図形の合同と点 (数学)

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図形の合同と点 (数学)の違い

図形の合同 vs. 点 (数学)

ユークリッド幾何学において、二つの図形が合同（ごうどう、congruence）とは、それらの形と大きさが同じであるということを数学的に表した概念である。場合によっては、形と大きさが同じである他に、一方が他方の鏡像である場合を含める。つまり、より厳密に言えば、二つの点集合が（互いに）合同であるとは、一方が他方に等距変換（すなわち、平行移動、回転および鏡映という剛体運動 (rigid motion) の組み合わせ）で移るとき、かつそのときに限り言う。しかるに二つの異なる平面図形が互いに合同ならば、いずれか一方の図形を位置を変え、あるいは鏡像反転して（しかし大きさは変えずに）他方の図形に一致させることができ、また紙の上に書いたそれらを切り取って（必要ならば紙を裏返して）ぴったり重ねることができる。 初等幾何学では以下のような形で「合同」という語がしばしば用いられる. 数学における点（てん、point）の概念は、今日では非常に広範な意味を持つものとして扱われる。歴史的には、「点」というものは、古代ギリシアの幾何学者が想定したように、直線・平面・空間を形作る根元的な「構成要素」、「原子」となるべきものであり、直線、平面、空間は点からなる集合（点集合）ということになる。しかし、19世紀の終わりごろにゲオルク・カントールによる集合論の創始と、それに続く数多くの「数学的構造」の出現があって以降は、その文脈で「空間」と呼ぶことにした任意の集合における任意の元という意味で「点」という用語が用いられる（例えば、距離空間の点、位相空間の点、射影空間の点、など）。古代ギリシア人は「点」と「数」とを区別して扱ったが、それとは対照的に、この文脈では「数（実数）」は実数直線上の点であるという言い回しを用いることができる。 つまり数学者にとって最も一般の意味での「点」とは、集合が「空間」と捉えられかつ公理によって規定される特定の性質を備えているという状況さえあれば十分で、そのような「空間」の任意の元がすなわち「点」なのである。したがって、今日における術語「空間」は全体集合に、また術語「点」は元に、ほぼ同義である。考えている問題がもはや幾何学とは何の関係もないような場合でさえ、何らかの示唆的な期待によって「点」や「空間」という語が用いられている。.

ユークリッド原論

ュリュンコスで発見された『ユークリッド原論』のパピルスの写本断片。紀元100年ごろの作。図は『原論』第2巻の命題5に添えられたもの。 ユークリッド原論（ユークリッドげんろん)は、紀元前3世紀ごろにエジプトのアレクサンドリアの数学者ユークリッドによって編纂されたと言われる数学書『原論』（げんろん、Στοιχεία, ストイケイア、Elements）のことである。著者のユークリッドに関する資料は乏しく実在性を疑う説もあり、原論執筆の地がアレクサンドリアであることに対する明確な根拠も無い。プラトンの学園アカデメイアで知られていた数学の成果を集めて体系化した本と考えられており、論証的学問としての数学の地位を確立した古代ギリシア数学を代表する名著である。古代の書物でありながらその影響は古代に留まらず、後世の人々によって図や注釈が加えられたり翻訳された多種多様な版が作られ続け、20世紀初頭に至るまで標準的な数学の教科書の一つとして使われていたため、西洋の書物では聖書に次いで世界中で読まれてきた本とも評される。英語の数学「Mathematics」の語源といわれているラテン語またはギリシア語の「マテーマタ」（Μαθήματα）は「レッスン（学ばれるべきことども）」という意味であり、このマテーマタを集大成したものが『原論』である。.

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ユークリッド幾何学

ユークリッド幾何学（ユークリッドきかがく、Euclidean geometry）は、幾何学体系の一つであり、古代エジプトのギリシア系・哲学者であるエウクレイデスの著書『ユークリッド原論』に由来する。詳しい説明は『ユークリッド原論』の記事にある。.

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円 (数学)

数学において、円（えん）とは、平面（2次元ユークリッド空間）上の、定点 O からの距離が等しい点の集合でできる曲線のことをいう。ここで現れる定点 O を円の中心と呼ぶ。円には、その中心が1つあり、また1つに限る。中心から円周上の 1 点を結んだ線分を輻（や）とよび、その長さを半径というが、現在では輻のことを含めて半径と呼ぶことが多い。中心が点 O である円を、円 O と呼ぶ。定幅図形の一つ。 円が囲む部分、すなわち円の内部を含めて円ということもある。この場合は、曲線のことを円周という。これに対して、内部を含めていることを強調するときには円板という。また、三角形、四角形などと呼称を統一して、円形ということもある。 数学以外の分野ではこの曲線のことを「丸（まる）」という俗称で呼称することがある。 円: 中心、半径・直径、円周.

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公理

公理（こうり、axiom）とは、その他の命題を導きだすための前提として導入される最も基本的な仮定のことである。一つの形式体系における議論の前提として置かれる一連の公理の集まりを (axiomatic system) という 。公理を前提として演繹手続きによって導きだされる命題は定理とよばれる。多くの文脈で「公理」と同じ概念をさすものとして仮定や前提という言葉も並列して用いられている。 公理とは他の結果を導きだすための議論の前提となるべき論理的に定式化された（形式的な）言明であるにすぎず、真実であることが明らかな自明の理が採用されるとは限らない。知の体系の公理化は、いくつかの基本的でよく知られた事柄からその体系の主張が導きだせることを示すためになされることが多い。 なお、ユークリッド原論などの古典的な数学観では、最も自明（絶対的）な前提を公理、それに準じて要請される前提を公準 (postulate) として区別していた。.

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線分

線分の幾何学的な定義 幾何学における線分（せんぶん、Line segment）とは2つの点に挟まれた直線の部分であり、それら端点の間にあるどの点も含む。 通常は端点も含むものとするが、端点を含まないものも線分として認め、端点を含む狭義の線分を閉線分、含まないものを開線分とすることもある。 線分の例として、三角形や四角形の辺が挙げられる。もっと一般に、端点がある1つの多角形の頂点となっている線分は、その端点が多角形の隣接する2頂点であるときその多角形の辺となり、そうでないときには対角線である。端点が円周のような1つの曲線上に載っているとき、その線分はその曲線の弦と呼ばれる。.

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