ラプラス作用素と偏微分方程式間の類似点
ラプラス作用素と偏微分方程式は（ユニオンペディアに）共通で11ものを持っています: 偏微分、双曲型偏微分方程式、微分方程式、ポアソン方程式、ラプラス作用素、ラプラス方程式、熱伝導、調和関数、量子力学、波動方程式、拡散方程式。
偏微分
数学(解析学)の多変数微分積分学における偏微分（へんびぶん、partial differentiation）は、多変数関数に対して一つの変数のみに関する（それ以外の変数は）微分である（全微分では全ての変数を動かしたままにするのと対照的である）。偏微分によって領域の各点で得られる微分係数と導関数はそれぞれ偏微分係数（へんびぶんけいすう、partial derivative）、偏導関数（へんどうかんすう）と呼ばれる。用語の濫用として、偏微分係数や偏導関数も偏微分と呼ばれる。偏微分はベクトル解析や微分幾何学などで用いられる。 函数 の変数 に関する偏微分は など様々な表し方がある。一般に函数の偏微分はもとの函数と同じ引数を持つ函数であり、このことを のように記法に明示的に含めてしまうこともある。偏微分記号 ∂ が数学において用いられた最初の例の一つは、1770年以降マルキ・ド・コンドルセによるものだが、それは偏差分の意味で用いられたものである。現代的な偏微分記法はアドリアン＝マリ・ルジャンドル が導入しているが、後が続かなかった。これを1841年に再導入するのがカール・グスタフ・ヤコブ・ヤコビである。
双曲型偏微分方程式
数学の分野における、n 階の双曲型偏微分方程式（そうきょくがたへんびぶんほうていしき、）とは、大まかには、n−1 階微分まで良設定な初期値問題を含む偏微分方程式のことを言う。より正確には、非特性的超曲面に沿った任意の初期データに対して局所的に解くことの出来るコーシー問題のことを言う。力学に現れる多くの方程式は双曲型であるため、その研究は本質的に重要かつ時代の要求に即したものとして、興味の注がれるものである。双曲型方程式の代表例として、波動方程式が挙げられる。空間が一次元の場合では、その方程式は として与えられる。この方程式には、もし u とその一階微分が（十分に滑らかな性質を備えた）初期直線 t。
ラプラス作用素と双曲型偏微分方程式 · 偏微分方程式と双曲型偏微分方程式 ·
微分方程式
解析学において、とは、未知関数とその導関数の関係式として書かれている関数方程式である長倉三郎ほか編、『 』、岩波書店、1998年、項目「微分方程式」より。ISBN 4-00-080090-6。 数学の応用分野においてしばしば、異なる2つの変数の関係を調べることが行われる。2変数を対応付ける関数があらわになっていなくても、その導関数（の満たすべき方程式）を適当な仮定の下で定めることができ、そこから目的とする関数を探し出すことができる。 物理法則を記述する基礎方程式は、多くが時間微分、空間微分を含む微分方程式であり、物理学からの要請もあり微分方程式の解法には多くの関心が注がれてきた。 方程式論は解析学の中心的な分野で、フーリエ変換、ラプラス変換等は元々、微分方程式を解くために開発された手法である。また物理学における微分方程式の主要な問題は境界値問題、固有値問題である。
ラプラス作用素と微分方程式 · 偏微分方程式と微分方程式 ·
ポアソン方程式
ポアソン方程式（ポアソンほうていしき、Poisson's equation）は、2階の楕円型偏微分方程式。方程式の名はフランスの数学者・物理学者シメオン・ドニ・ポアソンに因む。
ポアソン方程式とラプラス作用素 · ポアソン方程式と偏微分方程式 ·
ラプラス作用素
数学におけるラプラス作用素（ラプラスさようそ、Laplace operator）あるいはラプラシアン（Laplacian）は、ユークリッド空間上の函数の勾配の発散として与えられる微分作用素である。記号では,, あるいは で表されるのが普通である。函数 の点 におけるラプラシアン は（次元に依存する定数の違いを除いて）点 を中心とする球面を半径が増大するように動かすときの から得られる平均値になっている。直交座標系においては、ラプラシアンは各独立変数に関する函数の二階（非混合）偏導函数の和として与えられ、またほかに円筒座標系や球座標系などの座標系においても有用な表示を持つ。 ラプラス作用素の名称は、天体力学の研究に同作用素を最初に用いたフランス人数学者のピエール＝シモン・ド・ラプラス (1749–1827) に因んでいる。同作用素は与えられた重力ポテンシャルに適用すると質量密度の定数倍を与える。現在ではラプラス方程式と呼ばれる方程式 の解は調和函数と呼ばれ、自由空間において可能な重力場を表現するものである。
ラプラス作用素とラプラス作用素 · ラプラス作用素と偏微分方程式 ·
ラプラス方程式
ラプラス方程式（ラプラスほうていしき、Laplace's equation）は、2階線型の楕円型偏微分方程式 である。ここで、 はラプラシアン（ラプラス作用素、ラプラスの演算子）である。なお、∇ についてはナブラを参照。ラプラス方程式は、発見者であるピエール＝シモン・ラプラスから名づけられた。ラプラス方程式の解は、電磁気学、天文学、流体力学など自然科学の多くの分野で重要である。ラプラス方程式の解についての一般理論はポテンシャル理論という一つの分野となっている。 の場合に標準座標を用いてラプラス方程式を書くと次のようになる： phi(x,y,z) + phi(x,y,z) + phi(x,y,z)。
ラプラス作用素とラプラス方程式 · ラプラス方程式と偏微分方程式 ·
熱伝導
熱伝導（ねつでんどう、英語: thermal conduction）は、固体または静止している流体の内部において高温側から低温側へ熱が伝わる伝熱現象。 熱力学第二法則により熱は必ず高温側から低温側に向かう。
調和関数
環帯上で定義された調和関数 数学における調和関数（ちょうわかんすう、harmonic function）は、ラプラス方程式を満足する二回連続的微分可能な関数のことをいう。 調和関数に関する重要な問題はディリクレ問題である。ディリクレ問題の解決方法にはいくつかあるが、その中でも重要な一般的方法はディリクレの原理である。 20世紀には、ウィリアム・ホッジ、ジョルジュ・ド・ラーム、小平邦彦らが調和積分論の発展の中心的な役割を果たした。
量子力学
は、一般相対性理論と共に現代物理学の根幹を成す理論・分野である。主として、分子や原子あるいはそれを構成する電子などを対象とし、その微視的な物理現象を記述する力学である。 量子力学自身は前述のミクロな系における力学を記述する理論だが、取り扱う系をミクロな系の無数の集まりとして解析することによって、巨視的な系を扱うこともできる。従来のニュートン力学などの古典論では説明が困難であった巨視的現象について、量子力学は明快な理解を与えるなどの成果を示してきた。例えば、量子統計力学は、そのような応用例の一つである。生物や宇宙のようなあらゆる自然現象も、その記述の対象となり得る。 代表的な量子力学の理論として、次の二つの形式が挙げられる。ひとつは、エルヴィン・シュレーディンガーによって創始されたシュレーディンガー方程式を基礎に置く波動力学である。もうひとつはヴェルナー・ハイゼンベルク、マックス・ボルン、パスクアル・ヨルダンらによって構成された、ハイゼンベルクの運動方程式を基礎に置く行列力学である。これらの二つの形式は、異なる表式を採用しているが、数学的には等価であり、どちらも自然に対する正しい理解を与える（考察する対象にとって利便なものが適宜使い分けられる）。
波動方程式
波動方程式（はどうほうていしき、wave equation）とは、次の式で表される定数係数二階線形偏微分方程式のことである。 波動方程式は音波、水面の波紋、電磁波などの様々な振動・波動現象を記述する際に基本となる方程式である。 は波動の位相速度 (phase velocity) を表す係数である。
ラプラス作用素と波動方程式 · 偏微分方程式と波動方程式 ·
拡散方程式
拡散方程式（かくさんほうていしき、diffusion equation）は拡散が生じている物質あるいは物理量（本稿では拡散物質と記述）の密度のゆらぎを記述する偏微分方程式である。 集団遺伝学における対立遺伝子の拡散のように、拡散と同様の振る舞いをする現象を記述するのにも用いられる。 伝熱の分野で熱伝導を記述する方程式は熱伝導方程式（Heat equation）と呼ばれる。
上記のリストは以下の質問に答えます
- 何ラプラス作用素と偏微分方程式ことは共通しています
- 何がラプラス作用素と偏微分方程式間の類似点があります
ラプラス作用素と偏微分方程式の間の比較
偏微分方程式が94を有しているラプラス作用素は、82の関係を有しています。 彼らは一般的な11で持っているように、ジャカード指数は6.25%です = 11 / (82 + 94)。
参考文献
この記事では、ラプラス作用素と偏微分方程式との関係を示しています。情報が抽出された各記事にアクセスするには、次のURLをご覧ください: