位相同型と超球面

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位相同型と超球面の違い

位相同型 vs. 超球面

位相同型 （いそうどうけい、homeomorphic）、あるいは同相（どうそう）とは、2つの位相空間が位相空間として等しいことを表す概念である。 例えば、球の表面と湯飲みの表面とはある「連続」な双方向の移し方で互いに移し合うことができるので同相であり、また穴が1つ開いたドーナツの表面 (トーラス) と持ち手がひとつあるマグカップの表面も同じく同相である。よって球の表面と湯のみの表面は位相幾何学的に全く同一の性質を持ち、ドーナツの表面とマグカップの表面も同一の性質を持つ。しかし、球面とトーラスとはこのような写し方が存在しないので同相とはならない。（直観的には、連続的な変形によって穴の個数が変化することはないということである。） ここで連続な写し方とは、直観的には近いところを近いところに写すような写し方を意味する。. 数学において、 次元球面（-じげんきゅうめん、n-sphere, n 球面）は普通の球面の ''n'' 次元空間への一般化である。任意の自然数 n に対して、半径 r の n 次元球面は中心点から距離 r にある (n + 1) 次元ユークリッド空間における点の集合として定義される。ここで半径 r は任意の正の実数でよい。したがって、原点を中心とする n 次元球面は によって定義される。これは (n + 1) 次元ユークリッド空間内に存在する n 次元多様体である。 特に：.

多様体

多様体（たようたい、manifold, Mannigfaltigkeit）とは、局所的にはユークリッド空間と見なせるような図形や空間（位相空間）のことである。多様体上には好きなところに局所的に座標を描き込むことができる。.

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実数直線

数学における実数直線（じっすうちょくせん、real line, real number line）は、その上の各点が実数であるような直線である。つまり、実数直線とは、すべての実数からなる集合 を、幾何学的な空間（具体的には一次元のユークリッド空間）とみなしたものということである。この空間はベクトル空間（またはアフィン空間）や距離空間、位相空間、測度空間あるいは線型連続体としてみることもできる。 単に実数全体の成す集合としての実数直線は記号 (あるいは黒板太字の &#x211d) で表されるのがふつうだが、それが一次元のユークリッド空間であることを強調する意味で と書かれることもある。 本項では の位相幾何学的、幾何学的あるいは実解析的な側面に焦点を当てる。もちろん実数の全体は一つの体として代数学でも重要な意味を持つが、その文脈での が直線として言及されるのは稀である。そういった観点を含めた の詳細は実数の項を参照のこと。.

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位相幾何学

一つの面と一つの辺を持つメビウスの帯は位相幾何学で研究される対象の一種である。 自明な結び目）を三次元で描いたもの 数学の一分野、位相幾何学（いそうきかがく、topology, トポロジー）は、その名称がτόπος（「位置」「場所」）と （「言葉」「学問」） に由来し、「位置の学問」を意味している。 トポロジーは、何らかの形（かたち。あるいは「空間」）を連続変形（伸ばしたり曲げたりすることはするが切ったり貼ったりはしないこと）しても保たれる性質（または位相不変量）に焦点を当てたものである。位相的性質において重要なものには、連結性およびコンパクト性などが挙げられる。 位相幾何学は、空間、次元、変換といった概念の研究を通じて、幾何学および集合論から生じた分野である。このような考え方は、17世紀に「位置の幾何」（geometria situs）および「位置の解析」（analysis situs）を見越したゴットフリート・ライプニッツにまで遡れる。レオンハルト・オイラーの「ケーニヒスベルクの七つの橋」の問題および多面体公式がこの分野における最初の定理であるというのが定説となっている。用語 topology は19世紀にによって導入されたが、位相空間の概念が起こるのは20世紀の最初の10年まで待たねばならない。20世紀中ごろには、位相幾何学は数学の著名な一分野となっていた。 位相幾何学には様々な分科が存在する。.

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リー群

リー群（リーぐん、Lie group）は群構造を持つ可微分多様体で、その群構造と可微分構造とが両立するもののことである。ソフス・リーの無限小変換と連続群の研究に端を発するためこの名がある。.

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円板

閉包である。 各種幾何学における円板（えんばん、disk; disc と綴ることもある）は、平面上で円で囲まれた有界領域である。 円板はその境界となる円周を「すべて含む」または「全く含まない」ことを以ってそれぞれ「閉円板」または「開円板」という。.

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球面

球面（きゅうめん）とは球体の表面の意である。数学における球面 (sphere) は、距離の定められた空間の定点からの距離が一定であるような点の軌跡として定義される、非常に高い対称性を示す図形である。球面の囲む有界領域を球体あるいは単に球 (ball) と呼ぶ。一般には三次元ユークリッド空間 E3 内のもの、つまり二次元球面を指す場合が多い。.

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閉集合

閉集合（へいしゅうごう、closed set）は、その補集合が開集合となる集合のこと。距離空間の場合はその部分集合の元からなる任意の収束点列の極限がその部分集合の元であることと一致するので、それを定義としてもよい。 例えば、数直線上で不等式 0 ≤ x ≤ 1 によって定まる集合は閉区間と呼ばれるが、これは閉集合である。なぜならば、その補集合である x < 0 または x > 1 を満たす区間が開集合となるからである。 不等式を 0 < x < 1 としたものや 0 ≤ x < 1 としたものは、閉集合ではない。 また、連続関数 f(x,y) を使って、\ と表される集合は平面の閉集合である。円周も平面の閉集合である。 次の性質を満たす集合 X の部分集合の族 F があると、 F の元が閉集合であるような位相が X に定まる。.

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開集合

開集合（かいしゅうごう、open set）は、実数直線の開区間の考えを一般化した抽象的な概念である。最も簡単な例は距離空間におけるものであり、開集合をその任意の点に対しそれを（元として）含む開球を（部分集合として）含むような集合（あるいは同じことだが境界点を全く含まないような集合）として定義できる。例えば、数直線上で不等式 2 < x < 5 によって定まる開区間は開集合である。この場合の境界とは数直線上の点 2 と 5 であって、不等式を 2 ≤ x ≤ 5 としたものや 2 ≤ x < 5 としたものは、境界を含んでいるので開集合ではない。また、 2 < x < 5 によって定まる開区間内のどの点に対しても、その点の開近傍として十分小さなものを選べば、それがもとの開区間に含まれるようにできる。 しかしながら、開集合は一般にはとても抽象的になりうる（詳しくは位相空間の項を参照されたい）。開集合とは全体集合を形成する基本要素達のようなものであり、位相の特殊な定義の仕方によっては、例えば実数において（普通の意味での）境界上を含む集合が“開集合”と呼ばれることになる場合もある。極端な例では、すべての部分集合を開集合としたり（離散位相）、開集合は空集合と空間全体だけとしたり（密着位相）することもできる。.

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