一般相対性理論と球面座標系

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一般相対性理論と球面座標系の違い

一般相対性理論 vs. 球面座標系

質量（地球）が2次元で描いた格子模様の平面に落とし込まれた状態を描いた説明図。格子模様をゆがめている様子が視認できる。また、歪んでいる格子模様自体が重力と解釈できる。この説明図を一般人にも理解できるよう例えるなら、重い物がトランポリンに沈む状態と同じである。 一般相対性理論（いっぱんそうたいせいりろん、allgemeine Relativitätstheorie, general theory of relativity）は、アルベルト・アインシュタインが1905年の特殊相対性理論に続いて、それを発展させ1915年から1916年にかけて発表した物理学の理論である。一般相対論（いっぱんそうたいろん） 概要 重力場の概念図。中心に近づくほど重力が大きい。 一般相対性原理と一般共変性原理および等価原理を理論的な柱とし、リーマン幾何学を数学的土台として構築された古典論的な重力場の理論であり、ロシアの物理学者のレフ・ランダウは一般相対論について、現存する物理学の理論の中で最も美しい理論だと述べている。 球面座標系（きゅうめんざひょうけい、）とは、3次元ユークリッド空間に定まる座標系の一つで、動径座標と二つの角度座標で表される極座標系である。第一の角度はある軸（通常は -軸を選ぶ）と動径がなす角度で、第二の角度は、その軸に垂直な平面にある別の軸（通常は -軸を選ぶ）とこの平面への動径の射影がなす角度である。通常の座標の選び方は -軸を鉛直上向きに選ばれるので、第一の角度は天頂からの角度であり、天頂角と呼ばれる。第二の角度座標は鉛直軸と直交する水平面内の角度であり方位角と呼ばれる。通常は動径座標に記号 を用い、天頂角には を、方位角には を用いて表される。動径座標は で与えられる。方位角を で与えられる。ここで は符号関数 である。-軸上 において特異性があり、分母がゼロとなるため が定まらない。さらに原点 においては も定まらない。 球面座標 から直交直線座標 への変換の式を微分すれば が得られて、ヤコビ行列とヤコビ行列式は となる。従って球面座標で表した体積素は となる。また、線素の二乗は となる。交叉項が現れないため、球座標は各点において動径が増減する方向と二つの角度が増減する方向がそれぞれに直交している直交座標系である。

ユークリッド空間

ユークリッド空間（ユークリッドくうかん、Euclidean space）とは、数学における概念の1つで、エウクレイデス（ユークリッド）が研究したような幾何学（ユークリッド幾何学）の場となる平面や空間、およびその高次元への一般化である。エウクレイデスが研究した平面や空間はそれぞれ、2次元ユークリッド空間、3次元ユークリッド空間に当たり、これらは通常、ユークリッド平面、ユークリッド空間などとも呼ばれる。「ユークリッド的」という修飾辞は、これらの空間が非ユークリッド幾何やアインシュタインの相対性理論に出てくるような曲がった空間ではないことを示唆している。 古典的なギリシャ数学では、ユークリッド平面や（三次元）ユークリッド空間は所定の公準によって定義され、そこからほかの性質が定理として演繹されるものであった。現代数学では、デカルト座標と解析幾何学の考え方にしたがってユークリッド空間を定義するほうが普通である。そうすれば、幾何学の問題に代数学や解析学の道具を持ち込んで調べることができるようになるし、三次元以上のユークリッド空間への一般化も容易になるといった利点が生まれる。

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