ゲーデル数と符号

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ゲーデル数と符号の違い

ゲーデル数 vs. 符号

ーデル数（ゲーデルすう、Gödel number）は、数理論理学において何らかの形式言語のそれぞれの記号や整論理式に一意に割り振られる自然数である。クルト・ゲーデルが不完全性定理の証明に用いたことから、このように呼ばれている。また、ゲーデル数を割り振ることをゲーデル数化（Gödel numbering）と呼ぶ。 ゲーデル数のアイデアを暗に使っている例としては、コンピュータにおけるエンコードが挙げられる。 コンピュータでは何でも0と1で表し、「apple」のような文字列も0と1による数字で表す。 ゲーデル数化とは、このように文字列に数字を対応させる事を指す。 ゲーデル数化は、数式におけるシンボルに数を割り当てる符号化の一種でもあり、それによって生成された自然数の列が文字列を表現する。この自然数の列をさらに1つの自然数で表現することもでき、自然数についての形式的算術理論を適用可能となる。 ゲーデルの論文が発表された1931年以来、ゲーデル数はより広範囲な様々な数学的オブジェクトに自然数を割り振るのに使われるようになっていった。. モールス符号 符号理論において、符号（ふごう）またはコード（code）とは、シンボルの集合S, Xがあるとき、Sに含まれるシンボルのあらゆる系列から、Xに含まれるシンボルの系列への写像のことである。Sを情報源アルファベット、Xを符号アルファベットという。すなわち符号とは、情報の断片（例えば、文字、語、句、ジェスチャーなど）を別の形態や表現へ（ある記号から別の記号へ）変換する規則であり、変換先は必ずしも同種のものとは限らない。 コミュニケーションや情報処理において符号化（エンコード）とは、情報源の情報を伝達のためのシンボル列に変換する処理である。復号（デコード）はその逆処理であり、符号化されたシンボル列を受信者が理解可能な情報に変換して戻してやることを指す。 符号化が行われるのは、通常の読み書きや会話などの言語によるコミュニケーションが不可能な場面でコミュニケーションを可能にするためである。例えば、手旗信号や腕木通信の符号も個々の文字や数字を表していることが多い。遠隔にいる人がその手旗や腕木を見て、本来の言葉などに戻して解釈することになる。.

形式言語

形式言語（けいしきげんご、formal language）は、その文法（構文、統語論）が、場合によっては意味（意味論）も、形式的に与えられている（形式体系を参照）言語である。形式的でないために、しばしば曖昧さが曖昧なまま残されたり、話者集団という不特定多数によってうつろいゆくような自然言語のそれに対して、一部の人工言語や、いわゆる機械可読な（機械可読目録を参照）ドキュメント類などは形式言語である。この記事では形式的な統語論すなわち構文の形式的な定義と形式文法について述べる。形式的な意味論については形式意味論の記事を参照。.

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アルゴリズム

フローチャートはアルゴリズムの視覚的表現としてよく使われる。これはランプがつかない時のフローチャート。 アルゴリズム（algorithm ）とは、数学、コンピューティング、言語学、あるいは関連する分野において、問題を解くための手順を定式化した形で表現したものを言う。算法と訳されることもある。 「問題」はその「解」を持っているが、アルゴリズムは正しくその解を得るための具体的手順および根拠を与える。さらに多くの場合において効率性が重要となる。 コンピュータにアルゴリズムをソフトウェア的に実装するものがコンピュータプログラムである。人間より速く大量に計算ができるのがコンピュータの強みであるが、その計算が正しく効率的であるためには、正しく効率的なアルゴリズムに基づいたものでなければならない。.

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エンコード

ンコード（encode）、符号化（ふごうか）とは、アナログ信号やデジタルデータに特定の方法で、後に元の（あるいは類似の）信号またはデータに戻せるような変換を加えることである。 一般的には、エンコードするための機器・回路・プログラムをエンコーダ、デコード（記事内後述を参照）するための機器・回路・プログラムをデコーダと呼んでいる。 特にコンピュータ（特にパーソナルコンピュータ）分野では、エンコードとは、音声や動画などをコーデックを用いて圧縮する事を言う。一部では「エンコ」と略して呼ぶこともある。.

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クルト・ゲーデル

ルト・ゲーデル（Kurt Gödel, 1906年4月28日 - 1978年1月14日）は、オーストリア・ハンガリー二重帝国（現チェコ）のブルノ生まれの数学者・論理学者である。業績には、完全性定理及び不完全性定理、連続体仮説に関する研究が知られる。.

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ゲーデルの不完全性定理

ーデルの不完全性定理（ゲーデルのふかんぜんせいていり、）又は単に不完全性定理とは、数学基礎論における重要な定理で、クルト・ゲーデルが1930年に証明したものである。;第1不完全性定理: 自然数論を含む帰納的公理化可能な理論が、ω無矛盾であれば、証明も反証もできない命題が存在する。;第2不完全性定理: 自然数論を含む帰納的公理化可能な理論が、無矛盾であれば、自身の無矛盾性を証明できない。.

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シンボル

国のシンボルとして国旗が掲げられる。（南極点の南極条約加盟国の旗） 各種宗教のシンボル。 シンボル は、記号 を分類した1つの種類である。その厳密な定義は1つではないが、記号のうちその対象との関係が非本来的・隠然的であるものがシンボルとされる。「象徴記号」と訳されることもある。"symbol"の語源は古代ギリシャ語の"symbolon"(σύμβολον) に由来し、syn-が「一緒に」、boleが「投げる」や「飛ばす」を意味し、合わせて、「一緒にする」や、二つに割ったものをつき合わせて同一の物と確認する「割符」や「合言葉」を意味する。.

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自然数

自然数（しぜんすう、natural number）とは、個数、もしくは順番を表す一群の数のことである。集合論においては、自然数は物の個数を数える基数のうちで有限のものであると考えることもできるし、物の並べ方を示す順序数のうちで有限のものであると考えることもできる。 自然数を 1, 2, 3, … とする流儀と、0, 1, 2, 3, … とする流儀があり、前者は数論などでよく使われ、後者は集合論、論理学などでよく使われる（詳しくは自然数の歴史と零の地位の節を参照）。いずれにしても、0 を自然数に含めるかどうかが問題になるときは、その旨を明記する必要がある。自然数の代わりに非負整数または正整数と言い換えることによりこの問題を避けることもある。 数学の基礎付けにおいては、自然数の間の加法についての形式的な逆元を考えることによって整数を定義する。正の整数ないしは負でない整数を自然数と同一視し、自然数を整数の一部として取扱うことができる。自然数と同様に整数の全体も可算無限集合である。 なお、文脈によっては、その一群に属する個々の数（例えば 3 や 18）を指して自然数ということもある。.

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