コンパクト化と距離空間

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コンパクト化と距離空間の違い

コンパクト化 vs. 距離空間

ンパクト化（compactification）は数学の一分野である位相空間論(general topology)の概念である。. 距離空間（きょりくうかん、metric space）とは、距離関数（きょりかんすう）と呼ばれる非負実数値関数が与えられている集合のことである。 古代より、平面や空間、地上の 2 点間の離れ具合を表す尺度である距離は測量や科学、数学において重要な役割を果たしてきた。1906年にモーリス・フレシェは、様々な集合の上で定義された関数の一様連続性の概念を統一的に研究した論文 において、ユークリッド空間から距離の概念を抽出して用い、距離空間の理論を築いた。 平面 R2 の上の 2 点 P1.

一様空間

一様空間（いちようくうかん、uniform space）は数学の一分野である位相空間論の概念で、一様連続性、一様収束性、完備性、一様被覆といった性質の定式化が可能になる条件を抽象する事で得られたものである。 一様空間は距離空間と位相空間の中間の強さを持つ概念であり、距離空間は自然に一様空間とみなせ、一様空間は自然に位相空間とみなせる。また擬距離空間や位相群なども一様空間とみなせる。 一様空間は距離空間と位相群を一般化する概念であるので、解析学における議論の多くの基盤を与えるものとなっている。 一様構造と位相構造の概念的な違いは、一様空間においては点の近さや相対的な近さといったようなある種の概念が定式化できるというようなことにある。つまり、「点 x の点 a への近さは、点 y の点 bへの近さよりも近い」といったような考察は一様空間において意味を成すのである。対する一般の位相空間では、部分集合 A, B が与えられれば、「点 x が集合 A にどれほどでも近い（x が A の閉包に属する）」とか「集合 A は集合 B よりも小さい近傍である」といったようなことは言える。しかし点の近さの概念や相対的な近さといったようなものは、位相構造のみでは記述することができない。.

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位相空間

数学における位相空間（いそうくうかん, topological space）とは、集合にある種の情報（位相、topology）を付け加えたもので、この情報により、連続性や収束性といった概念が定式化可能になる。 位相空間論は位相空間の諸性質を研究する数学の分野である。.

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位相空間論

数学における位相空間論（いそうくうかんろん、general topology; 一般位相幾何学）または点集合トポロジー（てんしゅうごうトポロジー、point-set topology; 点集合論的位相幾何）は、位相空間の性質やその上に定義される構造を研究対象とする位相幾何学の一分野である。位相幾何学のほかの分野が多様体などの特定の構造や具体的な構造を前提とすることと異なり、現れる位相空間としては病的なものも含めた極めて広範かつ一般のものを扱い、その一般論を形成するのが位相空間論の主目的である。.

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ユークリッド空間

数学におけるユークリッド空間（ユークリッドくうかん、Euclidean space）は、エウクレイデス（ユークリッド）が研究したような幾何学（ユークリッド幾何学）の場となる平面や空間、およびその高次元への一般化である。エウクレイデスが研究した平面や空間はそれぞれ、2次元ユークリッド空間、3次元ユークリッド空間に当たり、これらは通常、ユークリッド平面、ユークリッド空間などとも呼ばれる。「ユークリッド的」という修飾辞は、これらの空間が非ユークリッド幾何やアインシュタインの相対性理論に出てくるような曲がった空間ではないことを示唆している。 古典的なギリシャ数学では、ユークリッド平面や（三次元）ユークリッド空間は所定の公準によって定義され、そこからほかの性質が定理として演繹されるものであった。現代数学では、デカルト座標と解析幾何学の考え方にしたがってユークリッド空間を定義するほうが普通である。そうすれば、幾何学の問題に代数学や解析学の道具を持ち込んで調べることができるようになるし、三次元以上のユークリッド空間への一般化も容易になるといった利点が生まれる。 現代的な観点では、ユークリッド空間は各次元に本質的に一つだけ存在すると考えられる。たとえば一次元なら実数直線、二次元ならデカルト平面、より高次の場合は実数の組を座標にもつ実座標空間である。つまり、ユークリッド空間の「点」は実数からなる組であり、二点間の距離は二点間の距離の公式に従うものとして定まる。n-次元ユークリッド空間は、（標準的なモデルを与えるものという意味で）しばしば とかかれるが、（余分な構造を想起させない）ユークリッド空間固有の性質を備えたものということを強調する意味で と書かれることもある。ふつう、ユークリッド空間といえば有限次元であるものをいう。.

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コンパクト空間

数学において、コンパクト（compact）は位相空間の性質である。詳細は後述するがコンパクト性の定義それ自身は直観性に乏しいものであり、証明を容易にする為のいわば操作的なものである。しかし距離空間であればより直観的な言葉でいいかえる事ができ、特に有限次元のユークリッド空間においては有界閉集合であることとコンパクト集合であることとは同値になる。したがってコンパクトの概念はユークリッド空間における有界閉集合の概念を一般の位相空間に拡張したものとしてとらえる事ができる。 なお無限次元では有界閉集合はコンパクトとは限らず、例えばヒルベルト空間内の（縁を含んだ）単位球体は有界かつ閉集合であるがコンパクトではない（距離位相を入れた場合）。 ブルバキでは、ここでいう定義を満たす位相空間を準コンパクト（quasi-compact）と呼び、さらにハウスドルフの分離公理を満たすものをコンパクトであると呼んでいる。距離空間など多くの空間ではハウスドルフの分離公理が満たされるので両者の概念は一致するが、一般には注意が必要である。.

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粗空間

数学の一分野coarse幾何学（coarse geometry; 粗い幾何学、粗幾何学）におけるcoarse空間（coarse space; 粗い空間、粗空間）とは空間の大規模構造に関する情報を取り出した構造の一つであるcoarse構造（coarse structure; 粗い構造、粗構造）を備えた空間である。伝統的な位相空間論では近傍系や連続性などの小規模構造を問題にしてきたのと対照的にcoarse幾何学では（非）有界性や漸近挙動などの大規模構造を問題にする。coarse構造は距離構造の一般化の一つであり、位相構造ではなく一様構造の大規模構造に関する類似物といえる（位相構造の類似物に当たるのは bornology といわれる）。.

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部分集合

集合 A が集合 B の部分集合（ぶぶんしゅうごう、subset; 下位集合）であるとは、A が B の一部（あるいは全部）の要素だけからなることである。A が B の一部分であるという意味で部分集合という。二つの集合の一方が他方の部分集合であるとき、この二つの集合の間に包含関係があるという。.

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数学

数学（すうがく、μαθηματικά, mathematica, math）は、量（数）、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.

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