 1 までの実数をひとつ明確に定義しているのでリシャール文のひとつである。 このリシャール文の番号を Q とすると、この文によって定義される実数の小数第 Q 位の数は第 Q 番目のリシャール文によって定義される実数の小数第 Q 位の数、つまり自分自身と異なっていなければならない。 これは矛盾である。 なお 誤ってベリーのパラドックスがリシャールのパラドックスとして紹介されることがある。.
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レーヴェンハイム–スコーレムの定理
レーヴェンハイム–スコーレムの定理（Löwenheim–Skolem theorem）とは、可算な一階の理論が無限モデルを持つとき、全ての無限濃度 κ について大きさ κ のモデルを持つ、という数理論理学の定理である。そこから、一階の理論はその無限モデルの濃度を制御できない、そして無限モデルを持つ一階の理論は同型の違いを除いてちょうど1つのモデルを持つようなことはない、という結論が得られる。.
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レイモンド・スマリヤン
レイモンド・メリル・スマリヤン（Raymond Merrill Smullyan、1919年5月25日 - 2017年2月6日）はアメリカ合衆国の数学者、ピアニスト、論理学者、老荘哲学者、奇術師。 ニューヨーク市のFar Rockawayに生れる。最初は奇術師をしていた。1955年にシカゴ大学から学士を得る。1959年にプリンストン大学から博士号を得る。アロンゾ・チャーチのもとで学んだ数多くの傑出した論理学者の一人。.
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ロッサーの定理
ッサーの定理（Rosser's theorem）とは、ジョン・バークリー・ロッサーが1938年に証明した、素数に関する定理である。 Pn を n 番目の素数とする（P1.
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ロビンソン算術
数理論理学においてロビンソン算術(Robinson arithmetic)あるいはQとはペアノ算術(PA)の有限部分理論であり、において最初に導入された。Qは本質的にはPAから帰納法の公理図式を取り除いたものである。それゆえQはPAよりも弱いが同一の言語を持つ不完全な理論である。Qは重要かつ興味深い対象である。というのもQは本質的決定不能かつ有限公理化可能なPAの部分理論だからである。.
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プリンキピア・マテマティカ
短縮版『プリンキピア・マテマティカ 56節まで』の表紙 『プリンキピア・マテマティカ』(Principia Mathematica:数学原理)は、アルフレッド・ノース・ホワイトヘッドとバートランド・ラッセルによって書かれ、1910年から1913年に出版された、数学の基礎に関する全3巻からなる著作である。それは、記号論理学において、明示された公理の一組と推論規則から数学的真理すべてを得る試みである。『プリンキピア』のための主なインスピレーションと動機の1つは論理学に関するフレーゲの初期の仕事で、それがパラドックスをもたらすことをラッセルが発見したのである。 プリンキピアは、数学論理と哲学においてアリストテレスの『オルガノン』以来もっとも重要で独創的な仕事の一つと、広く専門家に考えられている。 モダン・ライブラリーは、この本を20世紀のノンフィクション書籍上位100のリスト(Modern Library 100 Best Nonfiction)の23位に位置づけた。.
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ヒルベルト・プログラム
ヒルベルト・プログラムとは、ダフィット・ヒルベルトによって提唱された、数学を形式化しようとする試みのことをいう。ヒルベルト計画とも呼ばれる。.
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デイヴィッド・ドイッチュ
ムネイル デイヴィッド・ドイッチュ（David Deutsch, 1953年5月18日 - ）は、イギリスの物理学者。イスラエル共和国ハイファ生まれ。オックスフォード大学の教授。量子計算理論のパイオニアである。エヴェレットの多世界解釈の支持者である。意識の物質的な説明を支持しており、無神論者である。 子供たちの新たな教育の方法も研究している。 ゲーデルの不完全性定理、チューリングの計算理論、ドーキンスの生物学、ポパーの認識論を統合した壮大な世界理論を模索しているを受けている。2008年王立協会フェロー選出。.
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ダグラス・ホフスタッター
ダグラス・リチャード・ホフスタッター（Douglas Richard Hofstadter、1945年2月15日 - ）はニューヨーク生まれのアメリカの学者。2014年現在、インディアナ大学ブルーミントン校教授。専門は認知科学および計算機科学。ホフスタッターは多くの一般書を執筆しており、その中でも特に有名なのが『ゲーデル、エッシャー、バッハ - あるいは不思議の環』(1979)。 ホフスタッターは1980年に同書でピュリッツァー賞の一般ノンフィクション部門を受賞した。この本は人工知能の問題を高エネルギー物理学、音楽、芸術、分子生物学、文学、といった多彩なテーマに絡めて記述し、多くの人々の興味を惹いた。この本がきっかけになって、人工知能分野へ進むことを決めた学生も大勢いると言われている。.
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到達不能基数
集合論において、非可算基数κが弱到達不能基数(weakly inaccessible)であるとは、それが正則な極限基数であることを言い、強到達不能基数(strongly inaccessible)または単に到達不能基数(inaccessible)であるとは、κ未満の任意の基数λに対し、(2^\lambda を満たす正則基数であることを言う。 著者によっては非可算性を要求しないこともある（その場合 \aleph_0 は強到達不能基数）。弱到達不能基数は、強到達不能基数はおよびによって導入された。 "到達不能基数"という用語は曖昧である。1950年頃までは弱到達不能基数を指していたが、以後は普通は強到達不能基数を意味するからである。 定義より、強到達不能基数は同時に弱到達不能基数でもある。一般連続体仮説が成り立つ場合は、強到達不能基数であることの必要十分条件は弱到達不能であることになる。 \aleph_0 は正則な強極限基数である。選択公理を仮定すると、他の全ての無限基数は正則かまたは（弱）極限である。 しかしながら、その両方になれるもの、即ち弱到達不能基数は中でも大きいものに限られる。 順序数が弱到達不能基数であるための必要十分条件は、それが正則順序数であり、かつ、正則順序数の列の極限であることである （0,1, \aleph_0 は正則順序数だが正則順序数の列の極限ではない）。強極限かつ弱到達不能な基数は強到達不能である。 強到達不能基数の存在は、グロタンディーク宇宙が存在するという形で仮定される場合がある。この両者の間には深い繋がりがある。.
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命題
命題（めいだい、proposition）とは、論理学において判断を言語で表したもので、真または偽という性質をもつもの。また数学で、真偽の判断の対象となる文章または式。定理または問題のこと。西周による訳語の一つ。 厳密な意味での命題の存在は、「意味」の存在と同様に、疑問を投げかける哲学者もいる。また、「意味」の概念が許容される場合にあっても、その本質は何であるかということにはなお議論のあるところである。古い文献では、語の集まりあるいはその語の集まりの表す「意味」という意味で命題という術語を用いているかどうかということが、つねに十分に明らかにされているわけではなかった。 現在では、論争や存在論的な含みを持つことを避けるため、ある解釈の下で（真か偽のいずれであるかという）真理の担い手となる記号列自体について述べる時は、「命題」という代わりに「文 (sentence)」という術語を用いる。ストローソンは「言明 ("statement")」 という術語を用いることを提唱した。.
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アラン・チューリング
アラン・マシスン・チューリング（Alan Mathieson Turing、〔テュァリング〕, 1912年6月23日 - 1954年6月7日）はイギリスの数学者、論理学者、暗号解読者、コンピュータ科学者。.
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アルフレト・タルスキ
アルフレト・タルスキ（Alfred Tarski, 1901年1月14日 - 1983年10月26日）はポーランドおよびアメリカの数学者・論理学者。彼の生年を1902年とする記述も散見されるが、これは誤りである。 アリストテレス、クルト・ゲーデル、ゴットロープ・フレーゲとともに、「四人の偉大な論理学者」の一人として数えられる。また、彼の名前は「バナッハ＝タルスキーの定理」などで知られる。.
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アルゴリズム情報理論
アルゴリズム情報理論（あるごりずむじょうほうりろん、Algorithmic information theory）は、情報理論と計算機科学の一分野であり、計算理論や情報科学とも関連がある。グレゴリー・チャイティンによれば、「シャノンの情報理論とチューリングの計算複雑性理論をシェイカーに入れて、力いっぱいシェイクしてできたもの」である。.
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エポニム (数学)
ポニム（eponym）は、既に存在する事物の名（とくに人名）にちなんで二次的に命名された言葉のことである。元となった人名などのことを名祖（なおや、eponymous）という。 この項では数学の分野でのエポニムを挙げる。.
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エプシロン・ノート
ε0（えぷしろん・のーと (Epsilon nought)、または、えぷしろん・ぜろ (Epsilon zero)）は、数学における超限順序数の一つ。ω（最小の超限順序数）から有限回の加算・乗算・冪乗では到達できない最小の超限順序数として定義される。従って極限順序数でもある。 カントールの標準形で表すと次の通り。 ただしこれは十分な定義ではない。α.
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オルガノン
『オルガノン』（、）は、古代ギリシアの哲学者アリストテレスにより執筆された論理学に関する著作群の総称。.
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カリーのパラドックス
リーのパラドックス（Curry's paradox）は、素朴集合論や素朴論理学で見られるパラドックスであり、自己言及文といくつかの一見問題ない論理的推論規則から任意の文が派生されることを示す。名称の由来は論理学者のハスケル・カリーから。 ドイツの数学者マルティン・フーゴー・レープ（Martin Hugo Löb）の名をとって レープのパラドックスとも呼ばれている。.
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カントールの対角線論法
ントールの対角線論法（カントールのたいかくせんろんぽう）は、数学における証明テクニック（背理法）の一つ。1891年にゲオルク・カントールによって非可算濃度を持つ集合の存在を示した論文の中で用いられたのが最初だとされている。 その後対角線論法は、数学基礎論や計算機科学において写像やアルゴリズム等が存在しない事を示す為の代表的な手法の一つとなり、例えばゲーデルの不完全性定理、停止性問題の決定不能性、時間階層定理といった重要な定理の証明で使われている。.
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ギジェルモ・マルティネス
ェルモ・マルティネス（Guillermo Martínez、1962年7月29日 - ）は、アルゼンチンの小説家、推理作家、数学者。アルゼンチンのバイアブランカ生まれ。ブエノスアイレス在住。2003年に発表した長編小説『オックスフォード連続殺人』は日本語を含む35の言語に翻訳されている。.
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クルト・ゲーデル
ルト・ゲーデル（Kurt Gödel, 1906年4月28日 - 1978年1月14日）は、オーストリア・ハンガリー二重帝国（現チェコ）のブルノ生まれの数学者・論理学者である。業績には、完全性定理及び不完全性定理、連続体仮説に関する研究が知られる。.
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グレゴリー・チャイティン
レゴリー・チャイティン（Gregory "Greg" J. Chaitin, 1947年 - ）は、アルゼンチン出身、アメリカ在住の数学者、コンピュータ科学者。 60年代に情報理論の分野に、ゲーデルの不完全性定理とよく似た現象を見いだす。つまり、その分野上での決定不可能な命題を発見し別種の不完全性定理を得た。チャイティンの定理によると、十分な算術を表現可能などのような理論においても、いかなる数であろうともcよりも大きなコルモゴロフ複雑性を有することがその理論上では証明できないような、上限 c が存在する。ゲーデルの定理が嘘つきのパラドックスと関係しているのに対し、チャイティンの結果はベリーのパラドックスに関係している。 1995年に、メイン大学から博士号を授与される。IBMのトーマス・J・ワトソン研究所に勤務した後、現在はリオデジャネイロ連邦大学に在籍。 幾つかの本を執筆しており、日本語に訳されている。.
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グッドスタインの定理
ッドスタインの定理（グッドスタインのていり、Goodstein's theorem）は、数理論理学における自然数に関する命題であり、「全てのグッドスタイン数列は必ず0で終わる」という主張。ペアノ算術の範囲では証明も否定の証明もできないが、集合論の公理系、特に無限集合の公理を用いると真であることが言える。たとえばゲーデルの不完全性定理から導かれる決定不能な命題などは、いかにも不自然だったり人工的に見えたりする場合があるのに対し、この定理は「自然な」決定不能命題の例として知られる。.
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ゲーデルの加速定理
ーデルの加速定理（ゲーデルのかそくていり、Gödel's speedup theorem）はで証明された。この定理によれば、弱い形式的体系では非常に長い形式的証明しか存在しないが、より強い形式的体系では極めて短い形式的証明が存在する、というような文が存在する。 クルト・ゲーデルはそのような性質を持つ文を具体的に構成した。それはn階算術の体系で証明可能な命題であってn+1階算術ではより短い証明を持つものが存在するというものである。類似の例として最短の形式的証明がとてつもなく長大となる文を構成しよう。形式化された対角線論法によって なる内容的意味を持つ文を構成する。（ここで「グーゴルプレックス個の記号からなる」という部分を取り除くと不完全性定理の決定不能な文が得られる。）コーディングを工夫すれば φ がΣ1論理式となるようにできる。φ はペアノ算術から証明可能である：もし証明不能なら「高々グーゴルプレックス個の記号からなる（ペアノ算術からの）形式的証明を持たない」が標準模型で真なので、Σ1完全性より φ は証明可能である。これは不合理。したがって φ は証明可能である。するとΣ1健全性より φ は標準模型で真である。つまり「φ は高々グーゴルプレックス個の記号からなる（ペアノ算術からの）形式的証明を持たない」から、φ の形式的証明はグーゴルプレックス個よりも多くの記号から構成される。 φはより強い体系ではもっと短い形式的証明を持つ：例えばペアノ算術に自身の無矛盾性を表す公理 Con(PA) を追加した体系を用いればよい。（追加された公理は不完全性定理よりペアノ算術からは証明不能である。）すると上の背理法による議論を体系内で実行することでより短い形式的証明が得られる： ¬φ と仮定する。ここから ProvablePA(&phi) を得る。他方で ¬φ に形式化されたΣ1完全性を適用すれば ProvablePA(¬&phi) を得る。ここに形式化されたモーダス・ポネンスを適用すれば ProvablePA(⊥) すなわち ¬Con(PA) を得る。公理 Con(PA) とモーダス・ポネンスによって矛盾 ⊥ を得る。背理法によって（仮定なしで） φ を得る。 以上の議論のペアノ算術は別のより強い無矛盾な体系に置き換えられる。またグーゴルプレックスもその体系で記述できる別の任意の数字に置き換えられる。 ハービー・フリードマンは上の性質を満たすような明示的で自然な例をいくつか見つけた。それはペアノ算術やほかの形式的体系における文であり、その最短の証明は非常に長い。.
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ゲーデルの完全性定理
数理論理学においてゲーデルの完全性定理（ゲーデルのかんぜんせいていり、Gödel's completeness theorem、Gödelscher Vollständigkeitssatz）とは、第一階述語論理の恒真な論理式はその公理系からすべて導出可能であることを示した定理を言う。1929年にクルト・ゲーデルが証明した。.
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ゲーデル数
ーデル数（ゲーデルすう、Gödel number）は、数理論理学において何らかの形式言語のそれぞれの記号や整論理式に一意に割り振られる自然数である。クルト・ゲーデルが不完全性定理の証明に用いたことから、このように呼ばれている。また、ゲーデル数を割り振ることをゲーデル数化（Gödel numbering）と呼ぶ。 ゲーデル数のアイデアを暗に使っている例としては、コンピュータにおけるエンコードが挙げられる。 コンピュータでは何でも0と1で表し、「apple」のような文字列も0と1による数字で表す。 ゲーデル数化とは、このように文字列に数字を対応させる事を指す。 ゲーデル数化は、数式におけるシンボルに数を割り当てる符号化の一種でもあり、それによって生成された自然数の列が文字列を表現する。この自然数の列をさらに1つの自然数で表現することもでき、自然数についての形式的算術理論を適用可能となる。 ゲーデルの論文が発表された1931年以来、ゲーデル数はより広範囲な様々な数学的オブジェクトに自然数を割り振るのに使われるようになっていった。.
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コルモゴロフ複雑性
ルモゴロフ複雑性（コルモゴロフふくざつせい、Kolmogorov complexity）とは、計算機科学において有限長のデータ列の複雑さを表す指標のひとつで、出力結果がそのデータに一致するプログラムの長さの最小値として定義される。コルモゴロフ複雑度、コルモゴロフ＝チャイティン複雑性 (Kolmogorov-Chaitin complexity) とも呼ばれる。 コルモゴロフ複雑性の概念は一見すると単純なものであるが、チューリングの停止問題やゲーデルの不完全性定理と関連する深遠な内容をもつ。コルモゴロフ複雑性やその他の文字列やデータ構造の複雑性の計量を研究する計算機科学の分野はアルゴリズム情報理論と呼ばれており、1960 年代末にアンドレイ・コルモゴロフ、レイ・ソロモノフ、グレゴリー・チャイティンによって創始された。.
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ゴールドバッハの予想
ールドバッハの予想（英語:Goldbach's conjecture）とは、次のような加法的整数論上の未解決問題の1つである。ゴールドバッハ予想、ゴルドバッハの予想とも。 この予想は、ウェアリングの問題などと共に古くから知られている。4 × 1018 まで成立することが証明されていて、一般に正しいと想定されているが、多くの努力にもかかわらず未だに証明されていない。 The conjecture has been shown to hold up through 4 × 1018 and is generally assumed to be true, but remains unproven despite considerable effort.-->.
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シミュレーション仮説
ミュレーション仮説（シミュレーションかせつ）とは、人類が生活しているこの世界は、すべてシミュレーテッドリアリティであるとする仮説のこと。シミュレーション理論と呼ぶ場合もある。.
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ジャック・ブーヴレス
ャック・ブーヴレス（Jacques Bouveresse, 1940年8月20日 - ）は、フランスの哲学者。ルートヴィヒ・ウィトゲンシュタイン、ロベルト・ムージル、カール・クラウス、科学哲学、認識論、数学の哲学、分析哲学について多くの著作がある。ブーヴレスは「思考の厳密性の基準を重視する点において、フランスの哲学者の中では類稀な人物」として知られている。 現在、コレージュ・ド・フランスの名誉教授。2010年までは同校で言語哲学と認識論の講座を担当していた。ブーブレスの退官後、教え子のクロディーヌ・ティエルスランが形而上学と知識の哲学の講座担当に任命された。.
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ジョン・バークリー・ロッサー
ジョン・バークリー・ロッサー（John Barkley Rosser, 1907年 - 1989年）はアメリカの数学者、論理学者。 フロリダ州・ジャクソンビル生まれ。アロンゾ・チャーチから教わる。ラムダ計算において、チャーチ・ロッサーの定理を二人で証明した。数論で、篩法を発展させた。ウィスコンシン大学マディソン校附置の軍事数学研究所の所長も務めた。教科書を多く執筆した。 1936年には、ゲーデルの不完全性定理を拡張させた。 解析的整数論で、ロッサーの定理を証明。 Category:アメリカ合衆国の数学者 Category:アメリカ合衆国の論理学者 070000 Category:ウィスコンシン大学マディソン校の教員 Category:ジャクソンビル出身の人物 Category:1907年生 Category:1989年没 Category:数学に関する記事.
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ジョン・フォン・ノイマン
ョン・フォン・ノイマン（ハンガリー名：Neumann János（ナイマン・ヤーノシュ、）、ドイツ名：ヨハネス・ルートヴィヒ・フォン・ノイマン、John von Neumann, Margittai Neumann János Lajos, Johannes Ludwig von Neumann, 1903年12月28日 - 1957年2月8日）はハンガリー出身のアメリカ合衆国の数学者。20世紀科学史における最重要人物の一人。数学・物理学・工学・計算機科学・経済学・気象学・心理学・政治学に影響を与えた。第二次世界大戦中の原子爆弾開発や、その後の核政策への関与でも知られる。.
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スチュワート・ハメロフ
チュワート・ハメロフ（Stuart Hameroff、1947年7月16日 - ）は、アメリカ合衆国の麻酔科医。医学博士。現在アリゾナ大学教授。意識に関する国際会議ツーソン会議のオーガナイザー。ロジャー・ペンローズとの意識に関する共同研究で有名。.
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サミュエル・R・ディレイニー
ミュエル・レイ・ディレイニー（Samuel Ray "Chip" Delany, Jr., 1942年4月1日 - ）は、アメリカ合衆国の小説家、SF作家。1960年代後半以降のアメリカにおけるニュー・ウェーブ、あるいはスペキュレーティヴフィクションの代表的な作家の一人。愛称はチップ(Chip)。日本での表記にはディレイニーほかディレーニイ、ディレーニもある。 言語とリズム、そして構成にこだわり抜いたスタイルを特徴とし、流麗な文体で美しい光景と深い哲学的思索を描き出す、SF作家でも屈指の存在。暗喩を多用することにも特徴があり、物語の裏に別の物語を読み取ることもできる構成について、初期の代表作『エンパイア・スター』において世界の多面的な解釈の意味で使われた「マルチプレックス (multiplex)」という語によって、作品の多面的な読み方を示唆するとともにディレイニーを象徴させることも多い。 その作品には黒人にして詩人・ミュージシャンでありゲイでもあるという作者自身の複雑な経歴が反映されており、アメリカ黒人思索小説の先覚者ともされる。.
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再帰理論
再帰理論（さいきりろん、Recursion theory）は、数理論理学の一分野で、1930年代の計算可能関数とチューリング次数の研究が源となっている。発展の過程で、この分野は計算可能性や定義可能性全般を対象に含むようになった。これらの領域においては、再帰理論は証明論や effective 記述集合論(en)とも密接に関係する。 再帰理論の根本的疑問は「自然数から自然数への関数が計算可能であるとはどういう意味か?」と、「計算不能関数は、その計算不能性のレベルに基づいて階層分けできるか?」である。これらの疑問への答えを探す過程で豊かな理論が生まれ、現在でも活発な研究が行われている。 数理論理学における再帰理論の研究者がよく扱うのは、この記事で触れる相対的な計算可能性、還元性の概念、次数構造などである。これらは、計算機科学における計算可能性理論が、計算複雑性理論、形式手法、形式言語などを主な研究対象とすることと対照を成す。これら二つの研究コミュニティには知識と手法の面で重なる部分が多々あり、はっきりした境界を引くことは出来ない。.
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公理
公理（こうり、axiom）とは、その他の命題を導きだすための前提として導入される最も基本的な仮定のことである。一つの形式体系における議論の前提として置かれる一連の公理の集まりを (axiomatic system) という 。公理を前提として演繹手続きによって導きだされる命題は定理とよばれる。多くの文脈で「公理」と同じ概念をさすものとして仮定や前提という言葉も並列して用いられている。 公理とは他の結果を導きだすための議論の前提となるべき論理的に定式化された（形式的な）言明であるにすぎず、真実であることが明らかな自明の理が採用されるとは限らない。知の体系の公理化は、いくつかの基本的でよく知られた事柄からその体系の主張が導きだせることを示すためになされることが多い。 なお、ユークリッド原論などの古典的な数学観では、最も自明（絶対的）な前提を公理、それに準じて要請される前提を公準 (postulate) として区別していた。.
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創造的集合と生産的集合
生産的集合（せいさんてきしゅうごう、）と創造的集合（そうぞうてきしゅうごう、）とは、自然数の集合の類型であり、数理論理学において重要な応用を持つ。これらはやなどの数理論理学のテキストにおける標準的なトピックである。.
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矛盾許容論理
矛盾許容論理（むじゅんきょようろんり、Paraconsistent Logic）とは、矛盾を特別な方法で扱う論理体系。また、矛盾に対して耐性のある論理を研究・構築する論理学の一分野を指す。矛盾許容型論理とも。 矛盾許容論理は1910年ごろにはすでに存在していた（原始的な形ではアリストテレスまで遡る）。しかし、矛盾許容（Paraconsistent）という用語が使われるようになったのは 1976年であり、ペルー人哲学者 Francisco Miró Quesada が最初である。.
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理論計算機科学
論計算機科学（りろんけいさんきかがく、英語：theoretical computer science）は計算機を理論的に研究する学問で、計算機科学の一分野である。計算機を数理モデル化して数学的に研究することを特徴としている。「数学的」という言葉は広義には公理的に扱えるもの全てを指すので、理論計算機科学は広義の数学の一分野でもある。理論計算機科学では、現実のコンピュータを扱うことも多いが、チューリングマシンなどの計算モデルを扱うことも多い。 理論計算機科学の代表的な分野として以下のものがある。.
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理性
性（りせい、λόγος→ratio→raison→reason）とは、人間に本来的に備わっているとされる知的能力の一つである。言い換えれば推論(reasoning)能力である。世界理性というときは人間の能力という意味ではなく、世界を統べる原理、という意味である。.
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理性主義
性主義（りせいしゅぎ、rationalism） - ブリタニカ国際大百科事典/マイペディア/日本大百科全書/コトバンクは、確たる知識・判断の源泉として（人間全般に先天的に備わっている機能・能力であると信じる）「理性」（λόγος、ratio、reason）を拠り所とする、古代ギリシア哲学以来の西洋哲学に顕著に見られる特徴的な態度のこと。日本では合理主義とも訳されるが、これだと「理性」（λόγος、ratio、reason）に依拠するというその原義・特異性が分かりづらくなってしまい、「（考え・議論・物事を）ある道理・理屈・基準に合わせる（適合させる）態度」という全く別の意味にも解釈できる多義的な語彙にもなってしまうため、適切な訳とは言えない。 この「ラショナリズム」（rationalism）という言葉は、元々は17世紀から18世紀にかけての近代哲学認識論における、認識の端緒を「経験」に求める英国系の議論（イギリス経験論（British empiricism））と、「理性」に求める欧州大陸系の議論（大陸合理論（continental rationalism））を便宜的に大まかに区別するために生み出されたものだが、「理性」に依拠する態度としての「ラショナリズム」（rationalism）自体は、西欧近代固有のものではなく、元来、古代ギリシア哲学に端を発し、中世スコラ学の時代も通じて、西洋哲学全体の主流を成してきた特徴・傾向でもあるので、遡ってそれらを説明する際にも用いられる。 また、上記区分にしても、あくまでも西欧近代初頭の認識論における、「認識の端緒・発端をどこに求めるか」についての便宜的区分に過ぎず、「経験論」に括られる人々、例えば代表格であるジョン・ロックにしても、（先行するトマス・ホッブズ等と同じく）「理性」の反映である「自然法」『統治二論』 第二論 第2章に基づく社会契約を主張するなど、他の文明圏から見れば、彼らもまた全体としては「理性」を信頼し、そこに依拠する「理性主義」的性格を多分に併せ持っている点にも注意が必要である。それは別枠で括られて後続するカントやヘーゲル等にも共通して言えることである。それほどまでに「理性主義」は西洋哲学全般に渡って広範かつ根深く浸透してきた思考傾向・態度だと言える。.
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符号
モールス符号 符号理論において、符号（ふごう）またはコード（code）とは、シンボルの集合S, Xがあるとき、Sに含まれるシンボルのあらゆる系列から、Xに含まれるシンボルの系列への写像のことである。Sを情報源アルファベット、Xを符号アルファベットという。すなわち符号とは、情報の断片（例えば、文字、語、句、ジェスチャーなど）を別の形態や表現へ（ある記号から別の記号へ）変換する規則であり、変換先は必ずしも同種のものとは限らない。 コミュニケーションや情報処理において符号化（エンコード）とは、情報源の情報を伝達のためのシンボル列に変換する処理である。復号（デコード）はその逆処理であり、符号化されたシンボル列を受信者が理解可能な情報に変換して戻してやることを指す。 符号化が行われるのは、通常の読み書きや会話などの言語によるコミュニケーションが不可能な場面でコミュニケーションを可能にするためである。例えば、手旗信号や腕木通信の符号も個々の文字や数字を表していることが多い。遠隔にいる人がその手旗や腕木を見て、本来の言葉などに戻して解釈することになる。.
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第一原理
一原理（だいいちげんり、英語：first principles）とは、他のものから推論することができない命題である。.
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算術の超準モデル
算術の超準モデル (non-standard model of arithmetic) とは、（一階）ペアノ算術のモデルのうち、通常の自然数ではない要素（超準数）を含むようなモデルのことである。それに対し、通常の自然数 \mathbb は算術の標準モデルと呼ばれる。ペアノ算術の任意のモデルは線形順序で並んでおり、\mathbb と同型な切片を持つ。超準モデルは、その切片の外に元を持つようなモデルであると言える。.
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真実
真実（しんじつ、ἀλήθεια、veritas、truth）.
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結城浩
結城 浩（ゆうき ひろし、1963年7月 - ）は、東京都武蔵野市在住のプログラマ、技術ライターである。ウィキクローンの1つであるYukiWikiを開発。 プログラミングの入門テキストを中心に雑誌連載や翻訳活動のほか、多数の書籍の執筆を行っている。特に執筆した書籍のいくつかは韓国語や英語等に翻訳され、海外でも出版されている。 自身のWebで公開していた作品を元に、小説『数学ガール』を発表した。この作品は1作目が日坂水柯、2作目が春日旬、3作目が茉崎ミユキによりそれぞれ漫画化されている。 またプロテスタントの信者として知られる。.
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田中一之
中 一之（たなか かずゆき、1955年8月18日 - ）は、日本の数学者、論理学者。東北大学大学院理学研究科数学専攻教授。専門は数学基礎論。とくに逆数学や不完全性定理の研究で知られる。 師は、などで有名な。アラン・チューリングのただ1人の弟子で計算可能性理論の開拓者や逆数学プログラムの推進者の下でも研究した。数学基礎論関係の入門書や専門書を多数著し、『現代思想』や『数学セミナー』等の雑誌にも多くの数学随筆を発表している。.
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無矛盾
数学基礎論において、無矛盾性 (consistency) は公理系の最も重要な概念の一つである。.
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無限
無限（むげん、infinity、∞）とは、限りの無いことである。 直感的には「限界を持たない」というだけの単純に理解できそうな概念である一方で、直感的には有限な世界しか知りえないと思われる人間にとって、無限というものが一体どういうことであるのかを厳密に理解することは非常に難しい問題を含んでいる。このことから、しばしば哲学、論理学や自然科学などの一部の分野において考察の対象として無限という概念が取り上げられ、そして深い考察が得られている。 本項では、数学などの学問分野において、無限がどのように捉えられ、どのように扱われるのかを記述する。.
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証明論
証明論（proof theory）は、数理論理学の一分野であり、証明を数学的対象として形式的に表し、それに数学的解析を施す。.
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高橋昌一郎
橋 昌一郎（たかはし しょういちろう、1959年2月 - ）は、日本の哲学者・論理学者。國學院大學文学部教授。.
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論理学
論理学（ろんりがく、）とは、「論理」を成り立たせる論証の構成やその体系を研究する学問である。.
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論理学の歴史
論理学の歴史では妥当な推論を探求する学問の発展を取り扱う。形式論理学は古代の中国、インド、ギリシアで発展した。ギリシア論理学、中でもアリストテレス論理学は科学・数学に広く受容・応用されている。 アリストテレス論理学は中世のイスラーム圏およびキリスト教西方世界にさらに発展し、14世紀半ばに頂点をむかえた。14世紀から19世紀初めまでの時期は概して論理学が衰退し、軽視された時期であり、少なくとも一人の論理学史家によって論理学の不毛期とみなされているOxford Companion p. 498; Bochenski, Part I Introduction, passim。 19世紀半ばになると論理学が復興し、革命期が始まって、数学において用いられる厳密な証明を手本とする厳格かつ形式的な規則へと主題が発展した。近現代におけるこの時期の発展、いわゆる「記号」あるいは「数理」論理学は二千年にわたる論理学の歴史において最も顕著なものであり、人類の知性の歴史において最も重要・顕著な事件の一つだと言えるOxford Companion p. 500。 数理論理学の発展は20世紀の最初の数十年に、特にゲーデルおよびタルスキの著作によって起こり、分析哲学や哲学的論理学に、特に1950年代以降に様相論理や時相論理、義務論理、適切さの論理といった分野に影響を与えた。.
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論理主義 (数学)
数学における論理主義（ろんりしゅぎ、Logicism、Logicism、Logizismus）は、数学全体を論理学の一部とみなすことで、数学の基礎付け、数学の論理学への還元、つまり論理学の諸規則から数学のそれを演繹することが出来るとする立場である。.
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論証
論証（ろんしょう、Logical argument）とは、論理学の用語で、前提（premises）と呼ばれる宣言的文の集まりと結論（conclusion）と呼ばれる宣言的文から構成され、前提群から結論が真であることが導き出せることを主張したものである。そのような論証には、妥当なものと妥当でないものがある。なお、個々の宣言的文は真（true）か偽（false）かで判断されるが、論証は妥当（valid）か妥当でないかで判断される。英語では、宣言的文を Statement とか命題（Proposition）と呼んでいたが、最近では哲学的な含意を避けるため Sentence と呼ぶことが多い。.
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超数学
超数学（ちょうすうがく）あるいはメタ数学（メタすうがく、）とは、数学自体を研究対象とした数学のこと。超数学という語を初めて用いたのはヒルベルトであり、彼は数学の無矛盾性や完全性を問題とした。ゲーデルの完全性定理や不完全性定理はその例である。.
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関係代数 (数学)
数学の抽象代数学の分野において 関係代数 (relation algebra) とは "逆" と呼ばれる対合を持つのことである。動機付けとなるような関係代数の例は、集合 X 上の全ての二項関係からなる集合 Pow(X2) であって、演算 R • S を通常の関係の合成とし、R の逆を逆関係で定義する。関係代数は 19世紀の オーガスタス・ド・モルガン と チャールズ・サンダース・パースの結果から現れ、の代数的論理学において全盛となった。現在の、関係代数の等式による定式化は、1940年代に始まるアルフレト・タルスキと彼の弟子たちの研究によってなされた。.
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量化
量化（りょうか、Quantification）とは、言語や論理学において、論理式が適用される（または満足される）議論領域の個体の「量」を指定すること。.
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自己言及のパラドックス
哲学および論理学における自己言及のパラドックス（じこげんきゅうのパラドックス）または嘘つきのパラドックスとは、「この文は偽である」という構造の文を指し、自己を含めて言及しようとすると発生するパラドックスのことである。この文に古典的な二値の真理値をあてはめようとすると矛盾が生じる（パラドックス参照）。 「この文は偽である」が真なら、それは偽だということになり、偽ならばその内容は真ということになり……というように無限に連鎖する。同様に「この文は偽である」が偽なら、それは真ということになり、真ならば内容から偽ということになり……と、この場合も無限に連鎖する。.
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自己検証理論
自己検証理論 (Self-verifying theories) とは、無矛盾で、ペアノ算術よりはるかに弱く、自身の無矛盾性を証明できる算術の一階の体系である。ダン・ウィラードが初めてこの特性を調べ始め、そのような体系の一族を記述した。ゲーデルの不完全性定理によるとこれらの体系はペアノ算術の理論を含むことができないが、それにもかかわらず強い理論を含むことができる。たとえばペアノ算術の無矛盾性を証明できる自己検証体系が存在する。 概略を示すと、ウィラードによる体系の構成の鍵は、ゲーデルの機構が体系内の証明可能性について議論できる程度の形式化を行うが、対角線論法を形式化できるようにしないことであった。対角線論法は乗法が (そして以前の版の成果では加法も) 全域関数であることを証明可能であることに依存している。加法と乗法はウィラードの言語においては関数記号ではない。代わりに、減法と除法が関数記号であり、これらから加法と乗法の述語を定義する。このとき、乗法の全域性を表現する以下の\Pi^0_2文は証明できない: ここで は z/y.
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自動定理証明
アルゴンヌ国立研究所は1960年代以降2000年代まで、自動定理証明のリーダーだった。 自動定理証明（automated theorem proving, ATP）とは、自動推論 (AR) の中でも最も成功している分野であり、コンピュータプログラムによって数学的定理に対する証明を発見すること。ベースとなる論理によって、定理の妥当性を決定する問題は簡単なものから不可能なものまで様々である。.
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自動推論
自動推論（じどうすいろん、Automated Reasoning）は計算機科学と数理論理学の一分野であり、推論の様々な側面を理解することでコンピュータによる完全（あるいはほぼ完全）自動な推論を行うソフトウェアを開発することを目的とする。人工知能研究の一部と考えられるが、理論計算機科学や哲学とも深い関係がある。 自動推論のなかでも最も研究が進んでいるのは、自動定理証明（および完全自動ではないがより現実的な）と（固定の前提条件下での推論と見なすことができる）であるが、他にも類推、帰納、アブダクションによる推論の研究も盛んである。他の重要なトピックとしては、不確かさのある状況での推論と非単調推論である。不確かさに関する研究では論証（argumentation）が重要である。それはすなわち、標準的な自動推論へのさらなる極小性と一貫性の適用である。John Pollock の Oscar システムは単なる自動定理証明機よりも自動論証システムといえるものである。 自動推論のツールや手法としては、古典的論理学や代数学があるが、他にもファジィ論理、ベイズ推定、最大エントロピー原理に基づく推論、その他のあまり形式的でない技法などがある。.
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逆数学
逆数学とは、数学の定理の証明に必要な公理を決定しようとする数理論理学のプログラムである。簡単に言えば、通常の数学が公理から定理を導くのとは逆に、「定理から公理を証明する」手法を用いることが特徴である。「選択公理とツォルンの補題はZF上で同値である」、というような集合論の古典的定理は、逆数学プログラムの予兆となるものだった。しかし、実際の逆数学では主に、集合論の公理ではなく、通常の数学の定理を研究するのを目的とする。 逆数学は大抵の場合、2階算術について実行され、定理が構成的解析と証明論に動機付けられた2階算術の部分体系のうち、どれに対応するのかを研究する。 2階算術を使うことで、再帰理論からの多くの技術も利用できる。実際、逆数学の結果の多くは、計算可能性解析の結果を反映している。 逆数学は、によってはじめて言及された。基本文献はを参照。.
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Ω無矛盾
数学基礎論において、ω無矛盾（オメガむむじゅん、ω-consistent）とは、公理系の性質を表す概念のひとつである。不完全性定理を示すためにクルト・ゲーデルによって導入された。ω無矛盾性は、通常の無矛盾性よりも強い性質である。 ヒルベルト・プログラムの下、数学の完全性と無矛盾性を示そうとする試みがなされていたが、1931年にゲーデルの発表した不完全性定理は、ある意味でそのふたつが両立することは不可能であるというものであった。ゲーデルは「公理系が無矛盾ならば不完全」であることを示そうとしたが果たせず、それよりも少し弱い「ω無矛盾ならば不完全」であることを示した。しかし1936年アメリカの論理学者ジョン・バークリー・ロッサーによって、ゲーデルの当初の目的である「無矛盾ならば不完全」が示された。今日では、ゲーデルによるω無矛盾性を用いた前者の定理を「第1不完全性定理」と呼ぶ。.
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ZFCから独立な命題の一覧
本項では、ZFC集合論において決定不能であることが証明されている命題の一覧を掲げる。それらの命題は（ZFCが無矛盾であれば）ZFCの公理からは証明することも反証することもできない。以下では「ZFCが無矛盾であれば」などの但し書きは割愛する。.
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東浩紀
東 浩紀（あずま ひろき、1971年（昭和46年）5月9日 - ）は、日本の批評家、哲学者、小説家。学位は博士（学術）（東京大学・1999年）。ゲンロン代表取締役社長兼編集長。.
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決定可能性
決定可能（けっていかのう、decidable）は、論理学において、論理式の集合のメンバーシップの決定をする実効的（effectiveな）方法が存在することを指す。決定可能性（けっていかのうせい、decidability）は、そのような属性を指す。命題論理のような形式体系は、論理的に妥当な論理式（または定理）の集合のメンバーシップを実効的に決定できるなら、決定可能である。ある決まった論理体系における理論（論理的帰結で閉じている論理式の集合）は、任意の論理式がその理論に含まれるか否かを決定する実効的方法があれば、決定可能である。.
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有限集合
数学において、集合が有限（ゆうげん、finite）であるとは、自然数 n を用いて という形にあらわされる集合との間に全単射が存在することをいう（ただしここでは、n.
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有限演算
数学または論理学において、有限（項的）演算（ゆうげんえんざん、finitary operation）は、算術の演算のように、出力を得るために有限値の入力を取る演算である。.
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数学
数学（すうがく、μαθηματικά, mathematica, math）は、量（数）、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.
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数学基礎論
数学基礎論（すうがくきそろん、英語：）は、数学の一分野。他の分野が整数・実数・図形・関数などを取り扱うのに対し、数学自体を対象とする。.
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数学の年表
本項目は、純粋数学と応用数学の歴史に関する年表である。.
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数学の哲学
数学の哲学（すうがくのてつがく、philosophy of mathematics）は、哲学（科学哲学）の一分野で、数学を条件付けている哲学的前提や哲学的基礎、そして数学の哲学的意味を研究するものである。数理哲学とも言われる。 数学的哲学（すうがくてきてつがく、mathematical philosophy）という用語が、しばしば「数学の哲学」と同義語として使われる。しかしながら、「数学的哲学」は、別の意味を少なくとも二つ持っている。一つは、例えばスコラ学の神学者の仕事やライプニッツやスピノザの体系が目標にしていたような、美学、倫理学、論理学、形而上学、神学といった哲学的主題を、その主張するところでは、より正確かつ厳密な形へと形式化するプロジェクトを意味する。さらに、個々の数学の実践者や、考えかたの似た現場の数学者の共同体が日頃抱いているものの考え方（＝哲学）を意味する。.
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数学史
数学史（すうがくし、英語：history of mathematics）とは、数学の歴史のこと。第一には、数学上の発見の起源についての研究であり、副次的な興味として、過去の数学においてどのような手法が一般的であったかや、どのような記号が使われたかなども調べられている。.
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数学ガール
『数学ガール』（すうがくガール）は、結城浩による、数学を題材にした小説の書名であり、その後のシリーズ名でもある。 が刊行され、その後、下記のシリーズ作品が刊行された。 2010年12月時点でシリーズ累計10万部。2014年3月には日本数学会から日本数学会賞出版賞が贈られた。 この記事では、第1作を『数学ガール』、第2作を『フェルマーの最終定理』、第3作を『ゲーデルの不完全性定理』、第4作を『乱択アルゴリズム』、第5作を『ガロア理論』、第6作を『ポアンカレ予想』と記述する。これらの副題と同名の数学の定理を表記する場合は、二重鉤括弧なしで記述する。.
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数学ソフトウェア
数学ソフトウェア（すうがくソフトウェア）は、モデル、数値的あるいは記号的な解析あるいは計算、または幾何学データに用いられるソフトウェアである。 数学ソフトウェアは端的に言ってしまうと、数学の問題を解いたり、研究したりするのに用いる専用のソフトウェアである。数学とは何かについて様々な見解があるのに応じて、それに用いる数学ソフトウェアの範囲にも広義と狭義にわたる見解がある。 実際、数学ソフトウェアのあるもの（数学ライブラリー）は他の科学ソフトウェアの一部に組み込まれて利用されたりもする。極めてプライマリーなもの（たとえば初等関数を浮動小数点演算をして計算する）のも数学ソフトウェアの範疇に入るかもしれない。これらは普通ミドルウェアとして一般のシステムに組み込まれていたりする。いわば数学ソフトウェアはアプリケーションソフトではあるが他の科学ソフトウェアの基本となっているという意味でそれが特徴の一つともなっている。 数学ソフトウェアは教育目的などでユーザーインターフェイスが良くなっているものも多いが（数学教育用ソフトウェアを見よ）、その問題を解く核となっている部分は直接に数学上の知見に依存したアルゴリズムによっており、問題が少なくとも（ハードウェアに物理的な限界がある）数学的に構成的に解けなければ処理できなくなっているのは当たり前だろう。これが他のアプリケーションソフトとの大きな違いだろう。 なかでも、数学ソフトウェアを使う際に次のような場合があることに気を付けなくてはいけないことはほとんど常識だろう。.
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数学的宇宙仮説
数学的宇宙仮説 (mathematical universe hypothesis, MUH) とは、マックス・テグマークによって提唱された、物理学および宇宙論における思弁的な万物の理論 (TOE)である。究極集合 (Ultimate Ensemble) とも呼ばれる。.
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数学者の一覧
本項は数学者の一覧（すうがくしゃのいちらん）である。数学の歴史を彩る、世界の有名な数学者を生年順に並べている。 主として数学史において既に評価が定まった過去の数学者を一覧し、近現代の数学者についてはその「有名な」を保証するため、次の基準に基づいて選んである。.
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数理論理学
数理論理学（mathematische Logik、mathematical logic）は、論理学（形式論理学）の数学への応用の探求ないしは論理学の数学的な解析を主たる目的とする、数学の関連分野である。局所的には数理論理学は超数学、数学基礎論、理論計算機科学などと密接に関係している。数理論理学の共通な課題としては形式体系の表現力や形式証明系の演繹の能力の研究が含まれる。 数理論理学はしばしば集合論、モデル理論、再帰理論、証明論の4つの領域に分類される。これらの領域はロジックのとくに一階述語論理や定義可能性に関する結果を共有している。計算機科学（とくに）における数理論理学の役割の詳細はこの記事には含まれていない。詳細はを参照。 この分野が始まって以来、数理論理学は数学基礎論の研究に貢献し、また逆に動機付けられてきた。数学基礎論は幾何学、算術、解析学に対する公理的な枠組みの開発とともに19世紀末に始まった。20世紀初頭、数学基礎論は、ヒルベルトのプログラムによって、数学の基礎理論の無矛盾性を証明するものとして形成された。クルト・ゲーデルとゲルハルト・ゲンツェンによる結果やその他は、プログラムの部分的な解決を提供しつつ、無矛盾性の証明に伴う問題点を明らかにした。集合論における仕事は殆ど全ての通常の数学を集合の言葉で形式化できることを示した。しかしながら、集合論に共通の公理からは証明することができない幾つかの命題が存在することも知られた。むしろ現代の数学基礎論では、全ての数学を展開できる公理系を見つけるよりも、数学の一部がどのような特定の形式的体系で形式化することが可能であるか（逆数学のように）ということに焦点を当てている。.
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