ブラウザよりも高速アクセス！
52 関係: 単射、単集合、同型写像、始対象と終対象、完備束、密着空間、射 (圏論)、射影極限、帰納極限、位相同型、位相多様体、位相空間、余積、余等化子、圏 (数学)、圏論、像 (数学)、ハウスドルフ空間、モニック射、トポス、デカルト閉圏、ホモトピー、エピ射、冪対象、写像、写像の合成、商位相空間、商写像、全射、前加法圏、図式 (圏論)、稠密集合、積 (圏論)、積位相、空集合、等化子、点付き空間、直和 (位相空間論)、直積集合、相対位相、随伴関手、違いを除いて、順序集合、部分圏、部分集合、離散空間、零射、集合、集合の圏、連続写像、...、極限 (圏論)、数学。 インデックスを展開 (2 もっと) »
単射
数学において、単射あるいは単写（たんしゃ、injective function, injection）とは、その値域に属する元はすべてその定義域の元の像として唯一通りに表されるような写像のことをいう。一対一（いったいいち、）の写像ともいう。似ているが一対一対応は全単射の意味で使われるので注意が必要である。.
単集合
数学における単集合（たんしゅうごう、singleton; 単元集合、単項集合、一元集合）あるいは単位集合（）は、唯一の元からなる集合である。一つ組 (1-tuple) や単項列 (a sequence with one element) と言うこともできる。 例えば、 という集合は単集合である。.
新しい！!: 位相空間の圏と単集合 · 続きを見る »
同型写像
数学において，同型写像（isomorphismfrom the Ancient Greek: ἴσος isos "equal", and μορφή morphe "form" or "shape"）あるいは単に同型とは，は準同型写像あるいは射であって，逆射を持つものである逆関数ではない．．2つの数学的対象が同型 (isomorphic) であるとは，それらの間に同型写像が存在することをいう．自己同型写像は始域と終域が同じ同型写像である．同型写像の興味は2つの同型な対象は写像を定義するのに使われる性質のみを使って区別できないという事実にある．したがって同型な対象はこれらの性質やその結果だけを考える限り同じものと考えてよい． 群や環を含むほとんどの代数的構造に対して，準同型写像が同型写像であることと全単射であることは同値である． 位相幾何学において，射とは連続写像のことであるが，同型写像は同相写像あるいは双連続写像とも呼ばれる．解析学において，射は可微分関数であり，同型写像は微分同相とも呼ばれる． 標準的な同型写像 (canonical isomorphism) は同型であるようなである．2つの対象が標準的に同型 (canonically isomorphic) であるとは，それらの間に標準的な同型写像が存在することをいう．例えば，有限次元ベクトル空間 から二重双対空間への標準的な写像は標準的な同型写像である．一方， は双対空間に同型であるが，一般には標準的にではない． 同型写像は圏論を用いて形式化される．ある圏の射 が同型射であるとは，両側逆射を持つことをいう，すなわち，その圏における別の射 があって， かつ となる，ただし と はそれぞれ と の恒等射である．.
新しい！!: 位相空間の圏と同型写像 · 続きを見る »
始対象と終対象
数学の抽象的な分野である圏論において、圏 の始対象（したいしょう、initial object, coterminal object）とは、 の任意の対象 に対してちょうど一つの射 が存在するような の対象 のことを指す。圏 の終対象（しゅうたいしょう、final object, terminal object）とは、始対象の双対概念であり、 の任意の対象 に対してちょうど一つの射 が存在するような の対象 のことを指す。 始対象でも終対象でもあるような対象は零対象（れいたいしょう、ゼロたいしょう、zero object, null object）と呼ばれる。点付き圏 とは零対象を持つ圏を言う。.
新しい！!: 位相空間の圏と始対象と終対象 · 続きを見る »
完備束
数学の一分野における完備束（complete lattice）とは部分集合が常に上限と下限を持つ半順序集合のことである。 完備束は束の重要な例で順序集合論及び普遍代数の研究対象であり、数学及び計算機科学に多くの応用を持つ。 には様々な異なる定義があるので注意を要する（例えば完備半順序 (CPO) は完備束とは異なる概念である）。特に重要な完備束のクラスとしてや (locale) がある。.
新しい！!: 位相空間の圏と完備束 · 続きを見る »
密着空間
数学の位相空間論周辺分野における密着空間（みっちゃくくうかん、indiscrete space）は、直観的にはその空間の全ての点が「一塊に密着」していてどの点も位相的な意味で区別できないような位相空間である。密着空間の位相は、開集合系が空集合と空間全体のみからなる自明な位相 (trivial toppology) であり、これをしばしば密着位相 (indiscrete topology) とも呼ぶ。密着空間を、任意の二点間の距離が 0 であるような距離函数に関する擬距離空間と考えることができる。.
新しい！!: 位相空間の圏と密着空間 · 続きを見る »
射 (圏論)
数学の多くの分野において、型射あるいは射（しゃ、morphism; モルフィズム）は、ある数学的構造を持つ数学的対象から別の数学的対象への「構造を保つ」写像の意味で用いられる（準同型）。この意味での射の概念は現代的な数学のあらゆる場所で繰り返し生じてくる。例えば集合論における射は写像であり、線型代数学における線型写像、群論における群準同型、位相空間論における連続写像、… といったようなものなどがそうである。 圏論における射はこのような概念を広く推し進め、しかしより抽象的に扱うものである。考える数学的対象は集合である必要はないし、それらの間の関係性である射は写像よりももっと一般の何ものかでありうる。 射の、そして射がその上で定義される構造（対象）を調べることは圏論の中核を成す。射に関する用語法の多くは、その直観的背景でもある（対象が単に付加構造を備えた集合で、射がその構造を保つ写像であるような圏）に由来するものとなっている。また圏論において、圏を図式と呼ばれる有向グラフによって見る立場から、射は有向辺あるいは矢印 (arrow) と呼ばれることもある。.
新しい！!: 位相空間の圏と射 (圏論) · 続きを見る »
射影極限
数学における逆極限（ぎゃくきょくげん、inverse limit）あるいは射影極限（しゃえいきょくげん、projective limit）は、正確な言い方ではないが、いくつかの関連する対象を「貼合せる」ような構成法であり、貼合せの具体的な方法は対象の間の射によって決められている。逆極限は任意の圏において考えることができる。.
新しい！!: 位相空間の圏と射影極限 · 続きを見る »
帰納極限
数学における順極限（じゅんきょくげん）または直極限（ちょくきょくげん、direct limit）もしくは帰納極限（きのうきょくげん、inductive limit）は、「対象の向き付けられた族」の余極限である。本項ではまず群や加群などの代数系に対する帰納極限の定義から始めて、あらためて任意の圏において通用する一般的な定義を与える。.
新しい！!: 位相空間の圏と帰納極限 · 続きを見る »
位相同型
位相同型 （いそうどうけい、homeomorphic）、あるいは同相（どうそう）とは、2つの位相空間が位相空間として等しいことを表す概念である。 例えば、球の表面と湯飲みの表面とはある「連続」な双方向の移し方で互いに移し合うことができるので同相であり、また穴が1つ開いたドーナツの表面 (トーラス) と持ち手がひとつあるマグカップの表面も同じく同相である。よって球の表面と湯のみの表面は位相幾何学的に全く同一の性質を持ち、ドーナツの表面とマグカップの表面も同一の性質を持つ。しかし、球面とトーラスとはこのような写し方が存在しないので同相とはならない。（直観的には、連続的な変形によって穴の個数が変化することはないということである。） ここで連続な写し方とは、直観的には近いところを近いところに写すような写し方を意味する。.
新しい！!: 位相空間の圏と位相同型 · 続きを見る »
位相多様体
位相幾何学という数学の分野において，位相多様体（いそうたようたい，topological manifold）とは，以下に定義される意味で実 次元空間に局所的に似ている（分離空間でもある）位相空間である．位相多様体は数学全般に応用を持つ位相空間の重要なクラスをなす． 「多様体」は位相多様体を意味することもあるし，より多くは，追加の構造を持った位相多様体を指す．例えば可微分多様体は可微分構造を備えた位相多様体である．任意の多様体は，単に追加の構造を忘れることによって得られる，台となる位相多様体を持つ．多様体の概念の概観はその記事に与えられている．この記事は純粋に多様体の位相的側面に焦点を当てる．.
新しい！!: 位相空間の圏と位相多様体 · 続きを見る »
位相空間
数学における位相空間（いそうくうかん, topological space）とは、集合にある種の情報（位相、topology）を付け加えたもので、この情報により、連続性や収束性といった概念が定式化可能になる。 位相空間論は位相空間の諸性質を研究する数学の分野である。.
新しい！!: 位相空間の圏と位相空間 · 続きを見る »
余積
圏論において、余積（よせき、双対積、双対直積、coproduct）あるいは圏論的和（わ、直和、sum, direct sum）は、集合の直和、位相空間の直和、群の自由積、加群やベクトル空間の直和などを例として含む圏論的構成である。対象の族の余積は本質的に、族の各対象がそこへの射をもつような「最も固有的でない (least specific)」対象である。それは圏論的（直）積の圏論的双対概念であり、これは定義がすべての矢印を逆にすることを除けば積と同じであることを意味する。名前と表記の一見無害な変化にも関わらず、余積は積と劇的に異なり得るし、典型的にはそうなる。.
余等化子
圏論における余等化子（よとうかし、coequalizer, coequaliser）は同値関係による商の、任意の圏における対象に対する一般化である。余等化子は等化子の双対となる圏論的構成である。.
新しい！!: 位相空間の圏と余等化子 · 続きを見る »
圏 (数学)
数学の一分野である圏論において中核的な概念を成す圏（けん、category）は、数学的構造を取り扱うための枠組みであり、数学的対象をあらわす対象とそれらの間の関係を表す射の集まりによって与えられる。圏はそれ自体、群に類似した代数的構造として理解することができる 二つの圏が等しい（相等）とは、それらの対象の集まりが等しく、かつそれら対象の間の射の集まりが等しく、さらにそれら射の対の結合の仕方が相等となることを言う。圏論の目的に照らせば、圏がまったく相等しいことは非常に強すぎる条件であり（それよりも緩いでさえ強すぎる）、圏同値がしばしば考慮される（二つの圏が同値であるとは、大まかに言えば圏の相等において等式で与えられる関係を、それぞれの圏における同型で置き換えたものとして与えられる）。 圏論が初めて現れるのは Eilenberg–Mac Lane, "General Theory of Natural Equivalences" (1945) と題された論文である。古典的だが今もなお広く用いられる教科書として、マクレーンの がある。.
新しい！!: 位相空間の圏と圏 (数学) · 続きを見る »
圏論
圏論（けんろん、category theory）は、数学的構造とその間の関係を抽象的に扱う数学理論の 1 つである。 考えている種類の「構造」を持った対象とその構造を反映するような対象間の射の集まりからなる圏が基本的な考察の対象になる。 数学の多くの分野、また計算機科学や数理物理学のいくつかの分野で導入される一連の対象は、しばしば適当な圏の対象たちだと考えることができる。圏論的な定式化によって同種のほかの対象たちとの、内部の構造に言及しないような形式的な関係性や、別の種類の数学的な対象への関連づけなどが統一的に記述される。.
像 (数学)
'''f''' は始域 '''X''' から終域 '''Y''' への写像。'''Y''' の内側にある小さな楕円形が '''f''' の像である。 数学において、何らかの写像の像（ぞう、image）は、写像の始域（域、定義域）の部分集合上での写像の出力となるもの全てからなる、写像の終域（余域）の部分集合である。すなわち、始域の部分集合 X の各元において写像の値を評価することによって得られる集合を f による（または f に関する、f のもとでの、f を通じた）X の像という。また、写像の終域の何らかの部分集合 S の逆像（ぎゃくぞう、inverse image）あるいは原像（げんぞう、preimage）は、S の元に写ってくるような始域の元全体からなる集合である。 像および逆像は、写像のみならず一般の二項関係に対しても定義することができる。.
新しい！!: 位相空間の圏と像 (数学) · 続きを見る »
ハウスドルフ空間
数学におけるハウスドルフ空間（ハウスドルフくうかん、Hausdorff space）とは、異なる点がそれらの近傍によって分離できるような位相空間のことである。これは分離空間(separated space)またはT2 空間とも呼ばれる。位相空間についてのさまざまな分離公理の中で、このハウスドルフ空間に関する条件はもっともよく仮定されるものの一つである。ハウスドルフ空間においては点列（あるいはより一般に、フィルターやネット）の極限の一意性が成り立つ。位相空間の理論の創始者の一人であるフェリックス・ハウスドルフにちなんでこの名前がついている。ハウスドルフによって与えられた位相空間の公理系にはこのハウスドルフ空間の公理も含まれていた。.
新しい！!: 位相空間の圏とハウスドルフ空間 · 続きを見る »
モニック射
数学の圏論において、モニック射あるいはモノ射、単射 (monomorphism, monic morphism) とは、左簡約可能な射のことである。つまり、射 がモニックであるとは、任意の射 に対して、 が成り立つということである。 これは集合間の写像の意味での単射の抽象化であり、射が写像であり集合論的単射であれば圏論的単射であるが、逆は必ずしも成り立たない。しかしながら、集合の圏や群の圏、環上の加群の圏などでは、圏論の意味での単射は集合論の意味での単射と一致する。.
新しい！!: 位相空間の圏とモニック射 · 続きを見る »
トポス
トポス（τόπος）とは、ギリシア語で「場所」を意味する語であり、以下の用法がある。.
新しい！!: 位相空間の圏とトポス · 続きを見る »
デカルト閉圏
圏論において、カテゴリーがデカルト閉（デカルトへい、cartesian closed）であるとは、大雑把に言えば任意の二つの対象の直積上で定義される射が直積因子の一方で定義される射と自然に同一視できることである。デカルト閉な圏はラムダ計算の自然な設定ができるという点で数理論理学およびプログラミングの理論において特に重要である。デカルト閉圏の概念はモノイド圏に一般化される（モノイド閉圏を参照）。.
新しい！!: 位相空間の圏とデカルト閉圏 · 続きを見る »
ホモトピー
数学におけるホモトピー (homotopy)とは、点や線や面などの幾何学的対象、あるいはそれらの間の連続写像が連続的に移りあうということを定式化した位相幾何学における概念のひとつである。位相幾何学では、2 つの対象 A と X との関係のうち、連続的な変形によって保たれるものを問題とすることが多い。これらの関係はふつう連続写像 A → X を通して定義され、ホモトピーの概念は連続的に変形する連続写像の族によって定式化される。ホモトピー的な種々の不変量は位相幾何学の研究における基本的な道具となる。 考察している幾何学的対象に「穴」が開いていれば、端を固定された曲線はそれを越えて連続的に変形することができない。したがって、ホモトピーによって「穴」の有無や、単純な構成要素に分解したときのそれらの組み合わせ的なつながり具合といった構造を調べることができる。ホモトピーが威力を発揮するのは、空間や写像といった幾何学的な対象に対し群や準同型などという代数的な対象を対応づけることであり、またそのような代数的な対象がしばしばもとの幾何学的な対象よりも単純化されているということにある。 このように、代数的な道具によって空間と写像の位相的性質を調べるという方法をとる幾何学は、代数的位相幾何学と呼ばれる。.
新しい！!: 位相空間の圏とホモトピー · 続きを見る »
エピ射
数学の圏論において、エピ射あるいは全射 (epimorphism, epic morphism) とは、右簡約可能な射のことである。つまり、射 がエピであるとは、任意の射 に対して、 が成り立つということである。 これは集合間の写像の意味での全射の抽象化であり、射が写像であり集合論的全射であれば圏論的全射であるが、逆は必ずしも成り立たない。例えば可換環の圏における整数環から有理数体への包含写像 が反例となる。しかしながら、集合の圏や群の圏、環上の加群の圏などでは、圏論の意味での全射は集合論の意味での全射と一致する。.
新しい！!: 位相空間の圏とエピ射 · 続きを見る »
冪対象
数学、特に圏論における指数対象（しすうたいしょう、exponential object）は、集合論における配置集合に相当する、圏論的な対象である。指数対象は配置対象（map object; 写像対象）や冪対象（べきたいしょう、power object）とも呼ばれるが、「冪対象」という呼称は、トポス理論において（本項で言うのとは異なり）、冪集合を一般化した概念を表すために用いられるため文脈に注意すべきである。 任意の有限積と指数対象を持つ圏はデカルト閉圏と呼ばれ、理論計算機科学への応用などの観点から重要視されている。.
新しい！!: 位相空間の圏と冪対象 · 続きを見る »
写像
写像（しゃぞう、mapping, map）とは、二つの集合が与えられたときに、一方の集合の各元に対し、他方の集合のただひとつの元を指定して結びつける対応のことである。函数（関数）、変換、作用素、射などが写像の同義語として用いられることもある。 ブルバキに見られるように、写像は集合とともに現代数学の基礎となる道具の一つである。現代的な立場では、「写像」と（一価の）「函数」は論理的におなじ概念を表すものと理解されているが、歴史的には「函数」の語は解析学に出自を持つものであり、一部には必ずしも写像でないものも函数の名の下におなじ範疇に扱われる（多価函数参照）。文献によっては「数の集合（大抵の場合実数体 または複素数体 の部分集合）を終域に持つ写像」をして特に「函数」と呼び、「写像」はより一般の場合に用いる。函数、二項関係、対応の各項も参照のこと。.
写像の合成
数学において写像あるいは函数の合成（ごうせい、composition）とは、ある写像を施した結果に再び別の写像を施すことである。 たとえば、時刻 t における飛行機の高度を h(t) とし、高度 x における酸素濃度を c(x) で表せば、この二つの函数の合成函数 (c ∘ h)(t).
新しい！!: 位相空間の圏と写像の合成 · 続きを見る »
商位相空間
位相空間論およびそれに関連する数学の各分野において、等化空間（とうかくうかん、identification space）または商位相空間（しょういそうくうかん、quotient topological space）あるいは単に商空間 (quotient space) とは、直観的には与えられた空間のある種の点の集まりを「貼合せ」("gluing together") あるいは同一視してしまうことによって得られる新しい空間である。ただし、ここで貼合わせられるべき点の集まりというのは、何らかの同値関係によって決定される。 このような商空間構成は、与えられた位相空間から新たな空間を構成する方法の一つとして広く用いられる。.
新しい！!: 位相空間の圏と商位相空間 · 続きを見る »
商写像
数学における商写像（しょうしゃぞう、quotient mapping）、自然な全射 あるいは標準全射 または自然な射影 あるいは標準射影 は、考えている集合に適当な同値関係が与えられているとき、その各元をそれが属する同値類へ送る写像で、数学の様々な分野において生じる。圏論において商対象の概念に一般化される。.
新しい！!: 位相空間の圏と商写像 · 続きを見る »
全射
数学において、写像が全射的（ぜんしゃてき、surjective, onto）であるとは、その終域となる集合の元は何れもその写像の像として得られることを言う。即ち、集合 から集合 への写像 について、 の各元 に対し となるような の元 が（一般には複数あってもよいが）対応させられるとき、写像 は全射 (surjection, onto mapping/function) であるという。全写（あるいは全写像）とも書く。 全射（および単射、双射）の語は20世紀フランスの数学結社ブルバキ（1935年以降『数学原論』シリーズを刊行している）により導入されたものである。接頭辞 sur- はフランス語で「上の」を意味し、写像の始域が終域全体をすっぽり覆い尽くすように写し込まれるイメージを反映したものになっている。sur, in, bi, jection いずれもラテン語源である。.
前加法圏
数学、特に圏論において、前加法圏とは可換群のなすモノイド圏で豊穣化した圏のことである。言い換えると、圏Cが前加法的であるとは、Cの各hom集合 Hom(A,B) が可換群の構造を持ち、さらに射の合成について双線形であることをいう。 可換群の圏 を Ab と書く記法に由来して、前加法圏を「Ab-圏」と呼ぶこともある。著者によっては前加法圏を加法圏と呼ぶこともあるが、ある特別な前加法圏(以下の#特別な場合を参照)のことを加法圏と呼ぶのが最近の傾向である。.
新しい！!: 位相空間の圏と前加法圏 · 続きを見る »
図式 (圏論)
集合論における添え字付き集合族に類似した概念が、圏論における図式である。一番の違いは、圏論では射にも添え字を付ける必要があることである。添え字付き集合族は、ある固定した集合で添え字付けた集合の集まりのことであり、これは、固定した添え字集合から集合全体のクラスへの関数のことであると言っているのと同じである。これに対して、図式は、ある固定した圏で添え字付けた対象と射の集まりのことであり、固定した添え字圏からある圏への関手のことであると言うこともできる。 図式は極限と余極限の定義において中心となる概念であり、とも関連している。.
新しい！!: 位相空間の圏と図式 (圏論) · 続きを見る »
稠密集合
数学の位相空間論周辺分野において、位相空間 X の部分集合 A が X において稠密（ちゅうみつ、dense）であるとは、X の各点 x が、A の元であるか、さもなくば A の集積点であるときにいう。イメージで言えば、X の各点が A の中かさもなくば A の元の「どれほどでも近く」にあるということを表している。例えば、任意の実数は、有理数であるか、さもなくばどれほどでも近い有理数をとることができる（ディオファントス近似も参照）。.
新しい！!: 位相空間の圏と稠密集合 · 続きを見る »
積 (圏論)
圏論において、考えている圏の二つの（あるいはそれ以上の）対象の（圏論的）積（せき、product）または直積 (direct product) は集合の直積（デカルト積）、群の直積、環の直積、位相空間の直積といった数学の他の分野における構成の背後にある本質を捉えるために考えられた概念である。本質的に対象の族の積は与えられた対象のそれぞれへの射をもつ「最も一般な」対象である。.
新しい！!: 位相空間の圏と積 (圏論) · 続きを見る »
積位相
位相幾何学とその周辺において、積空間（せきくうかん、product space）とは位相空間の族の直積に積位相 (product topology) と呼ばれるを入れた空間のことである。この位相は他の、もしかするとより明らかな、と呼ばれる位相とは異なる。箱位相も積空間に与えることができ、有限個の空間の直積では積位相と一致する。しかしながら、積位相は位相空間の圏における圏論的積であるという意味で「正しい」位相である。（一方箱位相は細かすぎる。）これが積位相が「自然」であるという意味である。.
新しい！!: 位相空間の圏と積位相 · 続きを見る »
空集合
集合（くうしゅうごう、empty set）は、要素を一切持たない集合の事である。公理的集合論において、空集合は公理として存在を仮定される場合と、他の公理から存在が導かれる場合がある。空集合を表す記号として、∅ または \emptyset、 がある。記号 ∅ はノルウェー語等で用いられるアルファベット Ø に由来しており、形の似ているギリシャ文字φ, Φ（ファイ）とは全く関係がない。.
新しい！!: 位相空間の圏と空集合 · 続きを見る »
等化子
数学における等化子（とうかし、equalizer, equaliser）は、与えられた複数の写像に対してそれらの値が等しくなるような引数全体の成す集合を言う。従って各等化子は特定の形の方程式のとして得られる。特定の文脈では、ちょうど二つの写像の等化子を、それら写像の差核 (difference kernel) と呼ぶ。.
新しい！!: 位相空間の圏と等化子 · 続きを見る »
点付き空間
数学における点付き空間（てんつきくうかん、pointed space; （基）点付き（位相）空間）は、基点 と呼ばれる区別を受ける点を備えた位相空間を言う。基点というのは、その空間内から選び出された単に特定の一点ということに過ぎないのであるが、しかしいったん選び出されたならば一連の議論の間は基点を変えることはできないし、様々な操作においてその結果として基点がどうなるのかを追うことを免れ得ない。 点付き空間の間の点付き写像 とは、基点を保つ連続写像のことを言う。すなわち、点付き空間 から への点付き写像とは、写像 が各空間の位相 に関して連続で、 を満たすときに言い、それをふつうは のように書く。点付き空間は代数的位相幾何学、特にホモトピー論において重要であり、そこでは基本群などの様々な構成が、基点の選び方に依存して定まる。 点付き集合の概念は、点付き離散空間に他ならないから、重要性はやや落ちる。 点付き空間はしばしば、部分集合が一点集合であるような相対位相の特別の場合ととられる。そうすればホモトピー論の大部分は点付き空間上でふつうに展開でき、相対位相を代数的位相幾何学に持ち込むことができる。.
新しい！!: 位相空間の圏と点付き空間 · 続きを見る »
直和 (位相空間論)
位相空間論および関連した数学の分野において、位相空間の族の非交和 (disjoint union)（次のようにも呼ばれる： 直和 (direct sum)、自由和集合 (free union)、自由和 (free sum)、位相的和 (topological sum)、あるいは余積 (coproduct)）は台集合の非交和に非交和位相 (disjoint union topology) と呼ばれるを入れることによって形成される空間である。ラフに言えば、2つ以上の空間の空間をそれぞれが孤立しているように一緒に考える。 名前 余積 は非交和は積空間の構成の圏論的双対であるという事実に由来する。.
新しい！!: 位相空間の圏と直和 (位相空間論) · 続きを見る »
直積集合
数学において、集合のデカルト積（デカルト­せき、Cartesian product）または直積（ちょくせき、direct product）、直積集合、または単に積（せき、product）、積集合は、集合の集まり（集合族）に対して各集合から一つずつ元をとりだして組にしたもの（元の族）を元として持つ新たな集合である。 具体的に二つの集合 に対し、それらの直積とはそれらの任意の元 の順序対 全てからなる集合をいう。 では と書くことができる。有限個の集合の直積 も同様のn-組からなる集合として定義されるが、二つの集合の直積を入れ子 (nested) にして、 と帰納的に定めることもできる。.
新しい！!: 位相空間の圏と直積集合 · 続きを見る »
相対位相
数学の位相空間論周辺分野における部分位相空間（ぶぶんいそうくうかん、subspace）は、位相空間の部分集合でもとの空間から由来する自然な位相を備えたものをいう。そのような位相は、部分空間位相 (subspace topology), 相対位相 (relative topology) あるいは誘導位相 (induced topology) やトレース位相 (trace topology) などと呼ばれる。.
新しい！!: 位相空間の圏と相対位相 · 続きを見る »
随伴関手
数学の特に圏論における随伴（ずいはん、adjunction）は、二つの関手の間に考えることができる（ある種の双対的な）関係をいう。随伴の概念は数学に遍在し、最適化や効率に関する直観的概念を明らかにする。 最も簡潔な対称的定義において、圏 と の間の随伴とは、二つの関手 の対であって、全単射の族 が変数 に関して自然（あるいは函手的）となるものを言う。このとき、関手 を左随伴函手と呼び、他方 を右随伴函手と呼ぶ。また、「 は の左随伴である」 (同じことだが、「 は の右随伴である」)という関係を と書く。 以下では、この定義や他の定義を詳細化する。.
新しい！!: 位相空間の圏と随伴関手 · 続きを見る »
違いを除いて
数学の文脈における「—（の違い）を除いて…」 (… "up to" &mdash) という語句は、「— に関する差異を無視する」ことを意味する専門用語である。この言い回しの意味するところは、「適当な目的のもとでは、あるひとつの同値類に属する元全体を、何か単一の実体を表すものとみなせる」ということである。"—" の部分には、何らかの性質や、同じ同値類に属する元(つまり一方は他方に同値となるような元)の間の変換の過程を記述する内容が入る。 たとえば不定積分を計算するとき、その結果は「定数項の違いを除いて」 f(x) であるというように言うことができる。その意味は、f(x) 以外に不定積分 g(x) があったとしても g(x).
新しい！!: 位相空間の圏と違いを除いて · 続きを見る »
順序集合
数学において順序集合（じゅんじょしゅうごう、ordered set）とは「順序」の概念が定義された集合の事で、「順序」とは大小、高低、長短等の序列に関わる概念を抽象化したものである。ただし、順序集合内の2つの元, に順序関係が定まっている（「比較可能」である）必要はなく、両者が「比較不能」であってもよい。 比較不能のケースを許容していることを強調して順序集合の事を半順序集合（はんじゅんじょしゅうごう、partially ordered set, poset）ともいう。一方、半順序集合の中で比較不能のケースがないものを特に全順序集合 という。（「半順序」という言葉が「全順序」の対義語ではない事に注意。全順序集合も半順序集合の一種である。） 全順序集合の簡単な例は整数の集合や実数の集合で、通常の大小比較を順序とみなしたものがある。 一方、全順序ではない半順序集合の例としては、正の整数全体の集合に整除関係で順序を入れたものや、（2つ以上元を含む）集合の冪集合において、包含関係を順序とみなしたものがある。例えば2元集合 において と はいずれも他方を包含していないので S の冪集合は全順序ではない。 実生活に近い例では、「AさんはBさんの子孫である」という事を「A＜B」という大小関係とみなす事で人間全体の集合を半順序集合とみなせる。AさんとBさんはどちらも他方の子孫でない事もありうる（兄弟同士、叔父と甥、赤の他人等）ので、この順序集合は全順序ではない。.
新しい！!: 位相空間の圏と順序集合 · 続きを見る »
部分圏
数学において，圏 の部分圏（ぶぶんけん，subcategory）とは，圏 であって対象が の対象で射が の射で同じ恒等射と射の合成をもつものである．直観的には， の部分圏は から対象と射をいくつか「取り除いて」得られる圏である．.
新しい！!: 位相空間の圏と部分圏 · 続きを見る »
部分集合
集合 A が集合 B の部分集合（ぶぶんしゅうごう、subset; 下位集合）であるとは、A が B の一部（あるいは全部）の要素だけからなることである。A が B の一部分であるという意味で部分集合という。二つの集合の一方が他方の部分集合であるとき、この二つの集合の間に包含関係があるという。.
新しい！!: 位相空間の圏と部分集合 · 続きを見る »
離散空間
数学の位相空間論周辺分野における離散空間（りさんくうかん、discrete space）は、その点がすべてある意味で互いに「孤立」しているような空間で、位相空間（またはそれと同様の構造）の非常に単純で極端な例の一つを与える。.
新しい！!: 位相空間の圏と離散空間 · 続きを見る »
零射
数学の一分野圏論における零射（れいしゃ、ゼロしゃ、zero morphism）は特別な種類の射で、零対象への射と零対象からの射の性質を併せ持つ。.
集合
数学における集合 (しゅうごう、set, ensemble, Menge) とは、大雑把に言えばいくつかの「もの」からなる「集まり」である。集合を構成する個々の「もの」のことを元 (げん、; 要素) という。 集合は、集合論のみならず現代数学全体における最も基本的な概念の一つであり、現代数学のほとんどが集合と写像の言葉で書かれていると言ってよい。 慣例的に、ある種の集合が系 (けい、) や族 (ぞく、) などと呼ばれることもある。実際には、これらの呼び名に本質的な違いはないが細かなニュアンスの違いを含むと考えられている。たとえば、方程式系（「相互に連立する」方程式の集合）、集合族（「一定の規則に基づく」集合の集合）、加法族（「加法的な性質を持つ」集合族）など。.
集合の圏
数学の一分野である圏論において、集合の圏（しゅうごうのけん、category of sets）Set (あるいは \mathcal などとも書く) は、その対象の成す類が集合全体の成す類であるような圏である。ただし、対象の間の射の類は、集合 に対して を任意の写像とするとき、 の形に書ける三つ組全体の成す集合によって与えられる。.
新しい！!: 位相空間の圏と集合の圏 · 続きを見る »
連続写像
位相空間論において函数や写像が連続（れんぞく、continuous）であるというのは、ある特定の意味で位相空間の間の位相的構造を保つある種の準同型となっていることを意味し、それ自体が位相空間論における興味の対象ともなる。数学の他の領域における各種の連続性の定義も、位相空間論における連続性の定義から導出することができる。連続性は、空間の位相が同相（位相同型）であることの基礎となる概念であり、特に全単射な連続写像が同相写像であるための必要十分条件は、その逆写像もまた連続となることである。 連続でない写像あるいは函数は、不連続であると言う。 連続性と近しい関係にある概念として、一様連続性、同程度連続性、作用素の有界性などがある。 位相空間の間の写像の連続性の概念は、それが距離空間の間の連続函数の場合のような明確な「距離」の概念を一般には持たない分、より抽象的である。位相空間というのは、集合 とその上の位相（あるいは開集合系）と呼ばれる の部分集合族で（距離空間における開球体全体の成す族の持つ性質を一般化するように）合併と交叉に関する特定の条件を満足するものを組にしたもので、位相空間においても与えられた点の近傍について考えることができる。位相に属する各集合は の（その位相に関する）開部分集合と呼ばれる。.
新しい！!: 位相空間の圏と連続写像 · 続きを見る »
極限 (圏論)
数学の一分野圏論において、極限とは積やや逆極限といった普遍的な構成たちの根底にある性質を捉えた抽象概念である。双対的に余極限とは非交和、直和、余積、、直極限のような構成を一般化したものである。 極限と余極限は、強く関連した概念である普遍性や随伴関手と同様に、高度に抽象化された存在である。これらを理解するために、一般化される前の特定の概念を先に学ぶのがよい。.
新しい！!: 位相空間の圏と極限 (圏論) · 続きを見る »
数学
数学（すうがく、μαθηματικά, mathematica, math）は、量（数）、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.
