ゲーデルの不完全性定理と算術

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ゲーデルの不完全性定理と算術の違い

ゲーデルの不完全性定理 vs. 算術

ゲーデルの不完全性定理（ゲーデルのふかんぜんせいていり、、）または不完全性定理とは、数学基礎論とコンピュータ科学（計算機科学）の重要な基本定理。（数学基礎論は数理論理学や超数学とほぼ同義な分野で、コンピュータ科学と密接に関連している。）　不完全性定理は厳密には「数学」そのものについての定理ではなく、「形式化された数学」についての定理である。クルト・ゲーデルが1931年の論文で証明した定理であり、（形式主義）では自然数論の無矛盾性の証明が成立しないことを示す。なお、少し拡張された有限の立場では、自然数論の無矛盾性の証明が成立する（）。 数学基礎論研究者の菊池誠によると不完全性定理は、20世紀初め以降に哲学から決別した数学基礎論の中で現れた。コンピュータ科学者・数理論理学者のトルケル・フランセーンおよび数学者・数理論理学者の田中一之によると、不完全性定理が示した不完全性とは、数学用語の意味での「特定の形式体系Pにおいて決定不能な命題の存在」であり、一般的な意味での「不完全性」とは無関係である。不完全性定理を踏まえても、数学の形式体系の公理は真であり無矛盾であるし、数学の完全性も成立し続けている。しかし“不完全性定理は数学や理論の「不完全性」を証明した”といった誤解や、“数学には「不完全」な部分があると証明済みであり、数学以外の分野に「不完全」な部分があってもおかしくない”といった誤解が一般社会・哲学・宗教・神学等によって広まり、誤用されている。 算術 (さんじゅつ、arithmetic) は、数の概念や数の演算を扱い、その性質や計算規則、あるいは計算法などの論理的手続きを明らかにしようとする学問分野である。

加法

加法（かほう、addition, summation）とは、数を合わせることを意味する二項演算あるいは多項演算で、四則演算のひとつ。足し算（たしざん）、加算（かさん）、あるいは寄せ算（よせざん）とも呼ばれる。また、加法の演算結果を和（わ、）という。記号は「+」。 自然数の加法は、しばしば物の個数を加え合わせることに喩えられる。また数概念の拡張にしたがい、別の意味を持つ加法も考えられる。たとえば実数の加法は、もはや自然数の加法のように物の個数を喩えに出すことは出来ないが、曲線の長さなど別の対象物を見出せられる。 減法とは互いに逆の関係にあり、また例えば、負の数の加法として減法が捉えられるなど、加法と減法の関連は深い。これは代数学において加法群の概念として抽象化される。

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乗法

乗法（じょうほう、multiplication）は、算術の四則演算と呼ばれるものの一つで、整数では、一方の数 (被乗数、ひじょうすう、multiplicand) に対して他方の数 (乗数、じょうすう、multiplier) の回数だけ繰り返し加えていく（これを掛けるまたは乗じるという）ことにより定義できる二項演算である。掛け算（かけざん）、乗算（じょうざん）とも呼ばれる。代数学においは、変数の前の乗数（例えば 3y の 3）は係数（けいすう、coefficient）と呼ばれる。 逆の演算として除法をもつ。乗法の結果を積 (せき、product) と呼ぶ。 乗法は、有理数、実数、複素数に対しても拡張定義される。また、抽象代数学においては、一般に可換とは限らない二項演算に対して、それを乗法、積などと呼称する（演算が可換である場合はしばしば加法、和などと呼ぶ）。

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コンピュータ

コンピュータ（computer）は、広義には、計算やデータ処理を自動的に行う装置全般のことである『日本大百科全書』コンピュータ。今日では、特に断らない限りエレクトロニクスを用いたエレクトロニック・コンピュータ（、漢字表記では電子計算機）を指す。 「コンピュータ」とは、元は計算する人間の作業者を指したが、今では計算する装置あるいはシステムを指す。 歴史的には、機械式のアナログやデジタルの計算機、電気回路によるアナログ計算機、リレー回路によるデジタル計算機、真空管回路によるデジタル計算機、半導体回路によるデジタル計算機などがある。 1970年代や1980年代頃まではコンピュータといえばアナログコンピューターも含めたが、1990年代や2000年頃には一般には、主に電子回路による、デジタル方式でかつプログラム内蔵方式のコンピュータを指す状況になっていた。（広義の）演算を高速かつ大量に行えるため多用途であり、数値計算、情報処理、データ処理、制御、シミュレーション、文書作成、動画編集、ゲーム、仮想現実（VR）、画像認識、人工知能などに用いられる。さらに近年では、大学や先端企業などで、量子回路（現在よく使われる電子回路とは異なるもの）を用いた量子コンピュータも研究・開発されている。 様々な種類があり、メインフレーム、スーパーコンピュータ、パーソナルコンピュータ（マイクロコンピュータ）などの他、さまざまな機器（コピー機、券売機、洗濯機、炊飯器、自動車など）に内蔵された組み込みシステムやそれから派生したシングルボードコンピュータもある。2010年代には板状でタッチスクリーンで操作するタブレット（- 型コンピュータ）、板状で小型で電話・カメラ・GPS機能を搭載したスマートフォンも普及した。 世界に存在するコンピュータの台数は次のようになっている。

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数学

数学（すうがく）とは、数・量・図形などに関する学問であり、理学の一種。「算術・代数学・幾何学・解析学・微分法・積分法などの総称」とされる。 数学は自然科学の一種にも、自然科学ではない「形式科学」の一種にも分類され得る。

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