スカラー場と関数 (数学)

ショートカット: 違い、類似点、ジャカード類似性係数、参考文献。

スカラー場と関数 (数学)の違い

スカラー場 vs. 関数 (数学)

スカラー場（スカラーば、scalar field）とは、数学および物理学において、空間の各点に数学的な数やなんらかの物理量のスカラー値を対応させた場である。スカラー場には「空間（あるいは時空）の同一点におけるスカラー場の値が、観測者が同じ単位を用いる限りにおいて必ず一致する」という意味で座標に依存しない (coordinate-independent) ことが要求される。物理学で用いられるスカラー場の例としては、空間全体にわたる温度分布や、液体の圧力分布、ヒッグス場のようなスピンを持たない量子場などが挙げられる。これらの場はスカラー場の理論における主題である。 数学における関数（かんすう、、、、 蘭: functie、、函数とも書かれる）とは、かつてはある変数に依存して決まる値あるいはその対応を表す式のことであった。この言葉はゴットフリート・ライプニッツによって導入された。その後定義が一般化され、現代では数の集合に値をとる写像の一種であると理解されるものとなった。

多様体

多様体（たようたい、manifold, Mannigfaltigkeit）とは、解析学（微分積分学、複素解析）を展開するために必要な構造を備えた空間のことである（ただし位相多様体においてはその限りではない。ただ、単に多様体と言った場合、可微分多様体か複素多様体のことを指す場合が多い）。それは局所的にユークリッド空間と見なせるような図形や空間（位相空間）として定義される。多様体上には好きなところに局所的に座標を描き込むことができる。

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実数値関数

実数値関数（じっすうちかんすう、real-valued function）とは、値として実数を与える関数をいう。つまり、定義域のそれぞれの元に対し実数を割り当てる関数のことである。特に、定義域も実数の部分集合であるもの、すなわち実変数の実数値関数を実関数（じつかんすう、real function）という。 多くの重要な関数空間が、いくつかの実数値関数からなるものとして定義されている。

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シュワルツ超函数

解析学におけるシュワルツ超函数（シュワルツちょうかんすう、distribution; 分布）あるいは超函数（generalized function; 広義の函数）は、函数の一般化となる数学的対象である。シュワルツ超函数の概念は、古典的な意味での導函数を持たない函数に対しても微分を可能とする。特に、任意の局所可積分函数は超函数の意味で微分可能である。シュワルツ超函数は偏微分方程式の弱解（広義の解）の定式化に広く用いられる。古典的な意味での解（真の解）が存在しないか構成が非常に困難であるような場合でも、その微分方程式の超函数解はしばしばより容易に求まる。シュワルツ超函数の概念は、多くの問題が自然に解や初期条件がディラック・デルタのような超函数となるような偏微分方程式として定式化される物理学や工学においても重要である。

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滑らかな関数

数学において、関数の滑らかさ（なめらかさ、smoothness）は、その関数に対して微分可能性を考えることで測られる。より高い階数の導関数を持つ関数ほど滑らかさの度合いが強いと考えられる。 直観的には、グラフの各点をどんなに拡大しても尖っていないことを意味する。

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数学

数学（すうがく）とは、数・量・図形などに関する学問であり、理学の一種。「算術・代数学・幾何学・解析学・微分法・積分法などの総称」とされる。 数学は自然科学の一種にも、自然科学ではない「形式科学」の一種にも分類され得る。

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