二項関係と核 (代数学)

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二項関係と核 (代数学)の違い

二項関係 vs. 核 (代数学)

数学において、二項関係（にこうかんけい、binary relation）あるいは二変数関係 (dyadic relation, 2-place relation) は、集合 の元からなる順序対のあつまりである。別な言い方をすれば、直積集合 の部分集合を、集合 上の二項関係と呼ぶ。あるいはもっと一般に、二つの集合 に対して、 と との間の二項関係とは、直積 の部分集合のことをいう。 二項関係の一つの例は素数全体の成す集合 と整数全体の成す集合 の間の整除関係である。この整除関係では任意の素数 は、 の倍数である任意の整数 に関係を持ち、倍数でない整数には関係しないものとして扱われる。例えば、素数 が関係を持つ整数には などが含まれるが や は含まれない。同様に素数 が関係する整数として などが挙げられるが、 や はそうではない。 二項関係は数学のさまざまな分野で用いられ、不等関係、恒等関係、算術の整除関係、初等幾何学の合同関係、グラフ理論の隣接関係、線型代数学の直交関係などのさまざまな概念が二項関係として定式化することができる。また、写像の概念を特別な種類の二項関係として定義することもできる。二項関係は計算機科学においても重用される。 二項関係はn-項関係 （各 -番目の成分が関係の -番目の始集合 からとられているようなn-組からなる集合）で とした特別の場合である。 ある種の公理的集合論では（集合の一般化としての）類の上の関係を考えることができる。このような拡張は、集合論における元の帰属関係や包含関係の概念（に限った話ではないが）のモデル化を、ラッセルの逆理のような論理矛盾に陥らずに行うために必要である。. 数学において、準同型の核（かく、kernel）とは、その準同型の単射からのずれの度合いを測る道具である。代数系における準同型の核が "自明" (trivial) であることとその準同型が単射であることとが同値となる。.

単射

数学において、単射あるいは単写（たんしゃ、injective function, injection）とは、その値域に属する元はすべてその定義域の元の像として唯一通りに表されるような写像のことをいう。一対一（いったいいち、）の写像ともいう。似ているが一対一対応は全単射の意味で使われるので注意が必要である。.

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同値関係

数学において、同値関係（どうちかんけい、equivalence relation）は反射的、対称的かつ推移的な二項関係を言う。これらの性質の帰結として、与えられた集合において、一つの同値関係はその集合を同値類に分割（類別）する。 同値関係にあることを表す記法は文献によって様々に用いられるけれども、与えられた集合上の同値関係 に関して二元 が同値であることを "" や "" で表すのがもっともよく用いられる記法である。 に関して同値であることを明示する場合には、"" や "" あるいは "" などと書かれる。.

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数学

数学（すうがく、μαθηματικά, mathematica, math）は、量（数）、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.

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