小さい圏の圏と層 (数学)

ショートカット: 違い、類似点、ジャカード類似性係数、参考文献。

小さい圏の圏と層 (数学)の違い

小さい圏の圏 vs. 層 (数学)

数学の特に圏論における（小さい）圏の圏（ちいさいけんのけん、category of small categories） は、すべての小さい圏を対象とし、圏の間の函手を射とする圏である。実際には、 は自然変換を (2-射) とする (2-圏) を成すものと見なせる。 の始対象は対象も射も持たない空圏 であり、終対象はただ一つの対象とただ一つの射（唯一の対象上の恒等射）のみからなる圏 （自明圏あるいは終圏という）である。 小さい圏の圏 それ自身は大きい圏であり、それゆえ自身を対象として含むことはない。ラッセルの逆理（の圏版）を避けるには「すべての（小さいとは限らない）圏の圏」はあってはならないが、「すべての圏の擬圏」(quasi­category of categories) CATを考えることはできる（擬圏は大きい圏を対象にできるという意味で圏ではないとすれば、圏の擬圏は自身を対象に含まない）。 数学における層（そう、sheaf英語で麦類の穂束、書類の束、矢の束などを意味する (sheaf - Wiktionary)。, faisceau）とは、位相空間上で連続的に変化する様々な数学的構造をとらえるための概念であり、大域的なデータを局所的に取り出すこと、および局所的なデータの貼り合わせ可能性によって定式化される。 　層は局所と大域をつなぐことばであり、装置である。層のことばを使って多様体やリーマン面などの幾何学的対象が定義できる。曲面の向きや微分形式も層のことばで定義できる。 例として、位相空間上の連続関数を考える。位相空間の各集合に対しそこで定義された連続関数の環が定まり、開集合の包含関係に対し定義域を制限することで定まる写像は環の射である。

射 (圏論)

数学の多くの分野において、型射あるいは射（しゃ、morphism; モルフィズム）は、ある数学的構造を持つ数学的対象から別の数学的対象への「構造を保つ」写像の意味で用いられる（準同型）。この意味での射の概念は現代的な数学のあらゆる場所で繰り返し生じてくる。例えば集合論における射は写像であり、線型代数学における線型写像、群論における群準同型、位相空間論における連続写像、… といったようなものなどがそうである。 圏論における射はこのような概念を広く推し進め、しかしより抽象的に扱うものである。考える数学的対象は集合である必要はないし、それらの間の関係性である射は写像よりももっと一般の何ものかでありうる。

射 (圏論)と小さい圏の圏 · 射 (圏論)と層 (数学) · 続きを見る »

圏 (数学)

数学の一分野である圏論において中核的な概念を成す圏（けん、category）は、数学的構造を取り扱うための枠組みであり、数学的対象をあらわす対象とそれらの間の関係を表す射の集まりによって与えられる。圏はそれ自体、群に類似した代数的構造として理解することができる。 二つの圏が等しいとは、それらの対象の集まりが等しく、かつそれら対象の間の射の集まりが等しく、さらにそれら射の対の結合の仕方が相等となることを言う。圏論の目的に照らせば、圏がまったく相等しいことは非常に強すぎる条件であり（それよりも緩いでさえ強すぎる）、圏同値がしばしば考慮される（二つの圏が同値であるとは、大まかに言えば圏の相等において等式で与えられる関係を、それぞれの圏における同型で置き換えたものとして与えられる）。

圏 (数学)と小さい圏の圏 · 圏 (数学)と層 (数学) · 続きを見る »

圏論

圏論（けんろん、）は、数学的構造とその間の関係を抽象的に扱う数学理論の 1 つである。サミュエル・アイレンベルグ と ソーンダース・マックレーンとによって代数的位相幾何学の基本的仕事の中で20世紀中ごろに導入された。圏論において考察の対象となる圏は対象とその間の射からなる構造であり、集合とその間の写像、あるいは要素とその間の関係（順序など）が例として挙げられる。 数学の多くの分野、また計算機科学や数理物理学のいくつかの分野で導入される一連の対象は、しばしば適当な圏の対象たちだと考えることができる。圏論的な定式化によって同種のほかの対象たちとの、内部の構造に言及しないような形式的な関係性や、別の種類の数学的な対象への関連づけなどが統一的に記述される。

圏論と小さい圏の圏 · 圏論と層 (数学) · 続きを見る »

自然変換

自然変換（しぜんへんかん、natural transformation）とは、数学における「自然な同型」という概念の定式化として生まれ、その後圏および関手とともに圏論の中核を構成した数学的な対象である。圏論において自然変換は「関手の間の射」とも表現され、圏の構造の中で関手の像を別の関手の像へ変換させる対応として定義される。 関手 の間の自然変換 は、よい条件を満たす の各対象によってパラメータ付けられた射の族 によって構成される。逆に、 の各対象によってパラメータ付けられた族 が関手の間の自然変換を構成する場合対象の族 、 が関手を構成することも条件に含む、射の族 は で自然である (natural in) とも表現される。

小さい圏の圏と自然変換 · 層 (数学)と自然変換 · 続きを見る »