J-不変量とモジュラー群

ショートカット: 違い、類似点、ジャカード類似性係数、参考文献。

J-不変量とモジュラー群の違い

J-不変量 vs. モジュラー群

数学では、複素変数 τ の函数としたときのフェリックス・クライン(Felix Klein)の j-不変量 (j-invariant)、（もしくは、j-函数と呼ぶこともある）とは、複素数の上半平面上に定義された のウェイト 0 のモジュラー函数を言う。j-不変量は、 であり尖点（カスプ）で一位の極を持つ以外は正則な、一意的な函数である。 の有理函数はモジュラーであり、実はすべてのモジュラー函数を与える。古典的には、-不変量は 上の楕円曲線のパラメータ化として研究されていたが、驚くべきことに、モンスター群の対称性との関係を持っている（この関係はモンストラス・ムーンシャインと呼ばれる）。 j\left(e^\right). 数学においてモジュラー群(modular group)とは、数論、幾何学、代数学や他の現代の数学の分野における基礎研究対象であり、幾何学的変換群や行列群により表されるものである。.

射影線型群

数学における射影線型群（しゃえいせんけいぐん、projective linear group）あるいは射影一般線型群（しゃえいいっぱんせんけいぐん、projective general linear group）とは一般線型群の中心による剰余群のことである。 同様に、射影特殊線型群(しゃえいとくしゅせんけいぐん、projective special linear group)とは特殊線型群の中心による剰余群のことである。 有限体上の射影特殊線型群はほとんどの場合に非可換有限単純群となる。 これらの群は射影空間に忠実に作用する。.

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上半平面

数学、とくにリーマン幾何学あるいは（局所）コンパクト群の調和解析において上半平面（じょうはんへいめん、upper half plane）は、虚部が正である複素数全体の成す集合をいう。上半平面は連結な開集合であり、それがリーマン球面に埋め込まれているとみなしたとき、その閉包を閉上半平面と呼ぶ。閉上半平面は上半平面に実軸と無限遠点を含めたものである。（開いた）上半平面を慣例的に H や H あるいは \mathfrak と記す（このとき、下半平面は H− や H− などと書かれ、対比的に上半平面を H+ などと記すこともある）。上半平面は、リー群の表現論やロバチェフスキーの双曲幾何学などの舞台として数論・表現論的、幾何学的に重要な役割を果たす。 または.

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モンストラス・ムーンシャイン

数学において、モンストラス・ムーンシャインもしくはムーンシャイン理論とは、モンスター群とモジュラー函数、特に j-不変量との間の予期せぬ関係を指し示す用語、およびそれを記述する理論である。1979年にジョン・コンウェイ(John Conway)と(Simon Norton)により命名された。今ではその背景として、モンスター群を対称性として持つある共形場理論があることが知られている。コンウェイとノートンによって考案されたムーンシャイン予想は1992年、リチャード・ボーチャーズ(Richard Borcherds)により、弦理論や(vertex operator algebra)、一般カッツ・ムーディ代数を用いて証明された。.

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モンスター群

群論という現代代数学の分野において、モンスター群（モンスターぐん、Monster group） とは最大のであり、その位数は である。・モンスターあるいは Friendly Giant と呼ばれることもある。 有限単純群は完全にされている。そのような群は18種類の可算無限族の1つに属するか、あるいはそのような系統的なパターンに従わない26個の散在群の1つである。モンスター群は他の散在群のうち6個を除くすべてをとして含む。 (Robert Griess) はこれら6個の例外を と呼び、他の20個を happy family と呼んでいる。 モンスターの良い構成的定義をすることはその複雑さのため難しい。.

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モジュラー形式

モジュラー形式は、モジュラー群という大きな群についての対称性をもつ上半平面上の複素解析的函数である。歴史的には数論で興味をもたれる対象であり、現代においても主要な研究対象である一方で、代数トポロジーや弦理論などの他分野にも現れる。 モジュラー函数（modular function）: ここでいうモジュラー函数以外にも、「モジュラー函数」という術語はいくつか別の意味で用いられることがあるので注意が必要である。例えば、ハール測度の理論に現れる群の共軛作用から定まる函数 Δ(g) もモジュラー函数と呼ばれることがあるが、別な概念である。は重さ 0 、つまりモジュラー群の作用に関して不変であるモジュラー形式のことを言う。そしてそれゆえに、直線束の切断としてではなく、モジュラー領域上の函数として理解することができる。また、「モジュラー函数」はモジュラー群について不変なモジュラー形式であるが、無限遠点で f(z) が正則性を満たすという条件は必要ない。その代わり、モジュラー函数は無限遠点では有理型である。 モジュラー形式論は、もっと一般の場合である保型形式論の特別な場合であり、従って現在では、離散群の豊かな理論のもっとも具体的な部分であると見ることもできる。.

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フェリックス・クライン

フェリックス・クリスティアン・クライン（Felix Christian Klein, 1849年4月25日 - 1925年6月22日）は、ドイツの数学者。群論と幾何学との関係、関数論などの発展に寄与した。クラインの壺の考案者。ダフィット・ヒルベルトやアンリ・ポアンカレといった次の世代の数学者に影響を与えた。.

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群 (数学)

数学における群（ぐん、group）とは最も基本的と見なされる代数的構造の一つである。群はそれ自体興味深い考察対象であり、群論における主要な研究対象となっているが、数学や物理学全般にわたってさまざまな構成に対する基礎的な枠組みを与えている。.

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楕円函数

数学の一分野、複素解析における楕円函数（だえんかんすう、elliptic function）は、二方向に周期を持つ有理型のことをいう。歴史的には、楕円函数は楕円積分の逆函数として、ニールス・アーベルによって発見された（楕円積分は楕円の周長を求める問題に関連して研究されていたものである）。.

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楕円曲線

数学における楕円曲線（だえんきょくせん、elliptic curve）とは種数 の非特異な射影代数曲線、さらに一般的には、特定の基点 を持つ種数 の代数曲線を言う。 楕円曲線上の点に対し、積に関して、先述の点 を単位元とする（必ず可換な）群をなすように、積を代数的に定義することができる。すなわち楕円曲線はアーベル多様体である。 楕円曲線は、代数幾何学的には、射影平面 の中の三次の平面代数曲線として見ることもできる。より正確には、射影平面上、楕円曲線はヴァイエルシュトラス方程式あるいはヴァイエルシュトラスの標準形 により定義された非特異な平面代数曲線に双有理同値である（有理変換によってそのような曲線に変換される）。そしてこの形にあらわされているとき、 は実は射影平面の「無限遠点」である。 また、の標数が でも でもないとき、楕円曲線は、アフィン平面上次の形の式により定義された非特異な平面代数曲線に双有理同値である。 非特異であるとは、グラフが尖点を持ったり、自分自身と交叉したりはしないということである。この形の方程式もヴァイエルシュトラス方程式あるいはヴァイエルシュトラスの標準形という。係数体の標数が や のとき、上の式は全ての非特異を表せるほど一般ではない（詳細な定義は以下を参照）。 が重根を持たない三次多項式として、 とすると、種数 の非特異平面曲線を得るので、これは楕円曲線である。が次数 でとすると、これも種数 の平面曲線となるが、しかし、単位元を自然に選び出すことができない。さらに一般的には、単位元として働く有理点を少なくとも一つ持つような種数 の代数曲線を楕円曲線と呼ぶ。例えば、三次元射影空間へ埋め込まれた二つの二次曲面の交叉は楕円曲線である。 楕円関数論を使い、複素数上で定義された楕円曲線はトーラスのへの埋め込みに対応することを示すことができる。トーラスもアーベル群で、実はこの対応は群同型かつ位相的に同相にもなっている。したがって、位相的には複素楕円曲線はトーラスである。 楕円曲線は、数論で特に重要で、現在研究されている主要な分野の一つである。例えば、アンドリュー・ワイルズにより（リチャード・テイラーの支援を得て）証明されたフェルマーの最終定理で重要な役割を持っている（モジュラー性定理とフェルマーの最終定理への応用を参照）。また、楕円曲線は、楕円暗号(ECC) や素因数分解への応用が見つかっている。 楕円曲線は、楕円ではないことに注意すべきである。「楕円」ということばの由来については楕円積分、楕円関数を参照。 このように、楕円曲線は次のように見なすことができる。.

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数学

数学（すうがく、μαθηματικά, mathematica, math）は、量（数）、構造、空間、変化について研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。.

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