二項関係と選好

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二項関係と選好の違い

二項関係 vs. 選好

数学において、二項関係（にこうかんけい、binary relation）あるいは二変数関係 (dyadic relation, 2-place relation) は、集合 の元からなる順序対のあつまりである。別な言い方をすれば、直積集合 の部分集合を、集合 上の二項関係と呼ぶ。あるいはもっと一般に、二つの集合 に対して、 と との間の二項関係とは、直積 の部分集合のことをいう。 二項関係の一つの例は素数全体の成す集合 と整数全体の成す集合 の間の整除関係である。この整除関係では任意の素数 は、 の倍数である任意の整数 に関係を持ち、倍数でない整数には関係しないものとして扱われる。例えば、素数 が関係を持つ整数には などが含まれるが や は含まれない。同様に素数 が関係する整数として などが挙げられるが、 や はそうではない。 二項関係は数学のさまざまな分野で用いられ、不等関係、恒等関係、算術の整除関係、初等幾何学の合同関係、グラフ理論の隣接関係、線型代数学の直交関係などのさまざまな概念が二項関係として定式化することができる。また、写像の概念を特別な種類の二項関係として定義することもできる。二項関係は計算機科学においても重用される。 二項関係はn-項関係 （各 -番目の成分が関係の -番目の始集合 からとられているようなn-組からなる集合）で とした特別の場合である。 ある種の公理的集合論では（集合の一般化としての）類の上の関係を考えることができる。このような拡張は、集合論における元の帰属関係や包含関係の概念（に限った話ではないが）のモデル化を、ラッセルの逆理のような論理矛盾に陥らずに行うために必要である。. 選好（せんこう、preference）とは、選択肢の集合上に定義される二項関係である。選好関係（preference relation）とも呼ばれ、\succsim,\ge, Rなどの記号で表される。経済主体の嗜好や行動様式を表現する最も基本的な概念であり、無差別関係（indifferent relation）や効用関数（utility function）も選好関係から導出される。選好関係\succsimが合理性（rationality）と呼ばれる条件を満たすとき、\succsimと全く同じ情報を持つ効用関数が無数に存在することが知られている。 ミクロ経済学やゲーム理論の中心的な枠組みであり、マクロ経済学、財政学、金融論、経営学、会計学、マルクス経済学、政治学、社会学、進化生物学などや社会科学のさまざまな分野で用いられている。.

全順序

数学における線型順序（せんけいじゅんじょ、linear order）、全順序（ぜんじゅんじょ、total order）または単純順序（たんじゅんじゅんじょ、simple order）は、推移的、反対称かつ完全な二項関係を言う。集合と全順序を組にしたものは、全順序集合 (totally ordered set), 線型順序集合 (linearly ordered set), 単純順序集合 (simply ordered set) あるいは鎖 (chain) と呼ばれる。 即ち、集合 X が関係 ≤ によって全順序付けられるとき、X の任意の元 a, b, c に対して、以下の条件 が満足される。 反対称性によって a < b でも b < a でもあるような不確定な状態は排除される。完全性を持つ関係は、その集合の任意の二元がその関係でであることを意味する。これはまた、元を直線に並べた図式によってその集合が表せるということでもあり、それは「線型」順序の名の由来である。また完全性から反射性 (a ≤ a) が出るから、全順序は半順序の公理を満たす。半順序は（完全性の代わりに反射性のみが課されるという意味で）全順序よりも弱い条件である。与えられた半順序を拡張して全順序をえることは、半順序のと呼ばれる。.

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