ガロア理論と可解群間の類似点
ガロア理論と可解群は(ユニオンペディアに)共通で6ものを持っています: 可換体、対称群、巡回群、代数方程式、ガロア群、冪根。
可換体
抽象代数学において、可換体(かかんたい、corps commutatif)あるいは単に体(たい、field)本記事において単に体と言った場合「可換」体を意味するものとする。とは、零でない可換可除環、あるいは同じことだが、非零元全体が乗法の下で可換群をなすような環のことである。そのようなものとして体は、適当なアーベル群の公理と分配則を満たすような加法、減法、乗法、除法の概念を備えた代数的構造である。最もよく使われる体は、実数体、複素数体、有理数体であるが、他にも有限体、関数の体、代数体、''p'' 進数体、などがある。 任意の体は、線型代数の標準的かつ一般的な対象であるベクトル空間のスカラーとして使うことができる。(ガロワ理論を含む)体拡大の理論は、ある体に係数を持つ多項式の根に関係する。他の結果として、この理論により、古典的な問題である定規とコンパスを用いたや円積問題が不可能であることの証明や五次方程式が代数的に解けないというアーベル・ルフィニの定理の証明が得られる。現代数学において、体論は数論や代数幾何において必要不可欠な役割を果たしている。 代数的構造として、すべての体は環であるが、すべての環が体であるわけではない。最も重要な違いは、体は(ゼロ除算を除いて)除算ができるが、環は乗法逆元がなくてもよいということである。例えば、整数の全体は環をなすが、2x.
対称群
対称群(たいしょうぐん、)とは、「ものを並べ替える」という操作を元とする群である。この場合の「ものを並べ替える」操作のことを置換(ちかん、)という。数学の議論の様々な場面で「番号づけられて並んでいるものを入れ替える」「入れ替えの可能性すべてを調べる」ことが問題となり、対称群はそのような議論を定式化するために用いられる。置換のうちで特別なものだけを集めて得られる群は置換群(ちかんぐん、)と呼ばれる。置換群が空間 の変換群として与えられているとき、 の元 の置換は で与えられる の部分群の分だけ潰れているが、これは のなかに と「同じ」元が複数含まれている場合に対応しており、 の中でこれらを区別することができれば の元の置換から対称群 が回復される。.
巡回群
群論における巡回群(じゅんかいぐん、cyclic group、monogenous group)とは、ただ一つの元で生成される群(単項生成群)のことである。ここで群が「ただ一つの元で生成される」というのは、その群の適当な元 g をとれば、その群のどの元も(群が乗法的に書かれている場合は)g の整数冪として(群が加法的に書かれている場合は g の整数倍として)表されるということであり、このような元 g はこの群の生成元 (generator) あるいは原始元 (primitive) と呼ばれる。.
代数方程式
数学において、代数方程式 (だいすうほうていしき、algebraic equation) とは(一般には多変数の)多項式を等号で結んだ形で表される方程式の総称で、式で表せば の形に表されるもののことである。言い換えれば、代数方程式は多項式の零点を記述する数学的対象である。.
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ガロア群
ア群(英:Galois Group)とは、代数方程式または体の拡大から定義される群のことである。発見者であるフランスの数学者エヴァリスト・ガロアから命名された。これらの群を用い方程式などの数学的対象について研究する分野をガロア理論と呼ぶ。.
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冪根
冪根「冪」の字の代わりに略字の「巾」を用いることがある。(べきこん)、または累乗根(るいじょうこん)は、冪乗(累乗)に相対する概念で、冪乗すると与えられた数になるような新たな数のことをいう。数 の冪根はしばしば と書き表される。冪根 は以下の関係を満たす。 つまり、冪根 の 乗は に等しく、この意味で を の 乗根 と呼ぶ。 は指数 と呼ばれ、記号 は根号 と呼ばれる。また、根号の中に書かれた数 は時に被開平数 と呼ばれる。 根号を用いて冪根を表す場合、それは非負の値を持つ一価関数として扱われる。このような冪根を主要根 と呼び、特に 乗根の主要根を主平方根 と呼ぶ。 数 の主要根 は指数関数と結び付けられ、 という関係が成り立つ は自然指数関数、 は自然対数。。.
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ガロア理論と可解群の間の比較
可解群が46を有しているガロア理論は、56の関係を有しています。 彼らは一般的な6で持っているように、ジャカード指数は5.88%です = 6 / (56 + 46)。
参考文献
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