フレアーホモロジーとモース理論間の類似点
フレアーホモロジーとモース理論は(ユニオンペディアに)共通で5ものを持っています: ホモロジー (数学)、ベッチ数、オイラー標数、勾配 (ベクトル解析)、臨界点 (数学)。
ホモロジー (数学)
数学、とくに代数的位相幾何学や抽象代数学において、ホモロジー (homology) (「同一である」ことを意味するギリシャ語のホモス (ὁμός) に由来)は与えられた数学的対象、例えば位相空間や群に、アーベル群や加群の列を対応させる一つの一般的な手続きをいう。より詳しい背景については ホモロジー論 を見られたい。また、ホモロジーの手法の位相空間に対する具体的な適用については特異ホモロジーを、群についてのそれは群コホモロジーを、それぞれ参照されたい。 位相空間に対しては、ホモロジー群は一般にホモトピー群よりもずっと計算しやすく、したがって、空間を分類する道具としてはより手軽に扱えるものといえるだろう。.
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ベッチ数
代数的位相幾何学において、ベッチ数 (Betti numbers) は、位相空間に対する不変量であり、自然数に値をもつ。 右の図のようなトーラスを考える。このトーラスに切り口が円周になるように切れ込みをいれたとき、その結果二つのピースに分かれない切り方が、穴のまわりにそって一周する方法と、縦に切断する方法の二通りある。このことからトーラスの 1 次ベッチ数は 2 である。直感的な言葉を使うと、ベッチ数は様々な次元の「穴」の数である。例えば、円の 1 次ベッチ数は 1であり、一般的なプレツェル(pretzel)の場合は、1 次ベッチ数は穴の数の 2 倍となる。 ベッチ数は、今日、数学のみならず計算機科学やデジタル画像などの分野でも研究されている。 「ベッチ数」ということばは、エンリコ・ベッチ (Enrico Betti) にちなみ、アンリ・ポアンカレ (Henri Poincaré) により命名された。.
オイラー標数
イラー標数(オイラーひょうすう、)とは、位相空間のもつある種の構造を特徴付ける位相不変量のひとつ。オイラーが多面体の研究においてこの不変量を用いたことからこの名がある。オイラー数と呼ばれることもあるが、オイラー数は別の意味で使われることも多い。.
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勾配 (ベクトル解析)
ベクトル解析におけるスカラー場の勾配(こうばい、gradient; グラディエント)は、各点においてそのスカラー場の変化率が最大となる方向への変化率の値を大きさにもつベクトルを対応させるベクトル場である。簡単に言えば、任意の量の空間における変位を、傾きとして表現(例えば図示)することができるが、そこで勾配はこの傾きの向きや傾きのきつさを表している。 ユークリッド空間上の関数の勾配を、別なユークリッド空間に値を持つ写像に対して一般化したものは、ヤコビ行列で与えられる。さらに一般化して、バナッハ空間から別のバナッハ空間への写像の勾配をフレシェ微分を通じて定義することができる。.
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臨界点 (数学)
数学において,あるいはの可微分関数の臨界点(りんかいてん,critical point)あるいは(ていりゅうてん,stationary point)とは,微分が 0 あるいは未定義となる定義域内の任意の値である.に対して,臨界点はすべての偏微分が 0 になるような定義域内の値である.関数の臨界点における値は臨界値(りんかいち,critical value)である. この概念の興味は,関数が極値をとる点は臨界点であるという事実にある. この定義は と の間の可微分写像に拡張し,臨界点はこの場合ヤコビ行列の階数が最大でない点である.さらに,可微分多様体の間の可微分写像にも同様に拡張される.この場合,臨界点は とも呼ばれる. 特に, が陰方程式 で定義される平面曲線のとき, 軸に平行な 軸への射影の臨界点は の接線が 軸に平行な点,つまり,\frac(x,y).
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フレアーホモロジーとモース理論の間の比較
モース理論が41を有しているフレアーホモロジーは、69の関係を有しています。 彼らは一般的な5で持っているように、ジャカード指数は4.55%です = 5 / (69 + 41)。
参考文献
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