数学の哲学と直観

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数学の哲学と直観の違い

数学の哲学 vs. 直観

数学の哲学（すうがくのてつがく、philosophy of mathematics）は、哲学（科学哲学）の一分野で、数学を条件付けている哲学的前提や哲学的基礎、そして数学の哲学的意味を研究するものである。数理哲学とも言われる。 数学的哲学（すうがくてきてつがく、mathematical philosophy）という用語が、しばしば「数学の哲学」と同義語として使われる。しかしながら、「数学的哲学」は、別の意味を少なくとも二つ持っている。一つは、例えばスコラ学の神学者の仕事やライプニッツやスピノザの体系が目標にしていたような、美学、倫理学、論理学、形而上学、神学といった哲学的主題を、その主張するところでは、より正確かつ厳密な形へと形式化するプロジェクトを意味する。さらに、個々の数学の実践者や、考えかたの似た現場の数学者の共同体が日頃抱いているものの考え方（＝哲学）を意味する。. 観（ちょっかん、Intuition）とは、知識の持ち主が熟知している知の領域で持つ、推論など論理操作を差し挾まない直接的かつ即時的な認識の形式である。 また直観は、合理的かつ分析的な思考の結果に概念化された知識の実体が論理的に介在する（すなわち思考や、概念という仲介物が知識の持ち主と対象の間に論理的に置かれる）ようなすべての知識の形式、とは異なっている。 パースの言うアブダクションという仮説形成の操作にも直観作業が用いられている、と考えられている。この場合、経験や知識と前提への理解が無意識に落とし込められるほど強い場合、意識せずとも正しい認識に至ること。 簡潔に言えば直観というものを完全否定していたパースでさえ自らの考え方に直観の能力を使っていたということである。 アントニオ・ダマシオのソマティック・マーカー仮説において説明される、内臓感覚としての情報の展開・操作・認識も直観の一部と言える。 直観は本能とは異なっている。本能は必ずしも経験的な要素を必要としない。直観的な基礎による見解を持つ人間は、その見解に至った理由を即座に完全には説明できないかもしれない。しかしながら、人間は時間をかければ、その直観が有効である理由をより組織化して説明するべく論理の繋がりを構築することで、直観を合理的に説明できることもある。 付け加えるならば直観を前提として具体的な問題を正しく説明したり解決に導くためには多くの経験と知識、理解が必要でもある。 なお、日本語の直観（ちょっかん）は、仏教用語のप्रज्ञा（プラジュニャー、般若）の訳語の一つである直観智に由来する。直観智は分析的な理解である分別智に対する直接的かつ本質的な理解を指し、無分別智とも呼ばれる。 また、整理整頓などでも洞察力や判断力よりも直観を必要とされることが多い。 直感とは感覚的に物事を感じとることで、勘（で答える）のような日常会話での用語を指す。.

マイケル・ダメット

マイケル・ダメット（Sir Michael Anthony Eardley Dummett F.B.A., D. Litt、1925年6月27日 - 2011年12月27日）はイギリスの哲学者。.

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ライツェン・エヒベルトゥス・ヤン・ブラウワー

ライツェン・エヒベルトゥス・ヤン・ブラウワー（Luitzen Egbertus Jan Brouwer、1881年2月27日 - 1966年12月2日）はオランダの数学者。ブラウエル、ブローウェルなどとも表記される。トポロジーにおいて不動点定理をはじめとする多大な業績を残し、また数学基礎論においては直観主義数学の創始者として知られる。.

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アレン・ハイティング

アレン・ハイティング（Arend Heyting、1898年5月9日 - 1980年7月9日）は、オランダの数学者、論理学者。1898年にオランダの首都アムステルダムで生まれる。 元々は形式主義者であるダフィット・ヒルベルトの弟子であったが、後にヒルベルトの論敵であるライツェン・エヒベルトゥス・ヤン・ブラウワーの弟子となり、直観論理を研究し、1930年にその論理の最初の形式化された「公理体系」を提唱した。ヒルベルトは生涯、ハイティングが自らの元を去った事を悔やんだと言われている。 1980年にスイスのルガノで亡くなる。.

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イマヌエル・カント

イマヌエル・カント（Immanuel Kant、1724年4月22日 - 1804年2月12日）は、プロイセン王国（ドイツ）の哲学者であり、ケーニヒスベルク大学の哲学教授である。『純粋理性批判』、『実践理性批判』、『判断力批判』の三批判書を発表し、批判哲学を提唱して、認識論における、いわゆる「コペルニクス的転回」をもたらした。フィヒテ、シェリング、そしてヘーゲルへと続くドイツ古典主義哲学（ドイツ観念論哲学）の祖とされる。彼が定めた超越論哲学の枠組みは、以後の西洋哲学全体に強い影響を及ぼしている。.

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哲学

哲学（てつがく、Φιλοσοφία、philosophia、philosophy、philosophie、Philosophie）は、語義的には「愛智」を意味する学問的活動である。日本語辞典の広辞苑では、次のように説明している。 観念論的な形而上学に対して、唯物論的な形而上学もある。諸科学が分化独立した現在では、哲学は学問とされることが多いが、科学とされる場合哲学は「自然および社会，人間の思考，その知識獲得の過程にかんする一般的法則を研究する科学」である。出典は、青木書店『哲学事典』。もある。.

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知覚

知覚（ちかく、英: perception）とは、動物が外界からの刺激を感じ取り、意味づけすることである。 視覚、聴覚、嗅覚、味覚、体性感覚、平衡感覚などの感覚情報をもとに、「熱い」「重い」「固い」などという自覚的な体験として再構成する処理であると言える。.

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真理

真理（しんり、ἀλήθεια、veritas、truth、vérité、Wahrheit）とは、確実な根拠によって本当であると認められたこと。ありのまま誤りなく認識されたことのあり方。真実とも。 真理は、現実や事実と異なり、妨害・障害としての虚偽・誤謬を対義語としており、露わさ、明らかさ、隠れなさに重点がある。そのものありのままであり、あらわであり、その本質が覆われていない、という意義に関しては、哲学的には本質主義や同一性とも関わりが深い。西欧哲学において真理論は論理学や認識論においてとりわけ主題化される。 真理論の歴史は、古代ギリシアに始まる。人間を尺度とする相対的なものの見方に反論する形で、永遠性・普遍性を有する真理の概念が生まれた。このような絶対性を内実とする真理概念は独断主義を生み、これに対する防衛・反抗が懐疑主義を生んだ。そのどちらにも陥らず、確実な知識の基礎付けを求めて近代の認識論が始まり、その後、真理の担い手が思惟・観念・判断、命題、「事物」（羅：res、レス）等のいずれであるか、について議論がなされてきた。現代論理学では真理の担い手は命題であるとされ、真と偽を合わせて真理値という。論理学で、「Pは○か○でないかのいずれかである（○であり、かつ○でない、ということはない）」という形をした文は○の内容に関係なく正しいので、これは「形式的真理」と呼ばれ、思惟と思惟自身の一致と定義される。このような形式的な形相についてではなく、質料について真理が語られるときは「実体的真理」という。判断について真理が語られるときを「認識論的真理」といい、存在について真理が語られるときを「存在論的真理」という加藤信朗。現代の真理概念は様々な形で修正を受け、相対的な傾向を強めている。 論証する、つまり、言語による表現であることが真理に不可欠であり、哲学的にはロゴスとも関わりが深い。東洋には不言真如という概念もある。 人間を自由にするものとしての真理が説かれることもある。キリスト教では「真理はあなたたちを自由にする（ヨハネ8章32節） 」と説かれている。仏教では、人間を苦しみから解放する真理をあらわす「法」が説かれる。.

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直観論理

観主義論理（intuitionistic logic）、直観論理あるいは構成的論理（constructive logic）とは、ある種の論理体系であり、伝統的な真理値の概念が構成的証明の概念に置き換わっている点で古典論理とは異なる。例えば古典論理では、全ての論理式に真か偽の真理値 (\) が割り当てられる。このときその真理値に対する直接的なエビデンスを持つか否かは問題にしない。これはどのような曖昧な命題においても「真か偽かが決定可能である」ということを意味する。対照的に直観主義論理では確定的に論理式に真理値を割り当てるのではなく、それが真であるとは「直接的なエビデンス」つまり「証明」があることと見做す。 Instead they remain of unknown truth value, until they are either proved or disproved.

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認識

認識（にんしき）は基本的には哲学の概念で、主体あるいは主観が対象を明確に把握することを言う。知識とほぼ同義の語であるが、日常語の知識と区別され、知識は主に認識によって得られた「成果」を意味するが、認識は成果のみならず、対象を把握するに至る「作用」を含む概念である。.

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論理学

論理学（ろんりがく、）とは、「論理」を成り立たせる論証の構成やその体系を研究する学問である。.

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背理法

背理法（はいりほう、proof by contradiction, reduction to the absurd, indirect proof, apagogical argument など、reductio ad absurdum）とは、ある命題 P を証明したいときに、P が偽であると仮定して、そこから矛盾を導くことにより、P が偽であるという仮定が誤り、つまり P は真であると結論付けることである。帰謬法（きびゅうほう）とも言う。 P を仮定すると、矛盾が導けることにより、P の否定 ¬P を結論付けることは否定の導入などと呼ばれる。これに対して ¬P を仮定すると矛盾が導けることにより P を結論付けることを狭義の背理法あるいは否定の除去ということがある。否定の導入と狭義の背理法をあわせて広義の背理法ということもある。 一般的には、背理法と言った場合広義の背理法を指す。否定の導入により、¬P から矛盾が導けた場合、¬¬P を結論できるが、いわゆる古典論理では推論規則として二重否定の除去が認められているため、結局 P が結論できることになる。排中律や二重否定の除去が成り立たない直観論理では、狭義の背理法による証明は成立しないが、否定の導入や、¬¬¬P から ¬P を結論することは、認められる。 背理法を使って証明される有名な定理には、\sqrt が無理数であること、素数が無限に存在すること、中間値の定理，ハイネ・カントールの定理などがあり、無限を相手にした証明には基本的に背理法のスタイルを取らざるを得ないものが多くある。 しかし例えば、\sqrt が無理数である（すなわち有理数でない）ことの証明は、狭義の背理法ではなく否定の導入によって証明することができる。 背理法の証明において仮定に矛盾する結論を導く場合は，容易に非背理法証明に直すことができる．たとえば，ハイネ・カントールの定理：「有界閉集合上の連続関数は一様連続である」は，有界閉集合上の連続関数 f は一様連続でないと仮定して議論を進め， f が連続でないことを導いて矛盾を出すが，これは連続性を仮定せず「有界閉集合上の関数 f が一様連続でない」と仮定し，連続でないことを示すことによって，対偶としてハイネ・カントールの定理が直接証明できる（((P かつ Q)⇒R) ⇔ ((P かつ ￢R)⇒￢Q) ということを用いる）．.

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排中律

排中律（はいちゅうりつ、Law of excluded middle）とは、論理学において、任意の命題 P に対し"P ∨ ¬P"（P であるか、または P でない）が成り立つことを主張する法則である。これは、論理の古典的体系では基本的な属性であり、同一律、無矛盾律とともに、（古典的な）思考の三原則のひとつに数えられる。しかし、論理体系によっては若干異なる法則となっている場合もあり、場合によっては排中律が全く成り立たないこともある（例えば直観論理）。 （第三の命題が排除される原理）あるいは（第三の命題・可能性は存在しない）と称され、Law of excluded middle（中間の命題は排除されて存在しない法則）または （第三の命題が排除される法則）と呼ばれ、これらが日本語での排中という表記につながり、排中原理と呼ばれる。 排中律は論理から導かれる法則ではない。また principle of bivalence とは異なる主張である。 修辞学では排中律が誤解されて利用されることがあり、誤謬の原因となっている。.

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数学

数学（すうがく、μαθηματικά, mathematica, math）は、量（数）、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.

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数学的直観主義

数学的直観主義（すうがくてきちょっかんしゅぎ）とは、数学の基礎を数学者の直観におく立場のことを指す。.

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