作用素環論と対合環

ショートカット: 違い、類似点、ジャカード類似性係数、参考文献。

作用素環論と対合環の違い

作用素環論 vs. 対合環

作用素環論（さようそかんろん、）とは、作用素環とよばれるクラスの位相線型環を主に研究する数学の分野である。研究対象の直接的な定義からは複素数体上無限次元の線型代数学と言え、普通関数解析学に分類されている。しかし、その手法や応用はいわゆる代数学・幾何学・解析学の諸分野に幅広くわたり、アラン・コンヌが提唱する非可換幾何の枠組みを与えていることでも特筆される。 作用素環とは普通ヒルベルト空間上の有界線型作用素（連続な線型写像）のなす複素数体上の線型環に適当なノルムによる位相を定めたもので、随伴作用とよばれる対合変換で閉じたもののことを指す。この随伴作用は複素行列の共役転置作用をヒルベルト空間上の作用素について考えたものであり、有限次元の線型代数学と同様に自己共役作用素やユニタリ作用素が理論の展開に重要な役割をはたす。主要な作用素環のクラスとしては、局所コンパクト空間上の複素数値連続関数環の「量子化」を与えていると考えられるC*-環や、可測関数環に対応するフォン・ノイマン環があげられる。それ以外にも、考える作用素環の無限性をとらえる非有界（自己共役）作用素も決定的な役割を果たしているし、多様体上の微分構造に対応するより繊細な構造の位相環と、それらに対するド・ラームコホモロジーの類似物なども研究されている。 このような作用素環が可換になったり I 型とよばれる簡単な構造を持つ場合にさまざまな（作用素環以前の）古典的な対象が現れ、作用素環の構造が複雑になるほど古典的な数学では捉えにくい複雑な状況が表されていると考えられる。作用素環論の主な目標として、このように作用素環によって「非可換」化・量子化された幾何的対象を表現し、通常の図形と（可分）位相群などとを統一的に理解することや、それらに対するホモロジー・コホモロジー的な理論（K理論）の構成と理解などが挙げられる。 1930年代のとフォン・ノイマンのフォン・ノイマン環に関する一連の論文や、1940年代のイズライル・ゲルファントとによるC*-環に関する研究が作用素環論の始まりだといわれている。可換環と局所コンパクト空間の圏の同値性を与えるゲルファント・ナイマルクの定理はアレクサンドル・グロタンディークによるスキームの概念にも影響を与えている。1970年代に冨田・竹崎理論を駆使してコンヌが III 型フォン・ノイマン環の分類をほぼ完成させた。1980年代にはヴォーン・ジョーンズによって部分因子環の理論と、その派生物としてトポロジーにおける結び目の不変量を与えるようなジョーンズ多項式が得られた。一方で作用素環はそのはじめから数理物理（特に量子力学）の定式化に使われることが意識されており、現在でも物理学とのあいだに活発な交流がある。 日本の作用素環論の研究者で1994年以降、ICMで全体講演をしたものはいないが、招待講演者の中には小沢登高、泉正己がいる。. 数学、特に抽象代数学における対合環（ついごうかん、involutory ring）、-環（スターかん、∗-ring）記法について: 対合 は後置により表される単項演算で、そのグリフはミーンライン付近やや上方に中心がくるように右肩にのせて のように書くが、"" のように中心がミーンライン上にくるようにはしない（スター記号 * とスター演算記号 ∗ との混同に注意: アスタリスクの項も参照）。あるいは対合付き環（ついごうつきかん、involution）は、環構造と両立する対合（共軛演算、随伴）を備える代数系である。可換 -環 上の結合多元環 がそれ自身 -環でもあるとき、二つの -環の -構造が両立するならば、 を -環 上の 対合多元環（ついごうたげんかん、involutive algebra; 対合代数）、-多元環（スターたげんかん、∗-algebra; -代数）あるいは対合付き多元環（ついごうつきたげんかん、algebra with involution; 対合つき代数）という。 対合環における対合（-演算）は複素数体における複素共軛を一般化するものであり、また対合多元環における対合は複素行列環における共軛転置あるいはヒルベルト空間上の線型作用素のエルミート共軛を一般化するものである。.

対合

対合（たいごう、ついごう、involution）は、自分自身をその逆として持つ写像である。 これは空間上の変換であって、二回繰り返すと恒等変換となる（元に戻る）という性質 を持つものと言ってもよい。ただし、それ自身が恒等変換となるものは通常は除いて考える。またこれは変換群に属する位数 2 の元 を指すと言っても同じことであり、それを理由に一般の群（抽象群）においても位数 2 の元を対合と呼ぶことがある。.

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作用素

数学における作用素（さようそ、operator）は、しばしば写像、函数、変換などの同義語として用いられる。函数解析学においては主にヒルベルト空間やバナッハ空間上の（必ずしも写像でない部分写像の意味での）線型変換を単に作用素と呼ぶ。そのような空間として特に函数空間と呼ばれる函数の成す無限次元線型空間は典型的であり（同じものを物理学の分野、特に量子力学などでは演算子（えんざんし）と呼ぶ）、このとき、作用素を関数を別の関数にうつす写像として理解することができる。数（定数関数）の集合に値をとる作用素は汎函数（はんかんすう、functional）と呼ばれる。 また、群や環が空間に作用しているとき、群や環の各元が定める空間上の変換、あるいはその変換が引き起こす関数空間上の変換のことを作用素ということがある。.

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ヒルベルト空間

数学におけるヒルベルト空間（ヒルベルトくうかん、Hilbert space）は、ダフィット・ヒルベルトにその名を因む、ユークリッド空間の概念を一般化したものである。これにより、二次元のユークリッド平面や三次元のユークリッド空間における線型代数学や微分積分学の方法論を、任意の有限または無限次元の空間へ拡張して持ち込むことができる。ヒルベルト空間は、内積の構造を備えた抽象ベクトル空間（内積空間）になっており、そこでは角度や長さを測るということが可能である。ヒルベルト空間は、さらに完備距離空間の構造を備えている（極限が十分に存在することが保証されている）ので、その中で微分積分学がきちんと展開できる。 ヒルベルト空間は、典型的には無限次元の関数空間として、数学、物理学、工学などの各所に自然に現れる。そういった意味でのヒルベルト空間の研究は、20世紀冒頭10年の間にヒルベルト、シュミット、リースらによって始められた。ヒルベルト空間の概念は、偏微分方程式論、量子力学、フーリエ解析（信号処理や熱伝導などへの応用も含む）、熱力学の研究の数学的基礎を成すエルゴード理論などの理論において欠くべからざる道具になっている。これら種々の応用の多くの根底にある抽象概念を「ヒルベルト空間」と名付けたのは、フォン・ノイマンである。ヒルベルト空間を用いる方法の成功は、関数解析学の実りある時代のさきがけとなった。古典的なユークリッド空間はさておき、ヒルベルト空間の例としては、自乗可積分関数の空間 、自乗総和可能数列の空間 、超関数からなるソボレフ空間 、正則関数の成すハーディ空間 などが挙げられる。 ヒルベルト空間論の多くの場面で、幾何学的直観は重要である。例えば、三平方の定理や中線定理（の厳密な類似対応物）は、ヒルベルト空間においても成り立つ。より深いところでは、部分空間への直交射影（例えば、三角形に対してその「高さを潰す」操作の類似対応物）は、ヒルベルト空間論における最適化問題やその周辺で重要である。ヒルベルト空間の各元は、平面上の点がそのデカルト座標（直交座標）によって特定できるのと同様に、座標軸の集合（正規直交基底）に関する座標によって一意的に特定することができる。このことは、座標軸の集合が可算無限であるときには、ヒルベルト空間を自乗総和可能な無限列の集合と看做すことも有用であることを意味する。ヒルベルト空間上の線型作用素は、ほぼ具体的な対象として扱うことができる。条件がよければ、空間を互いに直交するいくつかの異なる要素に分解してやると、線型作用素はそれぞれの要素の上では単に拡大縮小するだけの変換になる（これはまさに線型作用素のスペクトルを調べるということである）。.

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フォン・ノイマン環

フォン・ノイマン環（ふぉんのいまんかん、von Neumann algebra）とは、ヒルベルト空間上の有界線型作用素たちのなす C*-環のうちで恒等作用素を含み作用素の弱収束位相について閉じているもののことである。一般の C*-環と並ぶ作用素環論の主要な研究対象であり、理論の創始者の一人ジョン・フォン・ノイマンにちなんでこの名前がついている。可換なフォン・ノイマン環の重要な例として、σ-有限な測度空間 X 上の L∞ 級関数全体のなす環があげられる。.

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C*-環

数学における -環（しーすたーかん、C*-algebra）とは複素数体上の完備なノルム環で複素共役に類似の作用をもつものであり、フォン・ノイマン環と並ぶ作用素環論の主要な研究対象である。-代数（シースターだいすう）とも呼ばれる。1943年のGel'fand-Naimarkと1946年のRickartの研究によって公理系が与えられた。'-algebra' という用語は1947年にSegalによって導入された。 -環はその内在的な構造のみにもとづいて公理的に定義されるが、実はどんな -環もヒルベルト空間上の線形作用素のなす環で、随伴操作とノルムに関する位相で閉じたものとして実現されることが知られている。また、可換な -環を考えることは局所コンパクト空間上の複素数値連続関数環を考えることになり、その連続関数環からはもとの位相空間を復元できるので、可換 -環の理論は局所コンパクト空間の理論と等価だといえる。一般の -環は、群（あるいは亜群）など、幾何学的な文脈に現れながら普通の空間とは見なされないようなものを包摂しうる変形（「量子化」）された空間を表していると考えることもできる。.

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複素数

数学における複素数（ふくそすう、complex number）は、実数の対 と と線型独立な（実数ではない）要素 の線型結合 の形に表される数（二元数: 実数体上の二次拡大環の元）で、基底元 はその平方が になるという特別な性質を持ち虚数単位と呼ばれる。 複素数全体の成す集合を太字の あるいは黒板太字で と表す。 は、実数全体の成す集合 と同様に、可換体の構造を持ち、とくに を含む代数閉体を成す。複素数体はケイリー–ディクソン代数（四元数、八元数、十六元数など）の基点となる体系であり、またさまざまな超複素数系の中で最もよく知られた例である。 複素数の概念は、一次元の実数直線を二次元の複素数平面に拡張する。複素数は自然に二次元平面上に存在すると考えることができるから、複素数全体の成す集合上に自然な大小関係（つまり全順序）をいれることはできない。すなわち は順序体でない。 ある数学的な主題や概念あるいは構成において、それが複素数体を基本の体構造として考えられているとき、そのことはしばしばそれら概念等の名称に（おおくは接頭辞「複素-」を付けることで）反映される。例えば、複素解析、複素行列、複素（係数）多項式、複素リー代数など。.

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